АНАЛИЗ РОБАСТНОСТИ НЕАДАПТИВНОЙ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ ЭЛЕКТРОПРИВОДА C ВАРИАЦИЯМИ СТРУКТУРЫ И ПАРАМЕТРОВ
АНАЛИЗ РОБАСТНОСТИ НЕАДАПТИВНОЙ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ …
3 АНАЛИЗ И СИНТЕЗ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ
УДК 681.5.11
АНАЛИЗ РОБАСТНОСТИ НЕАДАПТИВНОЙ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ ЭЛЕКТРОПРИВОДА C ВАРИАЦИЯМИ СТРУКТУРЫ И ПАРАМЕТРОВ
А.А. Абдуллин, В.Н. Дроздов
Рассматриваются численные методы анализа робастности свойства устойчивости линейной неадаптивной системы управления электроприводов при заданных количественных оценках вариаций модели объекта. Описывается алгоритм процедуры оценки, иллюстрированный примером. Предложенный метод анализа робастности гарантирует работоспособность реальной системы. Ключевые слова: электропривод, неадаптивная система управления, робастность, свойство устойчивости.
Введение
В практике электропривода адаптивное управление не получило широкого распространения. Как правило, используются системы управления с фиксированными параметрами и структурой, настройка которых если и производится, то эпизодически усилиями операторов [1–3]. В качестве исходных данных для проектирования регулятора с фиксированными параметрами и структурой используются математическая модель объекта управления (ОУ), модель внешних воздействий и требования определенного качества системы. Математические модели физических объектов, естественно, отличаются от идеальных моделей, применемых в качестве исходных данных для синтеза регулятора. Возникает вопрос о сохранении некоторых желаемых свойств, прежде всего, свойства устойчивости, при вариациях модели ОУ в системе с рассчитанным регулятором [4]. В развитие положений работы [4] в [5] определяется робастность системы как способность сохранять некоторое свойство системы при известных количественных оценках вариаций математической модели. В практике проектирования регуляторов систем управления электроприводом обычно пренебрегают известными малыми постоянными времени. Пределы изменения параметров физических объектов, как правило, также известны. В связи с этим вполне правомерно ставить вопрос об исследовании робастности систем управления электроприводом. В настоящее время нет единой теории исследования робастности систем [6], по этой причине, на взгляд авторов, можно рассматривать любые подходы к проблеме. В настоящей работе предлагаются легко реализуемые численные методы исследования робастности систем управления электроприводом с фиксированным регулятором.
Постановка задачи
Линейная модель состояния электропривода с нагрузкой, в том числе упругой, имеет стандартный
вид:
x A(q)x B(q)u ,
(1)
здесь x Rn – вектор состояния, включающий в общем случае переменные состояния модели внешнего воздействия при реализации изодромного (грубого) управления; u – скалярное управляющее воздейст-
вие; q Rr ,q q0 q – вектор параметров, претерпевающий вариацию q ; A(q) – матрица состояния n n ; B(q) – матрица управления n 1 .
Выделим медленные, xМ Rn1 , и быстрые, xБ Rn2 , переменные вектора состояния x ,
n1 n2 n , и преобразуем (1) к виду
x M AM (q)xM A12 (q)xБ BM (q)u, x Б A21(q)xM AБ (q)xБ BБ (q)u.
(2)
Медленная и быстрая составляющие вектора x представляются в виде
xM CMx, xБ CБx ,
(3)
где матрица СМ имеет размерность n1 n , а матрица СБ – размерность n2 n . В общем случае управ-
ляющее воздействие может воздействовать как на быстрые, так и на медленные составляющие, как это
отмечено в (2). Такая ситуация характерна для векторного управляющего воздействия.
Множество собственных чисел Бi ,i 1, n2 матрицы AБ (q) лежит значительно левее множества
собственных чисел Mj , j 1, n1 матрицы AM (q) на комплексной плоскости, так что выполняется не-
равенство min(mod(Re(Бi ))) 10 max(mod(Re(Mj ))) .
(4)
40 Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики,
2012, № 6 (82)
А.А. Абдуллин, В.Н. Дроздов
Коэффициент 10 в последнем неравенстве принят из следующих соображений. В инженерной
практике принято считать, что если значения каких-либо величин различаются не менее чем на порядок,
то это различие существенное.
