АЛГОРИТМЫ КОМПЕНСАЦИИ ПУЛЬСАЦИЙ МОМЕНТА ПРЕЦИЗИОННОГО ЭЛЕКТРОПРИВОДА НА БАЗЕ СИНХРОННОЙ МАШИНЫ С ПОСТОЯННЫМИ МАГНИТАМИ
В.С. Томасов, С.Ю. Ловлин, А.В. Егоров
УДК 681.532.65
АЛГОРИТМЫ КОМПЕНСАЦИИ ПУЛЬСАЦИЙ МОМЕНТА ПРЕЦИЗИОННОГО ЭЛЕКТРОПРИВОДА НА БАЗЕ СИНХРОННОЙ МАШИНЫ
С ПОСТОЯННЫМИ МАГНИТАМИ
В.С. Томасов, С.Ю. Ловлин, А.В. Егоров
Рассмотрена модель электропривода, учитывающая нелинейности синхронной машины с постоянными магнитами: зубцовый момент и момент высших гармоник потокосцепления ротора. Предложены алгоритмы идентификации параметров синхронной машины с постоянными магнитами и компенсации влияния пульсаций зубцового момента и момента гармоник. Данные алгоритмы увеличивают эффективность прецизионного электропривода за счет повышения точности позиционирования. Изложенные в работе решения имеют экспериментальное подтверждение. Ключевые слова: прецизионный электропривод, синхронная машина с постоянными магнитами, пульсации момента, зубцовый момент, момент гармоник.
Введение
К числу актуальных проблем современной электромеханики и силовой электроники относится проектирование систем управления прецизионными сервоприводами для оптико-механических систем и, в частности, для высокоточных комплексов позиционирования и слежения [1–6]. Проектирование серво-
Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики, 2013, № 2 (84)
77
АЛГОРИТМЫ КОМПЕНСАЦИИ ПУЛЬСАЦИЙ МОМЕНТА …
привода систем наведения и слежения таких комплексов требует решения широкого круга задач, связанных с необходимостью обеспечения высокоточного позиционирования, вращения исполнительного органа с инфранизкими угловыми скоростями при значительных величинах момента сопротивления на валу [1]. Высокое качество наведения должно обеспечиваться при вращающихся массах от нескольких десятков килограммов до нескольких десятков тонн при наличии возмущающих неравномерных моментов от сил вязкого и сухого трения, в том числе в подшипниковых узлах, кабельном переходе, переменных (зубцовых) моментов электродвигателя, ветровых и динамических нагрузок, включая момент дисбаланса оптической оси. Обеспечение таких точностей возможно лишь при использовании безредукторных следящих электроприводов осей на основе вентильных двигателей [1–6].
В прецизионных электроприводах чаще всего используются синхронные машины с возбуждением от постоянных магнитов (СМПМ). СМПМ характеризуются большим отношением вращающего момента к моменту инерции ротора, определяющим предельное быстродействие машины, а также низкими потерями в меди за счет отсутствия отдельных обмоток возбуждения и токов намагничивания. Высокая эффективность СМПМ позволяет использовать полностью закрытые конструкции с естественным охлаждением. Использование редкоземельных постоянных магнитов позволяет обеспечить высокую плотность магнитного потока в воздушном зазоре, что упрощает конструкцию двигателей высокой удельной мощности.
Одной из проблем приводов на базе СМПМ является неравномерность вращающего момента. Момент двигателя меняется периодически в зависимости от положения ротора во время его вращения. Результирующий мгновенный момент СМПМ состоит из двух составляющих: постоянного, или полезного, момента и пульсирующего момента. Существуют два источника пульсаций момента. Первый источник – момент, вызванный несинусоидальным распределением плотности магнитного потока в воздушном зазоре (момент гармоник). Второй – зубцовый момент, появляющийся в результате неравномерного распределения магнитной проницаемости статора.
Один из известных способов минимизации пульсаций момента электрической машины – системы управления с таблицами поиска (lookup table) [7–9]. Таблица поиска – это структура данных, обычно массив или ассоциативный массив, используемая с целью замены процедуры вычисления на операцию простого поиска [9]. Таблицы поиска для компенсации пульсаций момента составляются по результатам эксперимента или серии экспериментов. В процессе эксперимента фиксируются амплитудные значения тока в зависимости от угла поворота ротора при движении с постоянной скоростью. В этом случае таблица поиска будет содержать информацию о необходимых значениях тока для компенсации всех возмущений. Но некоторые из возмущений зависят от направления движения, а также от величин и знаков токов фаз СМПМ, или же со временем могут изменяться. Все это нельзя учесть при составлении таблицы поиска (в общем случае моменты трения при движении в положительную сторону и в отрицательную сторону не равны по модулю при движении), и поэтому она может содержать меняющиеся во времени составляющие момента возмущения. При изменении этих составляющих эффективность таблицы может снизиться вплоть до появления дополнительных возмущений.
