ДИНАМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ СИГНАЛОВ В ОПТИЧЕСКОЙ КОГЕРЕНТНОЙ ТОМОГРАФИИ МЕТОДОМ НЕЛИНЕЙНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ КАЛМАНА
ÓÄÊ 681.787: 681.3.01
ÄÈÍÀÌÈ×ÅÑÊÈÉ ÀÍÀËÈÇ ÑÈÃÍÀËΠ ÎÏÒÈ×ÅÑÊÎÉ ÊÎÃÅÐÅÍÒÍÎÉ ÒÎÌÎÃÐÀÔÈÈ ÌÅÒÎÄÎÌ ÍÅËÈÍÅÉÍÎÉ ÔÈËÜÒÐÀÖÈÈ ÊÀËÌÀÍÀ
© 2008 ã.
Ì. À. Âîëûíñêèé; È. Ï. Ãóðîâ, äîêòîð òåõí. íàóê; À. Ñ. Çàõàðîâ, êàíä. òåõí. íàóê
Ñàíêò-Ïåòåðáóðãñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò èíôîðìàöèîííûõ òåõíîëîãèé, ìåõàíèêè è îïòèêè, Ñàíêò-Ïåòåðáóðã E-mail: gurov@mail.ifmo.ru
Ðàññìîòðåíû ñòîõàñòè÷åñêèå ìîäåëè íåîäíîðîäíûõ ñðåä è ìåòîä íåëèíåéíîé ôèëüòðàöèè Êàëìàíà, îáåñïå÷èâàþùèé ïîâûøåííóþ ðàçðåøàþùóþ ñïîñîáíîñòü ïðè îáðàáîòêå ðåàëüíûõ èíòåðôåðåíöèîííûõ ñèãíàëîâ ìàëîé êîãåðåíòíîñòè, ïîëó÷àåìûõ â ñèñòåìàõ îïòè÷åñêîé êîãåðåíòíîé òîìîãðàôèè. Ïðåäëîæåí ìåòîä äèíàìè÷åñêîãî îöåíèâàíèÿ ïîëîæåíèé ëîêàëüíûõ ìàêñèìóìîâ îãèáàþùåé ñèãíàëà â ïðîöåññå ñêàíèðîâàíèÿ ïî ãëóáèíå îáðàçöà, ïîçâîëÿþùèé ïîâûñèòü ðàçðåøåíèå ìàêñèìóìîâ ÷àñòè÷íî ïåðåêðûâàþùèõñÿ ïèêîâ ïî ñðàâíåíèþ ñ êëàññè÷åñêèìè êðèòåðèÿìè. Ïðåäñòàâëåíû ìîäåëüíûå è ýêñïåðèìåíòàëüíûå ðåçóëüòàòû, ïîëó÷åííûå ïðè èññëåäîâàíèè òåñòîâîãî îáðàçöà áèîòêàíè.
Êîäû OCIS: 030.0030, 100.2650, 100.6640, 110.4500, 110.4980, 120.3180.
Ïîñòóïèëà â ðåäàêöèþ 18.04.2008.
Ââåäåíèå
Áåñêîíòàêòíûå ìåòîäû àíàëèçà âíóòðåííåé ìèêðîñòðóêòóðû íåîäíîðîäíûõ ñðåä èìåþò âàæíîå çíà÷åíèå äëÿ áèîìåäèöèíû, ìàòåðèàëîâåäåíèÿ, èññëåäîâàíèé õàðàêòåðèñòèê ðàçëè÷íûõ ìèêðîîáúåêòîâ. Íåðàçðóøàþùèé êîíòðîëü ñëó÷àéíî-íåîäíîðîäíûõ ñðåä ñ ïîâûøåííîé ðàçðåøàþùåé ñïîñîáíîñòüþ îáåñïå÷èâàåòñÿ ïðè èñïîëüçîâàíèè ìåòîäîâ îïòè÷åñêîé êîãåðåíòíîé òîìîãðàôèè (ÎÊÒ) (ñì., íàïðèìåð, [1–3]).
Êîððåëÿöèîííûå ñèñòåìû ÎÊÒ îñíîâàíû íà ïðèíöèïå îïòè÷åñêîãî ðàäàðà ñ èñòî÷íèêîì èçëó÷åíèÿ ìàëîé êîãåðåíòíîñòè [4]. ×àñòè÷íî ïðîçðà÷íûé èññëåäóåìûé îáðàçåö îñâåùàåòñÿ èçëó÷åíèåì ìàëîé êîãåðåíòíîñòè, è îòðàæåííûå ïðè ñêàíèðîâàíèè ïî ãëóáèíå îáðàçöà âîëíû èíòåðôåðèðóþò ñ îïîðíîé âîëíîé.  ðåçóëüòàòå â ïðåäåëàõ äëèíû êîãåðåíòíîñòè èçëó÷åíèÿ ôîðìèðóþòñÿ èíòåðôåðåíöèîííûå ïîëîñû ñ îãèáàþùåé, ìàêñèìóì êîòîðîé ñîîòâåòñòâóåò íóëåâîé ðàçíîñòè õîäà èçìåðèòåëüíîé è îïîðíîé âîëí. Çíà÷åíèå îãèáàþùåé â ìàêñèìóìå õàðàêòåðèçóåò ñòåïåíü îòðàæåíèÿ îò ãðàíèöû ñëîÿ ñðåäû. Ïðè ñêàíèðîâàíèè ïî ãëóáèíå ìíîãîñëîéíîé ñðåäû ôîðìèðóþòñÿ ïèêè îãèáàþùåé èíòåðôåðåíöèîííûõ ïîëîñ ìàëîé êîãåðåíòíîñòè, ïîëîæåíèå êîòîðûõ ñîîòâåòñòâóåò ãðàíèöàì ñëîåâ.
Èçâåñòíî [4], ÷òî ðàçðåøàþùàÿ ñïîñîáíîñòü èíòåðôåðîìåòðà ìàëîé êîãåðåíòíîñòè â áîêîâîì íàïðàâëåíèè îïðåäåëÿåòñÿ äèôðàêöèîííûì ïðåäåëîì, ò. å. äëèíîé âîëíû èçëó÷åíèÿ è ÷èñëîâîé àïåðòóðîé îáúåêòèâà. Àêñèàëüíîå ðàçðåøåíèå ïî ãëóáèíå ñðåäû çàâèñèò îò äëèíû êîãåðåíòíîñòè èçëó÷åíèÿ è îñîáåííîñòåé îáðàáîòêè çàðåãèñòðèðîâàííûõ èíòåðôåðîìåòðè÷åñêèõ ñèãíàëîâ.
Èçìåíåíèÿ ñòåïåíè îòðàæåíèÿ ïî ãëóáèíå ñëó÷àéíî-íåîäíîðîäíîé ñðåäû íîñÿò ñòîõàñòè÷åñêèé õàðàêòåð, èíòåðôåðîìåòðè÷åñêèå ñèãíàëû èñêàæàþòñÿ ñëó÷àéíûìè ïîìåõàìè, ïîýòîìó ñòàòèñòè÷åñêèé ïîäõîä ê îïèñàíèþ ñëó÷àéíî-íåîäíîðîäíûõ ñðåä è îáðàáîòêå ñèãíàëîâ ÎÊÒ ïîçâîëÿåò ïîâûñèòü òî÷íîñòü ïîëó÷àåìûõ ðåçóëüòàòîâ.
Ââèäó âûñîêîé ðàçðåøàþùåé ñïîñîáíîñòè ñèñòåì ÎÊÒ è íåîáõîäèìîñòè îáðàáîòêè áîëüøèõ îáúåìîâ èíôîðìàöèè öåëåñîîáðàçíî èñïîëüçîâàòü ñòîõàñòè÷åñêèå äèíàìè÷åñêèå ìîäåëè è ìåòîäû îáðàáîòêè, â ÷àñòíîñòè, ìåòîä ôèëüòðàöèè Êàëìàíà [5–7]. Ìåòîä íåëèíåéíîé (ðàñøèðåííîé) ôèëüòðàöèè Êàëìàíà, ðàññìàòðèâàåìûé â íàñòîÿùåé ñòàòüå, ïîçâîëÿåò ïîâûñèòü ïîìåõîóñòîé÷èâîñòü è ðàçðåøàþùóþ ñïîñîáíîñòü ñèñòåì ÎÊÒ.
Íèæå ïðåäñòàâëåíû îïèñàíèå ìåòîäà, ðåçóëüòàòû ìîäåëèðîâàíèÿ è ýêñïåðèìåíòàëüíûå ðåçóëüòàòû, ïîëó÷åííûå ïðè èññëåäîâàíèè òåñòîâîãî îáðàçöà áèîòêàíè.
Òåîðåòè÷åñêèå îñíîâû ìåòîäà
Ââåäåì êîîðäèíàòó ïî ãëóáèíå z è êîîðäèíàòó â áîêîâîì íàïðàâëåíèè x â äâóìåðíîé ìîäåëè ñðåäû. Ïîëîæåíèå ãðàíèöû i-ãî ñëîÿ ñðåäû ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíî ñ ïîìîùüþ ñòîõàñòè÷åñêîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ ïåðâîãî ïîðÿäêà (óðàâíåíèÿ Ëàíæåâåíà) â âèäå
dzi (x) dx
=
−αzi (x)
+
wi
(x),
(1)
ãäå ïàðàìåòð α îïðåäåëÿåò øèðèíó ñïåêòðà ïðîñòðàíñòâåííûõ ÷àñòîò ëîêàëüíûõ îòêëîíåíèé zi(x), wi(x) – ôîðìèðóþùèé øóì ñ íóëåâûì ñðåäíèì çíà-
“Îïòè÷åñêèé æóðíàë”, òîì 75, ¹ 10, 2008
89
0 z, ìêì
100 0
100 200
300 400 x, ìêì
Ðèñ. 1. Ïðèìåð ìîäåëèðîâàíèÿ ìíîãîñëîéíîé ñðåäû ñ èñïîëüçîâàíèåì ñòîõàñòè÷åñêîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ Ëàíæåâåíà.
÷åíèåì 〈wi(x)〉 = 0, 〈wi(x)wj(x′)〉 = (Gi/2)δijδ(x – x′), Gi – ñïåêòðàëüíàÿ ïëîòíîñòü ìîùíîñòè i-ãî êîìïîíåíòà ôîðìèðóþùåãî øóìà, δij – ñèìâîë Êðîíåêåðà, δ(x) – äåëüòà-ôóíêöèÿ Äèðàêà.  ñëó÷àå α = α(x, z) ìîäåëü (1) ìîæåò âêëþ÷àòü àïðèîðíî èçâåñòíûå ñâîéñòâà èññëåäóåìîé íåîäíîðîäíîé ñðåäû.
Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (1), êàê èçâåñòíî, çàâèñèò îò âûáîðà íà÷àëüíûõ óñëîâèé zi(0). Âûáîð íà÷àëüíûõ óñëîâèé äëÿ ñëó÷àÿ ìíîãîñëîéíîé ñðåäû ïîçâîëÿåò ïîëó÷èòü ìîäåëüíîå îïèñàíèå, àäåêâàòíî ó÷èòûâàþùåå åå ìèêðîñòðóêòóðó.
