Например, Бобцов

АБЕРРАЦИОННЫЙ АНАЛИЗ КОМПОЗИЦИИ ТОНКОГО ОПТИЧЕСКОГО КОМПОНЕНТА С КОНЦЕНТРИЧЕСКИМ МЕНИСКОМ

АБЕРРАЦИОННЫЙ АНАЛИЗ КОМПОЗИЦИИ ТОНКОГО …
УДК 535.317
АБЕРРАЦИОННЫЙ АНАЛИЗ КОМПОЗИЦИИ ТОНКОГО ОПТИЧЕСКОГО КОМПОНЕНТА С КОНЦЕНТРИЧЕСКИМ МЕНИСКОМ
В.В. Ежова, В.А. Зверев, Т.В. Точилина
Показано, что в изображении, образованном оптической системой, состоящей из тонкой линзы и концентричного входному зрачку мениска конечной толщины, принципиально можно достичь плананастигматической коррекции аберраций. Однако при этом возникает проблема выбора материала линз. Подобный анализ коррекционных возможностей оптической системы выполнен и в том случае, когда тонкий компонент состоит из двух тонких линз, оптическая сила которых имеет разный знак. Ключевые слова: изображение, оптическая система, тонкий компонент, аберрация, концентрическая система, входной зрачок.
Введение Теоретическую базу композиции оптических систем, удовлетворяющих требованиям современных оптических устройств, составляют результаты исследования аберрационных свойств оптических поверхностей, отдельных линз и их сочетаний. Эти исследования определяют суть научной школы вычислительной оптики в СПб НИУ ИТМО, основы которой были заложены трудами профессора М.М. Русинова и его учеников [1–4]. Предлагаемая работа посвящена исследованию аберрационных свойств тонкого компонента с концентрическим мениском конечной толщины, цель которого определяется потребностью в развитии теории композиции оптических систем соответствующего типа и в решении задач оптимизации их параметров.
Постановка задачи Если расстояния между поверхностями сколь угодно сложной системы не являются коррекционными параметрами, в первом приближении их можно принять равными нулю. Такую систему будем называть тонким компонентом. При этом равным нулю будет и расстояние между главными плоскостями системы. Тонкий компонент можно считать простейшей структурной единицей при построении любой
6 Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики,
2012, № 6 (82)

В.В. Ежова, В.А. Зверев, Т.В. Точилина

оптической системы. В параксиальной области тонкий компонент будем характеризовать его оптической
m
силой φ. Оптическая сила тонкого компонента равна к  i , где i – оптическая сила i-ой линзы i0
тонкого компонента. Параметры тонкого компонента позволяют получить апланатическую коррекцию аберраций в образованном изображении, т.е. коррекцию аберраций широких пучков лучей. Для коррекции аберраций узких пучков лучей необходим дополнительный компенсатор, в качестве которого можно применить второй тонкий компонент, расположенный на конечном расстоянии от первого. Однако известно, что главные плоскости концентрического мениска совмещены и проходят через центр кривизны поверхностей мениска. Таким образом, при конечном расстоянии между главными плоскостями тонкий компонент и концентрический мениск могут располагаться в непосредственной близости друг к другу. По этой причине важно выяснить возможность коррекции осевых и полевых аберраций в изображении, образованном такой достаточно компактной системой.
Анализ возможной коррекции аберраций в изображении, образованном оптической системой, состоящей из тонкого компонента и концентрического мениска конечной толщины

При нормировке величин n  1 ,   1 , β1  1 выражения, определяющие коэффициенты сфери-
ческой аберрации, комы и астигматизма третьего порядка изображения, образованного тонким компонентом, можно представить в следующем виде:

SI  fкP ,

SII  z pP  fкW ,

(1)

SIII



 



1 fк

  

z

2 p

P

 2zpW



fк ,

(2)

где P и W – основные параметры тонкого компонента; z p – расстояние от осевой точки тонкого

компонента до осевой точки входного зрачка.

Положив z p  0 , получаем SI  fкP ; SII  fкW ; SIII  fк . При P  0 и W  0 независимо

от положения входного зрачка имеем SI  0 ; SII  0 ; SIII  fк . Пусть SII  0 и SIII  0 . Тогда из соотношений (1) и (2) находим, что

P

  

fк zp

2 

 0,

W





fк zp

.

Вполне очевидно, что чем меньше абсолютная величина параметров P и W , тем больше долж-

на быть абсолютная величина отрезка z p , необходимая для компенсации остаточных комы и астигма-

тизма изображения. В общем случае выражение (2) можно рассматривать как квадратное уравнение относительно переменной величины z p . Решая это уравнение, получаем

zp

W   P



fк

1 



1

P W 2

1  

SIII fк

  

  

.

