ИДЕНТИФИКАЦИЯ ТЕНЗОРА ИНЕРЦИИ ТЕЛА НА РЕВЕРСИВНО-СИММЕТРИЧНЫХ ПРЕЦЕССИЯХ В ОГРАНИЧЕННОМ УГЛОВОМ ИНТЕРВАЛЕ
КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ
УДК 531 ИДЕНТИФИКАЦИЯ ТЕНЗОРА ИНЕРЦИИ ТЕЛА НА РЕВЕРСИВНО-СИММЕТРИЧНЫХ ПРЕЦЕССИЯХ В ОГРАНИЧЕННОМ УГЛОВОМ ИНТЕРВАЛЕ В.Г. Мельников, Р.Ю. Кравчук, Г.И. Мельников, С.Н. Шаховал
Решается задача определения тензора инерции на основании прецессионного двухосного реверсивно-симметричного сферического движения тела при ограничениях на два угловых интервала. Получены расчетные формулы для инерционных параметров. Ключевые слова: матрица тензора инерции, угол прецессии, угол собственного вращения, реверсивно-
симметричная прецессия.
Известен способ параметрической идентификации пяти осевых моментов инерции тела на реверсивно-симметричном прецессионном двухосном движении тела вокруг неподвижной точки. Обобщим этот способ на случай отсутствия полных оборотов по углу собственного вращения. Пусть твердое тело вместе со сцепленной с ним системой Oxyz, собственной осью Oz c известным центром масс С, собственным углом поворота совершает сферическое движение вокруг неподвижной точки O. При этом за рассматриваемый
конечный интервал времени мгновенная ось вращения тела описывает вокруг собственной оси Oz тела часть кругового конуса в некотором секторе [0 = 0, 5] при 6 = 5δ ≤ . Равномерной сетке узловых значений сопоставим шесть положений в теле мгновенной оси вращения c ортами, заданными строчными матрицами
ei [ei1,ei2,ei3] [cos i ,sin i , h]r, r sin , h ctg, i 0,1,...,5 . Пусть на реверсивно-симметричной прецессии [1–4] определены пять моментов инерции тела I1,, I5 . Имеем выражения осевых моментов инерции через компоненты тензора инерции:
Ii J xei21 J yei22 J zei23 2J xyei1ei2 2J yzei2ei3 J xzei1ei3 , или
Ii
r2(1 2
Jx (1 cos 2i )
1 2
J y (1 cos 2i )
J z h2
2J xy
sin 2i
2h(J yz
sin i
J xz
cos i )).
Приводя подобные члены, получаем окончательные выражения для пяти осевых моментов,
Ii r2 (X 2 Y cos 2) Z sin 2i F cos i H sin i ), i 1,5 , с пятью инерционными коэффициентами, составленными из шести компонент тензора инерции:
(1)
X (Jx J y ) / 2 Jzh2, Y (Jx J y ) / 2, Z Jxy , F 2Jxyh, H 2J yzh .
Выражения (1) объединяются в матричное строчное выражение
VA = I при I [I1,, I5]r2, V [X Y Z F H ],
(2)
1 1 1 1 1
cos(21
)
cos(22 )
cos(23 )
cos(24 )
cos(25
)
где
A
sin(21
)
cos(1)
sin(1)
sin(22 ) cos(2 ) sin(2 )
sin(23 ) cos(3 ) sin(3 )
sin(24 ) cos(4 ) sin(4 )
sin(25
)
.
cos(5 )
sin(5 )
Из уравнения (2) находим вектор-строку пяти неизвестных V [ X Y Z F H ] , а также центро-
бежные моменты инерции тела и момент инерции относительно оси, соответствующий углу 0 0 :
V IA1,
Jxy Z,
J zx
1 2h
F,
J yz
1 2h
H,
I0 (X Y Z)r2 .
