СТРУКТУРА СОБСТВЕННЫХ ВЕКТОРОВ МАТРИЦ СОСТОЯНИЯ МНОГОКАНАЛЬНЫХ СИСТЕМ КАК ВЫРОЖДАЮЩИЙ ФАКТОР
СТРУКТУРА СОБСТВЕННЫХ ВЕКТОРОВ МАТРИЦ СОСТОЯНИЯ ...
УДК 681.5.01
СТРУКТУРА СОБСТВЕННЫХ ВЕКТОРОВ МАТРИЦ СОСТОЯНИЯ МНОГОКАНАЛЬНЫХ СИСТЕМ КАК ВЫРОЖДАЮЩИЙ ФАКТОР1
Н.А. Дударенко, А.В. Ушаков
Рассматривается задача системного вырождения динамических многоканальных систем, порождаемого структурой собственных векторов матриц состояния. Задача решается применительно к ситуациям контроля управляемости, его идентифицируемости и оценке качества по норме вектора состояния. Ключевые слова: многоканальные системы, управляемость, вырождение, идентифицируемость.
Введение. Постановка задачи Парадигма физического вырождения в ее системной интерпретации предполагает существование матрицы, которая характеризуется близостью к математическому вырождению. Если физическое вырождение некоторой системы или процесса хорошо коррелирует с математическим вырождением некоторой матрицы, то правомерно назвать эту матрицу критериальной. Термин «критериальная матрица» авторы позаимствовали из работ [1–3]. Известно [4–7], что развитие инструментария контроля вырождения критериальных матриц идет по пути «контроль изменения ранга этой матрицы – контроль изменения числа обусловленности матрицы – контроль изменения спектра функционалов вырождения этой матрицы». Каждый из перечисленных инструментов решает свою задачу, характеризуется различным уровнем функциональной связи используемого критерия вырождения с параметрами критериальной матрицы, вычислительным удобством и степенью полноты описания такого явления как вырождение. Авторы в своих исследованиях [6–11] затронули проблемы, связанные с аппаратом функционалов вырождения, которые представляют собой отношение i -го сингулярного числа критериальной матрицы системы к ее максимальному сингулярному числу. Возможности данного аппарата описаны в работах авторов [6, 7]. Основные усилия современной теории управления в задачах конструирования объектов управления и их идентификации в основном тратятся пока на формирование структуры собственных значений матриц состояния, в то время как потеря контроля над структурой собственных векторов может привести к неожиданным системным эффектам, одним из которых является вырождение. Важно повысить внимание разработчиков и исследователей к структуре собственных векторов с тем, чтобы их конкретная реализация не приводила к вырожденным системным ситуациям. В работе приводятся решения как в классе дискретных, так и непрерывных систем. Структура собственных векторов матрицы состояния объекта и проблема управляемости Проблему управляемости применительно к структуре собственных векторов матрицы состояния объекта будем решать для случая дискретного объекта, имеющего векторно-матричного описание процессов по вектору состояния в форме
1 Работа выполнена при финансовой поддержке ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009–2013 годы (соглашение №14.B37.21.0406)
52 Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики,
2012, № 5 (81)
Н.А. Дударенко, А.В. Ушаков
x(k 1) Ax(k) Bu(k) ; x(0) ,
(1.1)
где x , u – вектора состояния и управления соответственно, x Rn , u Rr ; A , B – матрицы состояния
и управления соответственно, такие, что A Rn×n , B Rn×r ; k – дискретное время, выраженное в числе интервалов дискретности длительности t , так что описание (1.1) оказывается справедливым для точек t kt непрерывного времени t .
Сделаем следующие системные предположения:
1. rangA n ,
2. r arg{1 r n} , rangB arg{1 rangB r} .
(1.2)
Введем следующее определение. Определение 1.1. Матрицей управляемости индекса v объекта управления (1.1) будем называть
матрицу, удовлетворяющую следующим условиям:
Wyv B AB Av1B , dim (Wyv n vn) .
Примечание 1.1. Очевидно, что: 1. v n в случае, когда r 1 ;
2. v 1 в случае, когда r n .
Таким образом, v удовлетворяет неравенству 1 v n .
Определение 1.2. Объект (1.1) с парой матриц ( A , B ) обладает управляемостью индекса v , если
выполняется условие
rangWyv n dim(x) .
(1.3)
Примечание 1.2. Если условие (1.3) выполняется при v n , то матрица управляемости с индексом
n не сопровождается этим индексом, и выполняется соотношение
Wyv|vn Wy B AB An1B .
(1.4)
Рассмотрим структуру собственных векторов матрицы A на предмет принадлежности столбцов
матрицы B линейным оболочкам, натянутым на собственные векторы матрицы A . В связи с этим сформулируем следующие утверждения.
Утверждение 1.1. Пусть r 1 , а матрица B есть собственный вектор матрицы A , тогда становятся справедливыми следующие положения:
1. rangWy 1 .
2. Пара матриц ( A , B ) оказывается не полностью управляемой, при этом подпространство управ-
ляемости совпадает с линейной оболочкой, натянутой на матрицу B .
Доказательство. В соответствие с определением собственного вектора матрицы, если B есть соб-
ственный вектор матрицы A , то существует такое :det(I A) 0 , что
AB B . Соотношение (1.5) порождает следующую систему равенств:
A2B AAB AB AB 2B
(1.5)
A3B AA2B A2B 2AB 3B
(1.6)
An1B An2B n1B. Подстановка (1.6) в выражение (1.4) дает
Wy B B n1B .
