ОБЕСПЕЧЕНИЕ ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ε-ИНВАРИАНТНОСТИ ВЫХОДА СИСТЕМЫ ПРИ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ ОБЪЕКТА УПРАВЛЕНИЯ
ОБЕСПЕЧЕНИЕ ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ε-ИНВАРИАНТНОСТИ …
3 АНАЛИЗ И СИНТЕЗ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ
УДК 62-50
ОБЕСПЕЧЕНИЕ ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ε-ИНВАРИАНТНОСТИ ВЫХОДА
СИСТЕМЫ ПРИ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ ОБЪЕКТА УПРАВЛЕНИЯ
С.А. Александрова, А.А. Мусаев, О.В. Слита, А.В. Ушаков
Ставится задача обеспечения параметрической -инвариантности выхода непрерывной системы при неопределен-
ности матрицы состояния исходного объекта. Задача решается для случая матрицы состояния объекта, заданной в сопровождающей форме, для которой оказываются невыполнимыми условия достижения абсолютной параметрической инвариантности. Результаты иллюстрируются примером. Ключевые слова: неопределенность задания матрицы, сопровождающая форма, параметрическая
-инвариантность, собственные значения и векторы.
Введение
Современные методы анализа и синтеза динамических систем позволяют решать задачи управления ими в условиях системных неопределенностей задания модели объекта [1–5]. Одной из постановочных версий управления в условиях неопределенности является задача обеспечения инвариантности выхода системы к неопределенности параметров модели исходного объекта [4, 5] или параметрической инвариантности.
В работе приводятся алгебраические условия достижимости абсолютной параметрической инвариантности [2, 4, 5] и делается переход к ситуации, когда полученные алгебраические условия оказываются невыполнимыми, что явилось мотивацией к постановке задачи обеспечения -инвариантности вы-
хода системы с заданной оценкой величины .
Алгебраические условия обеспечения абсолютной параметрической инвариантности выхода системы
Рассматривается непрерывный объект управления (ОУ)
x (t) (A A)x(t) Bu(t) ,
x(t) t0
x(0) ,
y(t) Cx(t) ,
(1)
где x Rn , u Rr , y Rm ; x, u, y
– векторы состояния, управления и выхода
A Rnn , B Rnr , C Rmn , A, B, C – матрицы состояния, управления и выхода, при этом (A, B) и
(A, C) образуют соответственно управляемую и наблюдаемую пары; A Rnn – неопределенность за-
дания матрицы состояния.
Закон управления (ЗУ) объектом (1) формируется в виде
u(t) K g g(t) Kx(t) ,
(2)
где g(t) – задающее воздействие, матрица K с использованием метода модального управления [6] нахо-
дится с помощью системы уравнений
M AM BH ,
(3)
K HM1 ,
в которых наблюдаемая пара матриц ,H модальной модели задает желаемые динамические свойства
системы (путем назначения структуры собственных чисел диагональной матрицы ). Следует отметить, что если известны матрицы A, B, , H , то уравнение (3) решается относительно матрицы M , а если из-
вестны A,B, , M , то уравнение (3) решается относительно матрицы H в форме
H BT B 1 BT (AM M) .
Замкнутая система, образованная ОУ (1) и ЗУ (2), записывается как x (t) Fx(t) Gg(t) ΔFx(t); x(0) ;
(4)
y(t) Cx(t);
F A BK , G BK g , ΔF ΔA .
ЗУ (2) должен обеспечивать желаемые показатели качества замкнутой системы при наличии в исходном объекте параметрической неопределенности, т.е. параметрическую инвариантность ее выхода. Для целей дальнейших исследований представим сигнальный компонент ΔFx(t) в декомпозированной
форме:
60 Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики,
2013, № 2 (84)
С.А. Александрова, А.А. Мусаев, О.В. Слита, А.В. Ушаков
1 x1(t) 0
x1(t)
ΔFx(t) ΔAx(t) 0ΔA11
ΔA12
ΔA1n
x2 (t)
1
ΔA21
ΔA22
ΔA2n
x2 (t)
0 xn(t) 0
xn (t)
0 x1(t)
0
ΔAn1
ΔAn2
ΔAnn
x2 (t
)
=
D
t
.
