АБЕРРАЦИОННЫЙ АНАЛИЗ КОМПОЗИЦИИ ТОНКОГО ОПТИЧЕСКОГО КОМПОНЕНТА С КОНЦЕНТРИЧЕСКИМ МЕНИСКОМ
АБЕРРАЦИОННЫЙ АНАЛИЗ КОМПОЗИЦИИ ТОНКОГО …
УДК 535.317
АБЕРРАЦИОННЫЙ АНАЛИЗ КОМПОЗИЦИИ ТОНКОГО ОПТИЧЕСКОГО КОМПОНЕНТА С КОНЦЕНТРИЧЕСКИМ МЕНИСКОМ
В.В. Ежова, В.А. Зверев, Т.В. Точилина
Показано, что в изображении, образованном оптической системой, состоящей из тонкой линзы и концентричного входному зрачку мениска конечной толщины, принципиально можно достичь плананастигматической коррекции аберраций. Однако при этом возникает проблема выбора материала линз. Подобный анализ коррекционных возможностей оптической системы выполнен и в том случае, когда тонкий компонент состоит из двух тонких линз, оптическая сила которых имеет разный знак. Ключевые слова: изображение, оптическая система, тонкий компонент, аберрация, концентрическая система, входной зрачок.
Введение Теоретическую базу композиции оптических систем, удовлетворяющих требованиям современных оптических устройств, составляют результаты исследования аберрационных свойств оптических поверхностей, отдельных линз и их сочетаний. Эти исследования определяют суть научной школы вычислительной оптики в СПб НИУ ИТМО, основы которой были заложены трудами профессора М.М. Русинова и его учеников [1–4]. Предлагаемая работа посвящена исследованию аберрационных свойств тонкого компонента с концентрическим мениском конечной толщины, цель которого определяется потребностью в развитии теории композиции оптических систем соответствующего типа и в решении задач оптимизации их параметров.
Постановка задачи Если расстояния между поверхностями сколь угодно сложной системы не являются коррекционными параметрами, в первом приближении их можно принять равными нулю. Такую систему будем называть тонким компонентом. При этом равным нулю будет и расстояние между главными плоскостями системы. Тонкий компонент можно считать простейшей структурной единицей при построении любой
6 Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики,
2012, № 6 (82)
В.В. Ежова, В.А. Зверев, Т.В. Точилина
оптической системы. В параксиальной области тонкий компонент будем характеризовать его оптической
m
силой φ. Оптическая сила тонкого компонента равна к i , где i – оптическая сила i-ой линзы i0
тонкого компонента. Параметры тонкого компонента позволяют получить апланатическую коррекцию аберраций в образованном изображении, т.е. коррекцию аберраций широких пучков лучей. Для коррекции аберраций узких пучков лучей необходим дополнительный компенсатор, в качестве которого можно применить второй тонкий компонент, расположенный на конечном расстоянии от первого. Однако известно, что главные плоскости концентрического мениска совмещены и проходят через центр кривизны поверхностей мениска. Таким образом, при конечном расстоянии между главными плоскостями тонкий компонент и концентрический мениск могут располагаться в непосредственной близости друг к другу. По этой причине важно выяснить возможность коррекции осевых и полевых аберраций в изображении, образованном такой достаточно компактной системой.
Анализ возможной коррекции аберраций в изображении, образованном оптической системой, состоящей из тонкого компонента и концентрического мениска конечной толщины
При нормировке величин n 1 , 1 , β1 1 выражения, определяющие коэффициенты сфери-
ческой аберрации, комы и астигматизма третьего порядка изображения, образованного тонким компонентом, можно представить в следующем виде:
SI fкP ,
SII z pP fкW ,
(1)
SIII
1 fк
z
2 p
P
2zpW
fк ,
(2)
где P и W – основные параметры тонкого компонента; z p – расстояние от осевой точки тонкого
компонента до осевой точки входного зрачка.
Положив z p 0 , получаем SI fкP ; SII fкW ; SIII fк . При P 0 и W 0 независимо
от положения входного зрачка имеем SI 0 ; SII 0 ; SIII fк . Пусть SII 0 и SIII 0 . Тогда из соотношений (1) и (2) находим, что
P
fк zp
2
0,
W
fк zp
.
Вполне очевидно, что чем меньше абсолютная величина параметров P и W , тем больше долж-
на быть абсолютная величина отрезка z p , необходимая для компенсации остаточных комы и астигма-
тизма изображения. В общем случае выражение (2) можно рассматривать как квадратное уравнение относительно переменной величины z p . Решая это уравнение, получаем
zp
W P
fк
1
1
P W 2
1
SIII fк
.