Пульсации момента гармоник и зубцового момента являются свойством СМПМ и не меняются со временем. Рассмотренный ниже алгоритм рассчитан только на компенсацию этих пульсаций, что является его преимуществом по сравнению с таблицей поиска по причине вышеуказанных проблем.
Пульсации вращающего момента
Зубцовые пульсации вращающего момента (зубцовый момент) возникают в результате взаимодействия между постоянными магнитами, установленными на роторе, и зубцами статора. Существует множество методов для уменьшения зубцового момента, таких как скос пазов и (или) магнитов; изменение формы магнитов; введение вспомогательных пазов или зубцов; оптимизация соотношения полюсной дуги к полюсному шагу магнитов; использование дробного соотношения числа пазов к числу полюсов; и т.д. [10, 11]. Несмотря на то, что для определения результирующего зубцового момента сейчас широко используется метод конечных элементов, аналитические методы остаются полезным средством для быстрого расчета его формы [11, 12].
Один из таких методов – метод суперпозиции, используемый для получения результирующей формы зубцового момента на базе рассчитанного зубцового момента для одного зубца статора [13]. Этот момент может быть получен либо методом конечных элементов, либо путем разложения в ряд Фурье:
M sc
M sc.i sin(2 p i ) ,
i 1,2,3...
где M sc – зубцовый момент от одного паза статора; M sc.i – амплитуда i -ой гармоники; 2 p – число по-
люсов; – геометрический угол поворота ротора. Результирующий зубцовый момент для пазов статора может быть получен аналитически, учиты-
вая угловой сдвиг пазов и применяя метод суперпозиции [13]:
78 Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики,
2013, № 2 (84)
В.С. Томасов, С.Ю. Ловлин, А.В. Егоров
M cog
M sc.i Ns sin(Ncn) .
n 1, 2,3...
(1)
где Nc – наименьшее общее кратное 2 p и Ns . Анализируя формулу (1), можно сделать вывод, что по-
рядок основной гармоники зубцового момента равен наименьшему общему кратному Nc числа полюсов
ротора и пазов статора. Модель, полученная аналитическим методом, позволяет анализировать форму и
гармонический состав зубцового момента.
При сбалансированных синусоидальных токах в распределенных трехфазных обмотках статора
формируется синусоидальная магнитодвижущая сила (МДС) в воздушном зазоре. Синусоидальное рас-
пределение потока ротора достигается за счет изменения формы магнитов и регулирования их направле-
ния намагничивания. На практике идеальное синусоидальное распределение недостижимо, и противо-
ЭДС содержит несколько высших гармоник, что приводит к устойчивым пульсациям момента:
ea
(t
)
ce(t)
sin(
p(t ))
Ki
sin((2i
1)
p(t
))
,
i 1,2,3...
eb
(t)
ce
(t
)
sin
p(t)
2 3
i 1,2,3...
Ki
sin
(2i
1)
p(t)
2 3
,
ec
(t)
ce(t
)
sin
p(t )
2 3
i 1,2,3...
Ki
sin
(2i
1)
p(t)
2 3
,
где сe – конструктивная постоянная противо-ЭДС; p – количество пар полюсов; Ki – амплитуда i -ой гармоники противо-ЭДС относительно первой. При синусоидальных токах в обмотках статора,
ia (t)
Im
sin( p(t) ),
ib (t)
Im
sin
p(t)
2 3
,
ic
(t)
Im
sin
p(t)
2 3
,
(2)
где – угол сдвига фаз, Im – амплитуда фазных токов, основной момент принимает вид [5]
M ME1(t)
3 2
ce Im
cos()
.
(3)
Момент, обусловленный взаимодействием высших гармоник магнитного поля ротора с токами в
фазах статора, равен
M MEh (t)
3 2
ce Im
Ki
i 1,2,3...
cos(2 pi
) .
(4)
Следует отметить, что гармонический состав момента гармоник включает в себя и гармоники зуб-
цового момента. Это связано с тем, что высшие гармоники МДС вызывают и гармоники ЭДС (соответст-
венно момент гармоник M MEh ), и зубцовый момент M cog . Кроме того, момент гармоник имеет магнито-
электрическую природу и зависит от тока в обмотках статора, в то время как зубцовый момент возникает
за счет изменения энергии постоянных магнитов [14]. По этой причине алгоритмы компенсации их влия-
ния должны быть разными, и идентифицировать оба момента необходимо раздельно, что усложняется однообразием их гармонического состава.