1
xn
(t
)
(5)
Вектор параметрического воздействия t сформирован на правых мультипликативных компо-
нентах элементов разложения ΔFx(t) в форме (5) в силу представления
t col j ΔAj1
ΔAj 2
ΔAjn
x1(t)
x2
(t
)
xn
(t
)
(ΔA)
j
x(t)
hTj
x(t
)
,
(6)
где (ΔA) j – j -ая строка матрицы ΔA . На левых сомножителях слагаемых этого выражения сформируем
матрицу параметрического воздействия D row D j 0 j11;1;0n j1 ; j 1,n .
С использованием (6) запишем уравнение (4) системы в виде (t) Fx(t) Gg(t) Dη(t); y(t) Cx(t) .
(7)
Представление (7) системы (4) позволяет переформулировать задачу обеспечения абсолютной параметрической инвариантности y(t, F, g(t), ΔA 0) y(t, F, g(t),ΔA 0) как задачу обеспечения сигналь-
ной инвариантности [4, 7] y(t, F, g(t), (t) 0) y(t, F, g(t), (t) 0) .
(8)
Запишем выражение (8) в терминах преобразований Лапласа и передаточных функций (матриц)
Y (s, g(s), η(s) 0) yg (s)g(s) y (s)η(s) yg (s)g(s) ,
(9)
где g(s) – Лапласов образ задающего воздействия g(t) ; η(s) – Лапласов образ «параметрического» воз-
действия t ; Φyg (s) – передаточная функция (матрица) отношения «задающее воздействие–выход сис-
темы»; Φy (s) – передаточная функция (матрица) отношения «параметрическое» воздействие–выход системы». Очевидно, что равенство (9) при η(s) 0 выполняется, когда
Φy (s) 0 .
(10)
Соотношение (10) представляет собой «сигнальный» аналог инвариантности выхода (ошибки) к
неопределенностям задания матрицы состояния исходного объекта, которое выполняется при любых
реализациях внешнего задающего воздействия g(t) . Приведем утверждение, одно из положений которо-
го базируется на структуре собственных векторов [8] матрицы состояния проектируемой системы. Утверждение 1. [3, 5]. Для того чтобы система (4) обладала абсолютной параметрической инвари-
антностью выхода к неопределенности задания матрицы исходного объекта или чтобы система (10) обладала сигнальной инвариантностью выхода относительно внешнего «параметрического» воздействия
η(t) в смысле условий (8), (9), т.е. чтобы передаточная функция (матрица) «параметрический» вход η –
выход системы y » Φy (s) была бы нулевой и выполнялось равенство (10),
Φyη (s) C(sI F)1 D row Φyηj C(sI F)1 D j ; j 1, p;1 p n 0 ,
достаточно, чтобы 1. столбцы Dj матрицы D были собственными векторами матрицы F ;
2. столбцы Dj принадлежали ядру матрицы C , т.е. чтобы выполнялось соотношение CDj 0 .
Проблема параметрической -инвариантности
Проблема параметрической -инвариантности возникает в случае, когда невозможно достижение
абсолютной параметрической инвариантности, т.е. когда не выполняется какое-либо из условий утверждения 1. Проиллюстрируем эту ситуацию [9] на примере объекта управления, заданного в сопровождающем управляемом базисе
Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики, 2013, № 2 (84)
61
ОБЕСПЕЧЕНИЕ ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ε-ИНВАРИАНТНОСТИ …
0 1 0 0
0
0
A
0
1
0
,
B
0
,
C 1
0
0
0 .
0
0
0
1
0
(11)
a0 a1 a2 an1
bn
В этом случае любые системные неопределенности ΔA возмущают только последнюю строчку
матрицы состояния, и
0 0 0 0 0
0
0
0
0
0
ΔA
0
0
0
0
0
Δa0
Δa1
Δa2
Δan1 ,
Δa0 Δa1 Δa2 Δan1 1
откуда для матрицы D получаем представление в виде матрицы-столбца
D 0 0 0 1T .