(3)
Это
уравнение
имеет
вещественное
решение
при
соблюдении
условия
1
P W 2
1
SIII fк
0.
При
SIII 0 это условие принимает вид: W 2 P 0 . Основные параметры P и W одиночной тонкой линзы в воздухе взаимосвязаны соотношением [5]:
P
P0
1
1
n 12
W
1
22
n
2
,
(4)
где
P0
n 4n 1 42 nn 12
.
Это
соотношение можно преобразовать к виду
W 2
P
=
1
n 12
W
1 2
n
2
4
n2 n
12
.
Условию
W2 P 0
соответствует
выражение
W
1 2
n
2
1 4
n n
1 2 1
n2
.
Отсюда
следует,
что
величина
параметра
W
должна удовлетворять усло-
Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики, 2012, № 6 (82)
7
АБЕРРАЦИОННЫЙ АНАЛИЗ КОМПОЗИЦИИ ТОНКОГО …
виям
W1
n n 1
;
W2
n2 n 1
.
При
значениях
параметра
W , удовлетворяющих этим условиям, и при
расстоянии до входного зрачка, определяемом формулой (3), в изображении, образованном тонкой линзой в воздухе, будут отсутствовать кома и астигматизм третьего порядка. Однако при этом параметр
P 0 ; следовательно, не будет равен нулю и коэффициент SI , определяющий остаточную сферическую аберрацию изображения.
Дополним тонкий компонент мениском, поверхности которого концентричны центру входного
зрачка, расположенному в переднем фокусе тонкого компонента, как показано на рисунке. Главные
плоскости концентрического мениска совмещены и проходят через центр кривизны его поверхностей. В
результате получаем оптическую систему, у которой оптическая сила и задний фокальный отрезок равны
м к мкd ;
sF
мd
,
где d – расстояние от задней главной точки мениска до осевой точки тонкого компонента.
Вх. зр.
φк
C F'
Рисунок. Схема оптики объектива
При d fк оптическая сила системы м к м к , а задний фокальный отрезок
sF
м
f 1 f м . При
n 1 ,
1,
β1
1
и
zp
fк
f
имеем соотношения
SI SIм hк Pк ,
SII SIIм Hк Pк JWк SIIм f Pк Wк ,
SIII
SIII м
f 2 hк
Pк
2
f 2 W hк
f,
где hк sF f f м . В рассматриваемом случае выражения, определяющие коэффициенты SIIм и
SIIIм , удобно представить в виде
SIIм
2
hi Pi
i 1
βi1 βi i1 i
;
SIII м
2
hi Pi
i 1
βi1 i1
βi i
2
.
При входном зрачке, расположенном в центре кривизны поверхностей концентрического мениска,
углы β1 β2 β3 . Вполне очевидно, что при этом SIIм SIIIм 0 . Тогда SI SIм hк Pк ,
(5)
SII f Pк Wк ,
(6)
SIII
f 2 hк
Pк
2Wк
f .
(7)
8 Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики,
2012, № 6 (82)
В.В. Ежова, В.А. Зверев, Т.В. Точилина
Из выражений (6) и (7) следует, что при SII 0 параметр Pк Wк , а коэффициент
SIII
f
1
f hк
Wк
f
1
f hк
Pк
.
Пусть
SI
0 . Тогда
Pк
SIм hк
.
При
этом
коэффициент
SIII
f
1
f hк2
SIм
.
(8)
Концентрический мениск определим углами осевого виртуального [6] (нулевого) луча с оптиче-
ской осью в виде
1 0
n1 1
2 м d dм n2 nм
3 м
n3 1.
Толщина мениска dм r1 r2 . Приближенно можно принять r2 fк f . Тогда r1 dм f .
Применив формулу
ni1i1 nii
hi
ni1 ni ri
, находим значение угла
м :
м
h1
nм 1 nм r1
nм 1 nм
1. dм 1
Угол м h1м f м .
Оптическая сила мениска
(9)
м
nм
1
1 r1
1 r2
nм 12
nм r1r2
dм
nм 1 dм2 . nм dм 1
(10)
При этом
м
nм 1 dм nм dм 1
nм nм
1
м
.
Коэффициент SIм определим выражением
SIм h1P1 h2 P2 f P1 hк P2 ,
(11)
где
P
2
;
hк
sF
f 1
f м
f
nм dм
nм 1 dм
.
(12)
Полученные соотношения позволяют выражение (11) преобразовать к виду
SIм
f
nм nм3
1
dм dм
13
nм dм2
nм3 nм
1 1
dм
1
.