В этом случае быстрые движения xБ после любого возмущения затухают за короткие промежутки
времени, так что в течение основных промежутков времени можно считать x Б 0 , при этом второе
уравнение в (2) преобразуется к виду
0 A21(q)xM AБ (q)xБ BБ (q)u .
(5)
Матрица AБ (q) является гурвицевой, поэтому она обратима, тогда из (5) находим
xБ
A
1 Б
(q)(A
21
(q)xM
BБ (q)u)
.
(6)
Подставив (6) в первое уравнение (2), получим редуцированную модель ОУ в виде
x M AR (q)xM BR (q)u,
где
AR
(q)
AM
(q)
A12
(q)
A
1 Б
(q) A 21 (q),
BR
(q)
BM
(q)
A12
(q)A
1 Б
(q)BБ
(q)
.
В пользу редуцирования моделей объектов можно привести следующие соображения [5, 6]. Во-
первых, в распоряжении проектировщика никогда нет модели, абсолютно точно описывающей поведе-
ние объекта. При получении модели всегда, вольно или невольно, приходится принимать какие-то допу-
щения, в том числе, пренебрегать быстрыми, с точки зрения разработчика, процессами в объекте, и надо
быть уверенным, что подобные допущения не приведут к значительным неприятностям. Синтез регуля-
тора для редуцированной модели с последующей проверкой свойств системы с полной моделью дает
уверенность в том, что спроектированный регулятор обеспечит желаемые свойства системы при управ-
лении реальным объектом. Вторая причина заключается в том, что параметры регулятора, синтезирован-
ного для модели, с существенно различающимися темпами собственных движений могут отличаться на
несколько порядков. Цифровая реализация таких регуляторов может встретить определенные трудности.
Кроме того, с упрощенными моделями работать значительно легче, чем с моделями высокого порядка.
Положив в редуцированной модели номинальное (медианное) значение вектора параметров
q q0 , получим идеализированную расчетную модель ОУ
x M ARxM BRu,
(7)
где AR AR (q) qq0 ; BR BR (q) qq0 .
Для линейного стационарного объекта (7) синтезируется регулятор, например, реализующий алго-
ритм модального управления
u KxM .
(8)
Матрица K выбирается таким образом, чтобы обеспечить желаемые собственные числа матрице
состояния F замкнутой системы:
x M FMxM ,
(9)
где FM AM BMK .
Желаемые собственные числа задаются обычно в виде корней характеристического уравнения ка-
кого-либо эталонного фильтра. В качестве такого фильтра часто выбирают фильтр Бесселя соответст-
вующего порядка с полосой пропускания ω. Заметим, что полоса пропускания эталонного фильтра опре-
деляет быстродействие системы (9).
В действительности закон управления (8) используется для управления объектом (1), отличаю-
щимся от объекта (7), для которого проектировался этот закон. Возникает задача оценки отличия свойств
объекта (1), замкнутого регулятором (8), от свойств объекта (7), замкнутого регулятором (8). Насколько
оправдываются наши надежды на сохранение свойств в первой системе, заложенные при проектирова-
нии второй системы?
Исследование робастности замкнутой системы
Замкнем объект (1) регулятором (8), в результате получим
x A(q)x B(q)KxM
или, учитывая (3),
x A(q)x B(q)KCMx .
(10)
Обозначим
F(q) A(q) B(q)KCM .
Ожидается, что спектр F(q0 ) i (q0 ) : det[i (q0 )I F(q0 ) 0],i 1, n собственных значений
матрицы F(q0 ) является объединением спектров матриц AБ (q0 ) и FM
Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики, 2012, № 6 (82)
41
АНАЛИЗ РОБАСТНОСТИ НЕАДАПТИВНОЙ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ …
F(q0 ) AБ (q0 ) FM .