Синтез алгоритма компенсации влияния нелинейностей электрической машины
Модель момента гармоник M MEh ((t)) (4) соответствует синусоидальным токам статора (2), поэтому для синтеза алгоритма компенсации на базе моделей (4) и (1) необходимо замкнуть контур тока.
Контур тока настраивается на апериодическое звено первого порядка с постоянной времени TT [15]. В результате электромагнитный момент двигателя принимает вид
M
(t)
3 2
ce Im
cos()
3 2
ce Im
Ki
i 1,2,3...
cos(2 pi
)
M sc.i Ns
n 1, 2,3...
sin( Nc n)
.
(5)
Тогда добавка к заданию амплитуды тока Im , благодаря которой формула (5) преобразовывается в (3), имеет следующий вид:
I
* m
2 3
ce 1
n 1, 2 , 3...
M
sc.i
Ns
sin(Ncn) Im
Ki
i 1,2,3...
cos(2 pi )
.
cos() Ki cos(2 pi )
i 1,2,3...
(6)
Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики, 2013, № 2 (84)
79
АЛГОРИТМЫ КОМПЕНСАЦИИ ПУЛЬСАЦИЙ МОМЕНТА …
Уравнение (6) не учитывает динамические особенности контура тока, поэтому всегда будет присутствовать ошибка компенсации пульсаций зубцового момента и момента гармоник. Компенсация, учитывающая динамику контура тока, имеет вид
I
* m
2 3
ce 1
n 1, 2,3...
M
sc.i
Ns
(sin(Ncn) TT Ncn(t) sin(Ncn))
Im
Ki
(cos(2
pi
)
2
pi(t)TT
sin(2
pi
))
i 1,2,3...
(7)
cos()
Ki
(cos(2
pi
)
2
pi(t)TT
sin(2
pi
))
1
.
i1,2,3...
Таким образом, при известных параметрах M sc.i , Ns , Ki , p , ce компенсация (7) позволяет мини-
мизировать пульсации электромагнитного момента, не учитывая влияние изменения тока в фазе. В случае, когда динамическими особенностями контура тока можно пренебречь, стоит пользоваться компен-
сацией (6), так как для ее вычисления не используется скорость вращения привода, и сама формула про-
ще, т.е. займет меньше времени при вычислении на микроконтроллере.
Идентификация параметров моделей момента гармоник и зубцового момента
Расчет параметров модели момента гармоник (4) и зубцового момента (1) требует точного моделирования электромагнитного поля в воздушном зазоре электрической машины при таких известных параметрах машины, как скос пазов статора, высота воздушного зазора, расположение обмоток статора, высота магнитов и т.п. [16–19]. Такие данные очень редко сообщаются разработчиками электрических машин, так как составляют интеллектуальную собственность. Кроме того, расчет электромагнитных процессов в воздушном зазоре электрической машины – весьма трудоемкая задача, в отличие от определения параметров моделей (4) и (1) экспериментальным путем. Идентификация параметров моделей момента гармоник (4) и зубцового момента (1) осуществляется при постоянной скорости, так как динамический момент привода равен нулю, и основной момент принимает вид
M ME1 (t) M MEh ((t)) M cog ((t)) M тр ((t)) M каб ((t)) M дисб ((t)) ,
где M тр – момент трения; M каб – момент кабельного перехода (который при постоянной скорости вра-
щения можно считать линейным); M дисб – момент дисбаланса оптической оси.
Измеряемый угол по датчику положения ротора ДП (t) отличается от электрического угла :
pДП (t) p(t) , где – угол расхождения нуля датчика положения ротора с нулем электрического угла. Тогда (2) принимает вид
ia (t)
Im
sin( pДП (t) * ),
ib (t)
Im
sin
pДП (t) *
2 3
,
ic
(t)
Im
sin
pДП
(t)
*
2 3
,
где * – задаваемый параметр, позволяющий регулировать угол между магнитным потоком ротора и
магнитным потоком статора. При вращении в положительную и отрицательную сторону с постоянной скоростью получают за-
висимости
I
m.1
(ДП
)
и
I
m.1
(ДП
)
для
1 ,
I
m.2
(ДП
)
и
I
m.2
(ДП
)
для
2 . Этим данным соответствует сле-
дующее уравнение:
(
I
m.1
(
ДП
)
I
m.1
(ДП
))
cos(*
1 )
(I
m.2
(ДП
)
I m.2
(ДП
))
cos(*
2
)
(
I
m.1
(ДП
)
I
m.1
(
ДП
))
Ki cos(2 piДП * 2 )
i 1,2,3...
