ФОРМИРОВАНИЕ БАНКА ПРОВЕРОЧНЫХ МАТРИЦ СИСТЕМАТИЧЕСКИХ ПОМЕХОЗАЩИЩЕННЫХ КОДОВ С ПОМОЩЬЮ МАТРИЧНОГО МУЛЬТИПЛИКАТИВНОГО КОМПОНЕНТА

КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ

УДК [517.938 + 519.713/.718]: 621.398 ФОРМИРОВАНИЕ БАНКА ПРОВЕРОЧНЫХ МАТРИЦ СИСТЕМАТИЧЕСКИХ ПОМЕХОЗАЩИЩЕННЫХ КОДОВ С ПОМОЩЬЮ МАТРИЧНОГО МУЛЬТИПЛИКАТИВНОГО КОМПОНЕНТА А.В. Ушаков, Е.С. Яицкая

С помощью невырожденного матричного мультипликативного компонента формируется банк проверочных матриц систематических помехозащищенных кодов. Ключевые слова: помехозащитное преобразование кодов, проверочная и образующая матрицы.

Помехозащитное преобразование кодов (ППК) представляет собой пятифазный процесс: помехо-

защитное кодирование (ПК) помехонезащищенного информационного кода (ПНЗИК); искажение поме-

хозащищенного кода (ПЗК) при передаче по двоичному каналу связи (КС); помехозащитное декодирова-

ние (ПД) с целью формирования синдрома (опознавателя) ошибки, свидетельствующего о факте, а, воз-

можно, и месте ошибки в коде; формирование сигнала коррекции (ФСК) и коррекция [1].

Алгоритмически ППК может быть описано тремя способами:

1. y  aG ; f  y   ; E  fH; ˆ  EH ; yˆ  f  ˆ ;

  2. yx  arg rest yxg1x  0 ;

f x  yxx ;

 Ex  rest f xg1x ;

ˆx  ˆEx;

yˆx  f x ˆx ;

3. yk  Nak ; xк k 1  Axк k Bкak, k  1,kи ; xкk 1  Axкk,k  1,m ; xк 0  xк kи ;
yk  Cxкk ; f k  yk k; xдk 1  Axдk Bд f k,k  1,n ; E  xд' n; ˆ  EH ;
 yˆ  row f k,k  1,n  ˆ ,
где a – ПНЗИК; y – ПЗК;  – код помехи в КС, искажающей код y в аддитивной форме;

f  – искаженный в КС ПЗК; E – код синдрома факта или места искажения; ˆ – код коррекции;
 yˆ – откорректированный принятый из КС код, удовлетворяющий условию yˆ  arg mˆin y yˆ ;
xк, xк – векторы состояния кодирующего устройства (КУ), размерности dim xк  dim xк  m ; Bк –
 (m1) -матрица входа КУ; C  1 O1n1 - матрица выхода КУ [2]; N  1 – матрица вход-выход КУ;

A – нильпотентная матрица с индексом ν  m ; xд – вектор состояния декодирующего устройства

(ДКУ), размерности dim xд  m ; A – (m m) -матрица состояния КУ и ДКУ; Bд – (m1) - матрица вхо-

да ДКУ [2]; G  kи  n -образующая матрица ПЗК; H  n m - проверочная матрица ПЗК.
Символ «  » опускается, если все коды, задействованные в процедуре ППК, рассматриваются как вектора-строки; принимает значение переменной x , если коды рассматриваются как модулярные много-

члены (ММ) над полем Галуа GF p p2 ; принимает смысл дискретного времени k , выраженного в чис-

ле тактов длительности t , если все коды рассматриваются как кодовые последовательности, преобра-

зование которых осуществляется рекуррентным образом в силу векторно-матричных соотношений, параметризованных дискретным временем k .
Примечание 1. Помехозащитное ДКУ формирует:

1. нулевой код синдрома E  0 в случае отсутствия искажений в принятом коде (   0 );

2. ненулевой код синдрома E  0 в случае наличия искажений в принятом коде (   0 ).

Выясним, каким свойством должна обладать пара матриц G, H с тем, чтобы она порождала ПЗК.

С этой целью сформулируем утверждение.
Утверждение 1 (У.1). Пара G, H порождает ПЗК при необходимом условии GH  O .

□ (1)

Доказательство строится на использовании системы соотношений

y  aG; f  y  ; E  fH  y  H  aG  H  aGH  H 0  aGH  O  GH  O .

■

Ставится задача формирования банка проверочных матриц систематических ПЗК с помощью не-

вырожденного матричного мультипликативного компонента.

Основным результатом исследования является следующее утверждение. Утверждение 2 (У.2). Умножение проверочной матрицы H справа на невырожденную произ-
 вольную (m m) -матрицу P порождает матрицу H~  arg GH~  O , при этом H~ также является прове-

рочной матрицей ПЗК.
Доказательство. Подстановка H~  HP в (1) дает: GH~  GHP  GHP  OP  O.

□ ■

158

Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, 2011, № 4 (74)

КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ

Примечание 2. Максимальная мощность банка проверочных матриц H~ достигается при P  Al , l  0, n 1, если (m m) -матрица A имеет неприводимый характеристический ММ и принадле-

жит показателю   2m 1 . Для подтверждения основного результата приведем иллюстративный пример. Рассмотрим ПЗК, задаваемый неприводимым ММ g(x)  x3  x 1 . Тогда ППК характеризуется
следующими компонентами:

1 0 1

1 1 H  0 1 0

1 1 1 0 1

1 0 1;G 0 0



1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

1 1 1 0

0 1 1 1

1

10; A 1



0 1 1

1 0 0

0 1 , 0

0 0 1

причем условие (1) выполняется, и матрица A принадлежит показателю   2m 1  23 1  7 .

1 1 1 Сформируем проверочную матрицу H~ согласно утверждению У.2, приняв P  A4  0 1 1 :
1 1 0

1 0 1

0 0 1

1 1 1

0 1 0

1 1 01 1 1 1 0 0

H~  HP  0

1

10

1

1  1

0

 1 ,

1 0 01 1 0 1 1 1

0 1 0

0 1 1

0 0 1

1 1 0

 при этом выполняется условие утверждения У.1 GH~  O , т.е. пара матриц G, H~ порождает ПЗК.

Полученный банк проверочных матриц позволяет обеспечить скрытность процесса ППК.

1. Ушаков А.В., Яицкая Е.С. Рекуррентное систематическое помехозащитное преобразование кодов: возможности аппарата линейных двоичных динамических систем // Изв. вузов. Приборостроение. – 2011. – Т. 54. – № 3. – С. 17–25.
2. Ушаков А.В., Яицкая Е.С. Динамическое наблюдение нелинейных двоичных динамических систем // Научно-технический вестник СПбГУ ИТМО. – 2010. – Т. 68. – № 4. – С. 38–44.

Ушаков Анатолий Владимирович – Санкт-Петербургский государственный университет информационных техно-
логий, механики и оптики, доктор технических наук, профессор, ushakov-AVG@yandex.ru Яицкая Елена Сергеевна – Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, аспирант, yaitskayaes@mail.ru

Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, 2011, № 4 (74)

159