(1.7)
Таким образом, rangWy rangB 1, и подпространство управляемости совпало с линейной обо-
лочкой, натянутой на собственный вектор.
Примечание 1.3. n n – матрица управляемости (1.7), обладая рангом rangWy 1 , оказалась вы-
рожденной, она характеризуется бесконечным значением числа обусловленности и только одним ненулевым функционалом вырождения.
Утверждение 1.2. Пусть rangB r n , при этом столбцы матрицы B j , j 1, r есть собственные
вектора матрицы A , тогда становятся справедливыми следующие положения: 1. rangWy r n .
2. Пара матриц ( A , B ) оказывается не полностью управляемой, при этом подпространство управляемости совпадает с линейной оболочкой, натянутой на столбцы матрицы B .
Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики, 2012, № 5 (81)
53
СТРУКТУРА СОБСТВЕННЫХ ВЕКТОРОВ МАТРИЦ СОСТОЯНИЯ ...
Доказательство. Доказательство сформулированного утверждения опирается на доказательство утверждения 1.1, в соответствии с которым и положениями рассматриваемого случая матрица управляемости (1.4) по аналогии с (1.7) принимает вид
Wy B AB An1B row 1iB1 i2B2 ijB j ir Br , i 0, n 1
(1.8)
Примечание 1.4. n n – матрица управляемости (1.8), обладая рангом rangWy r n , оказалась
вырожденной, она характеризуется бесконечным значением числа обусловленности и r ненулевыми функционалами вырождения.
Ситуация коренным образом меняется, когда ранг матрицы управления B удовлетворяет условию
rang(B) r n , при этом все столбцы его являются собственными векторами матрицы A . В этом слу-
чае становится справедливым утверждение 1.3, которое приводится без доказательства.
Утверждение 1.3. Пусть rangB n , при этом столбцы матрицы B j , j 1, n суть собственные век-
тора матрицы A , тогда становятся справедливыми следующие положения:
1. Wy B .
(1.9)
2. rangWy n .
3. Пара матриц ( A , B ) оказывается полностью управляемой, при этом подпространство управ-
ляемости, совпадая с линейной оболочкой, натянутой на столбцы матрицы B , совпадает с пространством состояния объекта.
Примечание 1.5. n n – матрица управляемости (1.9), обладая рангом rangWy n , оказалась не-
вырожденной, она характеризуется n ненулевыми функционалами вырождения. Нетрудно видеть, что ключевым моментом в исследовании влияния фактора структуры собствен-
ных векторов матрицы состояния объекта A на его управляемость являются положения утверждения 1.1. Проиллюстрируем это на примере.
Пример 1.1. Покажем, что дискретный объект (1.1) с матрицами
A
0 0,16
1 1
;
B
3 0, 6
;
x
0
0 0
может быть переведен в состояние
xk
5 1
,
а
x
k
1 5
– нет.
Нетрудно видеть, что матрица B есть собственный вектор матрицы A , соответствующий собст-
венному значению 1 0, 2 . Действительно,
AB
0 0,16
1 1
3 0, 6
0, 6 0,12
0,
2
3 0, 6
.
Как следствие, матрица управляемости Wy B
AB
3 0, 6
0, 6 3 0, 2 0,12 0, 6 0,
2
.
Таким
образом,
подпространство
управляемости
есть
линейная
оболочка
L
3 0, 6
,
натянутая
на
собственный
вектор
ξ1 B . Нетрудно видеть, что вектор
x
k
5 1
принадлежит линейной оболочке
L
3 0, 6
.
Действи-
тельно,
вектор
xk
5 1
3 0, 6
5 3
.
Воспользуемся теперь рекуррентной процедурой (1.1) для вычисления управления u(k) , перево-
дящего объект из состояния
x
0
0 0
в состояние
x
k
5 1
.
В
силу
рекуррентной
процедуры
оказы-
вается справедливым соотношение
x(1)
Ax(0)
Bu(0)
Bu(0)
3 0, 6
u(0).
Нетрудно видеть, что при любом u(0) вектор x(1) будет принадлежать векторной оболочке
L
3 0, 6
,
которой
принадлежит
и
вектор
xk
5 1
,
что
позволяет
приравнять
его
к вектору
x(1)
.
54 Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики,
2012, № 5 (81)
Н.А. Дударенко, А.В. Ушаков
Соотношение
5 1
3 0, 6
u(0)
выполняется
при
u(0)
5 3
.
Таким
образом,
объект
может быть
пе-
реведен
из
нулевого
состояния
в
состояние
xk
5 1
за
один
такт
управлением
u(0)
5 3
.
Рассмотрим теперь
возможность
перевода
объекта
управления
из
состояния
x
0
0 0
в состоя-
ние
xk
1 5
L
B
3 0, 6
.
Для
вычисления
управления,
которое
должно
осуществлять
этот
перевод,
воспользуемся рекуррентной процедурой (1.1), тогда получим
x(1)
Ax(0)
Bu(0)
Bu(0)
3 0, 6
u(0)
.
Нетрудно видеть, что не существует такое u(0) , которое бы удовлетворяло условию
u(0)
arg
3 0, 6
u(0)
1 5
.
За
один
такт
перевод
из
состояния
x
0
0 0
в состояние
x
k
1 5
не-
возможен.
Перейдем в рекуррентной процедуре (1.1) ко второму такту, тогда получим
x(2) Ax(1) Bu(1) ABu(0) Bu(1) AB
B
u(0)
u(1)
0, 6 0,12
3 0, 6
u(0)
u(1)
.