(13)
Вполне очевидно, что при dм 0 коэффициент SIм 0 . При этом в соответствии с формулой (8)
коэффициент SIII f , что и следовало ожидать. Кривизна поверхности изображения, образованного
системой тонкого компонента с концентрическим мениском, определяется коэффициентом SIV , равным SIV SIVм SIVк . В рассматриваемом случае коэффициенты SIVм и SIVк удобно определить формулами
SIVм
2 ni1 ni i1 ni1ni ri
;
SIVк
m i i1 ni
. Используя полученные соотношения, находим, что
SIVм
м . При этом
SIV
м
m i 1
i ni
.
Приближенно принимаем
m i i1 ni
к nк
nк
. Тогда
SIV
м
м nк
. Применив формулу (10) и выра-
зив линейные величины в масштабе фокусного расстояния системы, т.е. при
1 , при
m i i1 ni
полу-
чаем
Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики, 2012, № 6 (82)
9
АБЕРРАЦИОННЫЙ АНАЛИЗ КОМПОЗИЦИИ ТОНКОГО …
dм
nм 1 nм
SIV SIV
.
(14)
Полученные соотношения позволяют представить выражения (9), (12) и (13) в виде
м
SIV
nм 1
nм
;
(15)
hк SIV ;
(16)
SIм
nм
nм 12
SIV
3
nм3 1 SIV nм nм
2 12
nм3 1 nм2
SIV nм
1
,
(17)
при этом в соответствии с формулой (8)
SIII
1
1
SIм SIV
2
.
(18)
Из выражения (18) следует, что коэффициент SIII 0 при условии
1 SIV 2 SIм 0 .
Для
тонкого
компонента
в
виде
одиночной
линзы
параметр
1 nк
.
Пусть
nк
nм .
При
этом
вы-
ражения (14)–(18) принимают вид
dм
nм SIV
nм SIV
1
1
;
м SIV 1 ;
hк
1
nм
SIV
nм
1
;
SIм
nм
nм 12
SIV
13
nм nм
1
SI2V
nм2 nм2
1
SIV
;
SIII
1
nм3
nм 12
SIV 13 1 nм SIV 12
1
nм
nм
1 SIV
1 SIV .
Легко убедиться, что при SIV 0 коэффициент SIII 0 при nм 1,905 .
В табл. 1 для ряда значений коэффициента SIV приведены численные значения показателя пре-
ломления материала мениска и тонкой линзы в воздухе при SIII 0 .
SIV 0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25
nм
1,9052
1,8313
1,7606
1,6932
1,6290
1,5678
Таблица 1. Зависимость nм nм SIV при nк nм
Из табл. 1 следует, что для построения оптической системы объектива рассматриваемой конструкции при плананастигматической коррекции аберраций в видимой области спектра необходимо решить проблему выбора материала линз. При неполной коррекции кривизны поверхности изображения построение такой системы вполне возможно.
В соответствии с формулой (5) коэффициент SI 0 при значении параметра
Pк
SIм hк
1
SI2м
SIV
.
(19)
Из формулы (6) следует, что коэффициент SII 0 при Pк Wк . В общем случае взаимосвязь этих
параметров с основными параметрами тонкого компонента определяется выражениями [5]
Pк 3 Pк 4 2 Wк 2 ,
(20)
Wк 2 Wк .
(21)
Здесь угол 1 , а угол м . Параметр Pк тонкой линзы в воздухе определяется выражением (4), которое можно представить в виде
10 Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики,
2012, № 6 (82)
В.В. Ежова, В.А. Зверев, Т.В. Точилина
Pк P0к a Wк W0к 2 ,
(22)
где
P0к
nк 4nк 1 42 nк nк 12
,
W0к
1,
22 nк
a
nк 2 nк nк 12
.
Заменив параметр
Pк
в выражении (20) выражением (22), при
Pк
1
nк SIм
nк SIV
1
,
где
nк
nм ,
получаем квадратное уравнение относительно величины параметра Wк . Подставив значение параметра
Wк , полученное в результате решения этого уравнения, в выражение (21), найдем значение параметра
Wк . В общем случае Wк Pк . Тогда, дополнив рассматриваемую систему такой же, получим симмет-
ричную систему, формирующую изображение с поперечным увеличением V 1 . Для перехода от симметричной системы к системе, формирующей изображение бесконечно удаленного предмета, можно применить метод сохранения углов излома луча осевого пучка, предложенный в [7]. В результате получим значения конструктивных параметров оптической системы объектива типа «Планар», которые можно рассматривать в качестве исходных для последующей оптимизации по критерию качества изображения.