(11)
В действительности эти ожидания не оправдываются, и возникают два вопроса. Во-первых, оце-
нить степень искажения (11) и выявить условия, при которых сохраняется допущение о разделении дви-
жений в системе (10) на быстрые и медленные. Во-вторых, выяснить, сохраняется ли свойство устойчи-
вости системы (10) при изменении параметров q в заданных пределах, и оценить изменение степени
устойчивости в этих условиях. Предлагается следующая процедура исследования робастности свойства устойчивости в системе
(10). Строятся траектории собственных чисел матрицы FM системы (9) при изменении полосы пропус-
кания ω эталонного фильтра, с ростом ω собственные числа перемещаются влево на комплексной плоскости, удаляясь от границы устойчивости. При тех же условиях строятся траектории собственных чисел
матрицы F(q0 ) системы (10). Очевидно, подмножества Mj , j 1, n1 и Бi ,i 1, n2 множества собст-
венных чисел матрицы F(q0 ) с ростом ω сближаются. Определяется такое максимальное значение ωmax , при котором еще выполняется условие (4), т.е. остается справедливым разделение переменных состояния системы на быстрые и медленные. Наложение траекторий собственных чисел матрицы FM на траекто-
рии подмножества Mj , j 1, n1 множества собственных чисел матрицы F(q0 ) позволяет оценить эво-
люцию степени устойчивости сингулярно возмущенной системы (10) при изменениях полосы пропускания эталонного фильтра, задающего динамические свойства проектируемой системы.
После установления значения ωmax выбирается полоса пропускания ω0 эталонного фильтра, на-
пример, из условий обеспечения заданного быстродействия системы, при выполнении неравенства
ω0 ωmax .
В этом случае обеспечивается робастность относительно свойства устойчивости сингулярно возмущенной системы (10) с номинальными значениями параметров.
Теперь можно обратиться к исследованию робастности относительно свойства устойчивости системы (10) при изменении параметров q в известных пределах. Здесь также можно воспользоваться по-
строением траекторий собственных чисел матрицы F(q) при изменении отдельных переменных вектора
q. Однако быстрый и надежный результат дает применение теоремы Харитонова [6, 7]. Согласно этой
теореме, в пространстве Rr параметров строится прямоугольный параллелепипед, ограничивающий область изменения параметров. Координаты центра параллелепипеда задаются номинальными значениями параметров, координаты углов параллелепипеда определяются заданными пределами изменения параметров [6, 7]. Координаты углов этого параллелепипеда называются угловой реализацией вектора пара-
метров. Вычисляются собственные числа матрицы F(q) при всех угловых реализациях вектора парамет-
ров. Если все эти собственные числа лежат в левой полуплоскости плоскости корней, то система (10) робастна относительно свойства устойчивости. Нанеся собственные числа матрицы F(q) на комплекс-
ную плоскость при всех угловых реализациях вектора параметров, можем оценить степень устойчивости системы (10) при вариациях ее параметров.
В случае невыполнения условий теоремы Харитонова необходимо рассчитывать новые параметры закона управления (9). Единственным переменным параметром в исходных данных на расчет матрицы K в рассматриваемой постановке задачи является полоса пропускания эталонного фильтра.
Закон управления (8) предполагает наличие датчиков для всех медленных переменных вектора состояния объекта. Использование стационарного наблюдателя неизмеряемых переменных в законе управления не вносит принципиальных изменений в процедуру анализа робастности параметрически и сингулярно возмущенного объекта.
Пример
Анализ робастности неадаптивной системы управления электропривода рассмотрим на примере электромеханической системы (ЭМС), которая функционально содержит три основных узла: механизм (Мх), представленный двухмассовой расчетной схемой; электромеханический преобразователь энергии (ЭМП или электрическая машина); управляемый преобразователь (УП) электрической энергии. Структурная схема такой системы представлена на рис. 1.
Вектор состояния ЭМС, представленной на рис. 1, имеет вид
x 0 M 1 M12 2 2 .
Учитывая значения моментов инерции механизма, можно предположить, что постоянная времени УП и электрическая постоянная времени ЭМП незначительны по отношению к постоянной времени механизма. Следовательно, векторы быстрых и медленных переменных состояния принимают вид
42 Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики,
2012, № 6 (82)
А.А. Абдуллин, В.Н. Дроздов
xБ 0 M ,
xМ 1 M12 2 2 .
Полагая равными нулю малые постоянные времени, получим упрощенную ЭМС, структурная схема которой представлена на рис. 2.