(8)
(
I
m.2
(
ДП
)
I
m.2
(
ДП
))
Ki cos(2 piДП * 2 ).
i 1, 2,3...
Параметры модели момента гармоник Ki определяются из уравнения (8) методом наименьших
квадратов (МНК). Затем для определения параметров зубцового момента M sc.i составляется следующее уравнение:
80 Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики,
2013, № 2 (84)
В.С. Томасов, С.Ю. Ловлин, А.В. Егоров
3 2
ce
(
I
m
(ДП
)
I
m
(ДП
))
cos(*
)
3 2
ce
(
I
m
(ДП
)
I
m
(ДП
))
Ki cos(2 piДП * ) 2 M sc.i Ns sin(NcnДП * ) f (ДП ),
i 1,2,3...
n 1, 2 , 3...
причем
f
()
(M
тр
(ДП
)
M
тр
(ДП
))
2M каб
(ДП
)
2M дисб
(ДП
)
.
При принятых допущениях относительно линейности M каб и при несовпадении периода M дисб с
периодом гармоник M cog , параметры M sc.i достаточно точно определяются с помощью МНК.
Эксперимент
Оценка эффективности алгоритма компенсации проводилась путем сравнения двух трехконтурных систем управления с контурами тока, скорости и положения, настроенных с учетом и без учета нелинейностей исполнительной электрической машины. Для проведения эксперимента использован уникальный стенд, спроектированный и изготовленный в ОАО НПК «СПП» для проведения экспериментальных научно-исследовательских работ в НИУ ИТМО, полностью имитирующий поведение азимутальной оси опорно-поворотного устройства. Стенд состоит из двухмассового механизма и позволяет изменять коэффициент жесткости между первой и второй массами, а также момент инерции второй массы. Для измерения угла поворота оси стенд оснащен прецизионным датчиком фирмы «Renishaw». На стенде установлен трехфазный синхронный двигатель типа RSM-P-36-275*25 BS производства фирмы ООО «Рухсервомотор». Согласно паспортным данным, СМПМ имеет следующие параметры: коэффици-
ент противо-ЭДС ce 6, 2 В с/рад ; активное сопротивление фазы R 1, 2 Ом ; электромагнитная посто-
янная времени Te 8 мс ; количество пар полюсов p 24 ; количество пазов Ns 36 . Напряжение в зве-
не постоянного тока – 48 В.
25 M, Нм
4 M, Нм
20 2
15 0
10 –-2
520
30
40
, град 50 60
–-420
30
40
, град 50 60
аб
Рис. 1. График основного момента при движении с постоянной скоростью (а) и график результатов идентификации зубцового момента и момента гармоник СМПМ (б)
err,
err,
3 1,2 2,5 1
2 0,8 1,5 0,6
1 0,4
0,5 0,2
0 5 10 15 f, Гц 0 5 10 15 f, Гц
аб Рис. 2. Спектральный состав ошибки трехконтурной системы управления, настроенной без (а)
и с учетом (б) влияния нелинейностей исполнительной электрической машины
Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики, 2013, № 2 (84)
81
АЛГОРИТМЫ КОМПЕНСАЦИИ ПУЛЬСАЦИЙ МОМЕНТА …
Идентификация параметров моделей момента гармоник и зубцового момента проводилась согласно методике, описанной выше. На вход трехконтурной системы управления подавалось линейновозрастающее задающее воздействие, соответствующее скорости вращения 1град с . При этом средне-
квадратичное отклонение (СКО) ошибки по углу составляло 1, 3 . Результаты идентификации изображе-
ны на рис. 1. Спектральный состав ошибки err при отработке линейно изменяющегося сигнала задания со
скоростью 8 град с системами управления с компенсацией и без компенсации влияния зубцового мо-
мента и момента гармоник изображен на рис. 2. В таблице приведены значения СКО ошибок слежения при отработке системами задающих сигна-
лов, изменяющихся с постоянной скоростью. Очевидно, что использование алгоритма компенсации позволяет существенно повысить точность слежения прецизионного электропривода.
Скорость слежения, град с
1 8
СКО трехконтурной системы управления, угл. секунды
1,5 5,6
СКО трехконтурной системы управления с алгоритмом компенсации влияния нелинейностей СМПМ, угл. секунды
0,7
2,9
Таблица. Результаты применения алгоритма компенсации на испытательном стенде
Заключение
Предложена модель электропривода, учитывающая нелинейности синхронной машины с постоянными магнитами. Разработаны алгоритмы идентификации параметров моделей зубцового момента и момента гармоник и компенсации влияния нелинейностей синхронной машины с постоянными магнитами. Разработанные алгоритмы позволили повысить точность сопровождения космических аппаратов при движении оптической оси с постоянной скоростью. Рассмотренные в работе алгоритмы идентификации и компенсации были использованы при разработке цифровых сервоприводов для ОПУ-799, ОПУ-834 проектов «Прицел» и «Моренос», выполненных по заказам ОАО НПК «СПП».