Íà ðèñ. 1 ïîêàçàí ïðèìåð ìîäåëèðîâàíèÿ ó÷àñòêà íåîäíîðîäíîé ñðåäû [7], ñîñòîÿùåé èç 5 ñëîåâ, ñ èñïîëüçîâàíèåì ìîäåëè (1). Ïðè èññëåäîâàíèè îáðàçöîâ â ÎÊÒ òðåáóåòñÿ îïðåäåëÿòü ñòåïåíü îòðàæåíèÿ íà ãðàíèöàõ ñëîåâ âäîëü êîîðäèíàòû z.
Ïîëåçíóþ ñîñòàâëÿþùóþ èíòåðôåðîìåòðè÷åñêîãî ñèãíàëà ìàëîé êîãåðåíòíîñòè â òî÷êå ñ ôèêñèðîâàííîé áîêîâîé êîîðäèíàòîé õ ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå
s(z) = A(z) cos Φ(z),
(2)
ãäå A(z) è Φ(z) – ñîîòâåòñòâåííî îãèáàþùàÿ è ôàçà ñèãíàëà. Ïðè èñïîëüçîâàíèè èñòî÷íèêà èçëó÷åíèÿ ñî ñïåêòðîì ãàóññîâîé ôîðìû îãèáàþùàÿ A(z) òàêæå ÿâëÿåòñÿ ãàóññîâîé. Ïðè îòðàæåíèè îò ãðàíèö íåñêîëüêèõ ñëîåâ ïðîèñõîäèò íàëîæåíèå îãèáàþùèõ â âèäå ñóïåðïîçèöèè ãàóññîâûõ êðèâûõ, ñîîòâåòñòâóþùèõ êàæäîé ãðàíèöå, ïðè ýòîì
∑A(z) =
i
Ai
(
z)
exp
⎡ ⎢− ⎣
(
z
− zi σ2
)2
⎤ ⎥ ⎦
,
(3)
ãäå σ – ïàðàìåòð, õàðàêòåðèçóþùèé äëèíó êîãåðåíòíîñòè èñòî÷íèêà èçëó÷åíèÿ; êîýôôèöèåíòû Ai(z) ó÷èòûâàþò ïîãëîùåíèå ñâåòà â êàæäîì ñëîå.
Ôàçà Φ(z) â (2) ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà â âèäå
Φ(z) = 2πf0 z + ϕ + δϕ(z),
(4)
ãäå f0 – ÷àñòîòà èíòåðôåðåíöèîííûõ ïîëîñ, ϕ – íà÷àëüíàÿ ôàçà â òî÷êå z = 0, δϕ(z) – ñëó÷àéíûå îò-
êëîíåíèÿ ôàçû, îáóñëîâëåííûå âëèÿíèåì âíåøíèõ äåñòàáèëèçèðóþùèõ ôàêòîðîâ.
Ïîëåçíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ ñèãíàëà ÎÊÒ (2) èñêàæåíà âëèÿíèåì øóìà íàáëþäåíèÿ n(z), à èìåííî
s(z) = A(z) cos Φ(z) + n(z).
(5)
Çàäà÷à ñîñòîèò â ïîëó÷åíèè îöåíîê çíà÷åíèé zi â (3) â ïðîöåññå îáðàáîòêè ñèãíàëà s(z) ñ âûñîêèì ðàçðåøåíèåì è óñòîé÷èâîñòüþ ê øóìàì. Ðåøåíèå ýòîé çàäà÷è îáåñïå÷èâàåòñÿ ïðè èñïîëüçîâàíèè ôèëüòðà Êàëìàíà.
Ïðèâåäåì îñíîâíûå ñîîòíîøåíèÿ, îïðåäåëÿþùèå àëãîðèòì íåëèíåéíîé ôèëüòðàöèè Êàëìàíà â äèñêðåòíîì âðåìåíè ñ âåêòîðíûì ïðåäñòâëåíèåì ñèãíàëîâ, ñîîòâåòñòâóþùèì ïîëó÷åíèþ äàííûõ ïðè ñêàíèðîâàíèè èññëåäóåìîãî îáðàçöà.
Íåëèíåéíûé ôèëüòð Êàëìàíà ó÷èòûâàåò ïàðàìåòðû ñèãíàëà, âêëþ÷åííûå â íåëèíåéíóþ âåêòîðíóþ ïàðàìåòðè÷åñêóþ ìîäåëü [8]
s(k) = h(θ(k)) + n(k),
(6)
ãäå h(θ(k)) – íåëèíåéíàÿ ìîäåëü ñèãíàëà (ôóíêöèÿ íàáëþäåíèÿ), θ = [Ai, zi, Φ]T – âåêòîð ïàðàìåòðîâ, n(k) – âåêòîðíûé øóì íàáëþäåíèÿ, k = 1, …, K. Ýâî-
ëþöèÿ ïàðàìåòðîâ ñèãíàëà íà k-ì øàãå äèñêðåòèçà-
öèè Δz îïðåäåëÿåòñÿ óðàâíåíèåì
θ(k) = θ(k −1) + f (θ(k −1)) + w(k),
(7)
ãäå w(k) – ôîðìèðóþùèé øóì ñèñòåìû. Âåêòîðíàÿ ôóíêöèÿ f(θ(k)) â âûðàæåíèè (7) ó÷èòûâàåò âîçìîæíîå íåëèíåéíîå èçìåíåíèå âåêòîðà ïàðàìåòðîâ.
Äèíàìè÷åñêàÿ îöåíêà âåêòîðà ïàðàìåòðîâ θ^ (k) âû÷èñëÿåòñÿ êàê
θˆ(k) = θ(k) + P(k)[s(k) − h(θ(k))],
(8)
ãäå θ–(k) – âåêòîð ïàðàìåòðîâ, ïðåäñêàçàííûé äëÿ
k-ãî äèñêðåòíîãî îòñ÷åòà íà (k – 1)-ì øàãå; P(k) – êî-
ýôôèöèåíò óñèëåíèÿ ôèëüòðà Êàëìàíà [6], îñóùåñòâ-
ðëÿîþâ ùθ–(èké)
êîððåêöèþ ïî îøèáêå
ïðåäñêàçàííîãî âåêòîðà ïàðàìåòïðîãíîçà ñèãíàëà (íåâÿçêå).
Èñïîëüçóÿ óðàâíåíèÿ (2) è (4), ñêàëÿðíûé êîì-
ïîíåíò ôóíêöèè íàáëþäåíèÿ â âûðàæåíèè (6) äëÿ
ñèãíàëà ñ îäíèì ìàêñèìóìîì îãèáàþùåé ìîæíî
ïðåäñòàâèòü â âèäå
h(θ(k ))
=
A1 (k )
exp
⎡ ⎢− ⎣
(kΔz − σ2
z1 )2
⎤ ⎥ ⎦
cos Φ(k),
(9)
ãäå çíà÷åíèå z1 – äèíàìè÷åñêè îöåíèâàåìîå ïîëîæåíèå ìàêñèìóìà îãèáàþùåé. Ïðè èññëåäîâàíèè ìíîãîñëîéíûõ ñðåä âûðàæåíèå (9) âêëþ÷àåò îãèáàþùóþ ñîãëàñíî ôîðìóëå (3).
Àëãîðèòì íåëèíåéíîé ôèëüòðàöèè Êàëìàíà, îïèñûâàåìûé óðàâíåíèÿìè (6)–(9), áûë èñïîëüçî-
90 “Îïòè÷åñêèé æóðíàë”, òîì 75, ¹ 10, 2008
âàí äëÿ ïîëó÷åíèÿ äèíàìè÷åñêèõ îöåíîê ïîëîæåíèÿ ãðàíèö ñëîåâ èññëåäóåìîé ñðåäû z^i(k) îäíîâðåìåííî ñî çíà÷åíèÿìè îöåíîê A^i(k).
Èññëåäîâàíèå ðàçðåøàþùåé ñïîñîáíîñòè ìåòîäà
Ñîãëàñíî (3), ðàçðåøàþùàÿ ñïîñîáíîñòü ìåòîäà îïðåäåëÿåòñÿ âîçìîæíîñòüþ ðàçëè÷åíèÿ äâóõ ñîñåäíèõ ïèêîâ îãèáàþùåé èíòåðôåðåíöèîííûõ ïîëîñ ìàëîé êîãåðåíòíîñòè ïðè ó÷åòå âëèÿíèÿ òàêæå äðóãèõ áîëåå îòäàëåííûõ ïèêîâ.  ñëó÷àå âêëþ÷åíèÿ â ìîäåëü m ïèêîâ òðåáóåòñÿ îáåñïå÷èòü ôèëüòðàöèþ îäíîâðåìåííî 3m ïàðàìåòðîâ (âêëþ÷àÿ ôàçó ïîëîñ), ÷òî òåõíè÷åñêè ñëîæíî äëÿ âû÷èñëåíèé â ðåàëüíîì âðåìåíè. Ïîýòîìó öåëåñîîáðàçíî èñïîëüçîâàòü ïîñëåäîâàòåëüíóþ ôèëüòðàöèþ ïèêîâ îãèáàþùåé.
Äëÿ ó÷åòà âëèÿíèÿ áëèçêî ðàñïîëîæåííûõ ñîñåäíèõ ïèêîâ ïîñëå âûäåëåíèÿ îäíîãî ïèêà ñëåäóåò ó÷èòûâàòü åãî ïðè ôèëüòðàöèè ïàðàìåòðîâ ñëåäóþùåãî ïèêà
Aˆ2 (k)
=
A(k )
−
Aˆ1(k
)
exp
⎡ ⎢
−
⎣
(kΔz − σ2
zˆ1)2
⎤ ⎥
.
⎦
(10)
Ïðè ýòîì àëãîðèòì ïîçâîëÿåò âûïîëíèòü ôèëüòðàöèþ ïàðàìåòðîâ ïèêîâ îãèáàþùåé ïðè àïðèîðíî íåèçâåñòíîì ÷èñëå ñëîåâ.
Äëÿ èññëåäîâàíèÿ õàðàêòåðèñòèê ðàññìîòðåííîãî àëãîðèòìà èñïîëüçîâàëèñü ìîäåëüíûå ñèãíàëû èíòåðôåðåíöèîííûõ ïîëîñ ìàëîé êîãåðåíòíîñòè ïðè ñðåäíåì çíà÷åíèè äëèíû âîëíû 820 íì, øèðèíå ñïåêòðà îêîëî 50 íì è äëèíå êîãåðåíòíîñòè 6 ìêì. Óêàçàííûå çíà÷åíèÿ ÿâëÿþòñÿ òèïè÷íûìè äëÿ èñòî÷íèêîâ èçëó÷åíèÿ (ñóïåðëþìèíåñöåíòíûõ äèîäîâ), èñïîëüçóåìûõ â ñîâðåìåííûõ ñèñòåìàõ ÎÊÒ (ñì., íàïðèìåð, [1–3]). Ñèãíàëû ïîëîñ èñêàæàëèñü ñëó÷àéíûìè îòêëîíåíèÿìè ôàçû δϕ(z) â èíòåðâàëå [–2π/10, 2π/10] è àääèòèâíûì øóìîì íàáëþäåíèÿ ñ îòíîñèòåëüíûì ñðåäíèì êâàäðàòè÷åñêèì îòêëîíåíèåì 5%.