Из
полученного
выражения
следует,
что
не
существует
такое
u(0)
u(1)
,
которое
бы
удовлетворяло
условию
u(0)
u(1)
arg
0, 6 0,12
3 0, 6
u(0)
u(1)
1
5
в силу необратимости матрицы управляемости
0, 6 0,12
3 0, 6
,
которая
является
матрицей
управляемости
исходного
объекта.
Объект оказался вырожденным с подпространством управляемости в виде линейной оболочки
L
B
3 0, 6
.
Примечание 1.6. В силу того, что матричные компоненты непрерывного и дискретного объектов связаны преобразованием вида «матричная функция от матрицы», относительно которого структура собственных векторов матрицы состояния является инвариантной, полученные результаты в полной мере
переносимы на случай непрерывных объектов, так что для непрерывного объекта с парой матриц (A,B)
матрица управляемости принимает вид (1.4) с точностью до замены матриц (A,B) на (A,B) .
Структура собственных векторов матрицы состояния системы и проблема качества сходящихся процессов
Проблему, вынесенную в заголовок раздела, будем решать для случая многоканальной непрерыв-
ной системы. Для исследования влияния структуры собственных векторов матрицы состояния системы
на качество сходящихся процессов свободного движения рассмотрим замкнутую многоканальную не-
прерывную систему
x (t) Fx(t); x(0) ,
(2.1)
где F Rnn – гурвицева матрица системы. Свободная составляющая системы (2.1) имеет вид x(t) eFt x(0) .
(2.2)
Переход в (2.2) к согласованным матричным и векторным нормам позволяет записать:
x(t) eFt x(0) eFt x(0) .
(2.3)
Для дальнейших исследований воспользуемся условием преобразования подобия матриц [11] и
представим матрицу F посредством диагональной n n – матрицы на основе соотношения
F MΛM1 .
(2.4)
С учетом соотношения (2.4) и свойства матричной функции от матрицы [11] компонент eFt нера-
венства (2.3) может быть представлен в виде
Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики, 2012, № 5 (81)
55
СТРУКТУРА СОБСТВЕННЫХ ВЕКТОРОВ МАТРИЦ СОСТОЯНИЯ ...
eFt MeΛt M1 M eΛt M1 M M1 eΛt .
(2.5)
Согласно определению [5], число обусловленности C{*} матрицы (*) задается соотношением
C{*} (*)
(*)1
.
Тогда соотношение (2.5) может быть представлено в форме
eFt С{M} eΛt С{M} eΛt diag eit , i 1, n С{M}eM t ,
(2.6)
где M – собственное значение матрицы F с отрицательной вещественной частью, максимально приближенное к началу координат комплексной плоскости. Подстановка (2.6) в (2.3) позволяет записать:
x(t) eFt x(0) С{M}eM t x(0) .
(2.7)
Нетрудно видеть, что соотношение (2.7) представляет собой экспоненциальное покрытие свободного движения системы по вектору состояния, представленного его нормой. Таким образом, оценка качества сходящихся процессов в системе при фиксированной структуре собственных значений может
быть получена с помощью числа C{M} обусловленности матрицы M приведения подобия или ее гло-
бального функционала JG JG{M} вырождения [6, 7], связанных соотношением JG{M} C1{M} , при
этом следует иметь в виду, что число обусловленности произвольной матрицы (*) в силу его свойств удовлетворяет неравенству
1 С{M} .
(2.8)
Известно [11], что матрица M преобразования подобия (2.4) имеет своими столбцами собственные вектора диагонализируемой матрицы F . Следовательно, качество процессов в системе напрямую связано со структурой собственных векторов матрицы состояния этой системы: в силу (2.8), если собственные вектора близки к коллинеарности, то в апериодической системе, т.е. системе с вещественными некратными собственными значениями ее матрицы состояния, возможны выбросы движения по норме ее вектора состояния, достигающей сколь угодно больших значений.
Пример 2.1. Рассмотрим две системы вида (2.1) с подобными матрицами состояния F и F ,
имеющие одинаковый спектр собственных значений: F arg{det(I F) 0}:1 2, 2 9 и
F arg{det( I F ) 0}:1 2, 2 9 . Матрицы F и F , характеризуются соответственно
спектрами собственных векторов
ξi arg Fξi iξi : ξ1 0, 707 0, 707T ,ξ2 0, 707 0, 707T ,
ξi arg F ξi iξi : ξ1 1 0T ,ξ2 1 0, 05T .
Рисунок. Кривые процессов по нормам x(t) и x (t) при x(0) x (0) 0 1T
и их экспоненциальные покрытия
56 Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики,
2012, № 5 (81)
Н.А. Дударенко, А.В. Ушаков
Нетрудно видеть, что матрицы диагонализации M и M , приводящие F и F к диагональному виду Λ diag{2; 9} , сконструированные на спектре собственных векторов, принимают вид
M
0, 0,
707 707
0, 707
0, 707
;
M
1 0
1 0, 05
.
Также
вычислим
матрицы
F
и
F
согласно (2.4):
F
5, 5
3, 5
3,5 5, 5
;
F
2
0
140
9
.
Матрицы
M
и M
характеризуются соответственно числами обу-
словленности C M 1; C M 40,025 . В силу (2.7) экспоненциальные покрытия процессов по норме
вектора состояния в системе с матрицей F и матрицей F будут существенно различаться. Проиллюст-
рируем это прямым вычислением норм x(t) и x (t) в силу соотношений x(t) eFt x(0) и
x (t) eFt x (0) соответственно, положив в них x(0) x (0) 0 1T , и их экспоненциальных покрытий
вида (2.7). Графики полученных процессов (рисунок) наглядно иллюстрируют тот факт, что отсутствие контроля за назначением структуры собственных векторов может приблизить систему к вырождению.