Литература
1. Васильев В.Н., Томасов В.С., Шаргородский В.Д., Садовников М.А. Состояние и перспективы развития прецизионных электроприводов комплексов высокоточных наблюдений // Изв. вузов. Приборостроение. – 2008. – № 6. – С. 5–11.
2. Томасов В.С., Денисов К.М., Толмачев В.А. Следящие электроприводы систем наведения оптикомеханических комплексов нового поколения. Проблемы и достижения // Тр. V междунар. (XVI Всеросс.) конференции по автоматизированному электроприводу. – 2007. – С. 175–177.
3. Томасов В.С., Овчинников И.Е., Егоров А.В. Энергоподсистема большого алтайского телескопа траекторных измерений // Известия тульского государственного университета. – Тула: Изд-во ТулГУ, 2010. – Вып. 3. – Ч. 3. – С. 216–222.
4. Балковой А.П., Цаценкин В.К. Прецизионный электропривод с вентильными двигателями – М.: Издательский дом МЭИ, 2010. – 328 с.
5. Овчинников И.Е. Вентильные электрические двигатели и привод на их основе (малая и средняя мощность) // Курс лекций – СПб: Корона-Принт, 2010. – 336 с.
6. Сабинин Ю.А. Позиционные и следящие электромеханические системы: Учебное пособие для вузов. – СПб: Энергоатомиздат, 2001. – 208 с.
7. Campbell-Kelly Martin, Croarken Mary, Robson Eleanor. The History of Mathematical Tables From Sumer to Spreadsheets. – 1-st ed. – New York, USA: Oxford University Press. – 2003. – 372 p.
8. Iqbal Husain. Minimization of Torque Ripple in SRM Drives // IEEE Transactions on industrial electronics. – 2002. – V. 49. – № 1. – P. 28–39.
9. Wu A.P., Chapman P.L. Cancellation of Torque Ripple Due to Nonlinearities of Permanent Magnet Synchronous Machine Drives // Proc. IEEE Power Electronics Specialist Conf. – 2003. – P. 256–261.
10. Jahns T.M., Soong W.L. Pulsating torque minimization techniques for permanent magnet ac motor drives: a review // IEEE Trans. Power Electronics. – 1996. – V. 43. – P. 321–330.
11. Zhu Z.Q., Howe D. Influence of design parameters on cogging torque in permanent magnet machines // IEEE Trans. on Energy Conversion. – 2000. – V.15. – № 4. – P. 407–412.
12. Goto M., Kobayashi K. An analysis of the cogging torque of a DC motor and a new technique of reducing the cogging torque // Electrical Engineering in Japan. – 1983. – V. 103. – № 5. – P. 113–120.
13. Zhu Z.Q., Ruangsinchaiwanich S., Howe D. Synthesis of Cogging Torque Waveform from Analysis of a Single Stator Slot // IEEE International Conference on Electric Machines and Drives. – 2005. – P. 125–130.
82 Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики,
2013, № 2 (84)
В.С. Томасов, С.Ю. Ловлин, А.В. Егоров
14. Holtz J., Springob L. Identification and compensation of torque ripple in high-precision permanent magnet motor drive // IEEE Transactions on Industrial Electronics. – 1996. – V. 43. – № 2. – P. 309–320.
15. Ловлин С.Ю., Тушев С.А. Информационная подсистема цифрового электросилового привода с компенсацией пульсаций момента вентильного двигателя // Сборник тезисов докладов конференции молодых ученых. – СПб: СПбГУ ИТМО, 2011. – Вып. 2. – С. 250–251.
16. Jingqiu Qiao, William Cai. Calculation and Error Analysis of Electromagnetic Torque for a Wheel Permanent-Magnet Motor // IEEE Transactions on Industry Applications. – 2006. – V. 42. – № 5. – P. 1155–1161.
17. Arash Kiyoumarsi. Prediction of torque pulsations in brushless permanent–magnet motors using improved analytical technique // Journal of Electrical Engineering. – 2010. – V. 61. – № 1. – P. 37–43.
18. Steinbrink J. Analytical Determination of the Cogging Torque in Brushless Motors Excited by Permanent Magnets // IEEE International. – 2007. – V. 1. – P. 172–177.