Ðåçóëüòàò íåëèíåéíîé ôèëüòðàöèè êîîðäèíàò ìàêñèìóìîâ äâóõ ñîñåäíèõ ïèêîâ îãèáàþùåé ïðåäñòàâëåí íà ðèñ. 2.
Èñòèííûå çíà÷åíèÿ êîîðäèíàò ìàêñèìóìîâ ñîñòàâëÿëè 57 è 61 ìêì, ò. å. ðàññòîÿíèå ìåæäó ïèêàìè íå ïðåâûøàåò ïðèìåðíî 70% äëèíû êîãåðåíòíîñòè èçëó÷åíèÿ, ïîýòîìó ïèêè íå ðàçðåøàþòñÿ ïðè èñïîëüçîâàíèè êëàññè÷åñêèõ êðèòåðèåâ.
Èç ðèñ. 2 âèäíî, ÷òî ïðè èñïîëüçîâàíèè ïðåäëàãàåìîãî ìåòîäà ïðàâèëüíàÿ îöåíêà êîîðäèíàòû ïåðâîãî ïèêà ôîðìèðóåòñÿ íà÷èíàÿ ñ òî÷êè ïðèìåðíî 51 ìêì, ò. å. ñ çàìåòíûì óïðåæäåíèåì äî ôàêòè÷åñêîãî äîñòèæåíèÿ ìàêñèìóìà ñ êîîðäèíàòîé 57 ìêì.
Íîðìèðîâàííàÿ àìïëèòóäà, îòí. åä.
z^, ìêì 63 59 55
51
1 2
5
34 1
47 0 47 51 55 59 63 67 Îïòè÷åñêèé ïóòü èçìåðèòåëüíîé âîëíû, ìêì
Ðèñ. 2. Ãàóññîâû îãèáàþùèå èíòåðôåðåíöèîííîãî ñèãíàëà è äèíàìè÷åñêàÿ îöåíêà ïîëîæåíèé èõ ìàêñèìóìîâ, ïîëó÷åííàÿ ñ èñïîëüçîâàíèåì íåëèíåéíîãî ôèëüòðà Êàëìàíà. 1 è 2 – èñòèííûå ïîëîæåíèÿ ìàêñèìóìîâ îãèáàþùåé (z^), 3 è 4 – îãèáàþùèÿ èíòåðôåðåíöèîííîãî ñèãíàëà, ñîîòâåòñòâóþùèå 1-ìó è 2-ìó ìàêñèìóìàì, 5 – îöåíêà ïîëîæåíèé ìàêñèìóìîâ îãèáàþùåé èíòåðôåðåíöèîííîãî ñèãíàëà (z^).
Ýòî ïîçâîëÿåò ó÷åñòü óæå íàéäåííûé ïèê è èñïîëüçîâàòü ïðåîáðàçîâàíèå (10) äëÿ ôèëüòðàöèè ïîëîæåíèèÿ ìàêñèìóìà ñëåäóþùåãî ïèêà îãèáàþùåé. Êîîðäèíàòà âòîðîãî ìàêñèìóìà îöåíèâàåòñÿ òàêæå ñ óïðåæäåíèåì, íà÷èíàÿ ñ òî÷êè 56 ìêì. Îòìåòèì, ÷òî ïåðåõîäíûé èíòåðâàë ìåæäó îöåíêàìè ïåðâîãî è âòîðîãî ïèêîâ íå ïðåâûøàåò ïîëîâèíû äëèíû êîãåðåíòíîñòè èçëó÷åíèÿ.
Òàêèì îáðàçîì, ïîêàçàíî, ÷òî ïðåäëîæåííûé ìåòîä íåëèíåéíîé ôèëüòðàöèè îáåñïå÷èâàåò ïîëó÷åíèå äèíàìè÷åñêèõ îöåíîê êîîðäèíàò ñîñåäíèõ ìàêñèìóìîâ îãèáàþùåé ñ ðàçðåøàþùåé ñïîñîáíîñòüþ áîëåå âûñîêîé, ÷åì äëèíà êîãåðåíòíîñòè èçëó÷åíèÿ.
 îáùåì ñëó÷àå ïðåäëîæåííûé àëãîðèòì ìîæåò áûòü ðàñøèðåí. Ïîñëå èäåíòèôèêàöèè m-ãî ïèêà ñëåäóþùèé (m + 1)-é ïèê îöåíèâàåòñÿ ñ ó÷åòîì ïàðàìåòðîâ âñåõ ïðåäûäóùèõ ïèêîâ, à èìåííî
∑Aˆm+1(k) =
A(k) −
m i=0
Aˆi
(k
)
exp
⎡ ⎢− ⎣
(k
Δz − σ2
zˆi )2 ⎤⎥. ⎦
(11)
Ïîä÷åðêíåì, ÷òî ïðåäëîæåííûé ìåòîä íå òðåáóåò àïðèîðíîé èíôîðìàöèè îá îáùåì ÷èñëå ñëîåâ â èññëåäóåìîì îáðàçöå áëàãîäàðÿ ïîñëåäîâàòåëüíîìó îöåíèâàíèþ ìàêñèìóìîâ îãèáàþùåé îò ñëîÿ ê ñëîþ.
Ðàçðåøàþùàÿ ñïîñîáíîñòü ìåòîäà îãðàíè÷èâàåòñÿ ïîãðåøíîñòüþ èäåíòèôèêàöèè èíòåðâàëîâ, âíóòðè êîòîðûõ äîïóñòèìî ñ÷èòàòü ïîëó÷àåìûå îöåíêè ñîîòâåòñòâóþùèìè ìàêñèìóìó îãèáàþùåé.
Ðàññìîòðèì èíòåðâàë q = p – l, ñîäåðæàùèé òî÷êè [zl, zl + 1, …, zp – 1, zp]. Íåîáõîäèìî ââåñòè ïðàâèëà èäåíòèôèêàöèè èíòåðâàëà, íàïðèìåð, ïðèíÿòü ìè-
“Îïòè÷åñêèé æóðíàë”, òîì 75, ¹ 10, 2008
91
íèìàëüíî äîïóñòèìîå çíà÷åíèå äëèíû èíòåðâàëà è îãðàíè÷åíèå íà ðàçìàõ çíà÷åíèé âíóòðè èíòåðâàëà
{ } { }Δz = max j∈[l, p]
zj
− min j∈[l, p]
zj
.
(12)
Åñëè Δz~ < Δz~max, òî èíòåðâàë ñîîòâåòñòâóåò ìàêñèìóìó zi = 〈z〉, ãäå
∑z
=
1 p−l
p
zj.
j=l
(13)
 êà÷åñòâå àëüòåðíàòèâû (12) ìîæíî ó÷èòûâàòü äèñïåðñèþ îöåíêè
∑( )σˆ 2zi
=
1 p −l −1
p j=l
zj − z
2
(14)
è èñïîëüçîâàòü êðèòåðèé σ2zi < σ2max. Îäíàêî êðèòåðèé (12) ÿâëÿåòñÿ áîëåå ïðåäïî÷òèòåëüíûì, ïîñêîëüêó íå òðåáóåò ïåðåñ÷åòà âåëè÷èíû 〈z〉 íà êàæäîì øàãå è îáëàäàåò áîëüøåé âû÷èñëèòåëüíîé ýôôåêòèâíîñòüþ.
Íåêîððåêòíîå çàäàíèå êðèòåðèåâ èäåíòèôèêàöèè ïèêà ìîæåò ïîâëå÷ü äâà òèïà îøèáîê. Îøèáêè ïåðâîãî òèïà ñîñòîÿò â îáíàðóæåíèè íåñóùåñòâóþùèõ ìàêñèìóìîâ. Ýòè îøèáêè âîçíèêàþò ïðè ìàëîé äëèíå èíòåðâàëà q è áîëüøîì äîïóñêàåìîì ðàçìàõå çíà÷åíèé (12). Îøèáêè âòîðîãî òèïà ñîñòîÿò â ïðîïóñêå ìàêñèìóìà ïðè ñëèøêîì áîëüøîé äëèíå èíòåðâàëà q è/èëè ñëèøêîì ñòðîãîì îãðàíè÷åíèè íà îòêëîíåíèÿ çíà÷åíèé âíóòðè èíòåðâàëà. Äåòàëüíûé àíàëèç îøèáîê ïåðâîãî è âòîðîãî òèïîâ ïðèâåäåí â [7].
Èññëåäîâàíèå òåñòîâîãî îáðàçöà áèîòêàíè
Ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû ìîäåëèðîâàíèÿ èñïîëüçîâàíû ïðè èññëåäîâàíèè òåñòîâîãî îáðàçöà áèîòêàíè ñ ïîìîùüþ âûñîêîðàçðåøàþùåé øèðîêîïîëüíîé ñèñòåìû ÎÊÒ [9], â îñíîâå êîòîðîé ëåæèò îïòè÷åñêàÿ ñõåìà ìèêðîèíòåðôåðîìåòðà Ëèííèêà. Èíòåðôåðîìåòð îñâåùàåòñÿ ãàëîãåííîé ëàìïîé ñ äëèíîé êîãåðåíòíîñòè èçëó÷åíèÿ îêîëî 2 ìêì. Ýêñïåðèìåíòàëüíàÿ óñòàíîâêà îñíàùåíà àâòîìàòèçèðîâàííûì ìèêðîïðèâîäîì äëÿ àêñèàëüíîãî ñêàíèðîâàíèÿ îáðàçöà è âèäåîêàìåðîé, ðåãèñòðèðóþùåé ïîñëåäîâàòåëüíîñòü âèäåîêàäðîâ.
 êà÷åñòâå èññëåäóåìîãî îáðàçöà âûáðàíî êðûëî êîìàðà, ïîñêîëüêó áèîòêàíü äàííîãî âèäà èìååò ìàëóþ òîëùèíó, âûðàæåííûå ãðàíèöû è ÿâëÿåòñÿ ÷àñòè÷íî ïðîçðà÷íîé. Ðàçìåð èññëåäóåìîãî ó÷àñòêà îáðàçöà ñîñòàâëÿë 200×160 ìêì.
Íà ðèñ. 3 ïîêàçàíû ìèêðîôîòîãðàôèÿ èññëåäóåìîãî ó÷àñòêà è êàðòà âûñîò ðåëüåôà ïîâåðõíîñòè, âîññòàíîâëåííàÿ ïðè èñïîëüçîâàíèè ñèñòåìû â ðåæèìå ìàëîêîãåðåíòíîãî ðåôëåêòîìåòðà. Ðèñóíîê 3á äåìîíñòðèðóåò âûñîêóþ èíôîðìàòèâíîñòü îòîáðàæåíèÿ òðåõìåðíûõ äàííûõ îá îáúåêòå.