Если одиночную положительную линзу тонкого компонента дополнить тонкой отрицательной
линзой, то жесткая взаимосвязь основных параметров тонкого компонента Pк и Wк нарушается. В
этом случае коррекция первичной комы изображения, сформированного образованной системой, вполне
возможна.
Подставив выражение (17) в формулу (18), получаем
SIII
1
nм
nм 12
SIV 3 1 SIV 2
nм3 1 SIV
nм2 nм 12
1 nм 1 SIV 1 SIV 2
.
(23)
Для системы двух тонких линз из кронового и флинтового стекол, имеющих средние значения по-
казателя преломления и коэффициента дисперсии, в общем случае в первом приближении величину π
можно принять равной 0,7. При этом в соответствии с выражением (23) при SIV 0 коэффициент
SIII 0 при nм 2,37 . При применении кроновых стекол марок СТК и флинтовых стекол марок ТФ ве-
личину π можно принять равной 0,55. В этом случае при SIV 0 коэффициент SIII 0 при nм 1,98 . В
оптических системах, предназначенных для работы в инфракрасной области спектра, применяют мате-
риалы, показатели преломления которых могут принимать значения от n 1, 4 (например, флюорит) до
n 4 (например, германий). При этом параметр π может оказаться равным примерно 0,4. В табл. 2 при
трех значениях параметра π для ряда значений коэффициента SIV приведены численные значения пока-
зателя преломления материала мениска при SIII 0 .
π SIV 0 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25
0,70 2,380 2,240 2,100 1,970 1,841 1,716 0,55 1,970 1,841 1,716 1,596 1,482 1,370 0,40 1,596 1,480 1,370 1,274 1,185 1,110
Таблица 2. Зависимость nм nм SIV ,
Приведенные в табл. 2 величины могут служить ориентиром для выбора материала концентрического мениска по показателю преломления nм при соответствующих значениях параметра π и коэффициента SIV . Выполнив подстановки в соотношение (14), находим толщину dм мениска. Формула (17) позволяет вычислить значение коэффициента SIм . Применив формулу (19), можем определить значение параметра Pк , а следовательно, и параметра Wк Pк . Решив систему уравнений (20) и (21), находим зна-
чения основных параметров Pк и Wк , которые позволяют оценить требуемую сложность конструкции тонкого компонента и вычислить его конструктивные параметры.
Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики, 2012, № 6 (82)
11
МОДЕРНИЗИРОВАННЫЙ КОМПЛЕКС СИНТЕЗА И ВОССТАНОВЛЕНИЯ …
Заключение
Выполненные исследования позволили показать возможность коррекции аберраций в изображении, образованном оптической системой, состоящей из тонкого компонента и концентрического мениска конечной толщины, а числовые исследования подтвердили такую возможность. Применив полученные аналитические соотношения, можно определить параметры рассматриваемой системы. Получена оптическая система объектива с вынесенным входным зрачком при телецентрическом ходе главных лучей в пространстве изображений. Показано, что при SI 0 и SII 0 значение коэффициента SIII не зависит от положения входного зрачка. В связи с этим в частном случае входной зрачок можно совместить, например, с первой поверхностью мениска.
Литература
1. Русинов М.М. Композиция оптических систем. – Л.: Машиностроение, Ленингр. отделение, 1989. – 383 с.
2. Зверев В.А. Идеи композиции как принцип построения рациональной конструкции оптической системы // Научно-технический вестник СПб ГИТМО (ТУ). – 2002. – Вып. 5. – С. 56–71.
3. Грамматин А.П., Демидова Е.А., Зверев В.А., Романова Г.Э. Аберрационные свойства оптической системы из двух отражающих поверхностей сферической формы с компенсатором // Оптический журнал. – 2004. – № 4. – С. 11–15.
4. Бронштейн И.Г., Лившиц И.Л., Kim Young-Gi, Kim Tae-Young, Jung Phil-Ho. Выбор оптической схемы и расчет малогабаритных объективов для мобильных телефонов // Оптический журнал. – 2009. – Т. 76. – № 5. – С. 25–31.
5. Слюсарев Г.Г. Методы расчета оптических систем. – Л.: Машиностроение, Ленингр. отделение, 1969. – 672 с.
6. Зверев В.А. Основы геометрической оптики. – СПб: СПб ГИТМО (ТУ), 2002. – 218 с. 7. Русинов М.М. Техническая оптика: Учебное пособие для вузов. – Л.: Машиностроение, Ленингр. от-
деление, 1979. – 488 с.