19. Favre E., Cardoletti L., Jufer M. Permanent-Magnet Synchronous Motors: A Comprehensive Approach to Cogging Torque Suppression // IEEE Transactions on industry applications. – 1993. – V. 29. – № 6. – P. 1141–1149.
Томасов Валентин Сергеевич Ловлин Сергей Юрьевич Егоров Алексей Вадимович
– Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, кандидат технических наук, доцент, зав. кафедрой, tomasov@ets.ifmo.ru
– Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, младший научный сотрудник, seri-l@yandex.ru
– Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, инженер-исследователь, alexeykey@rambler.ru
Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики, 2013, № 2 (84)
83
УДК 681.532.65
АЛГОРИТМЫ КОМПЕНСАЦИИ ПУЛЬСАЦИЙ МОМЕНТА ПРЕЦИЗИОННОГО ЭЛЕКТРОПРИВОДА НА БАЗЕ СИНХРОННОЙ МАШИНЫ
С ПОСТОЯННЫМИ МАГНИТАМИ
В.С. Томасов, С.Ю. Ловлин, А.В. Егоров
Рассмотрена модель электропривода, учитывающая нелинейности синхронной машины с постоянными магнитами: зубцовый момент и момент высших гармоник потокосцепления ротора. Предложены алгоритмы идентификации параметров синхронной машины с постоянными магнитами и компенсации влияния пульсаций зубцового момента и момента гармоник. Данные алгоритмы увеличивают эффективность прецизионного электропривода за счет повышения точности позиционирования. Изложенные в работе решения имеют экспериментальное подтверждение. Ключевые слова: прецизионный электропривод, синхронная машина с постоянными магнитами, пульсации момента, зубцовый момент, момент гармоник.
Введение
К числу актуальных проблем современной электромеханики и силовой электроники относится проектирование систем управления прецизионными сервоприводами для оптико-механических систем и, в частности, для высокоточных комплексов позиционирования и слежения [1–6]. Проектирование серво-
Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики, 2013, № 2 (84)
77
АЛГОРИТМЫ КОМПЕНСАЦИИ ПУЛЬСАЦИЙ МОМЕНТА …
привода систем наведения и слежения таких комплексов требует решения широкого круга задач, связанных с необходимостью обеспечения высокоточного позиционирования, вращения исполнительного органа с инфранизкими угловыми скоростями при значительных величинах момента сопротивления на валу [1]. Высокое качество наведения должно обеспечиваться при вращающихся массах от нескольких десятков килограммов до нескольких десятков тонн при наличии возмущающих неравномерных моментов от сил вязкого и сухого трения, в том числе в подшипниковых узлах, кабельном переходе, переменных (зубцовых) моментов электродвигателя, ветровых и динамических нагрузок, включая момент дисбаланса оптической оси. Обеспечение таких точностей возможно лишь при использовании безредукторных следящих электроприводов осей на основе вентильных двигателей [1–6].
В прецизионных электроприводах чаще всего используются синхронные машины с возбуждением от постоянных магнитов (СМПМ). СМПМ характеризуются большим отношением вращающего момента к моменту инерции ротора, определяющим предельное быстродействие машины, а также низкими потерями в меди за счет отсутствия отдельных обмоток возбуждения и токов намагничивания. Высокая эффективность СМПМ позволяет использовать полностью закрытые конструкции с естественным охлаждением. Использование редкоземельных постоянных магнитов позволяет обеспечить высокую плотность магнитного потока в воздушном зазоре, что упрощает конструкцию двигателей высокой удельной мощности.
Одной из проблем приводов на базе СМПМ является неравномерность вращающего момента. Момент двигателя меняется периодически в зависимости от положения ротора во время его вращения. Результирующий мгновенный момент СМПМ состоит из двух составляющих: постоянного, или полезного, момента и пульсирующего момента. Существуют два источника пульсаций момента. Первый источник – момент, вызванный несинусоидальным распределением плотности магнитного потока в воздушном зазоре (момент гармоник). Второй – зубцовый момент, появляющийся в результате неравномерного распределения магнитной проницаемости статора.
Один из известных способов минимизации пульсаций момента электрической машины – системы управления с таблицами поиска (lookup table) [7–9]. Таблица поиска – это структура данных, обычно массив или ассоциативный массив, используемая с целью замены процедуры вычисления на операцию простого поиска [9]. Таблицы поиска для компенсации пульсаций момента составляются по результатам эксперимента или серии экспериментов. В процессе эксперимента фиксируются амплитудные значения тока в зависимости от угла поворота ротора при движении с постоянной скоростью. В этом случае таблица поиска будет содержать информацию о необходимых значениях тока для компенсации всех возмущений. Но некоторые из возмущений зависят от направления движения, а также от величин и знаков токов фаз СМПМ, или же со временем могут изменяться. Все это нельзя учесть при составлении таблицы поиска (в общем случае моменты трения при движении в положительную сторону и в отрицательную сторону не равны по модулю при движении), и поэтому она может содержать меняющиеся во времени составляющие момента возмущения. При изменении этих составляющих эффективность таблицы может снизиться вплоть до появления дополнительных возмущений.
