НОВЫЙ ФУНКЦИОНАЛ ЛЯПУНОВА–КРАСОВСКОГО ДЛЯ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ НЕЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ
КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ
КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ
УДК 681.51.015 НОВЫЙ ФУНКЦИОНАЛ ЛЯПУНОВА–КРАСОВСКОГО ДЛЯ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА
ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ НЕЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ А.А. Бобцов, А.А. Пыркин
Рассматривается новый вид функционала Ляпунова–Красовского, доказывающий экспоненциальную устойчивость
нелинейной параметрически и функционально неопределенной системы с запаздыванием. В качестве регулятора для стабилизации нелинейной системы был использован метод последовательного компенсатора, разработанный одним из авторов. Ключевые слова: управление по выходу, системы с запаздыванием, экспоненциальная устойчивость.
На базе метода последовательного компенсатора [1] в статье [2] был рассмотрен алгоритм управ-
ления по выходу нелинейной параметрически и функционально неопределенной системы с запаздывани-
ем. Была рассмотрена нелинейная система вида
a( p) y(t) b( p)u(t) c( p)(t) ,
(1)
где p d / dt обозначает оператор дифференцирования; выходная переменная y y(t) измеряется, но ее
производные недоступны для измерения; b( p) , c( p) и a( p) – полиномы с неизвестными коэффициен-
тами; передаточная функция b( p) / a( p) имеет относительную степень n m ; полином b( p) – гур-
вицев; неизвестная нелинейная функция (t) ( y(t )) удовлетворяет следующему допущению:
( y(t )) C0 y(t ) для всех y(t ) ,
(2)
где 0 – неизвестное постоянное запаздывание, y() () для [, 0] , число C0 0 неизвестно.
Было показано, что использование метода последовательного компенсатора [1] обеспечивает асимптоти-
ческую устойчивость рассматриваемой системе. Для доказательства асимптотической устойчивости был
использован функционал вида
t
V (t) xT (t)Px(t) T (t)N(t) y2 ()d
(3)
t
и получены достаточные условия, среди которых присутствует ограничение C02 (1 1)2 , где –
коэффициент при управляющем воздействии [2]. Целью данной работы является доказательство экспо-
ненциальной устойчивости рассматриваемой системы при использовании того же метода. Вместо ис-
пользуемого в [1] функционала вида (3) рассмотрим новый функционал
t
V (t) xT (t)Px(t) T (t)N(t) et y2 ()d ,
(4)
t
который отличается наличием экспоненциального члена в подынтегральной составляющей функционала.
Дифференцирование (4) приводит к неравенству вида
V (t) V (t) , 0
(5)
при ограничении eC02 (1 1)2 . Именно неравенство (5) гарантирует экспоненциальную устой-
чивость. Работа поддержана Российским фондом фундаментальных исследований (грант № 09-08-00139-а).
1. Бобцов А.А., Николаев Н.А. Синтез управления нелинейными системами с функциональными и параметрическими неопределенностями на основе теоремы Фрадкова // Автоматика и телемеханика. – 2005. – № 1. – С. 118–129.
2. Бобцов А.А. Стабилизация нелинейных систем по выходу в условиях запаздывания // Известия РАН. Теория и системы управления. – 2008. – № 2. – С. 21–28.
Бобцов Алексей Алексеевич – Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, доктор технических наук, профессор, декан, bobtsov@mail.ifmo.ru Пыркин Антон Александрович – Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, кандидат технических наук, ассистент, a.pyrkin@gmail.com
Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, 2011, № 2 (72)
169
КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ
УДК 681.51.015 НОВЫЙ ФУНКЦИОНАЛ ЛЯПУНОВА–КРАСОВСКОГО ДЛЯ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА
ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ НЕЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ А.А. Бобцов, А.А. Пыркин
Рассматривается новый вид функционала Ляпунова–Красовского, доказывающий экспоненциальную устойчивость
нелинейной параметрически и функционально неопределенной системы с запаздыванием. В качестве регулятора для стабилизации нелинейной системы был использован метод последовательного компенсатора, разработанный одним из авторов. Ключевые слова: управление по выходу, системы с запаздыванием, экспоненциальная устойчивость.
На базе метода последовательного компенсатора [1] в статье [2] был рассмотрен алгоритм управ-
ления по выходу нелинейной параметрически и функционально неопределенной системы с запаздывани-
ем. Была рассмотрена нелинейная система вида
a( p) y(t) b( p)u(t) c( p)(t) ,
(1)
где p d / dt обозначает оператор дифференцирования; выходная переменная y y(t) измеряется, но ее
производные недоступны для измерения; b( p) , c( p) и a( p) – полиномы с неизвестными коэффициен-
тами; передаточная функция b( p) / a( p) имеет относительную степень n m ; полином b( p) – гур-
вицев; неизвестная нелинейная функция (t) ( y(t )) удовлетворяет следующему допущению:
( y(t )) C0 y(t ) для всех y(t ) ,
(2)
где 0 – неизвестное постоянное запаздывание, y() () для [, 0] , число C0 0 неизвестно.
Было показано, что использование метода последовательного компенсатора [1] обеспечивает асимптоти-
ческую устойчивость рассматриваемой системе. Для доказательства асимптотической устойчивости был
использован функционал вида
t
V (t) xT (t)Px(t) T (t)N(t) y2 ()d
(3)
t
и получены достаточные условия, среди которых присутствует ограничение C02 (1 1)2 , где –
коэффициент при управляющем воздействии [2]. Целью данной работы является доказательство экспо-
ненциальной устойчивости рассматриваемой системы при использовании того же метода. Вместо ис-
пользуемого в [1] функционала вида (3) рассмотрим новый функционал
t
V (t) xT (t)Px(t) T (t)N(t) et y2 ()d ,
(4)
t
который отличается наличием экспоненциального члена в подынтегральной составляющей функционала.
Дифференцирование (4) приводит к неравенству вида
V (t) V (t) , 0
(5)
при ограничении eC02 (1 1)2 . Именно неравенство (5) гарантирует экспоненциальную устой-
чивость. Работа поддержана Российским фондом фундаментальных исследований (грант № 09-08-00139-а).
1. Бобцов А.А., Николаев Н.А. Синтез управления нелинейными системами с функциональными и параметрическими неопределенностями на основе теоремы Фрадкова // Автоматика и телемеханика. – 2005. – № 1. – С. 118–129.
2. Бобцов А.А. Стабилизация нелинейных систем по выходу в условиях запаздывания // Известия РАН. Теория и системы управления. – 2008. – № 2. – С. 21–28.
Бобцов Алексей Алексеевич – Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, доктор технических наук, профессор, декан, bobtsov@mail.ifmo.ru Пыркин Антон Александрович – Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, кандидат технических наук, ассистент, a.pyrkin@gmail.com
Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, 2011, № 2 (72)
169