Ежова Василиса Викторовна Зверев Виктор Алексеевич Точилина Татьяна Вячеславовна
– Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, аспирант, evv_foist@mail.ru
– Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, доктор технических наук, профессор, post_vaz@rambler.ru
– Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, кандидат технических наук, доцент, tvtochilina@mail.ru
12 Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики,
2012, № 6 (82)
УДК 535.317
АБЕРРАЦИОННЫЙ АНАЛИЗ КОМПОЗИЦИИ ТОНКОГО ОПТИЧЕСКОГО КОМПОНЕНТА С КОНЦЕНТРИЧЕСКИМ МЕНИСКОМ
В.В. Ежова, В.А. Зверев, Т.В. Точилина
Показано, что в изображении, образованном оптической системой, состоящей из тонкой линзы и концентричного входному зрачку мениска конечной толщины, принципиально можно достичь плананастигматической коррекции аберраций. Однако при этом возникает проблема выбора материала линз. Подобный анализ коррекционных возможностей оптической системы выполнен и в том случае, когда тонкий компонент состоит из двух тонких линз, оптическая сила которых имеет разный знак. Ключевые слова: изображение, оптическая система, тонкий компонент, аберрация, концентрическая система, входной зрачок.
Введение Теоретическую базу композиции оптических систем, удовлетворяющих требованиям современных оптических устройств, составляют результаты исследования аберрационных свойств оптических поверхностей, отдельных линз и их сочетаний. Эти исследования определяют суть научной школы вычислительной оптики в СПб НИУ ИТМО, основы которой были заложены трудами профессора М.М. Русинова и его учеников [1–4]. Предлагаемая работа посвящена исследованию аберрационных свойств тонкого компонента с концентрическим мениском конечной толщины, цель которого определяется потребностью в развитии теории композиции оптических систем соответствующего типа и в решении задач оптимизации их параметров.
Постановка задачи Если расстояния между поверхностями сколь угодно сложной системы не являются коррекционными параметрами, в первом приближении их можно принять равными нулю. Такую систему будем называть тонким компонентом. При этом равным нулю будет и расстояние между главными плоскостями системы. Тонкий компонент можно считать простейшей структурной единицей при построении любой
6 Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики,
2012, № 6 (82)
В.В. Ежова, В.А. Зверев, Т.В. Точилина
оптической системы. В параксиальной области тонкий компонент будем характеризовать его оптической
m
силой φ. Оптическая сила тонкого компонента равна к i , где i – оптическая сила i-ой линзы i0
тонкого компонента. Параметры тонкого компонента позволяют получить апланатическую коррекцию аберраций в образованном изображении, т.е. коррекцию аберраций широких пучков лучей. Для коррекции аберраций узких пучков лучей необходим дополнительный компенсатор, в качестве которого можно применить второй тонкий компонент, расположенный на конечном расстоянии от первого. Однако известно, что главные плоскости концентрического мениска совмещены и проходят через центр кривизны поверхностей мениска. Таким образом, при конечном расстоянии между главными плоскостями тонкий компонент и концентрический мениск могут располагаться в непосредственной близости друг к другу. По этой причине важно выяснить возможность коррекции осевых и полевых аберраций в изображении, образованном такой достаточно компактной системой.
Анализ возможной коррекции аберраций в изображении, образованном оптической системой, состоящей из тонкого компонента и концентрического мениска конечной толщины
При нормировке величин n 1 , 1 , β1 1 выражения, определяющие коэффициенты сфери-
ческой аберрации, комы и астигматизма третьего порядка изображения, образованного тонким компонентом, можно представить в следующем виде:
SI fкP ,
SII z pP fкW ,
(1)
SIII
1 fк
z
2 p
P
2zpW
fк ,
(2)
где P и W – основные параметры тонкого компонента; z p – расстояние от осевой точки тонкого
компонента до осевой точки входного зрачка.
Положив z p 0 , получаем SI fкP ; SII fкW ; SIII fк . При P 0 и W 0 независимо
от положения входного зрачка имеем SI 0 ; SII 0 ; SIII fк . Пусть SII 0 и SIII 0 . Тогда из соотношений (1) и (2) находим, что
P
fк zp
2
0,
W
fк zp
.
Вполне очевидно, что чем меньше абсолютная величина параметров P и W , тем больше долж-
на быть абсолютная величина отрезка z p , необходимая для компенсации остаточных комы и астигма-
тизма изображения. В общем случае выражение (2) можно рассматривать как квадратное уравнение относительно переменной величины z p . Решая это уравнение, получаем
zp
W P
fк
1
1
P W 2
1
SIII fк
.
(3)
Это
уравнение
имеет
вещественное
решение
при
соблюдении
условия
1
P W 2
1
SIII fк
0.