Íà ðèñ. 4à ïðåäñòàâëåíû ýêñïåðèìåíòàëüíûå äàííûå, ñîîòâåòñòâóþùèå ñèãíàëàì îäíîé ñòðîêè âèäåîêàìåðû â ïîñëåäîâàòåëüíîñòè âèäåîêàäðîâ, êîòîðàÿ çàïèñàíà ïðè ñêàíèðîâàíèè ïî ãëóáèíå îáðàçöà. Äèàïàçîí ñêàíèðîâàíèÿ ïî ãëóáèíå ñîñòàâëÿë 32 ìêì.
Íà ðèñ. 4á ïîêàçàí èíòåðôåðåíöèîííûé ñèãíàë ìàëîé êîãåðåíòíîñòè áåç ôîíîâîé ñîñòàâëÿþùåé, ñîîòâåòñòâóþùèé À-ñêàíó, îòìå÷åííîìó âåðòèêàëü-
(à) (á)
Ðèñ. 3. Ìèêðîôîòîãðàôèÿ ó÷àñòêà ïîâåðõíîñòè èññëåäóåìîãî îáðàçöà (à) è âîññòàíîâëåííàÿ êàðòà ìèêðîðåëüåôà ó÷àñòêà â îòòåíêàõ ñåðîãî (á).
92 “Îïòè÷åñêèé æóðíàë”, òîì 75, ¹ 10, 2008
(à) z
(á) 1
Ñèãíàë, îòí. åä.
–1 0 10 20 30 z, ìêì
x Ðèñ. 4. Ñèãíàë â ñå÷åíèè îáðàçöà äî îáðàáîòêè (à) è ïðèìåð èíòåðôåðåíöèîííîãî ñèãíàëà (á).
(à)
15 17,5 20 22,5 25 z, ìêì
(â)
Îöåíêà ïîëîæåíèÿ ìàêñèìóìîâ, ìêì
(á) 30 20 10
0 6,4 12,8 19,2 25,6 32 z, ìêì
Ðèñ. 5. Óâåëè÷åííûé ôðàãìåíò ñèãíàëà (ðèñ. 4á) âáëèçè ìàêñèìóìîâ îãèáàþùåé – à, îöåíêè ïîëîæåíèÿ ìàêñèìóìîâ îãèáàþùåé, ïîëó÷åííûå ñ èñïîëüçîâàíèåì ìåòîäà íåëèíåéíîé ôèëüòðàöèè Êàëìàíà – á, ðåçóëüòàò îáðàáîòêè èñõîäíûõ äàííûõ (ðèñ. 4à) – â.
íîé ÷åðòîé íà ðèñ. 4à. Ñèãíàë ñîäåðæèò äâà ïèêà, ôîðìèðóåìûõ ïðè îòðàæåíèè îò ãðàíèö îáðàçöà.
Íà ðèñ. 4á âèäíî, ÷òî ëåâûé ïèê ñîäåðæèò íåñêîëüêî íàëîæåííûõ äðóã íà äðóãà îãèáàþùèõ, ÷òî ñâèäåòåëüñòâóåò î íàëè÷èè ïîäñëîåâ áèîòêàíè, èç êîòîðûõ ñîñòîèò âåðõíèé ñëîé. Äëÿ âîññòàíîâëåíèÿ òîíêîé ñòðóêòóðû ëåâîãî ïèêà íåîáõîäèìî îáåñïå÷èòü ïîâûøåííóþ ðàçðåøàþùóþ ñïîñîáíîñòü ïðè îáðàáîòêå ñèãíàëîâ.
Ôðàãìåíò ïîëåçíîé ñîñòàâëÿþùåé èíòåðôåðåíöèîííîãî ñèãíàëà âáëèçè ìàêñèìóìîâ îãèáàþùåé è ðåçóëüòàò äèíàìè÷åñêîãî îöåíèâàíèÿ ïîëîæåíèÿ ìàêñèìóìîâ ñ ïîìîùüþ ðàññìîòðåííîãî âûøå àëãîðèòìà íåëèíåéíîé ôèëüòðàöèè Êàëìàíà ïðåäñòàâëåíû íà ðèñ. 5. Èç ðèñóíêà âèäíî, ÷òî ðàññìàòðèâà-
åìûé ìåòîä îáåñïå÷èâàåò âûñîêóþ ðàçðåøàþùóþ ñïîñîáíîñòü (ïðèìåðíî 1 ìêì).
Ñîâìåñòíîå èñïîëüçîâàíèå èíôîðìàöèè î ïîëîæåíèè ìàêñèìóìîâ îãèáàþùåé è åå çíà÷åíèé â ìàêñèìóìàõ ïîçâîëÿåò âûäåëèòü íàèáîëåå âûðàæåííûå ïèêè îãèáàþùåé â À-ñêàíàõ è ïîëó÷èòü áîëåå ÷åòêîå ïðåäñòàâëåíèå ãðàíèö èññëåäóåìîãî îáúåêòà, êàê ýòî ïîêàçàíî íà ðèñ. 5â.
Ñðàâíåíèå ñ èñõîäíûìè äàííûìè (ñì. ðèñ. 4à) äåìîíñòðèðóåò çíà÷èòåëüíîå ïîâûøåíèå ÷åòêîñòè îòîáðàæåíèÿ ãðàíèö îáðàçöà. Îäíàêî ïîâûøåíèå ðàçðåøàþùåé ñïîñîáíîñòè ñîïðîâîæäàåòñÿ íåêîòîðûì âîçðàñòàíèåì øóìà. Âëèÿíèå øóìà ìîæíî óìåíüøèòü ïðè èñïîëüçîâàíèè äîïîëíèòåëüíûõ ìåòîäîâ âòîðè÷íîé îáðàáîòêè ïîëó÷åííîé òîìîãðàììû.
“Îïòè÷åñêèé æóðíàë”, òîì 75, ¹ 10, 2008
93
Çàêëþ÷åíèå
Ðàññìîòðåííûé ìåòîä, îñíîâàííûé íà èñïîëüçîâàíèè ñòàòèñòè÷åñêîãî ïîäõîäà è ôîðìàëèçìà ñòîõàñòè÷åñêèõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, ó÷èòûâàþùèõ ñâîéñòâà èññëåäóåìûõ ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ è àïðèîðíûå çíàíèÿ îá èññëåäóåìîé ñðåäå è åå ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè â ÿâíîé ôîðìå, ñòîõàñòè÷åñêèõ ìîäåëåé íåîäíîðîäíûõ ñðåä è íåëèíåéíîé ôèëüòðàöèè Êàëìàíà, îáåñïå÷èâàåò ïîâûøåííóþ ðàçðåøàþùóþ ñïîñîáíîñòü ïðè îáðàáîòêå ðåàëüíûõ èíòåðôåðåíöèîííûõ ñèãíàëîâ ìàëîé êîãåðåíòíîñòè, ïîëó÷àåìûõ íà âûõîäå ñèñòåìû ÎÊÒ.
Ïðåäëîæåííûé âàðèàíò ìåòîäà íà îñíîâå ïåðåêëþ÷àåìîé ìîäåëè (10) ïîçâîëÿåò ïðîâîäèòü äèíàìè÷åñêîå îöåíèâàíèå ïîëîæåíèé ëîêàëüíûõ ìàêñèìóìîâ îãèáàþùåé ñèãíàëà ïî ìåðå èõ ðåãèñòðàöèè â ïðîöåññå ñêàíèðîâàíèÿ ïî ãëóáèíå îáðàçöà è ïîâûñèòü ðàçðåøåíèå ïîëîæåíèÿ ìàêñèìóìîâ ÷àñòè÷íî ïåðåêðûâàþùèõñÿ ïèêîâ ïî ñðàâíåíèþ ñ êëàññè÷åñêèìè êðèòåðèÿìè ðàçðåøåíèÿ. Ïîýòîìó ðàññìîòðåííûé ìåòîä ìîæåò áûòü êëàññèôèöèðîâàí êàê îäèí èç íåëèíåéíûõ ìåòîäîâ ñâåðõðàçðåøåíèÿ ñ ðåãóëÿðèçàöèåé, êîòîðàÿ îáåñïå÷èâàåòñÿ âûáîðîì ïîðîãîâîãî êðèòåðèÿ äëÿ ïàðàìåòðîâ (12) èëè (14).
Ïîëó÷åííûå ýêñïåðèìåíòàëüíûå ðåçóëüòàòû ïîêàçûâàþò, ÷òî ïðåäëàãàåìûé ìåòîä ïîçâîëÿåò çíà÷èòåëüíî óëó÷øèòü ÷åòêîñòü îòîáðàæåíèÿ ñëîèñòîé ìèêðîñòðóêòóðû áèîòêàíåé â ñèñòåìàõ ÎÊÒ.
ËÈÒÅÐÀÒÓÐÀ
11. Fercher A.F., Drexler W., Hitzenberger C.K., Lasser T. Optical coherence tomography – principles and applications // Rep. Prog. Phys. 2003. V. 66. P. 239–303.
12. Tomlins P.H., Wang R.K. Theory, developments and applications of optical coherence tomography // J. Phys. D: Appl. Phys. 2005. V. 38. P. 2519–2535.
13. Ãóðîâ È.Ï. Îïòè÷åñêàÿ êîãåðåíòíàÿ òîìîãðàôèÿ: ïðèíöèïû, ïðîáëåìû è ïåðñïåêòèâû // Ïðîáëåìû êîãåðåíòíîé è íåëèíåéíîé îïòèêè / Ïîä ðåä. È.Ï. Ãóðîâà è Ñ.À. Êîçëîâà. ÑÏá.: ÑÏáÃÓ ÈÒÌÎ, 2004. Ñ. 6–30.
14. Dresel T., Hausler G., Ventzke H. Three-dimensional sensing of rough surfaces by coherence radar // Appl. Opt. 1992. V. 31. P. 919–925.
15. Kalman R.E. A new approach to linear filtering and prediction problems // Trans. ASME. 1960. V 82. P. 35– 45.
16. Gurov I., Ermolaeva E., Zakharov A. Analysis of lowcoherence interference fringes by the Kalman filtering method // JOSA A. 2004. V. 21. P. 242–251.
17. Gurov I., Volynsky M., Zakharov A. Evaluation of multilayer tissue in optical coherence tomography by the extended Kalman filtering method // Proc. SPIE. 2007. V. 6734. 67341Ð.
18. Alarousu E., Gurov I., Hast J., Myllyla R., Zakharov A. Optical coherence tomography of multilayer tissue based on the dynamical stochastic fringe processing // Proc. SPIE. 2003. V. 5149. P. 13–20.
19. Gurov I., Karpets A., Margariants N., Vorobeva E. Fullfield high-speed optical coherence tomography system for evaluating multilayer and random tissues // Proc. SPIE. 2007. V. 6618. 661807Ð.