Пульсации момента гармоник и зубцового момента являются свойством СМПМ и не меняются со временем. Рассмотренный ниже алгоритм рассчитан только на компенсацию этих пульсаций, что является его преимуществом по сравнению с таблицей поиска по причине вышеуказанных проблем.
Пульсации вращающего момента
Зубцовые пульсации вращающего момента (зубцовый момент) возникают в результате взаимодействия между постоянными магнитами, установленными на роторе, и зубцами статора. Существует множество методов для уменьшения зубцового момента, таких как скос пазов и (или) магнитов; изменение формы магнитов; введение вспомогательных пазов или зубцов; оптимизация соотношения полюсной дуги к полюсному шагу магнитов; использование дробного соотношения числа пазов к числу полюсов; и т.д. [10, 11]. Несмотря на то, что для определения результирующего зубцового момента сейчас широко используется метод конечных элементов, аналитические методы остаются полезным средством для быстрого расчета его формы [11, 12].
Один из таких методов – метод суперпозиции, используемый для получения результирующей формы зубцового момента на базе рассчитанного зубцового момента для одного зубца статора [13]. Этот момент может быть получен либо методом конечных элементов, либо путем разложения в ряд Фурье:
M sc
M sc.i sin(2 p i ) ,
i 1,2,3...
где M sc – зубцовый момент от одного паза статора; M sc.i – амплитуда i -ой гармоники; 2 p – число по-
люсов; – геометрический угол поворота ротора. Результирующий зубцовый момент для пазов статора может быть получен аналитически, учиты-
вая угловой сдвиг пазов и применяя метод суперпозиции [13]:
78 Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики,
2013, № 2 (84)
В.С. Томасов, С.Ю. Ловлин, А.В. Егоров
M cog
M sc.i Ns sin(Ncn) .
n 1, 2,3...
(1)
где Nc – наименьшее общее кратное 2 p и Ns . Анализируя формулу (1), можно сделать вывод, что по-
рядок основной гармоники зубцового момента равен наименьшему общему кратному Nc числа полюсов
ротора и пазов статора. Модель, полученная аналитическим методом, позволяет анализировать форму и
гармонический состав зубцового момента.
При сбалансированных синусоидальных токах в распределенных трехфазных обмотках статора
формируется синусоидальная магнитодвижущая сила (МДС) в воздушном зазоре. Синусоидальное рас-
пределение потока ротора достигается за счет изменения формы магнитов и регулирования их направле-
ния намагничивания. На практике идеальное синусоидальное распределение недостижимо, и противо-
ЭДС содержит несколько высших гармоник, что приводит к устойчивым пульсациям момента:
ea
(t
)
ce(t)
sin(
p(t ))
Ki
sin((2i
1)
p(t
))
,
i 1,2,3...
eb
(t)
ce
(t
)
sin
p(t)
2 3
i 1,2,3...
Ki
sin
(2i
1)
p(t)
2 3
,
ec
(t)
ce(t
)
sin
p(t )
2 3
i 1,2,3...
Ki
sin
(2i
1)
p(t)
2 3
,
где сe – конструктивная постоянная противо-ЭДС; p – количество пар полюсов; Ki – амплитуда i -ой гармоники противо-ЭДС относительно первой. При синусоидальных токах в обмотках статора,
ia (t)
Im
sin( p(t) ),
ib (t)
Im
sin
p(t)
2 3
,
ic
(t)
Im
sin
p(t)
2 3
,
(2)
где – угол сдвига фаз, Im – амплитуда фазных токов, основной момент принимает вид [5]
M ME1(t)
3 2
ce Im
cos()
.
(3)
Момент, обусловленный взаимодействием высших гармоник магнитного поля ротора с токами в
фазах статора, равен
M MEh (t)
3 2
ce Im
Ki
i 1,2,3...
cos(2 pi
) .
(4)
Следует отметить, что гармонический состав момента гармоник включает в себя и гармоники зуб-
цового момента. Это связано с тем, что высшие гармоники МДС вызывают и гармоники ЭДС (соответст-
венно момент гармоник M MEh ), и зубцовый момент M cog . Кроме того, момент гармоник имеет магнито-
электрическую природу и зависит от тока в обмотках статора, в то время как зубцовый момент возникает
за счет изменения энергии постоянных магнитов [14]. По этой причине алгоритмы компенсации их влия-
ния должны быть разными, и идентифицировать оба момента необходимо раздельно, что усложняется однообразием их гармонического состава.