При
SIII 0 это условие принимает вид: W 2 P 0 . Основные параметры P и W одиночной тонкой линзы в воздухе взаимосвязаны соотношением [5]:
P
P0
1
1
n 12
W
1
22
n
2
,
(4)
где
P0
n 4n 1 42 nn 12
.
Это
соотношение можно преобразовать к виду
W 2
P
=
1
n 12
W
1 2
n
2
4
n2 n
12
.
Условию
W2 P 0
соответствует
выражение
W
1 2
n
2
1 4
n n
1 2 1
n2
.
Отсюда
следует,
что
величина
параметра
W
должна удовлетворять усло-
Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики, 2012, № 6 (82)
7
АБЕРРАЦИОННЫЙ АНАЛИЗ КОМПОЗИЦИИ ТОНКОГО …
виям
W1
n n 1
;
W2
n2 n 1
.
При
значениях
параметра
W , удовлетворяющих этим условиям, и при
расстоянии до входного зрачка, определяемом формулой (3), в изображении, образованном тонкой линзой в воздухе, будут отсутствовать кома и астигматизм третьего порядка. Однако при этом параметр
P 0 ; следовательно, не будет равен нулю и коэффициент SI , определяющий остаточную сферическую аберрацию изображения.
Дополним тонкий компонент мениском, поверхности которого концентричны центру входного
зрачка, расположенному в переднем фокусе тонкого компонента, как показано на рисунке. Главные
плоскости концентрического мениска совмещены и проходят через центр кривизны его поверхностей. В
результате получаем оптическую систему, у которой оптическая сила и задний фокальный отрезок равны
м к мкd ;
sF
мd
,
где d – расстояние от задней главной точки мениска до осевой точки тонкого компонента.
Вх. зр.
φк
C F'
Рисунок. Схема оптики объектива
При d fк оптическая сила системы м к м к , а задний фокальный отрезок
sF
м
f 1 f м . При
n 1 ,
1,
β1
1
и
zp
fк
f
имеем соотношения
SI SIм hк Pк ,
SII SIIм Hк Pк JWк SIIм f Pк Wк ,
SIII
SIII м
f 2 hк
Pк
2
f 2 W hк
f,
где hк sF f f м . В рассматриваемом случае выражения, определяющие коэффициенты SIIм и
SIIIм , удобно представить в виде
SIIм
2
hi Pi
i 1
βi1 βi i1 i
;
SIII м
2
hi Pi
i 1
βi1 i1
βi i
2
.
При входном зрачке, расположенном в центре кривизны поверхностей концентрического мениска,
углы β1 β2 β3 . Вполне очевидно, что при этом SIIм SIIIм 0 . Тогда SI SIм hк Pк ,
(5)
SII f Pк Wк ,
(6)
SIII
f 2 hк
Pк
2Wк
f .
(7)
8 Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики,
2012, № 6 (82)
В.В. Ежова, В.А. Зверев, Т.В. Точилина
Из выражений (6) и (7) следует, что при SII 0 параметр Pк Wк , а коэффициент
SIII
f
1
f hк
Wк
f
1
f hк
Pк
.
Пусть
SI
0 . Тогда
Pк
SIм hк
.
При
этом
коэффициент
SIII
f
1
f hк2
SIм
.
(8)
Концентрический мениск определим углами осевого виртуального [6] (нулевого) луча с оптиче-
ской осью в виде
1 0
n1 1
2 м d dм n2 nм
3 м
n3 1.
Толщина мениска dм r1 r2 . Приближенно можно принять r2 fк f . Тогда r1 dм f .
Применив формулу
ni1i1 nii
hi
ni1 ni ri
, находим значение угла
м :
м
h1
nм 1 nм r1
nм 1 nм
1. dм 1
Угол м h1м f м .
Оптическая сила мениска
(9)
м
nм
1
1 r1
1 r2
nм 12
nм r1r2
dм
nм 1 dм2 . nм dм 1
(10)
При этом
м
nм 1 dм nм dм 1
nм nм
1
м
.
Коэффициент SIм определим выражением
SIм h1P1 h2 P2 f P1 hк P2 ,
(11)
где
P
2
;
hк
sF
f 1
f м
f
nм dм
nм 1 dм
.
(12)
Полученные соотношения позволяют выражение (11) преобразовать к виду
SIм
f
nм nм3
1
dм dм
13
nм dм2
nм3 nм
1 1
dм
1
.