94 “Îïòè÷åñêèé æóðíàë”, òîì 75, ¹ 10, 2008
ÄÈÍÀÌÈ×ÅÑÊÈÉ ÀÍÀËÈÇ ÑÈÃÍÀËΠ ÎÏÒÈ×ÅÑÊÎÉ ÊÎÃÅÐÅÍÒÍÎÉ ÒÎÌÎÃÐÀÔÈÈ ÌÅÒÎÄÎÌ ÍÅËÈÍÅÉÍÎÉ ÔÈËÜÒÐÀÖÈÈ ÊÀËÌÀÍÀ
© 2008 ã.
Ì. À. Âîëûíñêèé; È. Ï. Ãóðîâ, äîêòîð òåõí. íàóê; À. Ñ. Çàõàðîâ, êàíä. òåõí. íàóê
Ñàíêò-Ïåòåðáóðãñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò èíôîðìàöèîííûõ òåõíîëîãèé, ìåõàíèêè è îïòèêè, Ñàíêò-Ïåòåðáóðã E-mail: gurov@mail.ifmo.ru
Ðàññìîòðåíû ñòîõàñòè÷åñêèå ìîäåëè íåîäíîðîäíûõ ñðåä è ìåòîä íåëèíåéíîé ôèëüòðàöèè Êàëìàíà, îáåñïå÷èâàþùèé ïîâûøåííóþ ðàçðåøàþùóþ ñïîñîáíîñòü ïðè îáðàáîòêå ðåàëüíûõ èíòåðôåðåíöèîííûõ ñèãíàëîâ ìàëîé êîãåðåíòíîñòè, ïîëó÷àåìûõ â ñèñòåìàõ îïòè÷åñêîé êîãåðåíòíîé òîìîãðàôèè. Ïðåäëîæåí ìåòîä äèíàìè÷åñêîãî îöåíèâàíèÿ ïîëîæåíèé ëîêàëüíûõ ìàêñèìóìîâ îãèáàþùåé ñèãíàëà â ïðîöåññå ñêàíèðîâàíèÿ ïî ãëóáèíå îáðàçöà, ïîçâîëÿþùèé ïîâûñèòü ðàçðåøåíèå ìàêñèìóìîâ ÷àñòè÷íî ïåðåêðûâàþùèõñÿ ïèêîâ ïî ñðàâíåíèþ ñ êëàññè÷åñêèìè êðèòåðèÿìè. Ïðåäñòàâëåíû ìîäåëüíûå è ýêñïåðèìåíòàëüíûå ðåçóëüòàòû, ïîëó÷åííûå ïðè èññëåäîâàíèè òåñòîâîãî îáðàçöà áèîòêàíè.
Êîäû OCIS: 030.0030, 100.2650, 100.6640, 110.4500, 110.4980, 120.3180.
Ïîñòóïèëà â ðåäàêöèþ 18.04.2008.
Ââåäåíèå
Áåñêîíòàêòíûå ìåòîäû àíàëèçà âíóòðåííåé ìèêðîñòðóêòóðû íåîäíîðîäíûõ ñðåä èìåþò âàæíîå çíà÷åíèå äëÿ áèîìåäèöèíû, ìàòåðèàëîâåäåíèÿ, èññëåäîâàíèé õàðàêòåðèñòèê ðàçëè÷íûõ ìèêðîîáúåêòîâ. Íåðàçðóøàþùèé êîíòðîëü ñëó÷àéíî-íåîäíîðîäíûõ ñðåä ñ ïîâûøåííîé ðàçðåøàþùåé ñïîñîáíîñòüþ îáåñïå÷èâàåòñÿ ïðè èñïîëüçîâàíèè ìåòîäîâ îïòè÷åñêîé êîãåðåíòíîé òîìîãðàôèè (ÎÊÒ) (ñì., íàïðèìåð, [1–3]).
Êîððåëÿöèîííûå ñèñòåìû ÎÊÒ îñíîâàíû íà ïðèíöèïå îïòè÷åñêîãî ðàäàðà ñ èñòî÷íèêîì èçëó÷åíèÿ ìàëîé êîãåðåíòíîñòè [4]. ×àñòè÷íî ïðîçðà÷íûé èññëåäóåìûé îáðàçåö îñâåùàåòñÿ èçëó÷åíèåì ìàëîé êîãåðåíòíîñòè, è îòðàæåííûå ïðè ñêàíèðîâàíèè ïî ãëóáèíå îáðàçöà âîëíû èíòåðôåðèðóþò ñ îïîðíîé âîëíîé.  ðåçóëüòàòå â ïðåäåëàõ äëèíû êîãåðåíòíîñòè èçëó÷åíèÿ ôîðìèðóþòñÿ èíòåðôåðåíöèîííûå ïîëîñû ñ îãèáàþùåé, ìàêñèìóì êîòîðîé ñîîòâåòñòâóåò íóëåâîé ðàçíîñòè õîäà èçìåðèòåëüíîé è îïîðíîé âîëí. Çíà÷åíèå îãèáàþùåé â ìàêñèìóìå õàðàêòåðèçóåò ñòåïåíü îòðàæåíèÿ îò ãðàíèöû ñëîÿ ñðåäû. Ïðè ñêàíèðîâàíèè ïî ãëóáèíå ìíîãîñëîéíîé ñðåäû ôîðìèðóþòñÿ ïèêè îãèáàþùåé èíòåðôåðåíöèîííûõ ïîëîñ ìàëîé êîãåðåíòíîñòè, ïîëîæåíèå êîòîðûõ ñîîòâåòñòâóåò ãðàíèöàì ñëîåâ.
Èçâåñòíî [4], ÷òî ðàçðåøàþùàÿ ñïîñîáíîñòü èíòåðôåðîìåòðà ìàëîé êîãåðåíòíîñòè â áîêîâîì íàïðàâëåíèè îïðåäåëÿåòñÿ äèôðàêöèîííûì ïðåäåëîì, ò. å. äëèíîé âîëíû èçëó÷åíèÿ è ÷èñëîâîé àïåðòóðîé îáúåêòèâà. Àêñèàëüíîå ðàçðåøåíèå ïî ãëóáèíå ñðåäû çàâèñèò îò äëèíû êîãåðåíòíîñòè èçëó÷åíèÿ è îñîáåííîñòåé îáðàáîòêè çàðåãèñòðèðîâàííûõ èíòåðôåðîìåòðè÷åñêèõ ñèãíàëîâ.
Èçìåíåíèÿ ñòåïåíè îòðàæåíèÿ ïî ãëóáèíå ñëó÷àéíî-íåîäíîðîäíîé ñðåäû íîñÿò ñòîõàñòè÷åñêèé õàðàêòåð, èíòåðôåðîìåòðè÷åñêèå ñèãíàëû èñêàæàþòñÿ ñëó÷àéíûìè ïîìåõàìè, ïîýòîìó ñòàòèñòè÷åñêèé ïîäõîä ê îïèñàíèþ ñëó÷àéíî-íåîäíîðîäíûõ ñðåä è îáðàáîòêå ñèãíàëîâ ÎÊÒ ïîçâîëÿåò ïîâûñèòü òî÷íîñòü ïîëó÷àåìûõ ðåçóëüòàòîâ.
Ââèäó âûñîêîé ðàçðåøàþùåé ñïîñîáíîñòè ñèñòåì ÎÊÒ è íåîáõîäèìîñòè îáðàáîòêè áîëüøèõ îáúåìîâ èíôîðìàöèè öåëåñîîáðàçíî èñïîëüçîâàòü ñòîõàñòè÷åñêèå äèíàìè÷åñêèå ìîäåëè è ìåòîäû îáðàáîòêè, â ÷àñòíîñòè, ìåòîä ôèëüòðàöèè Êàëìàíà [5–7]. Ìåòîä íåëèíåéíîé (ðàñøèðåííîé) ôèëüòðàöèè Êàëìàíà, ðàññìàòðèâàåìûé â íàñòîÿùåé ñòàòüå, ïîçâîëÿåò ïîâûñèòü ïîìåõîóñòîé÷èâîñòü è ðàçðåøàþùóþ ñïîñîáíîñòü ñèñòåì ÎÊÒ.
Íèæå ïðåäñòàâëåíû îïèñàíèå ìåòîäà, ðåçóëüòàòû ìîäåëèðîâàíèÿ è ýêñïåðèìåíòàëüíûå ðåçóëüòàòû, ïîëó÷åííûå ïðè èññëåäîâàíèè òåñòîâîãî îáðàçöà áèîòêàíè.
Òåîðåòè÷åñêèå îñíîâû ìåòîäà
Ââåäåì êîîðäèíàòó ïî ãëóáèíå z è êîîðäèíàòó â áîêîâîì íàïðàâëåíèè x â äâóìåðíîé ìîäåëè ñðåäû. Ïîëîæåíèå ãðàíèöû i-ãî ñëîÿ ñðåäû ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíî ñ ïîìîùüþ ñòîõàñòè÷åñêîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ ïåðâîãî ïîðÿäêà (óðàâíåíèÿ Ëàíæåâåíà) â âèäå
dzi (x) dx
=
−αzi (x)
+
wi
(x),
(1)
ãäå ïàðàìåòð α îïðåäåëÿåò øèðèíó ñïåêòðà ïðîñòðàíñòâåííûõ ÷àñòîò ëîêàëüíûõ îòêëîíåíèé zi(x), wi(x) – ôîðìèðóþùèé øóì ñ íóëåâûì ñðåäíèì çíà-
“Îïòè÷åñêèé æóðíàë”, òîì 75, ¹ 10, 2008
89
0 z, ìêì
100 0
100 200
300 400 x, ìêì
Ðèñ. 1. Ïðèìåð ìîäåëèðîâàíèÿ ìíîãîñëîéíîé ñðåäû ñ èñïîëüçîâàíèåì ñòîõàñòè÷åñêîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ Ëàíæåâåíà.
÷åíèåì 〈wi(x)〉 = 0, 〈wi(x)wj(x′)〉 = (Gi/2)δijδ(x – x′), Gi – ñïåêòðàëüíàÿ ïëîòíîñòü ìîùíîñòè i-ãî êîìïîíåíòà ôîðìèðóþùåãî øóìà, δij – ñèìâîë Êðîíåêåðà, δ(x) – äåëüòà-ôóíêöèÿ Äèðàêà.  ñëó÷àå α = α(x, z) ìîäåëü (1) ìîæåò âêëþ÷àòü àïðèîðíî èçâåñòíûå ñâîéñòâà èññëåäóåìîé íåîäíîðîäíîé ñðåäû.
Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (1), êàê èçâåñòíî, çàâèñèò îò âûáîðà íà÷àëüíûõ óñëîâèé zi(0). Âûáîð íà÷àëüíûõ óñëîâèé äëÿ ñëó÷àÿ ìíîãîñëîéíîé ñðåäû ïîçâîëÿåò ïîëó÷èòü ìîäåëüíîå îïèñàíèå, àäåêâàòíî ó÷èòûâàþùåå åå ìèêðîñòðóêòóðó.