(12)
В силу канонической сопровождающей формы задания матрицы A и вида матрицы B (11) ЗУ (2)
сохраняет каноническую сопровождающую форму матрицы состояния F системы [9], которая имеет
собственные вектора ξi , формируемые по схеме Вандермонда:
ξi 1 λi
λi2
λ n 1 i
T
;
i 1, n
.
(13)
Как видно из структуры (13) собственных векторов, матрица-столбец D (12) не совпадает ни с одним из собственных векторов F . Таким образом, при представлении матрицы состояния в форме (11) первое условие утверждения 1 выполнено не будет. Следовательно, абсолютная параметрическая инвариантность выхода для случая матрицы состояния, заданной в сопровождающей форме, недостижима. В этом случае следует перейти к обеспечению - инвариантности выхода проектируемой системы.
Оценка ˆ величины параметрической -инвариантности
Задачу формирования оценки ˆ величины параметрической -инвариантности решим в два этапа.
Этап 1. Модификация представления собственных векторов, построенных по схеме Вандермонда; им придается вид
ξi
λ n 1 i
1
λ2 1 i
λi 1 1T ; i 1, n .
Этап 2. Представление матрицы-столбца D (12) в виде проекции на собственный вектор ξ1 в
форме αξ1 D , в которой коэффициент ищется с помощью алгоритма Грама [10] из условия
α
ξ1, D ξ1, ξ1
ξ1T D ξ1T ξ1
1
λ11
1 2
.(n1) 2 λ1
Определим оценку ˆ на основе нормы невязки представления матрицы-столбца D его проекцией
Dˆ (λ1) αξ1 на вектор ξ1 в форме
εˆ(λ1) D Dˆ (λ1) D 100% .
Пример
В качестве ОУ рассмотрим электропривод, исполнительный двигатель которого обладает механической характеристикой, содержащей восходящий участок [11]. Представление ОУ в виде (1) характери-
зуется
матрицами
A ΔA
0 0
1
3,5; 0,5
с медианной составляющей
Α
0 0
1 1, 5
и интервальной
ΔA
0 0
0
2; 2
,
B
0
1T , C 1
0 .
Зададим требования к переходному процессу в виде его длительности tпп 2, 4 с и величины перерегулирования 0 % в системе, в которую войдет объект. Синтезируем закон модального управле-
62 Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики,
2013, № 2 (84)
С.А. Александрова, А.А. Мусаев, О.В. Слита, А.В. Ушаков
ния для номинального ОУ на основе биномиальной модальной модели, в которой 1 2 2 . Тогда
K 5, 25
5, 875
,
F
0 4
1 4
,
Kg
6, 25 ,
G
0 4
.
Результаты моделирования, представленные кривыми ошибки воспроизведения задающего воз-
действия g(t) t при медианном и двух угловых реализациях параметров ОУ ( e(t), e (t) – значения
ошибки e(t) , соответствующие угловым значениям интервальной матрицы состояния), показывают (ри-
сунок, а), что выход системы не обладает абсолютной параметрической инвариантностью, а параметрическая -инвариантность характеризуется заметной величиной .
Синтезируем закон модального управления, задавая значения 1: 1 10 , 1 50 , 1 100 .
Результаты моделирования представлены на рисунке, б ( 1 10 ), рисунке, в ( 1 50 ) и рисун-
ке, г ( 1 100 ), каждый из которых получен при медианных и двух угловых реализациях параметров исходного ОУ. Ни в одном из случаев не достигается абсолютная параметрическая инвариантность, но наблюдается заметное уменьшение величины параметрической инвариантности по мере уменьшения величины ˆ невязки аппроксимации вектора D собственным вектором, формируемым по схеме Вандермонда (таблица).