(13)
Вполне очевидно, что при dм 0 коэффициент SIм 0 . При этом в соответствии с формулой (8)
коэффициент SIII f , что и следовало ожидать. Кривизна поверхности изображения, образованного
системой тонкого компонента с концентрическим мениском, определяется коэффициентом SIV , равным SIV SIVм SIVк . В рассматриваемом случае коэффициенты SIVм и SIVк удобно определить формулами
SIVм
2 ni1 ni i1 ni1ni ri
;
SIVк
m i i1 ni
. Используя полученные соотношения, находим, что
SIVм
м . При этом
SIV
м
m i 1
i ni
.
Приближенно принимаем
m i i1 ni
к nк
nк
. Тогда
SIV
м
м nк
. Применив формулу (10) и выра-
зив линейные величины в масштабе фокусного расстояния системы, т.е. при
1 , при
m i i1 ni
полу-
чаем
Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики, 2012, № 6 (82)
9
АБЕРРАЦИОННЫЙ АНАЛИЗ КОМПОЗИЦИИ ТОНКОГО …
dм
nм 1 nм
SIV SIV
.
(14)
Полученные соотношения позволяют представить выражения (9), (12) и (13) в виде
м
SIV
nм 1
nм
;
(15)
hк SIV ;
(16)
SIм
nм
nм 12
SIV
3
nм3 1 SIV nм nм
2 12
nм3 1 nм2
SIV nм
1
,
(17)
при этом в соответствии с формулой (8)
SIII
1
1
SIм SIV
2
.
(18)
Из выражения (18) следует, что коэффициент SIII 0 при условии
1 SIV 2 SIм 0 .
Для
тонкого
компонента
в
виде
одиночной
линзы
параметр
1 nк
.
Пусть
nк
nм .
При
этом
вы-
ражения (14)–(18) принимают вид
dм
nм SIV
nм SIV
1
1
;
м SIV 1 ;
hк
1
nм
SIV
nм
1
;
SIм
nм
nм 12
SIV
13
nм nм
1
SI2V
nм2 nм2
1
SIV
;
SIII
1
nм3
nм 12
SIV 13 1 nм SIV 12
1
nм
nм
1 SIV
1 SIV .
Легко убедиться, что при SIV 0 коэффициент SIII 0 при nм 1,905 .
В табл. 1 для ряда значений коэффициента SIV приведены численные значения показателя пре-
ломления материала мениска и тонкой линзы в воздухе при SIII 0 .
SIV 0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25
nм
1,9052
1,8313
1,7606
1,6932
1,6290
1,5678
Таблица 1. Зависимость nм nм SIV при nк nм
Из табл. 1 следует, что для построения оптической системы объектива рассматриваемой конструкции при плананастигматической коррекции аберраций в видимой области спектра необходимо решить проблему выбора материала линз. При неполной коррекции кривизны поверхности изображения построение такой системы вполне возможно.
В соответствии с формулой (5) коэффициент SI 0 при значении параметра
Pк
SIм hк
1
SI2м
SIV
.
(19)
Из формулы (6) следует, что коэффициент SII 0 при Pк Wк . В общем случае взаимосвязь этих
параметров с основными параметрами тонкого компонента определяется выражениями [5]
Pк 3 Pк 4 2 Wк 2 ,
(20)
Wк 2 Wк .
(21)
Здесь угол 1 , а угол м . Параметр Pк тонкой линзы в воздухе определяется выражением (4), которое можно представить в виде
10 Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики,
2012, № 6 (82)
В.В. Ежова, В.А. Зверев, Т.В. Точилина
Pк P0к a Wк W0к 2 ,
(22)
где
P0к
nк 4nк 1 42 nк nк 12
,
W0к
1,
22 nк
a
nк 2 nк nк 12
.
Заменив параметр
Pк
в выражении (20) выражением (22), при
Pк
1
nк SIм
nк SIV
1
,
где
nк
nм ,
получаем квадратное уравнение относительно величины параметра Wк . Подставив значение параметра
Wк , полученное в результате решения этого уравнения, в выражение (21), найдем значение параметра
Wк . В общем случае Wк Pк . Тогда, дополнив рассматриваемую систему такой же, получим симмет-
ричную систему, формирующую изображение с поперечным увеличением V 1 . Для перехода от симметричной системы к системе, формирующей изображение бесконечно удаленного предмета, можно применить метод сохранения углов излома луча осевого пучка, предложенный в [7]. В результате получим значения конструктивных параметров оптической системы объектива типа «Планар», которые можно рассматривать в качестве исходных для последующей оптимизации по критерию качества изображения.
Если одиночную положительную линзу тонкого компонента дополнить тонкой отрицательной
линзой, то жесткая взаимосвязь основных параметров тонкого компонента Pк и Wк нарушается. В
этом случае коррекция первичной комы изображения, сформированного образованной системой, вполне
возможна.