Íà ðèñ. 1 ïîêàçàí ïðèìåð ìîäåëèðîâàíèÿ ó÷àñòêà íåîäíîðîäíîé ñðåäû [7], ñîñòîÿùåé èç 5 ñëîåâ, ñ èñïîëüçîâàíèåì ìîäåëè (1). Ïðè èññëåäîâàíèè îáðàçöîâ â ÎÊÒ òðåáóåòñÿ îïðåäåëÿòü ñòåïåíü îòðàæåíèÿ íà ãðàíèöàõ ñëîåâ âäîëü êîîðäèíàòû z.
Ïîëåçíóþ ñîñòàâëÿþùóþ èíòåðôåðîìåòðè÷åñêîãî ñèãíàëà ìàëîé êîãåðåíòíîñòè â òî÷êå ñ ôèêñèðîâàííîé áîêîâîé êîîðäèíàòîé õ ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå
s(z) = A(z) cos Φ(z),
(2)
ãäå A(z) è Φ(z) – ñîîòâåòñòâåííî îãèáàþùàÿ è ôàçà ñèãíàëà. Ïðè èñïîëüçîâàíèè èñòî÷íèêà èçëó÷åíèÿ ñî ñïåêòðîì ãàóññîâîé ôîðìû îãèáàþùàÿ A(z) òàêæå ÿâëÿåòñÿ ãàóññîâîé. Ïðè îòðàæåíèè îò ãðàíèö íåñêîëüêèõ ñëîåâ ïðîèñõîäèò íàëîæåíèå îãèáàþùèõ â âèäå ñóïåðïîçèöèè ãàóññîâûõ êðèâûõ, ñîîòâåòñòâóþùèõ êàæäîé ãðàíèöå, ïðè ýòîì
∑A(z) =
i
Ai
(
z)
exp
⎡ ⎢− ⎣
(
z
− zi σ2
)2
⎤ ⎥ ⎦
,
(3)
ãäå σ – ïàðàìåòð, õàðàêòåðèçóþùèé äëèíó êîãåðåíòíîñòè èñòî÷íèêà èçëó÷åíèÿ; êîýôôèöèåíòû Ai(z) ó÷èòûâàþò ïîãëîùåíèå ñâåòà â êàæäîì ñëîå.
Ôàçà Φ(z) â (2) ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà â âèäå
Φ(z) = 2πf0 z + ϕ + δϕ(z),
(4)
ãäå f0 – ÷àñòîòà èíòåðôåðåíöèîííûõ ïîëîñ, ϕ – íà÷àëüíàÿ ôàçà â òî÷êå z = 0, δϕ(z) – ñëó÷àéíûå îò-
êëîíåíèÿ ôàçû, îáóñëîâëåííûå âëèÿíèåì âíåøíèõ äåñòàáèëèçèðóþùèõ ôàêòîðîâ.
Ïîëåçíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ ñèãíàëà ÎÊÒ (2) èñêàæåíà âëèÿíèåì øóìà íàáëþäåíèÿ n(z), à èìåííî
s(z) = A(z) cos Φ(z) + n(z).
(5)
Çàäà÷à ñîñòîèò â ïîëó÷åíèè îöåíîê çíà÷åíèé zi â (3) â ïðîöåññå îáðàáîòêè ñèãíàëà s(z) ñ âûñîêèì ðàçðåøåíèåì è óñòîé÷èâîñòüþ ê øóìàì. Ðåøåíèå ýòîé çàäà÷è îáåñïå÷èâàåòñÿ ïðè èñïîëüçîâàíèè ôèëüòðà Êàëìàíà.
Ïðèâåäåì îñíîâíûå ñîîòíîøåíèÿ, îïðåäåëÿþùèå àëãîðèòì íåëèíåéíîé ôèëüòðàöèè Êàëìàíà â äèñêðåòíîì âðåìåíè ñ âåêòîðíûì ïðåäñòâëåíèåì ñèãíàëîâ, ñîîòâåòñòâóþùèì ïîëó÷åíèþ äàííûõ ïðè ñêàíèðîâàíèè èññëåäóåìîãî îáðàçöà.
Íåëèíåéíûé ôèëüòð Êàëìàíà ó÷èòûâàåò ïàðàìåòðû ñèãíàëà, âêëþ÷åííûå â íåëèíåéíóþ âåêòîðíóþ ïàðàìåòðè÷åñêóþ ìîäåëü [8]
s(k) = h(θ(k)) + n(k),
(6)
ãäå h(θ(k)) – íåëèíåéíàÿ ìîäåëü ñèãíàëà (ôóíêöèÿ íàáëþäåíèÿ), θ = [Ai, zi, Φ]T – âåêòîð ïàðàìåòðîâ, n(k) – âåêòîðíûé øóì íàáëþäåíèÿ, k = 1, …, K. Ýâî-
ëþöèÿ ïàðàìåòðîâ ñèãíàëà íà k-ì øàãå äèñêðåòèçà-
öèè Δz îïðåäåëÿåòñÿ óðàâíåíèåì
θ(k) = θ(k −1) + f (θ(k −1)) + w(k),
(7)
ãäå w(k) – ôîðìèðóþùèé øóì ñèñòåìû. Âåêòîðíàÿ ôóíêöèÿ f(θ(k)) â âûðàæåíèè (7) ó÷èòûâàåò âîçìîæíîå íåëèíåéíîå èçìåíåíèå âåêòîðà ïàðàìåòðîâ.
Äèíàìè÷åñêàÿ îöåíêà âåêòîðà ïàðàìåòðîâ θ^ (k) âû÷èñëÿåòñÿ êàê
θˆ(k) = θ(k) + P(k)[s(k) − h(θ(k))],
(8)
ãäå θ–(k) – âåêòîð ïàðàìåòðîâ, ïðåäñêàçàííûé äëÿ
k-ãî äèñêðåòíîãî îòñ÷åòà íà (k – 1)-ì øàãå; P(k) – êî-
ýôôèöèåíò óñèëåíèÿ ôèëüòðà Êàëìàíà [6], îñóùåñòâ-
ðëÿîþâ ùθ–(èké)
êîððåêöèþ ïî îøèáêå
ïðåäñêàçàííîãî âåêòîðà ïàðàìåòïðîãíîçà ñèãíàëà (íåâÿçêå).
Èñïîëüçóÿ óðàâíåíèÿ (2) è (4), ñêàëÿðíûé êîì-
ïîíåíò ôóíêöèè íàáëþäåíèÿ â âûðàæåíèè (6) äëÿ
ñèãíàëà ñ îäíèì ìàêñèìóìîì îãèáàþùåé ìîæíî
ïðåäñòàâèòü â âèäå
h(θ(k ))
=
A1 (k )
exp
⎡ ⎢− ⎣
(kΔz − σ2
z1 )2
⎤ ⎥ ⎦
cos Φ(k),
(9)
ãäå çíà÷åíèå z1 – äèíàìè÷åñêè îöåíèâàåìîå ïîëîæåíèå ìàêñèìóìà îãèáàþùåé. Ïðè èññëåäîâàíèè ìíîãîñëîéíûõ ñðåä âûðàæåíèå (9) âêëþ÷àåò îãèáàþùóþ ñîãëàñíî ôîðìóëå (3).
Àëãîðèòì íåëèíåéíîé ôèëüòðàöèè Êàëìàíà, îïèñûâàåìûé óðàâíåíèÿìè (6)–(9), áûë èñïîëüçî-
90 “Îïòè÷åñêèé æóðíàë”, òîì 75, ¹ 10, 2008
âàí äëÿ ïîëó÷åíèÿ äèíàìè÷åñêèõ îöåíîê ïîëîæåíèÿ ãðàíèö ñëîåâ èññëåäóåìîé ñðåäû z^i(k) îäíîâðåìåííî ñî çíà÷åíèÿìè îöåíîê A^i(k).
Èññëåäîâàíèå ðàçðåøàþùåé ñïîñîáíîñòè ìåòîäà
Ñîãëàñíî (3), ðàçðåøàþùàÿ ñïîñîáíîñòü ìåòîäà îïðåäåëÿåòñÿ âîçìîæíîñòüþ ðàçëè÷åíèÿ äâóõ ñîñåäíèõ ïèêîâ îãèáàþùåé èíòåðôåðåíöèîííûõ ïîëîñ ìàëîé êîãåðåíòíîñòè ïðè ó÷åòå âëèÿíèÿ òàêæå äðóãèõ áîëåå îòäàëåííûõ ïèêîâ.  ñëó÷àå âêëþ÷åíèÿ â ìîäåëü m ïèêîâ òðåáóåòñÿ îáåñïå÷èòü ôèëüòðàöèþ îäíîâðåìåííî 3m ïàðàìåòðîâ (âêëþ÷àÿ ôàçó ïîëîñ), ÷òî òåõíè÷åñêè ñëîæíî äëÿ âû÷èñëåíèé â ðåàëüíîì âðåìåíè. Ïîýòîìó öåëåñîîáðàçíî èñïîëüçîâàòü ïîñëåäîâàòåëüíóþ ôèëüòðàöèþ ïèêîâ îãèáàþùåé.
Äëÿ ó÷åòà âëèÿíèÿ áëèçêî ðàñïîëîæåííûõ ñîñåäíèõ ïèêîâ ïîñëå âûäåëåíèÿ îäíîãî ïèêà ñëåäóåò ó÷èòûâàòü åãî ïðè ôèëüòðàöèè ïàðàìåòðîâ ñëåäóþùåãî ïèêà
Aˆ2 (k)
=
A(k )
−
Aˆ1(k
)
exp
⎡ ⎢
−
⎣
(kΔz − σ2
zˆ1)2
⎤ ⎥
.
⎦
(10)
Ïðè ýòîì àëãîðèòì ïîçâîëÿåò âûïîëíèòü ôèëüòðàöèþ ïàðàìåòðîâ ïèêîâ îãèáàþùåé ïðè àïðèîðíî íåèçâåñòíîì ÷èñëå ñëîåâ.
Äëÿ èññëåäîâàíèÿ õàðàêòåðèñòèê ðàññìîòðåííîãî àëãîðèòìà èñïîëüçîâàëèñü ìîäåëüíûå ñèãíàëû èíòåðôåðåíöèîííûõ ïîëîñ ìàëîé êîãåðåíòíîñòè ïðè ñðåäíåì çíà÷åíèè äëèíû âîëíû 820 íì, øèðèíå ñïåêòðà îêîëî 50 íì è äëèíå êîãåðåíòíîñòè 6 ìêì. Óêàçàííûå çíà÷åíèÿ ÿâëÿþòñÿ òèïè÷íûìè äëÿ èñòî÷íèêîâ èçëó÷åíèÿ (ñóïåðëþìèíåñöåíòíûõ äèîäîâ), èñïîëüçóåìûõ â ñîâðåìåííûõ ñèñòåìàõ ÎÊÒ (ñì., íàïðèìåð, [1–3]). Ñèãíàëû ïîëîñ èñêàæàëèñü ñëó÷àéíûìè îòêëîíåíèÿìè ôàçû δϕ(z) â èíòåðâàëå [–2π/10, 2π/10] è àääèòèâíûì øóìîì íàáëþäåíèÿ ñ îòíîñèòåëüíûì ñðåäíèì êâàäðàòè÷åñêèì îòêëîíåíèåì 5%.