e(t), e(t), e(t), 1
e(t) e(t)
0,5
e(t), e(t), e(t), 0,7 e(t) 0,6
e(t) 0,5 0,4 e(t)
e(t) 0,5
0,3 0,2
0,1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 t, c 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 t, c аб
e(t), e(t), e(t), 0,7
0,6 e(t) 0,5 0,4 e(t)
e(t)
e(t), e(t), e(t), 0,7 0,6
e(t) 0,5 0,4 e(t)
e(t)
0,3 0,3
0,2 0,2
0,1 0,1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 t, c 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 t, c вг
Рисунок. Ошибка по выходу для номинальной и угловых версий системы, спроектированной с помощью
модального управления: 1 2 2 (а); 1 10; 2 2 (б); 1 50; 2 2 (в); 1 100; 2 2 (г)
Заключение
Показано, что для случая, когда матрица состояния исходного объекта задана в таком базисе, в котором недостижимо первое условие обеспечения абсолютной параметрической инвариантности, задача инвариантности выхода относительно неопределенности задания матрицы состояния объекта может быть решена в форме достижения параметрической -инвариантности с заданной .
Исследование выполнено при поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации, соглашение 14. B37.21.0406 «Разработка многофункционального малогабаритного мультиротационного летательного аппарата».
Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики, 2013, № 2 (84)
63
ОБЕСПЕЧЕНИЕ ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ε-ИНВАРИАНТНОСТИ …
1,2 2
1 10 2 2 1 50 2 2 1 100 2 2
Матрица состояния спроектированной системы (медианная составляющая)
F
0 4
1 4
F
0 20
1 12
F
0 100
1 52
F
0 200
1 102
Собственный вектор
0, 5
1
0,1
1
0, 02
1
0, 01
1
Величина ˆ невязки представления матрицы-
столбца D ˆ 50%
ˆ 10%
ˆ 5%
ˆ 1%
Матрица управления спроектированной сис-
темы
G
0 4
G
0 20
G
0 120
G
0 200
Величина параметрической
инвариантности по ошибке
50%
16%
3,85%
2%
Таблица. Показатели параметрически ε -инвариантных систем
Литература
1. Буков В.Н., Бронников А.М. Условия инвариантности выхода линейных систем // Автоматика и телемеханика. – 2005. – № 2. – С. 23–35.
2. Никифоров В.О., Ушаков А.В. Управление в условиях неопределенности: чувствительность, адаптация, робастность. – СПб: СПб ГИТМО (ТУ), 2002. – 232 с.
3. Ackermann J. Robust control systems with uncertain physical parameters. – London: Springer-Verlag, 1993. – 406 p.
4. Слита О.В., Ушаков А.В. Обеспечение инвариантности выхода непрерывной системы относительно экзогенных сигнальных и эндогенных параметрических возмущений: алгебраический подход // Изв. РАН. Теория и системы управления. – 2008 – № 4. – С. 24–32.
5. Слита О.В., Ушаков А.В. Достаточные алгебраические условия параметрической инвариантности выхода линейной стационарной системы в первом приближении // Изв. РАН. Теория и системы управления. – 2010. – № 6. – С. 16–22.
6. Слита О.В., Ушаков А.В. Модальное управление: два способа реализации концепции подобия // Мехатроника, автоматизация, управление. – 2008. – № 9. – С. 7–13.
7. Дударенко Н.А., Полякова М.В., Ушаков А.В. Алгебраическая организация условий обобщенной синхронизируемости многоагрегатных динамических объектов // Научно-технический вестник СПбГУ ИТМО. – 2010. – № 2 (66). – С. 30–36.
8. Дударенко Н.А., Ушаков А.В. Структура собственных векторов матриц состояния многоканальных систем как вырождающий фактор // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. – 2012. – № 5 (81). – С. 52–58.
9. Слита О.В., Ушаков А.В. Модельное представление объекта управления в задаче параметрической инвариантности// Изв. вузов. Приборостроение. – 2006. – Т. 49. – № 1. – С. 14–20.
10. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. – М.: Наука, 1973. – 575 с. 11. Ковчин С.А., Сабинин Ю.А. Теория электропривода. – СПб: Энергоатомиздат, 1994. – 496 с.