В случае 63,4 на круговом конусе равномерно распределены пять осей виртуального икосаэд-
ра, сцепленного с телом, и на реверсивно-симметричной прецессии экспериментально находятся пять моментов инерции, распределенных в секторе конуса [1–4]. Тогда моменты инерции относительно пяти
осей икосаэдра вычисляются по формуле, аналогичной (1), в которой следует заменить углы i i на i i2 /5. При этом вектор-строка V вычисляется по прежней формуле V IA1 , но с новыми значе-
ниями строчной матрицы I . Момент инерции тела относительно шестой оси икосаэдра определяется отдельно на осевом реверсивно-симметричном вращении энергетическим методом, как указано в цитированных работах. Расчетные формулы компонент тензора инерции через найденные шесть моментов инерции приведены в [1–2].
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 10-08-01046).
1. Мельников В.Г., Едачев А.С., Мельников Г.И., Шаховал С.Н. Метод определения тензора инерции на программных движениях // Изв. Самарского научного центра РАН. – 2010. – Т. 12 (33). – № 1 (2). – С. 445–448.
Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, 2012, № 1 (77)
151
КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ
2. Мельников В.Г. Энергетический метод параметрической идентификации тензоров инерции тел // Научно-технический вестник СПбГУ ИТМО. – 2010. – № 1 (65). – С. 59–63.
3. Мельников В.Г. Идентификация компонент тензора инерции и координат центра масс тела на реверсивно-симметричных прецессиях // Вестник СПбГУ. Сер.1. Математика, механика и астрономия. – 2010. – Вып. 3. – С. 97–104.
4. Патент 2436055. Способ определения тензора инерции тела и устройство для его осуществления / опубл. 10.12.2011. Бюл. № 34. – 17 с.
Мельников Валентин Геннадьевич – Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, кандидат технических наук, доцент, зав. кафедрой, melni-
kov@mail.ifmo.ru Кравчук Раиса Юрьевна – ОАО «Ростелеком», инженер, ggarotta@gmail.com Мельников Геннадий Иванович – Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, доктор физ.-мат. наук, профессор, melnikov@ifmo.ru Шаховал Сергей Николаевич – Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, аспирант, shakhovalsergey@gmail.com
152
Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, 2012, № 1 (77)
УДК 531 ИДЕНТИФИКАЦИЯ ТЕНЗОРА ИНЕРЦИИ ТЕЛА НА РЕВЕРСИВНО-СИММЕТРИЧНЫХ ПРЕЦЕССИЯХ В ОГРАНИЧЕННОМ УГЛОВОМ ИНТЕРВАЛЕ В.Г. Мельников, Р.Ю. Кравчук, Г.И. Мельников, С.Н. Шаховал
Решается задача определения тензора инерции на основании прецессионного двухосного реверсивно-симметричного сферического движения тела при ограничениях на два угловых интервала. Получены расчетные формулы для инерционных параметров. Ключевые слова: матрица тензора инерции, угол прецессии, угол собственного вращения, реверсивно-
симметричная прецессия.
Известен способ параметрической идентификации пяти осевых моментов инерции тела на реверсивно-симметричном прецессионном двухосном движении тела вокруг неподвижной точки. Обобщим этот способ на случай отсутствия полных оборотов по углу собственного вращения. Пусть твердое тело вместе со сцепленной с ним системой Oxyz, собственной осью Oz c известным центром масс С, собственным углом поворота совершает сферическое движение вокруг неподвижной точки O. При этом за рассматриваемый
конечный интервал времени мгновенная ось вращения тела описывает вокруг собственной оси Oz тела часть кругового конуса в некотором секторе [0 = 0, 5] при 6 = 5δ ≤ . Равномерной сетке узловых значений сопоставим шесть положений в теле мгновенной оси вращения c ортами, заданными строчными матрицами
ei [ei1,ei2,ei3] [cos i ,sin i , h]r, r sin , h ctg, i 0,1,...,5 . Пусть на реверсивно-симметричной прецессии [1–4] определены пять моментов инерции тела I1,, I5 . Имеем выражения осевых моментов инерции через компоненты тензора инерции:
Ii J xei21 J yei22 J zei23 2J xyei1ei2 2J yzei2ei3 J xzei1ei3 , или
Ii
r2(1 2
Jx (1 cos 2i )
1 2
J y (1 cos 2i )
J z h2
2J xy
sin 2i
2h(J yz
sin i
J xz
cos i )).