Подставив выражение (17) в формулу (18), получаем
SIII
1
nм
nм 12
SIV 3 1 SIV 2
nм3 1 SIV
nм2 nм 12
1 nм 1 SIV 1 SIV 2
.
(23)
Для системы двух тонких линз из кронового и флинтового стекол, имеющих средние значения по-
казателя преломления и коэффициента дисперсии, в общем случае в первом приближении величину π
можно принять равной 0,7. При этом в соответствии с выражением (23) при SIV 0 коэффициент
SIII 0 при nм 2,37 . При применении кроновых стекол марок СТК и флинтовых стекол марок ТФ ве-
личину π можно принять равной 0,55. В этом случае при SIV 0 коэффициент SIII 0 при nм 1,98 . В
оптических системах, предназначенных для работы в инфракрасной области спектра, применяют мате-
риалы, показатели преломления которых могут принимать значения от n 1, 4 (например, флюорит) до
n 4 (например, германий). При этом параметр π может оказаться равным примерно 0,4. В табл. 2 при
трех значениях параметра π для ряда значений коэффициента SIV приведены численные значения пока-
зателя преломления материала мениска при SIII 0 .
π SIV 0 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25
0,70 2,380 2,240 2,100 1,970 1,841 1,716 0,55 1,970 1,841 1,716 1,596 1,482 1,370 0,40 1,596 1,480 1,370 1,274 1,185 1,110
Таблица 2. Зависимость nм nм SIV ,
Приведенные в табл. 2 величины могут служить ориентиром для выбора материала концентрического мениска по показателю преломления nм при соответствующих значениях параметра π и коэффициента SIV . Выполнив подстановки в соотношение (14), находим толщину dм мениска. Формула (17) позволяет вычислить значение коэффициента SIм . Применив формулу (19), можем определить значение параметра Pк , а следовательно, и параметра Wк Pк . Решив систему уравнений (20) и (21), находим зна-
чения основных параметров Pк и Wк , которые позволяют оценить требуемую сложность конструкции тонкого компонента и вычислить его конструктивные параметры.
Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики, 2012, № 6 (82)
11
МОДЕРНИЗИРОВАННЫЙ КОМПЛЕКС СИНТЕЗА И ВОССТАНОВЛЕНИЯ …
Заключение
Выполненные исследования позволили показать возможность коррекции аберраций в изображении, образованном оптической системой, состоящей из тонкого компонента и концентрического мениска конечной толщины, а числовые исследования подтвердили такую возможность. Применив полученные аналитические соотношения, можно определить параметры рассматриваемой системы. Получена оптическая система объектива с вынесенным входным зрачком при телецентрическом ходе главных лучей в пространстве изображений. Показано, что при SI 0 и SII 0 значение коэффициента SIII не зависит от положения входного зрачка. В связи с этим в частном случае входной зрачок можно совместить, например, с первой поверхностью мениска.
Литература
1. Русинов М.М. Композиция оптических систем. – Л.: Машиностроение, Ленингр. отделение, 1989. – 383 с.
2. Зверев В.А. Идеи композиции как принцип построения рациональной конструкции оптической системы // Научно-технический вестник СПб ГИТМО (ТУ). – 2002. – Вып. 5. – С. 56–71.
3. Грамматин А.П., Демидова Е.А., Зверев В.А., Романова Г.Э. Аберрационные свойства оптической системы из двух отражающих поверхностей сферической формы с компенсатором // Оптический журнал. – 2004. – № 4. – С. 11–15.
4. Бронштейн И.Г., Лившиц И.Л., Kim Young-Gi, Kim Tae-Young, Jung Phil-Ho. Выбор оптической схемы и расчет малогабаритных объективов для мобильных телефонов // Оптический журнал. – 2009. – Т. 76. – № 5. – С. 25–31.
5. Слюсарев Г.Г. Методы расчета оптических систем. – Л.: Машиностроение, Ленингр. отделение, 1969. – 672 с.
6. Зверев В.А. Основы геометрической оптики. – СПб: СПб ГИТМО (ТУ), 2002. – 218 с. 7. Русинов М.М. Техническая оптика: Учебное пособие для вузов. – Л.: Машиностроение, Ленингр. от-
деление, 1979. – 488 с.
Ежова Василиса Викторовна Зверев Виктор Алексеевич Точилина Татьяна Вячеславовна
– Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, аспирант, evv_foist@mail.ru
– Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, доктор технических наук, профессор, post_vaz@rambler.ru
– Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, кандидат технических наук, доцент, tvtochilina@mail.ru
12 Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики,
2012, № 6 (82)