Александрова Софья Александровна Мусаев Андрей Александрович Слита Ольга Валерьевна Ушаков Анатолий Владимирович
– Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, студент, alexandrova_sophie@mail.ru
– Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, студент, brein7@mail.ru
– Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, кандидат технических наук, доцент, o-slita@yandex.ru
– Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, доктор технических наук, профессор, ushakov-AVG@yandex.ru
64 Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики,
2013, № 2 (84)
3 АНАЛИЗ И СИНТЕЗ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ
УДК 62-50
ОБЕСПЕЧЕНИЕ ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ε-ИНВАРИАНТНОСТИ ВЫХОДА
СИСТЕМЫ ПРИ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ ОБЪЕКТА УПРАВЛЕНИЯ
С.А. Александрова, А.А. Мусаев, О.В. Слита, А.В. Ушаков
Ставится задача обеспечения параметрической -инвариантности выхода непрерывной системы при неопределен-
ности матрицы состояния исходного объекта. Задача решается для случая матрицы состояния объекта, заданной в сопровождающей форме, для которой оказываются невыполнимыми условия достижения абсолютной параметрической инвариантности. Результаты иллюстрируются примером. Ключевые слова: неопределенность задания матрицы, сопровождающая форма, параметрическая
-инвариантность, собственные значения и векторы.
Введение
Современные методы анализа и синтеза динамических систем позволяют решать задачи управления ими в условиях системных неопределенностей задания модели объекта [1–5]. Одной из постановочных версий управления в условиях неопределенности является задача обеспечения инвариантности выхода системы к неопределенности параметров модели исходного объекта [4, 5] или параметрической инвариантности.
В работе приводятся алгебраические условия достижимости абсолютной параметрической инвариантности [2, 4, 5] и делается переход к ситуации, когда полученные алгебраические условия оказываются невыполнимыми, что явилось мотивацией к постановке задачи обеспечения -инвариантности вы-
хода системы с заданной оценкой величины .
Алгебраические условия обеспечения абсолютной параметрической инвариантности выхода системы
Рассматривается непрерывный объект управления (ОУ)
x (t) (A A)x(t) Bu(t) ,
x(t) t0
x(0) ,
y(t) Cx(t) ,
(1)
где x Rn , u Rr , y Rm ; x, u, y
– векторы состояния, управления и выхода
A Rnn , B Rnr , C Rmn , A, B, C – матрицы состояния, управления и выхода, при этом (A, B) и
(A, C) образуют соответственно управляемую и наблюдаемую пары; A Rnn – неопределенность за-
дания матрицы состояния.
Закон управления (ЗУ) объектом (1) формируется в виде
u(t) K g g(t) Kx(t) ,
(2)
где g(t) – задающее воздействие, матрица K с использованием метода модального управления [6] нахо-
дится с помощью системы уравнений
M AM BH ,
(3)
K HM1 ,
в которых наблюдаемая пара матриц ,H модальной модели задает желаемые динамические свойства
системы (путем назначения структуры собственных чисел диагональной матрицы ). Следует отметить, что если известны матрицы A, B, , H , то уравнение (3) решается относительно матрицы M , а если из-
вестны A,B, , M , то уравнение (3) решается относительно матрицы H в форме
H BT B 1 BT (AM M) .
Замкнутая система, образованная ОУ (1) и ЗУ (2), записывается как x (t) Fx(t) Gg(t) ΔFx(t); x(0) ;
(4)
y(t) Cx(t);
F A BK , G BK g , ΔF ΔA .
ЗУ (2) должен обеспечивать желаемые показатели качества замкнутой системы при наличии в исходном объекте параметрической неопределенности, т.е. параметрическую инвариантность ее выхода. Для целей дальнейших исследований представим сигнальный компонент ΔFx(t) в декомпозированной
форме:
60 Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики,
2013, № 2 (84)
С.А. Александрова, А.А. Мусаев, О.В. Слита, А.В. Ушаков
1 x1(t) 0
x1(t)
ΔFx(t) ΔAx(t) 0ΔA11
ΔA12
ΔA1n
x2 (t)
1
ΔA21
ΔA22
ΔA2n
x2 (t)
0 xn(t) 0
xn (t)
0 x1(t)
0
ΔAn1
ΔAn2
ΔAnn
x2 (t
)
=
D
t
.