Ðåçóëüòàò íåëèíåéíîé ôèëüòðàöèè êîîðäèíàò ìàêñèìóìîâ äâóõ ñîñåäíèõ ïèêîâ îãèáàþùåé ïðåäñòàâëåí íà ðèñ. 2.
Èñòèííûå çíà÷åíèÿ êîîðäèíàò ìàêñèìóìîâ ñîñòàâëÿëè 57 è 61 ìêì, ò. å. ðàññòîÿíèå ìåæäó ïèêàìè íå ïðåâûøàåò ïðèìåðíî 70% äëèíû êîãåðåíòíîñòè èçëó÷åíèÿ, ïîýòîìó ïèêè íå ðàçðåøàþòñÿ ïðè èñïîëüçîâàíèè êëàññè÷åñêèõ êðèòåðèåâ.
Èç ðèñ. 2 âèäíî, ÷òî ïðè èñïîëüçîâàíèè ïðåäëàãàåìîãî ìåòîäà ïðàâèëüíàÿ îöåíêà êîîðäèíàòû ïåðâîãî ïèêà ôîðìèðóåòñÿ íà÷èíàÿ ñ òî÷êè ïðèìåðíî 51 ìêì, ò. å. ñ çàìåòíûì óïðåæäåíèåì äî ôàêòè÷åñêîãî äîñòèæåíèÿ ìàêñèìóìà ñ êîîðäèíàòîé 57 ìêì.
Íîðìèðîâàííàÿ àìïëèòóäà, îòí. åä.
z^, ìêì 63 59 55
51
1 2
5
34 1
47 0 47 51 55 59 63 67 Îïòè÷åñêèé ïóòü èçìåðèòåëüíîé âîëíû, ìêì
Ðèñ. 2. Ãàóññîâû îãèáàþùèå èíòåðôåðåíöèîííîãî ñèãíàëà è äèíàìè÷åñêàÿ îöåíêà ïîëîæåíèé èõ ìàêñèìóìîâ, ïîëó÷åííàÿ ñ èñïîëüçîâàíèåì íåëèíåéíîãî ôèëüòðà Êàëìàíà. 1 è 2 – èñòèííûå ïîëîæåíèÿ ìàêñèìóìîâ îãèáàþùåé (z^), 3 è 4 – îãèáàþùèÿ èíòåðôåðåíöèîííîãî ñèãíàëà, ñîîòâåòñòâóþùèå 1-ìó è 2-ìó ìàêñèìóìàì, 5 – îöåíêà ïîëîæåíèé ìàêñèìóìîâ îãèáàþùåé èíòåðôåðåíöèîííîãî ñèãíàëà (z^).
Ýòî ïîçâîëÿåò ó÷åñòü óæå íàéäåííûé ïèê è èñïîëüçîâàòü ïðåîáðàçîâàíèå (10) äëÿ ôèëüòðàöèè ïîëîæåíèèÿ ìàêñèìóìà ñëåäóþùåãî ïèêà îãèáàþùåé. Êîîðäèíàòà âòîðîãî ìàêñèìóìà îöåíèâàåòñÿ òàêæå ñ óïðåæäåíèåì, íà÷èíàÿ ñ òî÷êè 56 ìêì. Îòìåòèì, ÷òî ïåðåõîäíûé èíòåðâàë ìåæäó îöåíêàìè ïåðâîãî è âòîðîãî ïèêîâ íå ïðåâûøàåò ïîëîâèíû äëèíû êîãåðåíòíîñòè èçëó÷åíèÿ.
Òàêèì îáðàçîì, ïîêàçàíî, ÷òî ïðåäëîæåííûé ìåòîä íåëèíåéíîé ôèëüòðàöèè îáåñïå÷èâàåò ïîëó÷åíèå äèíàìè÷åñêèõ îöåíîê êîîðäèíàò ñîñåäíèõ ìàêñèìóìîâ îãèáàþùåé ñ ðàçðåøàþùåé ñïîñîáíîñòüþ áîëåå âûñîêîé, ÷åì äëèíà êîãåðåíòíîñòè èçëó÷åíèÿ.
 îáùåì ñëó÷àå ïðåäëîæåííûé àëãîðèòì ìîæåò áûòü ðàñøèðåí. Ïîñëå èäåíòèôèêàöèè m-ãî ïèêà ñëåäóþùèé (m + 1)-é ïèê îöåíèâàåòñÿ ñ ó÷åòîì ïàðàìåòðîâ âñåõ ïðåäûäóùèõ ïèêîâ, à èìåííî
∑Aˆm+1(k) =
A(k) −
m i=0
Aˆi
(k
)
exp
⎡ ⎢− ⎣
(k
Δz − σ2
zˆi )2 ⎤⎥. ⎦
(11)
Ïîä÷åðêíåì, ÷òî ïðåäëîæåííûé ìåòîä íå òðåáóåò àïðèîðíîé èíôîðìàöèè îá îáùåì ÷èñëå ñëîåâ â èññëåäóåìîì îáðàçöå áëàãîäàðÿ ïîñëåäîâàòåëüíîìó îöåíèâàíèþ ìàêñèìóìîâ îãèáàþùåé îò ñëîÿ ê ñëîþ.
Ðàçðåøàþùàÿ ñïîñîáíîñòü ìåòîäà îãðàíè÷èâàåòñÿ ïîãðåøíîñòüþ èäåíòèôèêàöèè èíòåðâàëîâ, âíóòðè êîòîðûõ äîïóñòèìî ñ÷èòàòü ïîëó÷àåìûå îöåíêè ñîîòâåòñòâóþùèìè ìàêñèìóìó îãèáàþùåé.
Ðàññìîòðèì èíòåðâàë q = p – l, ñîäåðæàùèé òî÷êè [zl, zl + 1, …, zp – 1, zp]. Íåîáõîäèìî ââåñòè ïðàâèëà èäåíòèôèêàöèè èíòåðâàëà, íàïðèìåð, ïðèíÿòü ìè-
“Îïòè÷åñêèé æóðíàë”, òîì 75, ¹ 10, 2008
91
íèìàëüíî äîïóñòèìîå çíà÷åíèå äëèíû èíòåðâàëà è îãðàíè÷åíèå íà ðàçìàõ çíà÷åíèé âíóòðè èíòåðâàëà
{ } { }Δz = max j∈[l, p]
zj
− min j∈[l, p]
zj
.
(12)
Åñëè Δz~ < Δz~max, òî èíòåðâàë ñîîòâåòñòâóåò ìàêñèìóìó zi = 〈z〉, ãäå
∑z
=
1 p−l
p
zj.
j=l
(13)
 êà÷åñòâå àëüòåðíàòèâû (12) ìîæíî ó÷èòûâàòü äèñïåðñèþ îöåíêè
∑( )σˆ 2zi
=
1 p −l −1
p j=l
zj − z
2
(14)
è èñïîëüçîâàòü êðèòåðèé σ2zi < σ2max. Îäíàêî êðèòåðèé (12) ÿâëÿåòñÿ áîëåå ïðåäïî÷òèòåëüíûì, ïîñêîëüêó íå òðåáóåò ïåðåñ÷åòà âåëè÷èíû 〈z〉 íà êàæäîì øàãå è îáëàäàåò áîëüøåé âû÷èñëèòåëüíîé ýôôåêòèâíîñòüþ.
Íåêîððåêòíîå çàäàíèå êðèòåðèåâ èäåíòèôèêàöèè ïèêà ìîæåò ïîâëå÷ü äâà òèïà îøèáîê. Îøèáêè ïåðâîãî òèïà ñîñòîÿò â îáíàðóæåíèè íåñóùåñòâóþùèõ ìàêñèìóìîâ. Ýòè îøèáêè âîçíèêàþò ïðè ìàëîé äëèíå èíòåðâàëà q è áîëüøîì äîïóñêàåìîì ðàçìàõå çíà÷åíèé (12). Îøèáêè âòîðîãî òèïà ñîñòîÿò â ïðîïóñêå ìàêñèìóìà ïðè ñëèøêîì áîëüøîé äëèíå èíòåðâàëà q è/èëè ñëèøêîì ñòðîãîì îãðàíè÷åíèè íà îòêëîíåíèÿ çíà÷åíèé âíóòðè èíòåðâàëà. Äåòàëüíûé àíàëèç îøèáîê ïåðâîãî è âòîðîãî òèïîâ ïðèâåäåí â [7].
Èññëåäîâàíèå òåñòîâîãî îáðàçöà áèîòêàíè
Ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû ìîäåëèðîâàíèÿ èñïîëüçîâàíû ïðè èññëåäîâàíèè òåñòîâîãî îáðàçöà áèîòêàíè ñ ïîìîùüþ âûñîêîðàçðåøàþùåé øèðîêîïîëüíîé ñèñòåìû ÎÊÒ [9], â îñíîâå êîòîðîé ëåæèò îïòè÷åñêàÿ ñõåìà ìèêðîèíòåðôåðîìåòðà Ëèííèêà. Èíòåðôåðîìåòð îñâåùàåòñÿ ãàëîãåííîé ëàìïîé ñ äëèíîé êîãåðåíòíîñòè èçëó÷åíèÿ îêîëî 2 ìêì. Ýêñïåðèìåíòàëüíàÿ óñòàíîâêà îñíàùåíà àâòîìàòèçèðîâàííûì ìèêðîïðèâîäîì äëÿ àêñèàëüíîãî ñêàíèðîâàíèÿ îáðàçöà è âèäåîêàìåðîé, ðåãèñòðèðóþùåé ïîñëåäîâàòåëüíîñòü âèäåîêàäðîâ.
 êà÷åñòâå èññëåäóåìîãî îáðàçöà âûáðàíî êðûëî êîìàðà, ïîñêîëüêó áèîòêàíü äàííîãî âèäà èìååò ìàëóþ òîëùèíó, âûðàæåííûå ãðàíèöû è ÿâëÿåòñÿ ÷àñòè÷íî ïðîçðà÷íîé. Ðàçìåð èññëåäóåìîãî ó÷àñòêà îáðàçöà ñîñòàâëÿë 200×160 ìêì.
Íà ðèñ. 3 ïîêàçàíû ìèêðîôîòîãðàôèÿ èññëåäóåìîãî ó÷àñòêà è êàðòà âûñîò ðåëüåôà ïîâåðõíîñòè, âîññòàíîâëåííàÿ ïðè èñïîëüçîâàíèè ñèñòåìû â ðåæèìå ìàëîêîãåðåíòíîãî ðåôëåêòîìåòðà. Ðèñóíîê 3á äåìîíñòðèðóåò âûñîêóþ èíôîðìàòèâíîñòü îòîáðàæåíèÿ òðåõìåðíûõ äàííûõ îá îáúåêòå.