Структура собственных векторов матрицы состояния объекта и проблема идентифицируемости
Проблему идентифицируемости объекта управления будем решать, пользуясь определением иден-
тифицируемого объекта [12].
Определение 3.1. Объект
x (t) Ax(t); x(0)
(3.1)
называется идентифицируемым, если по измерениям координат состояния объекта можно определить матрицу системы A .
Свяжем задачу идентификации объекта (3.1) с удачностью назначения ненулевого начального со-
стояния x(0) с учетом структуры собственных векторов матрицы A . Прежде чем решать данную зада-
чу, воспользуемся определением П. Эйкоффа [12] критерия идентифицируемости объекта (3.1), опирающегося на следующее определение матрицы идентифицируемости объекта.
Определение 3.2. Матрицей идентифицируемости WI объекта, построенной на паре A, x(0) , на-
зывается матрица, сформированная в соответствии с правилом
WI x(0) Ax(0) An1x(0) .
Тогда можно сформулировать критерий идентифицируемости [12] с использованием матрицы идентифицируемости.
Определение 3.3. Критерием идентифицируемости объекта (3.1), состоящей в определении матрицы A , по измерениям его координат, является выполнение условия
rangWI rang x(0) Ax(0) An1x(0) n dim x .
(3.2)
Нетрудно видеть, что выражение (3.2) совпадает с выражением (1.4) для матрицы управляемости
линейного объекта с точностью до замены матрицы B на x(0) , матрицы A – на A . Очевидно, что все
требования к матрице B , сформулированные в предыдущем разделе, как функции геометрического спектра собственных векторов матрицы A переносятся на вектор x(0) , чтобы гарантировать невырож-
денность матрицы идентифицируемости. Таким образом, задача идентификации получает корректное
n
решение в случае, если вектор x(0) имеет представление x(0) iξi , где все i 0 , ξi – собственi 1
ные векторы матрицы A . При таком начальном состоянии возбуждаются все моды
( eit , i arg(det(I A) 0,i 1, n) объекта, и задача идентификации получает корректное решение. При
наличии хотя бы одного i 0 условие (3.2) не выполняется, матрица идентифицируемости оказывается вырожденной, при таком начальном состоянии возбуждаются не все моды объекта, а задача идентификации не получает полного решения.
Заключение
Проведенные авторами исследования показывают, что структура собственных векторов должна быть подробно исследована разработчиками системы при ее проектировании. Анализ структуры собственных векторов позволяет уже на этапе проектирования системы выявить такие сочетания ее параметров, которые могут привести к вырожденным системным ситуациям.
Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики, 2012, № 5 (81)
57
ОПТИМАЛЬНЫЙ СИНТЕЗ ДЛЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ ...
Литература
1. Sheng-Guo Wang. Robust Schur Stability and Eigenvectors of Uncertain Matrices // Proceedings of the American Control Conference. – 1997. – V. 5. – P. 3449–3454.
2. Baarda W. S-transformations and criterion matrices // Netherlands geodetic commission, 1981. – V. 5. – № 1. – 168 p.
3. Годованный П.А. Моделирование процессов нарушения проводимой политики безопасности в РВС // Сборник научных трудов НГТУ. – 2003. – № 4 (34). – С. 13–18.
4. Голуб Дж., Ван Лоун Ч. Матричные вычисления: Пер. с англ. – М.: Мир, 1999. – 548 с. 5. Wilkinson J.H. The algebraic eigenvalue problem. – Oxford: Clarendon Press, 1965. – 570 p. 6. Дударенко Н., Ушаков А. Анализ многомерных динамических систем: технология контроля вырож-
дения. – Saarbrucken: LAP LAMBERT Academic Publishing, 2011. – 232 с. 7. Дударенко Н.А., Ушаков А.В. Вырождение сложных дискретных динамических систем: проблема
контроля с помощью частотных чисел обусловленности // Научно-технический вестник СПбГУ ИТМО. – 2004. – № 14. – С. 62–66. 8. Дударенко Н.А., Ушаков А.В., Полякова М.В. Алгебраическая организация условий обобщенной синхронизируемости многоагрегатных динамических объектов // Научно-технический вестник СПбГУ ИТМО. – 2010. – № 2 (66). – С. 30–36. 9. Дударенко Н.А., Ушаков А.В., Полякова М.В. Формирование интервальных векторно-матричных модельных представлений антропокомпонентов-операторов в составе сложных динамических систем // Научно-технический вестник СПбГУ ИТМО. – 2010. – № 6 (70). – С. 32–36. 10. Дударенко Н.А., Бирюков Д.С., Ушаков А.В., Полякова М.В., Акунов Т.А. Формирование спектра сингулярных чисел квадратной матрицы простой структуры // Научно-технический вестник СПбГУ ИТМО. – 2011. – № 6 (76). – С. 53–58. 11. Дударенко Н.А., Слита О.В., Ушаков А.В. Математические основы современной теории управления: аппарат метода пространства состояний: Учебное пособие / Под ред. А.В. Ушакова. – СПб: СПбГУ ИТМО, 2009. – 325 с. 12. Эйкофф П. Основы идентификации систем управления. – М.: Мир, 1975. – 683 с.