УП ЭМП
u Kпр 0 М
Тпрр+1
Тср+1
1 1 J1р
C12 1 2 р М12 J2р
Мх
1 2 р
Рис. 1. Структурная схема ЭМС: J1=6600 кг·м2 – момент инерции первой массы; J2=197300 кг·м2 – момент
инерции второй массы; С12=8,62·108 механической характеристики ЭМП;
Н·м/рад – коэффициент упругости; β=2,9·104 Н·м·с/рад – жесткость Te=1,6·10-4 c – электрическая постоянная времени фазной обмотки
ЭМП; Kпр=0,026 рад/(В·с) – пропорциональный коэффициент УП; Tпр=2·10-4 с – постоянная времени УП
uа
М
1 1 J1р
C12 1 2 1 2
р М12 J2р
р
Рис. 2. Структурная схема упрощенной ЭМС
При синтезе регулятора, реализующего алгоритм модального управления (8) упрощенной ЭМС, для расчета коэффициентов матрицы K использовался эталонный фильтр Бесселя четвертого порядка.
На рис. 3 представлены корни матрицы состояния упрощенной и исходной замкнутых систем.
200 200
100 100
Im()
Im()
00
–100
–100
–200 –8000 –7000 –6000 –5000 –4000 –3000
Re()
–200 –400
–300
–200 –100 Re()
Рис. 3. Корни матрицы состояния упрощенной (o) и исходной (*) замкнутых систем
200 200
100 100
Im()
00
–100
–100
–200 –8000 –7000 –6000 –5000 –4000 –3000 Re()
–200 –600
–400
–200
Re()
Рис. 4. Корни матрицы состояния замкнутой системы с измененными параметрами
0 0
Im()
Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики, 2012, № 6 (82)
43
СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ДАННЫХ С АКСЕЛЕРОМЕТРОВ …
Здесь полоса пропускания эталонного фильтра Бесселя принимает значение 150 рад/с, при этом выполняется условие (4). Дальнейшее увеличение полосы пропускания нарушает это условие. Из рис. 3 можно заключить, что упрощение структуры ОУ за счет принятых допущений не сказывается на работоспособности исходной (реальной) системы. При этом значение степени устойчивости составляет =74 с-1. При анализе параметрической чувствительности значения моментов инерции J1, J2 и коэффициента упругости C12 отклонялись на величину ±15%. Следовательно, имеем восемь угловых состояний прямоугольного параллелепипеда, ограничивающего область изменения параметров. На рис. 4 представлены корни матрицы состояния замкнутой системы в восьми угловых состояниях, т.е. 48 корней для системы шестого порядка. По корням, представленным на рис. 4, можно сделать вывод, что система робастна относительно свойства устойчивости, при этом значение степени устойчивости составляет =48 с-1.
Заключение
Предлагаемая процедура исследования робастности неадаптивных систем управления электроприводом, без затруднений реализуемая с использованием современных средств вычислительной математики, доступна, на взгляд авторов, широкому кругу инженеров.
Вне поля зрения в работе остался вопрос исследования робастности системы при функциональных возмущениях, основной составной частью которых в системах управления электроприводом является момент сухого трения. Этот вопрос требует отдельного рассмотрения.
Литература
1. Балковой А.П., Цаценкин В.К. Прецизионный электропривод с вентильными двигателями. – М.: МЭИ, 2010. – 322 с.
2. Толмачев В.А., Антипова И.В., Фомин С.Г. Математическая модель следящего электропривода оси опорно-поворотного устройства // Научно-технический вестник СПбГУ ИТМО. – 2007. – № 44. – С. 142–146.
3. Терехов В.М., Осипов О.И. Системы управления электроприводов. – М.: Академия, 2005. – 300 с. 4. Красовский Н.Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. – М.: Физматгиз, 1959. – 211 с. 5. Мирошник И.В., Никифоров В.О., Фрадков А.Л. Нелинейное и адаптивное управление сложными
динамическими системами. – СПб: Наука, 2000. – 549 с. 6. Никифоров В.О., Ушаков А.В. Управление в условиях неопределенности: чувствительность, адапта-
ция, робастность. – СПб: СПб ГИТМО (ТУ), 2002. – 232 с. 7. Харитонов В.Л. Устойчивость вложенных семейств полиномов // Автоматика и телемеханика. – 1995.
№ 5. – С. 170–178.