(3)

Это

уравнение

имеет

вещественное

решение

при

соблюдении

условия

1

P W 2

1  

SIII fк

  



0.

При

SIII  0 это условие принимает вид: W 2  P  0 . Основные параметры P и W одиночной тонкой линзы в воздухе взаимосвязаны соотношением [5]:

P



P0



 1  

1
n 12

 

 

W



 



1
22

n



  

2

,

(4)

где

P0



n 4n 1 42  nn 12

.

Это

соотношение можно преобразовать к виду

W 2

 P

=

1
n 12

 

W





1 2

n

2 



4



n2 n

12

.

Условию

W2  P  0

соответствует

выражение

 

W



1 2

n

2 



1 4

 

n n

 1 2 1 

n2

.

Отсюда

следует,

что

величина

параметра

W

должна удовлетворять усло-

Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики, 2012, № 6 (82)

7

АБЕРРАЦИОННЫЙ АНАЛИЗ КОМПОЗИЦИИ ТОНКОГО …

виям

W1



n n 1

;

W2





n2 n 1

.

При

значениях

параметра

W , удовлетворяющих этим условиям, и при

расстоянии до входного зрачка, определяемом формулой (3), в изображении, образованном тонкой линзой в воздухе, будут отсутствовать кома и астигматизм третьего порядка. Однако при этом параметр

P  0 ; следовательно, не будет равен нулю и коэффициент SI , определяющий остаточную сферическую аберрацию изображения.

Дополним тонкий компонент мениском, поверхности которого концентричны центру входного

зрачка, расположенному в переднем фокусе тонкого компонента, как показано на рисунке. Главные

плоскости концентрического мениска совмещены и проходят через центр кривизны его поверхностей. В

результате получаем оптическую систему, у которой оптическая сила и задний фокальный отрезок равны

  м  к  мкd ;

sF 



 мd 


,

где d – расстояние от задней главной точки мениска до осевой точки тонкого компонента.

Вх. зр.

φк

C F'

Рисунок. Схема оптики объектива

При d  fк оптическая сила системы   м  к  м  к , а задний фокальный отрезок

sF 







м 





f 1 f м  . При

n  1 ,

  1,

β1

1

и

zp

  fк

f

имеем соотношения

SI  SIм  hк Pк ,

SII  SIIм  Hк Pк  JWк  SIIм  f  Pк Wк  ,

SIII



SIII м



f 2 hк



2

f 2 W hк



f,

где hк  sF   f  f м  . В рассматриваемом случае выражения, определяющие коэффициенты SIIм и

SIIIм , удобно представить в виде

SIIм



2
hi Pi
i 1

βi1  βi i1  i

;

SIII м



2
hi Pi
i 1

  

βi1 i1

 

βi i

2  

.

При входном зрачке, расположенном в центре кривизны поверхностей концентрического мениска,

углы β1  β2  β3 . Вполне очевидно, что при этом SIIм  SIIIм  0 . Тогда SI  SIм  hк Pк ,

(5)

SII   f  Pк Wк  ,

(6)

SIII



f 2 hк

 Pк



2Wк





f .

(7)

8 Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики,
2012, № 6 (82)

В.В. Ежова, В.А. Зверев, Т.В. Точилина

Из выражений (6) и (7) следует, что при SII  0 параметр Pк  Wк , а коэффициент

SIII



f



1



  

f hк

Wк 

 



f



1



  

f hк

  



 

.

Пусть

SI

 0 . Тогда







  

SIм hк

 

.

При

этом

коэффициент



SIII



f



 1



 

f hк2

 

SIм

 

.

(8)

Концентрический мениск определим углами осевого виртуального [6] (нулевого) луча с оптиче-

ской осью в виде

1  0

n1  1

2  м d  dм n2  nм

3  м

n3  1.

Толщина мениска dм  r1  r2 . Приближенно можно принять r2  fк   f  . Тогда r1  dм  f  .

Применив формулу

ni1i1  nii

 hi

ni1  ni ri

, находим значение угла

м :

м



h1

nм 1 nм r1



nм 1 nм

1. dм 1

Угол м  h1м  f м .

Оптическая сила мениска

(9)

м

 nм



1

  

1 r1

1  r2

  





nм 12
nм r1r2





nм 1 dм2 . nм dм 1

(10)

При этом

м



nм 1 dм nм dм 1



nм  nм

1



м

.

Коэффициент SIм определим выражением

SIм  h1P1  h2 P2  f P1  hк P2 ,

(11)

где

P



 

 

2 



;





sF 



f 1

f м  

f



nм  dм
nм 1 dм



.

(12)

Полученные соотношения позволяют выражение (11) преобразовать к виду

SIм



f



nм  nм3

1



dм dм 

13

 nм  dм2 



nм3 nм

 

1 1



dм

1


.