Дударенко Наталия Александровна Ушаков Анатолий Владимирович
– Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, кандидат технических наук, доцент, dudarenko@yandex.ru
– Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, доктор технических наук, профессор, Ushakov-AVG@yandex.ru
58 Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики,
2012, № 5 (81)
УДК 681.5.01
СТРУКТУРА СОБСТВЕННЫХ ВЕКТОРОВ МАТРИЦ СОСТОЯНИЯ МНОГОКАНАЛЬНЫХ СИСТЕМ КАК ВЫРОЖДАЮЩИЙ ФАКТОР1
Н.А. Дударенко, А.В. Ушаков
Рассматривается задача системного вырождения динамических многоканальных систем, порождаемого структурой собственных векторов матриц состояния. Задача решается применительно к ситуациям контроля управляемости, его идентифицируемости и оценке качества по норме вектора состояния. Ключевые слова: многоканальные системы, управляемость, вырождение, идентифицируемость.
Введение. Постановка задачи Парадигма физического вырождения в ее системной интерпретации предполагает существование матрицы, которая характеризуется близостью к математическому вырождению. Если физическое вырождение некоторой системы или процесса хорошо коррелирует с математическим вырождением некоторой матрицы, то правомерно назвать эту матрицу критериальной. Термин «критериальная матрица» авторы позаимствовали из работ [1–3]. Известно [4–7], что развитие инструментария контроля вырождения критериальных матриц идет по пути «контроль изменения ранга этой матрицы – контроль изменения числа обусловленности матрицы – контроль изменения спектра функционалов вырождения этой матрицы». Каждый из перечисленных инструментов решает свою задачу, характеризуется различным уровнем функциональной связи используемого критерия вырождения с параметрами критериальной матрицы, вычислительным удобством и степенью полноты описания такого явления как вырождение. Авторы в своих исследованиях [6–11] затронули проблемы, связанные с аппаратом функционалов вырождения, которые представляют собой отношение i -го сингулярного числа критериальной матрицы системы к ее максимальному сингулярному числу. Возможности данного аппарата описаны в работах авторов [6, 7]. Основные усилия современной теории управления в задачах конструирования объектов управления и их идентификации в основном тратятся пока на формирование структуры собственных значений матриц состояния, в то время как потеря контроля над структурой собственных векторов может привести к неожиданным системным эффектам, одним из которых является вырождение. Важно повысить внимание разработчиков и исследователей к структуре собственных векторов с тем, чтобы их конкретная реализация не приводила к вырожденным системным ситуациям. В работе приводятся решения как в классе дискретных, так и непрерывных систем. Структура собственных векторов матрицы состояния объекта и проблема управляемости Проблему управляемости применительно к структуре собственных векторов матрицы состояния объекта будем решать для случая дискретного объекта, имеющего векторно-матричного описание процессов по вектору состояния в форме
1 Работа выполнена при финансовой поддержке ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009–2013 годы (соглашение №14.B37.21.0406)
52 Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики,
2012, № 5 (81)
Н.А. Дударенко, А.В. Ушаков
x(k 1) Ax(k) Bu(k) ; x(0) ,
(1.1)
где x , u – вектора состояния и управления соответственно, x Rn , u Rr ; A , B – матрицы состояния
и управления соответственно, такие, что A Rn×n , B Rn×r ; k – дискретное время, выраженное в числе интервалов дискретности длительности t , так что описание (1.1) оказывается справедливым для точек t kt непрерывного времени t .
Сделаем следующие системные предположения:
1. rangA n ,
2. r arg{1 r n} , rangB arg{1 rangB r} .
(1.2)
Введем следующее определение. Определение 1.1. Матрицей управляемости индекса v объекта управления (1.1) будем называть
матрицу, удовлетворяющую следующим условиям:
Wyv B AB Av1B , dim (Wyv n vn) .
Примечание 1.1. Очевидно, что: 1. v n в случае, когда r 1 ;
2. v 1 в случае, когда r n .
Таким образом, v удовлетворяет неравенству 1 v n .
Определение 1.2. Объект (1.1) с парой матриц ( A , B ) обладает управляемостью индекса v , если
выполняется условие
rangWyv n dim(x) .
(1.3)
Примечание 1.2. Если условие (1.3) выполняется при v n , то матрица управляемости с индексом
n не сопровождается этим индексом, и выполняется соотношение
Wyv|vn Wy B AB An1B .
(1.4)
Рассмотрим структуру собственных векторов матрицы A на предмет принадлежности столбцов
матрицы B линейным оболочкам, натянутым на собственные векторы матрицы A . В связи с этим сформулируем следующие утверждения.
Утверждение 1.1. Пусть r 1 , а матрица B есть собственный вектор матрицы A , тогда становятся справедливыми следующие положения:
1. rangWy 1 .
2. Пара матриц ( A , B ) оказывается не полностью управляемой, при этом подпространство управ-
ляемости совпадает с линейной оболочкой, натянутой на матрицу B .
Доказательство. В соответствие с определением собственного вектора матрицы, если B есть соб-
ственный вектор матрицы A , то существует такое :det(I A) 0 , что
AB B . Соотношение (1.5) порождает следующую систему равенств:
A2B AAB AB AB 2B
(1.5)
A3B AA2B A2B 2AB 3B
(1.6)
An1B An2B n1B. Подстановка (1.6) в выражение (1.4) дает
Wy B B n1B .
(1.7)
Таким образом, rangWy rangB 1, и подпространство управляемости совпало с линейной обо-
лочкой, натянутой на собственный вектор.