Абдуллин Артур Александрович – Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет ин-
формационных технологий, механики и оптики, аспирант,
artur.abdullin@gmail.com
Дроздов Валентин Нилович
– Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет ин-
формационных технологий, механики и оптики, доктор технических наук,
профессор, drozdovuprint@rambler.ru
44 Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики,
2012, № 6 (82)
3 АНАЛИЗ И СИНТЕЗ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ
УДК 681.5.11
АНАЛИЗ РОБАСТНОСТИ НЕАДАПТИВНОЙ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ ЭЛЕКТРОПРИВОДА C ВАРИАЦИЯМИ СТРУКТУРЫ И ПАРАМЕТРОВ
А.А. Абдуллин, В.Н. Дроздов
Рассматриваются численные методы анализа робастности свойства устойчивости линейной неадаптивной системы управления электроприводов при заданных количественных оценках вариаций модели объекта. Описывается алгоритм процедуры оценки, иллюстрированный примером. Предложенный метод анализа робастности гарантирует работоспособность реальной системы. Ключевые слова: электропривод, неадаптивная система управления, робастность, свойство устойчивости.
Введение
В практике электропривода адаптивное управление не получило широкого распространения. Как правило, используются системы управления с фиксированными параметрами и структурой, настройка которых если и производится, то эпизодически усилиями операторов [1–3]. В качестве исходных данных для проектирования регулятора с фиксированными параметрами и структурой используются математическая модель объекта управления (ОУ), модель внешних воздействий и требования определенного качества системы. Математические модели физических объектов, естественно, отличаются от идеальных моделей, применемых в качестве исходных данных для синтеза регулятора. Возникает вопрос о сохранении некоторых желаемых свойств, прежде всего, свойства устойчивости, при вариациях модели ОУ в системе с рассчитанным регулятором [4]. В развитие положений работы [4] в [5] определяется робастность системы как способность сохранять некоторое свойство системы при известных количественных оценках вариаций математической модели. В практике проектирования регуляторов систем управления электроприводом обычно пренебрегают известными малыми постоянными времени. Пределы изменения параметров физических объектов, как правило, также известны. В связи с этим вполне правомерно ставить вопрос об исследовании робастности систем управления электроприводом. В настоящее время нет единой теории исследования робастности систем [6], по этой причине, на взгляд авторов, можно рассматривать любые подходы к проблеме. В настоящей работе предлагаются легко реализуемые численные методы исследования робастности систем управления электроприводом с фиксированным регулятором.
Постановка задачи
Линейная модель состояния электропривода с нагрузкой, в том числе упругой, имеет стандартный
вид:
x A(q)x B(q)u ,
(1)
здесь x Rn – вектор состояния, включающий в общем случае переменные состояния модели внешнего воздействия при реализации изодромного (грубого) управления; u – скалярное управляющее воздейст-
вие; q Rr ,q q0 q – вектор параметров, претерпевающий вариацию q ; A(q) – матрица состояния n n ; B(q) – матрица управления n 1 .
Выделим медленные, xМ Rn1 , и быстрые, xБ Rn2 , переменные вектора состояния x ,
n1 n2 n , и преобразуем (1) к виду
x M AM (q)xM A12 (q)xБ BM (q)u, x Б A21(q)xM AБ (q)xБ BБ (q)u.
(2)
Медленная и быстрая составляющие вектора x представляются в виде
xM CMx, xБ CБx ,
(3)
где матрица СМ имеет размерность n1 n , а матрица СБ – размерность n2 n . В общем случае управ-
ляющее воздействие может воздействовать как на быстрые, так и на медленные составляющие, как это
отмечено в (2). Такая ситуация характерна для векторного управляющего воздействия.
Множество собственных чисел Бi ,i 1, n2 матрицы AБ (q) лежит значительно левее множества
собственных чисел Mj , j 1, n1 матрицы AM (q) на комплексной плоскости, так что выполняется не-
равенство min(mod(Re(Бi ))) 10 max(mod(Re(Mj ))) .
(4)
40 Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики,
2012, № 6 (82)
А.А. Абдуллин, В.Н. Дроздов
Коэффициент 10 в последнем неравенстве принят из следующих соображений. В инженерной
практике принято считать, что если значения каких-либо величин различаются не менее чем на порядок,
то это различие существенное.