1
xn
(t
)
(5)
Вектор параметрического воздействия t сформирован на правых мультипликативных компо-
нентах элементов разложения ΔFx(t) в форме (5) в силу представления
t col j ΔAj1
ΔAj 2
ΔAjn
x1(t)
x2
(t
)
xn
(t
)
(ΔA)
j
x(t)
hTj
x(t
)
,
(6)
где (ΔA) j – j -ая строка матрицы ΔA . На левых сомножителях слагаемых этого выражения сформируем
матрицу параметрического воздействия D row D j 0 j11;1;0n j1 ; j 1,n .
С использованием (6) запишем уравнение (4) системы в виде (t) Fx(t) Gg(t) Dη(t); y(t) Cx(t) .
(7)
Представление (7) системы (4) позволяет переформулировать задачу обеспечения абсолютной параметрической инвариантности y(t, F, g(t), ΔA 0) y(t, F, g(t),ΔA 0) как задачу обеспечения сигналь-
ной инвариантности [4, 7] y(t, F, g(t), (t) 0) y(t, F, g(t), (t) 0) .
(8)
Запишем выражение (8) в терминах преобразований Лапласа и передаточных функций (матриц)
Y (s, g(s), η(s) 0) yg (s)g(s) y (s)η(s) yg (s)g(s) ,
(9)
где g(s) – Лапласов образ задающего воздействия g(t) ; η(s) – Лапласов образ «параметрического» воз-
действия t ; Φyg (s) – передаточная функция (матрица) отношения «задающее воздействие–выход сис-
темы»; Φy (s) – передаточная функция (матрица) отношения «параметрическое» воздействие–выход системы». Очевидно, что равенство (9) при η(s) 0 выполняется, когда
Φy (s) 0 .
(10)
Соотношение (10) представляет собой «сигнальный» аналог инвариантности выхода (ошибки) к
неопределенностям задания матрицы состояния исходного объекта, которое выполняется при любых
реализациях внешнего задающего воздействия g(t) . Приведем утверждение, одно из положений которо-
го базируется на структуре собственных векторов [8] матрицы состояния проектируемой системы. Утверждение 1. [3, 5]. Для того чтобы система (4) обладала абсолютной параметрической инвари-
антностью выхода к неопределенности задания матрицы исходного объекта или чтобы система (10) обладала сигнальной инвариантностью выхода относительно внешнего «параметрического» воздействия
η(t) в смысле условий (8), (9), т.е. чтобы передаточная функция (матрица) «параметрический» вход η –
выход системы y » Φy (s) была бы нулевой и выполнялось равенство (10),
Φyη (s) C(sI F)1 D row Φyηj C(sI F)1 D j ; j 1, p;1 p n 0 ,
достаточно, чтобы 1. столбцы Dj матрицы D были собственными векторами матрицы F ;
2. столбцы Dj принадлежали ядру матрицы C , т.е. чтобы выполнялось соотношение CDj 0 .
Проблема параметрической -инвариантности
Проблема параметрической -инвариантности возникает в случае, когда невозможно достижение
абсолютной параметрической инвариантности, т.е. когда не выполняется какое-либо из условий утверждения 1. Проиллюстрируем эту ситуацию [9] на примере объекта управления, заданного в сопровождающем управляемом базисе
Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики, 2013, № 2 (84)
61
ОБЕСПЕЧЕНИЕ ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ε-ИНВАРИАНТНОСТИ …
0 1 0 0
0
0
A
0
1
0
,
B
0
,
C 1
0
0
0 .
0
0
0
1
0
(11)
a0 a1 a2 an1
bn
В этом случае любые системные неопределенности ΔA возмущают только последнюю строчку
матрицы состояния, и
0 0 0 0 0
0
0
0
0
0
ΔA
0
0
0
0
0
Δa0
Δa1
Δa2
Δan1 ,
Δa0 Δa1 Δa2 Δan1 1
откуда для матрицы D получаем представление в виде матрицы-столбца
D 0 0 0 1T .