Примечание 1.3. n n – матрица управляемости (1.7), обладая рангом rangWy 1 , оказалась вы-
рожденной, она характеризуется бесконечным значением числа обусловленности и только одним ненулевым функционалом вырождения.
Утверждение 1.2. Пусть rangB r n , при этом столбцы матрицы B j , j 1, r есть собственные
вектора матрицы A , тогда становятся справедливыми следующие положения: 1. rangWy r n .
2. Пара матриц ( A , B ) оказывается не полностью управляемой, при этом подпространство управляемости совпадает с линейной оболочкой, натянутой на столбцы матрицы B .
Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики, 2012, № 5 (81)
53
СТРУКТУРА СОБСТВЕННЫХ ВЕКТОРОВ МАТРИЦ СОСТОЯНИЯ ...
Доказательство. Доказательство сформулированного утверждения опирается на доказательство утверждения 1.1, в соответствии с которым и положениями рассматриваемого случая матрица управляемости (1.4) по аналогии с (1.7) принимает вид
Wy B AB An1B row 1iB1 i2B2 ijB j ir Br , i 0, n 1
(1.8)
Примечание 1.4. n n – матрица управляемости (1.8), обладая рангом rangWy r n , оказалась
вырожденной, она характеризуется бесконечным значением числа обусловленности и r ненулевыми функционалами вырождения.
Ситуация коренным образом меняется, когда ранг матрицы управления B удовлетворяет условию
rang(B) r n , при этом все столбцы его являются собственными векторами матрицы A . В этом слу-
чае становится справедливым утверждение 1.3, которое приводится без доказательства.
Утверждение 1.3. Пусть rangB n , при этом столбцы матрицы B j , j 1, n суть собственные век-
тора матрицы A , тогда становятся справедливыми следующие положения:
1. Wy B .
(1.9)
2. rangWy n .
3. Пара матриц ( A , B ) оказывается полностью управляемой, при этом подпространство управ-
ляемости, совпадая с линейной оболочкой, натянутой на столбцы матрицы B , совпадает с пространством состояния объекта.
Примечание 1.5. n n – матрица управляемости (1.9), обладая рангом rangWy n , оказалась не-
вырожденной, она характеризуется n ненулевыми функционалами вырождения. Нетрудно видеть, что ключевым моментом в исследовании влияния фактора структуры собствен-
ных векторов матрицы состояния объекта A на его управляемость являются положения утверждения 1.1. Проиллюстрируем это на примере.
Пример 1.1. Покажем, что дискретный объект (1.1) с матрицами
A
0 0,16
1 1
;
B
3 0, 6
;
x
0
0 0
может быть переведен в состояние
xk
5 1
,
а
x
k
1 5
– нет.
Нетрудно видеть, что матрица B есть собственный вектор матрицы A , соответствующий собст-
венному значению 1 0, 2 . Действительно,
AB
0 0,16
1 1
3 0, 6
0, 6 0,12
0,
2
3 0, 6
.
Как следствие, матрица управляемости Wy B
AB
3 0, 6
0, 6 3 0, 2 0,12 0, 6 0,
2
.
Таким
образом,
подпространство
управляемости
есть
линейная
оболочка
L
3 0, 6
,
натянутая
на
собственный
вектор
ξ1 B . Нетрудно видеть, что вектор
x
k
5 1
принадлежит линейной оболочке
L
3 0, 6
.
Действи-
тельно,
вектор
xk
5 1
3 0, 6
5 3
.
Воспользуемся теперь рекуррентной процедурой (1.1) для вычисления управления u(k) , перево-
дящего объект из состояния
x
0
0 0
в состояние
x
k
5 1
.
В
силу
рекуррентной
процедуры
оказы-
вается справедливым соотношение
x(1)
Ax(0)
Bu(0)
Bu(0)
3 0, 6
u(0).
Нетрудно видеть, что при любом u(0) вектор x(1) будет принадлежать векторной оболочке
L
3 0, 6
,
которой
принадлежит
и
вектор
xk
5 1
,
что
позволяет
приравнять
его
к вектору
x(1)
.
54 Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики,
2012, № 5 (81)
Н.А. Дударенко, А.В. Ушаков
Соотношение
5 1
3 0, 6
u(0)
выполняется
при
u(0)
5 3
.
Таким
образом,
объект
может быть
пе-
реведен
из
нулевого
состояния
в
состояние
xk
5 1
за
один
такт
управлением
u(0)
5 3
.
Рассмотрим теперь
возможность
перевода
объекта
управления
из
состояния
x
0
0 0
в состоя-
ние
xk
1 5
L
B
3 0, 6
.
Для
вычисления
управления,
которое
должно
осуществлять
этот
перевод,
воспользуемся рекуррентной процедурой (1.1), тогда получим
x(1)
Ax(0)
Bu(0)
Bu(0)
3 0, 6
u(0)
.
Нетрудно видеть, что не существует такое u(0) , которое бы удовлетворяло условию
u(0)
arg
3 0, 6
u(0)
1 5
.
За
один
такт
перевод
из
состояния
x
0
0 0
в состояние
x
k
1 5
не-
возможен.
Перейдем в рекуррентной процедуре (1.1) ко второму такту, тогда получим
x(2) Ax(1) Bu(1) ABu(0) Bu(1) AB
B
u(0)
u(1)
0, 6 0,12
3 0, 6
u(0)
u(1)
.