В этом случае быстрые движения xБ после любого возмущения затухают за короткие промежутки
времени, так что в течение основных промежутков времени можно считать x Б 0 , при этом второе
уравнение в (2) преобразуется к виду
0 A21(q)xM AБ (q)xБ BБ (q)u .
(5)
Матрица AБ (q) является гурвицевой, поэтому она обратима, тогда из (5) находим
xБ
A
1 Б
(q)(A
21
(q)xM
BБ (q)u)
.
(6)
Подставив (6) в первое уравнение (2), получим редуцированную модель ОУ в виде
x M AR (q)xM BR (q)u,
где
AR
(q)
AM
(q)
A12
(q)
A
1 Б
(q) A 21 (q),
BR
(q)
BM
(q)
A12
(q)A
1 Б
(q)BБ
(q)
.
В пользу редуцирования моделей объектов можно привести следующие соображения [5, 6]. Во-
первых, в распоряжении проектировщика никогда нет модели, абсолютно точно описывающей поведе-
ние объекта. При получении модели всегда, вольно или невольно, приходится принимать какие-то допу-
щения, в том числе, пренебрегать быстрыми, с точки зрения разработчика, процессами в объекте, и надо
быть уверенным, что подобные допущения не приведут к значительным неприятностям. Синтез регуля-
тора для редуцированной модели с последующей проверкой свойств системы с полной моделью дает
уверенность в том, что спроектированный регулятор обеспечит желаемые свойства системы при управ-
лении реальным объектом. Вторая причина заключается в том, что параметры регулятора, синтезирован-
ного для модели, с существенно различающимися темпами собственных движений могут отличаться на
несколько порядков. Цифровая реализация таких регуляторов может встретить определенные трудности.
Кроме того, с упрощенными моделями работать значительно легче, чем с моделями высокого порядка.
Положив в редуцированной модели номинальное (медианное) значение вектора параметров
q q0 , получим идеализированную расчетную модель ОУ
x M ARxM BRu,
(7)
где AR AR (q) qq0 ; BR BR (q) qq0 .
Для линейного стационарного объекта (7) синтезируется регулятор, например, реализующий алго-
ритм модального управления
u KxM .
(8)
Матрица K выбирается таким образом, чтобы обеспечить желаемые собственные числа матрице
состояния F замкнутой системы:
x M FMxM ,
(9)
где FM AM BMK .
Желаемые собственные числа задаются обычно в виде корней характеристического уравнения ка-
кого-либо эталонного фильтра. В качестве такого фильтра часто выбирают фильтр Бесселя соответст-
вующего порядка с полосой пропускания ω. Заметим, что полоса пропускания эталонного фильтра опре-
деляет быстродействие системы (9).
В действительности закон управления (8) используется для управления объектом (1), отличаю-
щимся от объекта (7), для которого проектировался этот закон. Возникает задача оценки отличия свойств
объекта (1), замкнутого регулятором (8), от свойств объекта (7), замкнутого регулятором (8). Насколько
оправдываются наши надежды на сохранение свойств в первой системе, заложенные при проектирова-
нии второй системы?
Исследование робастности замкнутой системы
Замкнем объект (1) регулятором (8), в результате получим
x A(q)x B(q)KxM
или, учитывая (3),
x A(q)x B(q)KCMx .
(10)
Обозначим
F(q) A(q) B(q)KCM .
Ожидается, что спектр F(q0 ) i (q0 ) : det[i (q0 )I F(q0 ) 0],i 1, n собственных значений
матрицы F(q0 ) является объединением спектров матриц AБ (q0 ) и FM
Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики, 2012, № 6 (82)
41
АНАЛИЗ РОБАСТНОСТИ НЕАДАПТИВНОЙ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ …
F(q0 ) AБ (q0 ) FM .