Приводя подобные члены, получаем окончательные выражения для пяти осевых моментов,
Ii r2 (X 2 Y cos 2) Z sin 2i F cos i H sin i ), i 1,5 , с пятью инерционными коэффициентами, составленными из шести компонент тензора инерции:
(1)
X (Jx J y ) / 2 Jzh2, Y (Jx J y ) / 2, Z Jxy , F 2Jxyh, H 2J yzh .
Выражения (1) объединяются в матричное строчное выражение
VA = I при I [I1,, I5]r2, V [X Y Z F H ],
(2)
1 1 1 1 1
cos(21
)
cos(22 )
cos(23 )
cos(24 )
cos(25
)
где
A
sin(21
)
cos(1)
sin(1)
sin(22 ) cos(2 ) sin(2 )
sin(23 ) cos(3 ) sin(3 )
sin(24 ) cos(4 ) sin(4 )
sin(25
)
.
cos(5 )
sin(5 )
Из уравнения (2) находим вектор-строку пяти неизвестных V [ X Y Z F H ] , а также центро-
бежные моменты инерции тела и момент инерции относительно оси, соответствующий углу 0 0 :
V IA1,
Jxy Z,
J zx
1 2h
F,
J yz
1 2h
H,
I0 (X Y Z)r2 .
В случае 63,4 на круговом конусе равномерно распределены пять осей виртуального икосаэд-
ра, сцепленного с телом, и на реверсивно-симметричной прецессии экспериментально находятся пять моментов инерции, распределенных в секторе конуса [1–4]. Тогда моменты инерции относительно пяти
осей икосаэдра вычисляются по формуле, аналогичной (1), в которой следует заменить углы i i на i i2 /5. При этом вектор-строка V вычисляется по прежней формуле V IA1 , но с новыми значе-
ниями строчной матрицы I . Момент инерции тела относительно шестой оси икосаэдра определяется отдельно на осевом реверсивно-симметричном вращении энергетическим методом, как указано в цитированных работах. Расчетные формулы компонент тензора инерции через найденные шесть моментов инерции приведены в [1–2].
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 10-08-01046).
1. Мельников В.Г., Едачев А.С., Мельников Г.И., Шаховал С.Н. Метод определения тензора инерции на программных движениях // Изв. Самарского научного центра РАН. – 2010. – Т. 12 (33). – № 1 (2). – С. 445–448.
Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, 2012, № 1 (77)
151
КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ
2. Мельников В.Г. Энергетический метод параметрической идентификации тензоров инерции тел // Научно-технический вестник СПбГУ ИТМО. – 2010. – № 1 (65). – С. 59–63.
3. Мельников В.Г. Идентификация компонент тензора инерции и координат центра масс тела на реверсивно-симметричных прецессиях // Вестник СПбГУ. Сер.1. Математика, механика и астрономия. – 2010. – Вып. 3. – С. 97–104.
4. Патент 2436055. Способ определения тензора инерции тела и устройство для его осуществления / опубл. 10.12.2011. Бюл. № 34. – 17 с.
Мельников Валентин Геннадьевич – Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, кандидат технических наук, доцент, зав. кафедрой, melni-
kov@mail.ifmo.ru Кравчук Раиса Юрьевна – ОАО «Ростелеком», инженер, ggarotta@gmail.com Мельников Геннадий Иванович – Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, доктор физ.-мат. наук, профессор, melnikov@ifmo.ru Шаховал Сергей Николаевич – Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, аспирант, shakhovalsergey@gmail.com
152
Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, 2012, № 1 (77)