Из
полученного
выражения
следует,
что
не
существует
такое
u(0)
u(1)
,
которое
бы
удовлетворяло
условию
u(0)
u(1)
arg
0, 6 0,12
3 0, 6
u(0)
u(1)
1
5
в силу необратимости матрицы управляемости
0, 6 0,12
3 0, 6
,
которая
является
матрицей
управляемости
исходного
объекта.
Объект оказался вырожденным с подпространством управляемости в виде линейной оболочки
L
B
3 0, 6
.
Примечание 1.6. В силу того, что матричные компоненты непрерывного и дискретного объектов связаны преобразованием вида «матричная функция от матрицы», относительно которого структура собственных векторов матрицы состояния является инвариантной, полученные результаты в полной мере
переносимы на случай непрерывных объектов, так что для непрерывного объекта с парой матриц (A,B)
матрица управляемости принимает вид (1.4) с точностью до замены матриц (A,B) на (A,B) .
Структура собственных векторов матрицы состояния системы и проблема качества сходящихся процессов
Проблему, вынесенную в заголовок раздела, будем решать для случая многоканальной непрерыв-
ной системы. Для исследования влияния структуры собственных векторов матрицы состояния системы
на качество сходящихся процессов свободного движения рассмотрим замкнутую многоканальную не-
прерывную систему
x (t) Fx(t); x(0) ,
(2.1)
где F Rnn – гурвицева матрица системы. Свободная составляющая системы (2.1) имеет вид x(t) eFt x(0) .
(2.2)
Переход в (2.2) к согласованным матричным и векторным нормам позволяет записать:
x(t) eFt x(0) eFt x(0) .
(2.3)
Для дальнейших исследований воспользуемся условием преобразования подобия матриц [11] и
представим матрицу F посредством диагональной n n – матрицы на основе соотношения
F MΛM1 .
(2.4)
С учетом соотношения (2.4) и свойства матричной функции от матрицы [11] компонент eFt нера-
венства (2.3) может быть представлен в виде
Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики, 2012, № 5 (81)
55
СТРУКТУРА СОБСТВЕННЫХ ВЕКТОРОВ МАТРИЦ СОСТОЯНИЯ ...
eFt MeΛt M1 M eΛt M1 M M1 eΛt .
(2.5)
Согласно определению [5], число обусловленности C{*} матрицы (*) задается соотношением
C{*} (*)
(*)1
.
Тогда соотношение (2.5) может быть представлено в форме
eFt С{M} eΛt С{M} eΛt diag eit , i 1, n С{M}eM t ,
(2.6)
где M – собственное значение матрицы F с отрицательной вещественной частью, максимально приближенное к началу координат комплексной плоскости. Подстановка (2.6) в (2.3) позволяет записать:
x(t) eFt x(0) С{M}eM t x(0) .
(2.7)
Нетрудно видеть, что соотношение (2.7) представляет собой экспоненциальное покрытие свободного движения системы по вектору состояния, представленного его нормой. Таким образом, оценка качества сходящихся процессов в системе при фиксированной структуре собственных значений может
быть получена с помощью числа C{M} обусловленности матрицы M приведения подобия или ее гло-
бального функционала JG JG{M} вырождения [6, 7], связанных соотношением JG{M} C1{M} , при
этом следует иметь в виду, что число обусловленности произвольной матрицы (*) в силу его свойств удовлетворяет неравенству
1 С{M} .
(2.8)
Известно [11], что матрица M преобразования подобия (2.4) имеет своими столбцами собственные вектора диагонализируемой матрицы F . Следовательно, качество процессов в системе напрямую связано со структурой собственных векторов матрицы состояния этой системы: в силу (2.8), если собственные вектора близки к коллинеарности, то в апериодической системе, т.е. системе с вещественными некратными собственными значениями ее матрицы состояния, возможны выбросы движения по норме ее вектора состояния, достигающей сколь угодно больших значений.
Пример 2.1. Рассмотрим две системы вида (2.1) с подобными матрицами состояния F и F ,
имеющие одинаковый спектр собственных значений: F arg{det(I F) 0}:1 2, 2 9 и
F arg{det( I F ) 0}:1 2, 2 9 . Матрицы F и F , характеризуются соответственно
спектрами собственных векторов
ξi arg Fξi iξi : ξ1 0, 707 0, 707T ,ξ2 0, 707 0, 707T ,
ξi arg F ξi iξi : ξ1 1 0T ,ξ2 1 0, 05T .
Рисунок. Кривые процессов по нормам x(t) и x (t) при x(0) x (0) 0 1T
и их экспоненциальные покрытия
56 Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики,
2012, № 5 (81)
Н.А. Дударенко, А.В. Ушаков
Нетрудно видеть, что матрицы диагонализации M и M , приводящие F и F к диагональному виду Λ diag{2; 9} , сконструированные на спектре собственных векторов, принимают вид
M
0, 0,
707 707
0, 707
0, 707
;
M
1 0
1 0, 05
.
Также
вычислим
матрицы
F
и
F
согласно (2.4):
F
5, 5
3, 5
3,5 5, 5
;
F
2
0
140
9
.
Матрицы
M
и M
характеризуются соответственно числами обу-
словленности C M 1; C M 40,025 . В силу (2.7) экспоненциальные покрытия процессов по норме
вектора состояния в системе с матрицей F и матрицей F будут существенно различаться. Проиллюст-
рируем это прямым вычислением норм x(t) и x (t) в силу соотношений x(t) eFt x(0) и
x (t) eFt x (0) соответственно, положив в них x(0) x (0) 0 1T , и их экспоненциальных покрытий
вида (2.7). Графики полученных процессов (рисунок) наглядно иллюстрируют тот факт, что отсутствие контроля за назначением структуры собственных векторов может приблизить систему к вырождению.