(11)
В действительности эти ожидания не оправдываются, и возникают два вопроса. Во-первых, оце-
нить степень искажения (11) и выявить условия, при которых сохраняется допущение о разделении дви-
жений в системе (10) на быстрые и медленные. Во-вторых, выяснить, сохраняется ли свойство устойчи-
вости системы (10) при изменении параметров q в заданных пределах, и оценить изменение степени
устойчивости в этих условиях. Предлагается следующая процедура исследования робастности свойства устойчивости в системе
(10). Строятся траектории собственных чисел матрицы FM системы (9) при изменении полосы пропус-
кания ω эталонного фильтра, с ростом ω собственные числа перемещаются влево на комплексной плоскости, удаляясь от границы устойчивости. При тех же условиях строятся траектории собственных чисел
матрицы F(q0 ) системы (10). Очевидно, подмножества Mj , j 1, n1 и Бi ,i 1, n2 множества собст-
венных чисел матрицы F(q0 ) с ростом ω сближаются. Определяется такое максимальное значение ωmax , при котором еще выполняется условие (4), т.е. остается справедливым разделение переменных состояния системы на быстрые и медленные. Наложение траекторий собственных чисел матрицы FM на траекто-
рии подмножества Mj , j 1, n1 множества собственных чисел матрицы F(q0 ) позволяет оценить эво-
люцию степени устойчивости сингулярно возмущенной системы (10) при изменениях полосы пропускания эталонного фильтра, задающего динамические свойства проектируемой системы.
После установления значения ωmax выбирается полоса пропускания ω0 эталонного фильтра, на-
пример, из условий обеспечения заданного быстродействия системы, при выполнении неравенства
ω0 ωmax .
В этом случае обеспечивается робастность относительно свойства устойчивости сингулярно возмущенной системы (10) с номинальными значениями параметров.
Теперь можно обратиться к исследованию робастности относительно свойства устойчивости системы (10) при изменении параметров q в известных пределах. Здесь также можно воспользоваться по-
строением траекторий собственных чисел матрицы F(q) при изменении отдельных переменных вектора
q. Однако быстрый и надежный результат дает применение теоремы Харитонова [6, 7]. Согласно этой
теореме, в пространстве Rr параметров строится прямоугольный параллелепипед, ограничивающий область изменения параметров. Координаты центра параллелепипеда задаются номинальными значениями параметров, координаты углов параллелепипеда определяются заданными пределами изменения параметров [6, 7]. Координаты углов этого параллелепипеда называются угловой реализацией вектора пара-
метров. Вычисляются собственные числа матрицы F(q) при всех угловых реализациях вектора парамет-
ров. Если все эти собственные числа лежат в левой полуплоскости плоскости корней, то система (10) робастна относительно свойства устойчивости. Нанеся собственные числа матрицы F(q) на комплекс-
ную плоскость при всех угловых реализациях вектора параметров, можем оценить степень устойчивости системы (10) при вариациях ее параметров.
В случае невыполнения условий теоремы Харитонова необходимо рассчитывать новые параметры закона управления (9). Единственным переменным параметром в исходных данных на расчет матрицы K в рассматриваемой постановке задачи является полоса пропускания эталонного фильтра.
Закон управления (8) предполагает наличие датчиков для всех медленных переменных вектора состояния объекта. Использование стационарного наблюдателя неизмеряемых переменных в законе управления не вносит принципиальных изменений в процедуру анализа робастности параметрически и сингулярно возмущенного объекта.
Пример
Анализ робастности неадаптивной системы управления электропривода рассмотрим на примере электромеханической системы (ЭМС), которая функционально содержит три основных узла: механизм (Мх), представленный двухмассовой расчетной схемой; электромеханический преобразователь энергии (ЭМП или электрическая машина); управляемый преобразователь (УП) электрической энергии. Структурная схема такой системы представлена на рис. 1.
Вектор состояния ЭМС, представленной на рис. 1, имеет вид
x 0 M 1 M12 2 2 .
Учитывая значения моментов инерции механизма, можно предположить, что постоянная времени УП и электрическая постоянная времени ЭМП незначительны по отношению к постоянной времени механизма. Следовательно, векторы быстрых и медленных переменных состояния принимают вид
42 Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики,
2012, № 6 (82)
А.А. Абдуллин, В.Н. Дроздов
xБ 0 M ,
xМ 1 M12 2 2 .
Полагая равными нулю малые постоянные времени, получим упрощенную ЭМС, структурная схема которой представлена на рис. 2.