(12)
В силу канонической сопровождающей формы задания матрицы A и вида матрицы B (11) ЗУ (2)
сохраняет каноническую сопровождающую форму матрицы состояния F системы [9], которая имеет
собственные вектора ξi , формируемые по схеме Вандермонда:
ξi 1 λi
λi2
λ n 1 i
T
;
i 1, n
.
(13)
Как видно из структуры (13) собственных векторов, матрица-столбец D (12) не совпадает ни с одним из собственных векторов F . Таким образом, при представлении матрицы состояния в форме (11) первое условие утверждения 1 выполнено не будет. Следовательно, абсолютная параметрическая инвариантность выхода для случая матрицы состояния, заданной в сопровождающей форме, недостижима. В этом случае следует перейти к обеспечению - инвариантности выхода проектируемой системы.
Оценка ˆ величины параметрической -инвариантности
Задачу формирования оценки ˆ величины параметрической -инвариантности решим в два этапа.
Этап 1. Модификация представления собственных векторов, построенных по схеме Вандермонда; им придается вид
ξi
λ n 1 i
1
λ2 1 i
λi 1 1T ; i 1, n .
Этап 2. Представление матрицы-столбца D (12) в виде проекции на собственный вектор ξ1 в
форме αξ1 D , в которой коэффициент ищется с помощью алгоритма Грама [10] из условия
α
ξ1, D ξ1, ξ1
ξ1T D ξ1T ξ1
1
λ11
1 2
.(n1) 2 λ1
Определим оценку ˆ на основе нормы невязки представления матрицы-столбца D его проекцией
Dˆ (λ1) αξ1 на вектор ξ1 в форме
εˆ(λ1) D Dˆ (λ1) D 100% .
Пример
В качестве ОУ рассмотрим электропривод, исполнительный двигатель которого обладает механической характеристикой, содержащей восходящий участок [11]. Представление ОУ в виде (1) характери-
зуется
матрицами
A ΔA
0 0
1
3,5; 0,5
с медианной составляющей
Α
0 0
1 1, 5
и интервальной
ΔA
0 0
0
2; 2
,
B
0
1T , C 1
0 .
Зададим требования к переходному процессу в виде его длительности tпп 2, 4 с и величины перерегулирования 0 % в системе, в которую войдет объект. Синтезируем закон модального управле-
62 Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики,
2013, № 2 (84)
С.А. Александрова, А.А. Мусаев, О.В. Слита, А.В. Ушаков
ния для номинального ОУ на основе биномиальной модальной модели, в которой 1 2 2 . Тогда
K 5, 25
5, 875
,
F
0 4
1 4
,
Kg
6, 25 ,
G
0 4
.
Результаты моделирования, представленные кривыми ошибки воспроизведения задающего воз-
действия g(t) t при медианном и двух угловых реализациях параметров ОУ ( e(t), e (t) – значения
ошибки e(t) , соответствующие угловым значениям интервальной матрицы состояния), показывают (ри-
сунок, а), что выход системы не обладает абсолютной параметрической инвариантностью, а параметрическая -инвариантность характеризуется заметной величиной .
Синтезируем закон модального управления, задавая значения 1: 1 10 , 1 50 , 1 100 .
Результаты моделирования представлены на рисунке, б ( 1 10 ), рисунке, в ( 1 50 ) и рисун-
ке, г ( 1 100 ), каждый из которых получен при медианных и двух угловых реализациях параметров исходного ОУ. Ни в одном из случаев не достигается абсолютная параметрическая инвариантность, но наблюдается заметное уменьшение величины параметрической инвариантности по мере уменьшения величины ˆ невязки аппроксимации вектора D собственным вектором, формируемым по схеме Вандермонда (таблица).
e(t), e(t), e(t), 1
e(t) e(t)
0,5
e(t), e(t), e(t), 0,7 e(t) 0,6
e(t) 0,5 0,4 e(t)
e(t) 0,5
0,3 0,2
0,1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 t, c 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 t, c аб
e(t), e(t), e(t), 0,7
0,6 e(t) 0,5 0,4 e(t)
e(t)
e(t), e(t), e(t), 0,7 0,6
e(t) 0,5 0,4 e(t)
e(t)
0,3 0,3
0,2 0,2
0,1 0,1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 t, c 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 t, c вг
Рисунок. Ошибка по выходу для номинальной и угловых версий системы, спроектированной с помощью
модального управления: 1 2 2 (а); 1 10; 2 2 (б); 1 50; 2 2 (в); 1 100; 2 2 (г)
Заключение
Показано, что для случая, когда матрица состояния исходного объекта задана в таком базисе, в котором недостижимо первое условие обеспечения абсолютной параметрической инвариантности, задача инвариантности выхода относительно неопределенности задания матрицы состояния объекта может быть решена в форме достижения параметрической -инвариантности с заданной .