(13)

Вполне очевидно, что при dм  0 коэффициент SIм  0 . При этом в соответствии с формулой (8)

коэффициент SIII  f  , что и следовало ожидать. Кривизна поверхности изображения, образованного

системой тонкого компонента с концентрическим мениском, определяется коэффициентом SIV , равным SIV  SIVм  SIVк . В рассматриваемом случае коэффициенты SIVм и SIVк удобно определить формулами

 SIVм



2 ni1  ni i1 ni1ni ri

;

SIVк



m i i1 ni

. Используя полученные соотношения, находим, что

SIVм

 м . При этом

SIV



м



m i 1

i ni

.

Приближенно принимаем

m i i1 ni



к nк



 nк

. Тогда

SIV



м



м nк

. Применив формулу (10) и выра-

зив линейные величины в масштабе фокусного расстояния системы, т.е. при

  1 , при

m i i1 ni



полу-

чаем

Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики, 2012, № 6 (82)

9

АБЕРРАЦИОННЫЙ АНАЛИЗ КОМПОЗИЦИИ ТОНКОГО …





nм 1 nм

 SIV  SIV

    

.

(14)

Полученные соотношения позволяют представить выражения (9), (12) и (13) в виде

м



SIV



nм 1


;

(15)

hк  SIV    ;

(16)

SIм




nм 12

 SIV

 3



nм3 1  SIV nм nм

 2 12



nм3 1 nм2

SIV nм

 1

,

(17)

при этом в соответствии с формулой (8)

SIII



1



1



SIм   SIV

2

.

(18)

Из выражения (18) следует, что коэффициент SIII  0 при условии

1   SIV 2  SIм  0 .

Для

тонкого

компонента

в

виде

одиночной

линзы

параметр



1 nк

.

Пусть



 nм .

При

этом

вы-

ражения (14)–(18) принимают вид





nм SIV
nм  SIV

1
1

;

м  SIV 1 ;





1



 SIV


1

;

SIм




nм 12

 SIV

 13



nм  nм

1

SI2V



nм2  nм2

1

SIV

;

SIII

1

nм3
nм 12

 SIV 13 1 nм  SIV 12



1




nм 

1 SIV

1 SIV .

Легко убедиться, что при SIV  0 коэффициент SIII  0 при nм  1,905 .

В табл. 1 для ряда значений коэффициента SIV приведены численные значения показателя пре-

ломления материала мениска и тонкой линзы в воздухе при SIII  0 .

SIV 0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25



1,9052

1,8313

1,7606

1,6932

1,6290

1,5678

Таблица 1. Зависимость nм  nм  SIV  при nк  nм

Из табл. 1 следует, что для построения оптической системы объектива рассматриваемой конструкции при плананастигматической коррекции аберраций в видимой области спектра необходимо решить проблему выбора материала линз. При неполной коррекции кривизны поверхности изображения построение такой системы вполне возможно.

В соответствии с формулой (5) коэффициент SI  0 при значении параметра







SIм hк





1



SI2м 

SIV

.

(19)

Из формулы (6) следует, что коэффициент SII  0 при Pк  Wк . В общем случае взаимосвязь этих

параметров с основными параметрами тонкого компонента определяется выражениями [5]

Pк    3 Pк  4   2 Wк      2      ,

(20)

Wк    2 Wк        .

(21)

Здесь угол   1 , а угол   м . Параметр Pк тонкой линзы в воздухе определяется выражением (4), которое можно представить в виде

10 Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики,
2012, № 6 (82)

В.В. Ежова, В.А. Зверев, Т.В. Точилина

 Pк  P0к  a Wк  W0к 2 ,

(22)

где

P0к



nк 4nк 1 42  nк nк 12

,

W0к



1,
22  nк 

a



nк 2  nк  nк 12

.

Заменив параметр

Pк

в выражении (20) выражением (22), при





1

nк SIм
nк  SIV

1

,

где



 nм ,

получаем квадратное уравнение относительно величины параметра Wк . Подставив значение параметра
Wк , полученное в результате решения этого уравнения, в выражение (21), найдем значение параметра
Wк . В общем случае Wк  Pк . Тогда, дополнив рассматриваемую систему такой же, получим симмет-
ричную систему, формирующую изображение с поперечным увеличением V  1 . Для перехода от симметричной системы к системе, формирующей изображение бесконечно удаленного предмета, можно применить метод сохранения углов излома луча осевого пучка, предложенный в [7]. В результате получим значения конструктивных параметров оптической системы объектива типа «Планар», которые можно рассматривать в качестве исходных для последующей оптимизации по критерию качества изображения.
Если одиночную положительную линзу тонкого компонента дополнить тонкой отрицательной

линзой, то жесткая взаимосвязь основных параметров тонкого компонента Pк и Wк нарушается. В

этом случае коррекция первичной комы изображения, сформированного образованной системой, вполне

возможна.