УП ЭМП
u Kпр 0 М
Тпрр+1
Тср+1
1 1 J1р
C12 1 2 р М12 J2р
Мх
1 2 р
Рис. 1. Структурная схема ЭМС: J1=6600 кг·м2 – момент инерции первой массы; J2=197300 кг·м2 – момент
инерции второй массы; С12=8,62·108 механической характеристики ЭМП;
Н·м/рад – коэффициент упругости; β=2,9·104 Н·м·с/рад – жесткость Te=1,6·10-4 c – электрическая постоянная времени фазной обмотки
ЭМП; Kпр=0,026 рад/(В·с) – пропорциональный коэффициент УП; Tпр=2·10-4 с – постоянная времени УП
uа
М
1 1 J1р
C12 1 2 1 2
р М12 J2р
р
Рис. 2. Структурная схема упрощенной ЭМС
При синтезе регулятора, реализующего алгоритм модального управления (8) упрощенной ЭМС, для расчета коэффициентов матрицы K использовался эталонный фильтр Бесселя четвертого порядка.
На рис. 3 представлены корни матрицы состояния упрощенной и исходной замкнутых систем.
200 200
100 100
Im()
Im()
00
–100
–100
–200 –8000 –7000 –6000 –5000 –4000 –3000
Re()
–200 –400
–300
–200 –100 Re()
Рис. 3. Корни матрицы состояния упрощенной (o) и исходной (*) замкнутых систем
200 200
100 100
Im()
00
–100
–100
–200 –8000 –7000 –6000 –5000 –4000 –3000 Re()
–200 –600
–400
–200
Re()
Рис. 4. Корни матрицы состояния замкнутой системы с измененными параметрами
0 0
Im()
Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики, 2012, № 6 (82)
43
СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ДАННЫХ С АКСЕЛЕРОМЕТРОВ …
Здесь полоса пропускания эталонного фильтра Бесселя принимает значение 150 рад/с, при этом выполняется условие (4). Дальнейшее увеличение полосы пропускания нарушает это условие. Из рис. 3 можно заключить, что упрощение структуры ОУ за счет принятых допущений не сказывается на работоспособности исходной (реальной) системы. При этом значение степени устойчивости составляет =74 с-1. При анализе параметрической чувствительности значения моментов инерции J1, J2 и коэффициента упругости C12 отклонялись на величину ±15%. Следовательно, имеем восемь угловых состояний прямоугольного параллелепипеда, ограничивающего область изменения параметров. На рис. 4 представлены корни матрицы состояния замкнутой системы в восьми угловых состояниях, т.е. 48 корней для системы шестого порядка. По корням, представленным на рис. 4, можно сделать вывод, что система робастна относительно свойства устойчивости, при этом значение степени устойчивости составляет =48 с-1.
Заключение
Предлагаемая процедура исследования робастности неадаптивных систем управления электроприводом, без затруднений реализуемая с использованием современных средств вычислительной математики, доступна, на взгляд авторов, широкому кругу инженеров.
Вне поля зрения в работе остался вопрос исследования робастности системы при функциональных возмущениях, основной составной частью которых в системах управления электроприводом является момент сухого трения. Этот вопрос требует отдельного рассмотрения.
Литература
1. Балковой А.П., Цаценкин В.К. Прецизионный электропривод с вентильными двигателями. – М.: МЭИ, 2010. – 322 с.
2. Толмачев В.А., Антипова И.В., Фомин С.Г. Математическая модель следящего электропривода оси опорно-поворотного устройства // Научно-технический вестник СПбГУ ИТМО. – 2007. – № 44. – С. 142–146.
3. Терехов В.М., Осипов О.И. Системы управления электроприводов. – М.: Академия, 2005. – 300 с. 4. Красовский Н.Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. – М.: Физматгиз, 1959. – 211 с. 5. Мирошник И.В., Никифоров В.О., Фрадков А.Л. Нелинейное и адаптивное управление сложными
динамическими системами. – СПб: Наука, 2000. – 549 с. 6. Никифоров В.О., Ушаков А.В. Управление в условиях неопределенности: чувствительность, адапта-
ция, робастность. – СПб: СПб ГИТМО (ТУ), 2002. – 232 с. 7. Харитонов В.Л. Устойчивость вложенных семейств полиномов // Автоматика и телемеханика. – 1995.
№ 5. – С. 170–178.
Абдуллин Артур Александрович – Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет ин-
формационных технологий, механики и оптики, аспирант,
artur.abdullin@gmail.com
Дроздов Валентин Нилович
– Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет ин-
формационных технологий, механики и оптики, доктор технических наук,
профессор, drozdovuprint@rambler.ru
44 Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики,
2012, № 6 (82)