Íà ðèñ. 4à ïðåäñòàâëåíû ýêñïåðèìåíòàëüíûå äàííûå, ñîîòâåòñòâóþùèå ñèãíàëàì îäíîé ñòðîêè âèäåîêàìåðû â ïîñëåäîâàòåëüíîñòè âèäåîêàäðîâ, êîòîðàÿ çàïèñàíà ïðè ñêàíèðîâàíèè ïî ãëóáèíå îáðàçöà. Äèàïàçîí ñêàíèðîâàíèÿ ïî ãëóáèíå ñîñòàâëÿë 32 ìêì.
Íà ðèñ. 4á ïîêàçàí èíòåðôåðåíöèîííûé ñèãíàë ìàëîé êîãåðåíòíîñòè áåç ôîíîâîé ñîñòàâëÿþùåé, ñîîòâåòñòâóþùèé À-ñêàíó, îòìå÷åííîìó âåðòèêàëü-
(à) (á)
Ðèñ. 3. Ìèêðîôîòîãðàôèÿ ó÷àñòêà ïîâåðõíîñòè èññëåäóåìîãî îáðàçöà (à) è âîññòàíîâëåííàÿ êàðòà ìèêðîðåëüåôà ó÷àñòêà â îòòåíêàõ ñåðîãî (á).
92 “Îïòè÷åñêèé æóðíàë”, òîì 75, ¹ 10, 2008
(à) z
(á) 1
Ñèãíàë, îòí. åä.
–1 0 10 20 30 z, ìêì
x Ðèñ. 4. Ñèãíàë â ñå÷åíèè îáðàçöà äî îáðàáîòêè (à) è ïðèìåð èíòåðôåðåíöèîííîãî ñèãíàëà (á).
(à)
15 17,5 20 22,5 25 z, ìêì
(â)
Îöåíêà ïîëîæåíèÿ ìàêñèìóìîâ, ìêì
(á) 30 20 10
0 6,4 12,8 19,2 25,6 32 z, ìêì
Ðèñ. 5. Óâåëè÷åííûé ôðàãìåíò ñèãíàëà (ðèñ. 4á) âáëèçè ìàêñèìóìîâ îãèáàþùåé – à, îöåíêè ïîëîæåíèÿ ìàêñèìóìîâ îãèáàþùåé, ïîëó÷åííûå ñ èñïîëüçîâàíèåì ìåòîäà íåëèíåéíîé ôèëüòðàöèè Êàëìàíà – á, ðåçóëüòàò îáðàáîòêè èñõîäíûõ äàííûõ (ðèñ. 4à) – â.
íîé ÷åðòîé íà ðèñ. 4à. Ñèãíàë ñîäåðæèò äâà ïèêà, ôîðìèðóåìûõ ïðè îòðàæåíèè îò ãðàíèö îáðàçöà.
Íà ðèñ. 4á âèäíî, ÷òî ëåâûé ïèê ñîäåðæèò íåñêîëüêî íàëîæåííûõ äðóã íà äðóãà îãèáàþùèõ, ÷òî ñâèäåòåëüñòâóåò î íàëè÷èè ïîäñëîåâ áèîòêàíè, èç êîòîðûõ ñîñòîèò âåðõíèé ñëîé. Äëÿ âîññòàíîâëåíèÿ òîíêîé ñòðóêòóðû ëåâîãî ïèêà íåîáõîäèìî îáåñïå÷èòü ïîâûøåííóþ ðàçðåøàþùóþ ñïîñîáíîñòü ïðè îáðàáîòêå ñèãíàëîâ.
Ôðàãìåíò ïîëåçíîé ñîñòàâëÿþùåé èíòåðôåðåíöèîííîãî ñèãíàëà âáëèçè ìàêñèìóìîâ îãèáàþùåé è ðåçóëüòàò äèíàìè÷åñêîãî îöåíèâàíèÿ ïîëîæåíèÿ ìàêñèìóìîâ ñ ïîìîùüþ ðàññìîòðåííîãî âûøå àëãîðèòìà íåëèíåéíîé ôèëüòðàöèè Êàëìàíà ïðåäñòàâëåíû íà ðèñ. 5. Èç ðèñóíêà âèäíî, ÷òî ðàññìàòðèâà-
åìûé ìåòîä îáåñïå÷èâàåò âûñîêóþ ðàçðåøàþùóþ ñïîñîáíîñòü (ïðèìåðíî 1 ìêì).
Ñîâìåñòíîå èñïîëüçîâàíèå èíôîðìàöèè î ïîëîæåíèè ìàêñèìóìîâ îãèáàþùåé è åå çíà÷åíèé â ìàêñèìóìàõ ïîçâîëÿåò âûäåëèòü íàèáîëåå âûðàæåííûå ïèêè îãèáàþùåé â À-ñêàíàõ è ïîëó÷èòü áîëåå ÷åòêîå ïðåäñòàâëåíèå ãðàíèö èññëåäóåìîãî îáúåêòà, êàê ýòî ïîêàçàíî íà ðèñ. 5â.
Ñðàâíåíèå ñ èñõîäíûìè äàííûìè (ñì. ðèñ. 4à) äåìîíñòðèðóåò çíà÷èòåëüíîå ïîâûøåíèå ÷åòêîñòè îòîáðàæåíèÿ ãðàíèö îáðàçöà. Îäíàêî ïîâûøåíèå ðàçðåøàþùåé ñïîñîáíîñòè ñîïðîâîæäàåòñÿ íåêîòîðûì âîçðàñòàíèåì øóìà. Âëèÿíèå øóìà ìîæíî óìåíüøèòü ïðè èñïîëüçîâàíèè äîïîëíèòåëüíûõ ìåòîäîâ âòîðè÷íîé îáðàáîòêè ïîëó÷åííîé òîìîãðàììû.
“Îïòè÷åñêèé æóðíàë”, òîì 75, ¹ 10, 2008
93
Çàêëþ÷åíèå
Ðàññìîòðåííûé ìåòîä, îñíîâàííûé íà èñïîëüçîâàíèè ñòàòèñòè÷åñêîãî ïîäõîäà è ôîðìàëèçìà ñòîõàñòè÷åñêèõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, ó÷èòûâàþùèõ ñâîéñòâà èññëåäóåìûõ ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ è àïðèîðíûå çíàíèÿ îá èññëåäóåìîé ñðåäå è åå ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè â ÿâíîé ôîðìå, ñòîõàñòè÷åñêèõ ìîäåëåé íåîäíîðîäíûõ ñðåä è íåëèíåéíîé ôèëüòðàöèè Êàëìàíà, îáåñïå÷èâàåò ïîâûøåííóþ ðàçðåøàþùóþ ñïîñîáíîñòü ïðè îáðàáîòêå ðåàëüíûõ èíòåðôåðåíöèîííûõ ñèãíàëîâ ìàëîé êîãåðåíòíîñòè, ïîëó÷àåìûõ íà âûõîäå ñèñòåìû ÎÊÒ.
Ïðåäëîæåííûé âàðèàíò ìåòîäà íà îñíîâå ïåðåêëþ÷àåìîé ìîäåëè (10) ïîçâîëÿåò ïðîâîäèòü äèíàìè÷åñêîå îöåíèâàíèå ïîëîæåíèé ëîêàëüíûõ ìàêñèìóìîâ îãèáàþùåé ñèãíàëà ïî ìåðå èõ ðåãèñòðàöèè â ïðîöåññå ñêàíèðîâàíèÿ ïî ãëóáèíå îáðàçöà è ïîâûñèòü ðàçðåøåíèå ïîëîæåíèÿ ìàêñèìóìîâ ÷àñòè÷íî ïåðåêðûâàþùèõñÿ ïèêîâ ïî ñðàâíåíèþ ñ êëàññè÷åñêèìè êðèòåðèÿìè ðàçðåøåíèÿ. Ïîýòîìó ðàññìîòðåííûé ìåòîä ìîæåò áûòü êëàññèôèöèðîâàí êàê îäèí èç íåëèíåéíûõ ìåòîäîâ ñâåðõðàçðåøåíèÿ ñ ðåãóëÿðèçàöèåé, êîòîðàÿ îáåñïå÷èâàåòñÿ âûáîðîì ïîðîãîâîãî êðèòåðèÿ äëÿ ïàðàìåòðîâ (12) èëè (14).
Ïîëó÷åííûå ýêñïåðèìåíòàëüíûå ðåçóëüòàòû ïîêàçûâàþò, ÷òî ïðåäëàãàåìûé ìåòîä ïîçâîëÿåò çíà÷èòåëüíî óëó÷øèòü ÷åòêîñòü îòîáðàæåíèÿ ñëîèñòîé ìèêðîñòðóêòóðû áèîòêàíåé â ñèñòåìàõ ÎÊÒ.
ËÈÒÅÐÀÒÓÐÀ
11. Fercher A.F., Drexler W., Hitzenberger C.K., Lasser T. Optical coherence tomography – principles and applications // Rep. Prog. Phys. 2003. V. 66. P. 239–303.
12. Tomlins P.H., Wang R.K. Theory, developments and applications of optical coherence tomography // J. Phys. D: Appl. Phys. 2005. V. 38. P. 2519–2535.
13. Ãóðîâ È.Ï. Îïòè÷åñêàÿ êîãåðåíòíàÿ òîìîãðàôèÿ: ïðèíöèïû, ïðîáëåìû è ïåðñïåêòèâû // Ïðîáëåìû êîãåðåíòíîé è íåëèíåéíîé îïòèêè / Ïîä ðåä. È.Ï. Ãóðîâà è Ñ.À. Êîçëîâà. ÑÏá.: ÑÏáÃÓ ÈÒÌÎ, 2004. Ñ. 6–30.
14. Dresel T., Hausler G., Ventzke H. Three-dimensional sensing of rough surfaces by coherence radar // Appl. Opt. 1992. V. 31. P. 919–925.
15. Kalman R.E. A new approach to linear filtering and prediction problems // Trans. ASME. 1960. V 82. P. 35– 45.
16. Gurov I., Ermolaeva E., Zakharov A. Analysis of lowcoherence interference fringes by the Kalman filtering method // JOSA A. 2004. V. 21. P. 242–251.
17. Gurov I., Volynsky M., Zakharov A. Evaluation of multilayer tissue in optical coherence tomography by the extended Kalman filtering method // Proc. SPIE. 2007. V. 6734. 67341Ð.
18. Alarousu E., Gurov I., Hast J., Myllyla R., Zakharov A. Optical coherence tomography of multilayer tissue based on the dynamical stochastic fringe processing // Proc. SPIE. 2003. V. 5149. P. 13–20.
19. Gurov I., Karpets A., Margariants N., Vorobeva E. Fullfield high-speed optical coherence tomography system for evaluating multilayer and random tissues // Proc. SPIE. 2007. V. 6618. 661807Ð.
94 “Îïòè÷åñêèé æóðíàë”, òîì 75, ¹ 10, 2008