Структура собственных векторов матрицы состояния объекта и проблема идентифицируемости
Проблему идентифицируемости объекта управления будем решать, пользуясь определением иден-
тифицируемого объекта [12].
Определение 3.1. Объект
x (t) Ax(t); x(0)
(3.1)
называется идентифицируемым, если по измерениям координат состояния объекта можно определить матрицу системы A .
Свяжем задачу идентификации объекта (3.1) с удачностью назначения ненулевого начального со-
стояния x(0) с учетом структуры собственных векторов матрицы A . Прежде чем решать данную зада-
чу, воспользуемся определением П. Эйкоффа [12] критерия идентифицируемости объекта (3.1), опирающегося на следующее определение матрицы идентифицируемости объекта.
Определение 3.2. Матрицей идентифицируемости WI объекта, построенной на паре A, x(0) , на-
зывается матрица, сформированная в соответствии с правилом
WI x(0) Ax(0) An1x(0) .
Тогда можно сформулировать критерий идентифицируемости [12] с использованием матрицы идентифицируемости.
Определение 3.3. Критерием идентифицируемости объекта (3.1), состоящей в определении матрицы A , по измерениям его координат, является выполнение условия
rangWI rang x(0) Ax(0) An1x(0) n dim x .
(3.2)
Нетрудно видеть, что выражение (3.2) совпадает с выражением (1.4) для матрицы управляемости
линейного объекта с точностью до замены матрицы B на x(0) , матрицы A – на A . Очевидно, что все
требования к матрице B , сформулированные в предыдущем разделе, как функции геометрического спектра собственных векторов матрицы A переносятся на вектор x(0) , чтобы гарантировать невырож-
денность матрицы идентифицируемости. Таким образом, задача идентификации получает корректное
n
решение в случае, если вектор x(0) имеет представление x(0) iξi , где все i 0 , ξi – собственi 1
ные векторы матрицы A . При таком начальном состоянии возбуждаются все моды
( eit , i arg(det(I A) 0,i 1, n) объекта, и задача идентификации получает корректное решение. При
наличии хотя бы одного i 0 условие (3.2) не выполняется, матрица идентифицируемости оказывается вырожденной, при таком начальном состоянии возбуждаются не все моды объекта, а задача идентификации не получает полного решения.
Заключение
Проведенные авторами исследования показывают, что структура собственных векторов должна быть подробно исследована разработчиками системы при ее проектировании. Анализ структуры собственных векторов позволяет уже на этапе проектирования системы выявить такие сочетания ее параметров, которые могут привести к вырожденным системным ситуациям.
Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики, 2012, № 5 (81)
57
ОПТИМАЛЬНЫЙ СИНТЕЗ ДЛЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ ...
Литература
1. Sheng-Guo Wang. Robust Schur Stability and Eigenvectors of Uncertain Matrices // Proceedings of the American Control Conference. – 1997. – V. 5. – P. 3449–3454.
2. Baarda W. S-transformations and criterion matrices // Netherlands geodetic commission, 1981. – V. 5. – № 1. – 168 p.
3. Годованный П.А. Моделирование процессов нарушения проводимой политики безопасности в РВС // Сборник научных трудов НГТУ. – 2003. – № 4 (34). – С. 13–18.
4. Голуб Дж., Ван Лоун Ч. Матричные вычисления: Пер. с англ. – М.: Мир, 1999. – 548 с. 5. Wilkinson J.H. The algebraic eigenvalue problem. – Oxford: Clarendon Press, 1965. – 570 p. 6. Дударенко Н., Ушаков А. Анализ многомерных динамических систем: технология контроля вырож-
дения. – Saarbrucken: LAP LAMBERT Academic Publishing, 2011. – 232 с. 7. Дударенко Н.А., Ушаков А.В. Вырождение сложных дискретных динамических систем: проблема
контроля с помощью частотных чисел обусловленности // Научно-технический вестник СПбГУ ИТМО. – 2004. – № 14. – С. 62–66. 8. Дударенко Н.А., Ушаков А.В., Полякова М.В. Алгебраическая организация условий обобщенной синхронизируемости многоагрегатных динамических объектов // Научно-технический вестник СПбГУ ИТМО. – 2010. – № 2 (66). – С. 30–36. 9. Дударенко Н.А., Ушаков А.В., Полякова М.В. Формирование интервальных векторно-матричных модельных представлений антропокомпонентов-операторов в составе сложных динамических систем // Научно-технический вестник СПбГУ ИТМО. – 2010. – № 6 (70). – С. 32–36. 10. Дударенко Н.А., Бирюков Д.С., Ушаков А.В., Полякова М.В., Акунов Т.А. Формирование спектра сингулярных чисел квадратной матрицы простой структуры // Научно-технический вестник СПбГУ ИТМО. – 2011. – № 6 (76). – С. 53–58. 11. Дударенко Н.А., Слита О.В., Ушаков А.В. Математические основы современной теории управления: аппарат метода пространства состояний: Учебное пособие / Под ред. А.В. Ушакова. – СПб: СПбГУ ИТМО, 2009. – 325 с. 12. Эйкофф П. Основы идентификации систем управления. – М.: Мир, 1975. – 683 с.
Дударенко Наталия Александровна Ушаков Анатолий Владимирович
– Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, кандидат технических наук, доцент, dudarenko@yandex.ru
– Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, доктор технических наук, профессор, Ushakov-AVG@yandex.ru
58 Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики,
2012, № 5 (81)