Исследование выполнено при поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации, соглашение 14. B37.21.0406 «Разработка многофункционального малогабаритного мультиротационного летательного аппарата».
Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики, 2013, № 2 (84)
63
ОБЕСПЕЧЕНИЕ ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ε-ИНВАРИАНТНОСТИ …
1,2 2
1 10 2 2 1 50 2 2 1 100 2 2
Матрица состояния спроектированной системы (медианная составляющая)
F
0 4
1 4
F
0 20
1 12
F
0 100
1 52
F
0 200
1 102
Собственный вектор
0, 5
1
0,1
1
0, 02
1
0, 01
1
Величина ˆ невязки представления матрицы-
столбца D ˆ 50%
ˆ 10%
ˆ 5%
ˆ 1%
Матрица управления спроектированной сис-
темы
G
0 4
G
0 20
G
0 120
G
0 200
Величина параметрической
инвариантности по ошибке
50%
16%
3,85%
2%
Таблица. Показатели параметрически ε -инвариантных систем
Литература
1. Буков В.Н., Бронников А.М. Условия инвариантности выхода линейных систем // Автоматика и телемеханика. – 2005. – № 2. – С. 23–35.
2. Никифоров В.О., Ушаков А.В. Управление в условиях неопределенности: чувствительность, адаптация, робастность. – СПб: СПб ГИТМО (ТУ), 2002. – 232 с.
3. Ackermann J. Robust control systems with uncertain physical parameters. – London: Springer-Verlag, 1993. – 406 p.
4. Слита О.В., Ушаков А.В. Обеспечение инвариантности выхода непрерывной системы относительно экзогенных сигнальных и эндогенных параметрических возмущений: алгебраический подход // Изв. РАН. Теория и системы управления. – 2008 – № 4. – С. 24–32.
5. Слита О.В., Ушаков А.В. Достаточные алгебраические условия параметрической инвариантности выхода линейной стационарной системы в первом приближении // Изв. РАН. Теория и системы управления. – 2010. – № 6. – С. 16–22.
6. Слита О.В., Ушаков А.В. Модальное управление: два способа реализации концепции подобия // Мехатроника, автоматизация, управление. – 2008. – № 9. – С. 7–13.
7. Дударенко Н.А., Полякова М.В., Ушаков А.В. Алгебраическая организация условий обобщенной синхронизируемости многоагрегатных динамических объектов // Научно-технический вестник СПбГУ ИТМО. – 2010. – № 2 (66). – С. 30–36.
8. Дударенко Н.А., Ушаков А.В. Структура собственных векторов матриц состояния многоканальных систем как вырождающий фактор // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. – 2012. – № 5 (81). – С. 52–58.
9. Слита О.В., Ушаков А.В. Модельное представление объекта управления в задаче параметрической инвариантности// Изв. вузов. Приборостроение. – 2006. – Т. 49. – № 1. – С. 14–20.
10. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. – М.: Наука, 1973. – 575 с. 11. Ковчин С.А., Сабинин Ю.А. Теория электропривода. – СПб: Энергоатомиздат, 1994. – 496 с.
Александрова Софья Александровна Мусаев Андрей Александрович Слита Ольга Валерьевна Ушаков Анатолий Владимирович
– Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, студент, alexandrova_sophie@mail.ru
– Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, студент, brein7@mail.ru
– Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, кандидат технических наук, доцент, o-slita@yandex.ru
– Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, доктор технических наук, профессор, ushakov-AVG@yandex.ru
64 Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики,
2013, № 2 (84)