Подставив выражение (17) в формулу (18), получаем

SIII

1


nм 12

  SIV 3 1   SIV 2



nм3 1   SIV
nм2 nм 12

1 nм 1   SIV 1   SIV 2



.

(23)

Для системы двух тонких линз из кронового и флинтового стекол, имеющих средние значения по-

казателя преломления и коэффициента дисперсии, в общем случае в первом приближении величину π

можно принять равной 0,7. При этом в соответствии с выражением (23) при SIV  0 коэффициент

SIII  0 при nм  2,37 . При применении кроновых стекол марок СТК и флинтовых стекол марок ТФ ве-

личину π можно принять равной 0,55. В этом случае при SIV  0 коэффициент SIII  0 при nм  1,98 . В

оптических системах, предназначенных для работы в инфракрасной области спектра, применяют мате-

риалы, показатели преломления которых могут принимать значения от n  1, 4 (например, флюорит) до

n  4 (например, германий). При этом параметр π может оказаться равным примерно 0,4. В табл. 2 при

трех значениях параметра π для ряда значений коэффициента SIV приведены численные значения пока-

зателя преломления материала мениска при SIII  0 .

π SIV 0 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25
0,70 2,380 2,240 2,100 1,970 1,841 1,716 0,55 1,970 1,841 1,716 1,596 1,482 1,370 0,40 1,596 1,480 1,370 1,274 1,185 1,110

Таблица 2. Зависимость nм  nм  SIV , 

Приведенные в табл. 2 величины могут служить ориентиром для выбора материала концентрического мениска по показателю преломления nм при соответствующих значениях параметра π и коэффициента SIV . Выполнив подстановки в соотношение (14), находим толщину dм мениска. Формула (17) позволяет вычислить значение коэффициента SIм . Применив формулу (19), можем определить значение параметра Pк , а следовательно, и параметра Wк  Pк . Решив систему уравнений (20) и (21), находим зна-
чения основных параметров Pк и Wк , которые позволяют оценить требуемую сложность конструкции тонкого компонента и вычислить его конструктивные параметры.

Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики, 2012, № 6 (82)

11

МОДЕРНИЗИРОВАННЫЙ КОМПЛЕКС СИНТЕЗА И ВОССТАНОВЛЕНИЯ …

Заключение
Выполненные исследования позволили показать возможность коррекции аберраций в изображении, образованном оптической системой, состоящей из тонкого компонента и концентрического мениска конечной толщины, а числовые исследования подтвердили такую возможность. Применив полученные аналитические соотношения, можно определить параметры рассматриваемой системы. Получена оптическая система объектива с вынесенным входным зрачком при телецентрическом ходе главных лучей в пространстве изображений. Показано, что при SI  0 и SII  0 значение коэффициента SIII не зависит от положения входного зрачка. В связи с этим в частном случае входной зрачок можно совместить, например, с первой поверхностью мениска.
Литература
1. Русинов М.М. Композиция оптических систем. – Л.: Машиностроение, Ленингр. отделение, 1989. – 383 с.
2. Зверев В.А. Идеи композиции как принцип построения рациональной конструкции оптической системы // Научно-технический вестник СПб ГИТМО (ТУ). – 2002. – Вып. 5. – С. 56–71.
3. Грамматин А.П., Демидова Е.А., Зверев В.А., Романова Г.Э. Аберрационные свойства оптической системы из двух отражающих поверхностей сферической формы с компенсатором // Оптический журнал. – 2004. – № 4. – С. 11–15.
4. Бронштейн И.Г., Лившиц И.Л., Kim Young-Gi, Kim Tae-Young, Jung Phil-Ho. Выбор оптической схемы и расчет малогабаритных объективов для мобильных телефонов // Оптический журнал. – 2009. – Т. 76. – № 5. – С. 25–31.
5. Слюсарев Г.Г. Методы расчета оптических систем. – Л.: Машиностроение, Ленингр. отделение, 1969. – 672 с.
6. Зверев В.А. Основы геометрической оптики. – СПб: СПб ГИТМО (ТУ), 2002. – 218 с. 7. Русинов М.М. Техническая оптика: Учебное пособие для вузов. – Л.: Машиностроение, Ленингр. от-
деление, 1979. – 488 с.

Ежова Василиса Викторовна Зверев Виктор Алексеевич Точилина Татьяна Вячеславовна

– Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, аспирант, evv_foist@mail.ru
– Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, доктор технических наук, профессор, post_vaz@rambler.ru
– Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, кандидат технических наук, доцент, tvtochilina@mail.ru

12 Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики,
2012, № 6 (82)