Синтез алгоритма компенсации влияния нелинейностей электрической машины
Модель момента гармоник M MEh ((t)) (4) соответствует синусоидальным токам статора (2), поэтому для синтеза алгоритма компенсации на базе моделей (4) и (1) необходимо замкнуть контур тока.
Контур тока настраивается на апериодическое звено первого порядка с постоянной времени TT [15]. В результате электромагнитный момент двигателя принимает вид
M
(t)
3 2
ce Im
cos()
3 2
ce Im
Ki
i 1,2,3...
cos(2 pi
)
M sc.i Ns
n 1, 2,3...
sin( Nc n)
.
(5)
Тогда добавка к заданию амплитуды тока Im , благодаря которой формула (5) преобразовывается в (3), имеет следующий вид:
I
* m
2 3
ce 1
n 1, 2 , 3...
M
sc.i
Ns
sin(Ncn) Im
Ki
i 1,2,3...
cos(2 pi )
.
cos() Ki cos(2 pi )
i 1,2,3...
(6)
Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики, 2013, № 2 (84)
79
АЛГОРИТМЫ КОМПЕНСАЦИИ ПУЛЬСАЦИЙ МОМЕНТА …
Уравнение (6) не учитывает динамические особенности контура тока, поэтому всегда будет присутствовать ошибка компенсации пульсаций зубцового момента и момента гармоник. Компенсация, учитывающая динамику контура тока, имеет вид
I
* m
2 3
ce 1
n 1, 2,3...
M
sc.i
Ns
(sin(Ncn) TT Ncn(t) sin(Ncn))
Im
Ki
(cos(2
pi
)
2
pi(t)TT
sin(2
pi
))
i 1,2,3...
(7)
cos()
Ki
(cos(2
pi
)
2
pi(t)TT
sin(2
pi
))
1
.
i1,2,3...
Таким образом, при известных параметрах M sc.i , Ns , Ki , p , ce компенсация (7) позволяет мини-
мизировать пульсации электромагнитного момента, не учитывая влияние изменения тока в фазе. В случае, когда динамическими особенностями контура тока можно пренебречь, стоит пользоваться компен-
сацией (6), так как для ее вычисления не используется скорость вращения привода, и сама формула про-
ще, т.е. займет меньше времени при вычислении на микроконтроллере.
Идентификация параметров моделей момента гармоник и зубцового момента
Расчет параметров модели момента гармоник (4) и зубцового момента (1) требует точного моделирования электромагнитного поля в воздушном зазоре электрической машины при таких известных параметрах машины, как скос пазов статора, высота воздушного зазора, расположение обмоток статора, высота магнитов и т.п. [16–19]. Такие данные очень редко сообщаются разработчиками электрических машин, так как составляют интеллектуальную собственность. Кроме того, расчет электромагнитных процессов в воздушном зазоре электрической машины – весьма трудоемкая задача, в отличие от определения параметров моделей (4) и (1) экспериментальным путем. Идентификация параметров моделей момента гармоник (4) и зубцового момента (1) осуществляется при постоянной скорости, так как динамический момент привода равен нулю, и основной момент принимает вид
M ME1 (t) M MEh ((t)) M cog ((t)) M тр ((t)) M каб ((t)) M дисб ((t)) ,
где M тр – момент трения; M каб – момент кабельного перехода (который при постоянной скорости вра-
щения можно считать линейным); M дисб – момент дисбаланса оптической оси.
Измеряемый угол по датчику положения ротора ДП (t) отличается от электрического угла :
pДП (t) p(t) , где – угол расхождения нуля датчика положения ротора с нулем электрического угла. Тогда (2) принимает вид
ia (t)
Im
sin( pДП (t) * ),
ib (t)
Im
sin
pДП (t) *
2 3
,
ic
(t)
Im
sin
pДП
(t)
*
2 3
,
где * – задаваемый параметр, позволяющий регулировать угол между магнитным потоком ротора и
магнитным потоком статора. При вращении в положительную и отрицательную сторону с постоянной скоростью получают за-
висимости
I
m.1
(ДП
)
и
I
m.1
(ДП
)
для
1 ,
I
m.2
(ДП
)
и
I
m.2
(ДП
)
для
2 . Этим данным соответствует сле-
дующее уравнение:
(
I
m.1
(
ДП
)
I
m.1
(ДП
))
cos(*
1 )
(I
m.2
(ДП
)
I m.2
(ДП
))
cos(*
2
)
(
I
m.1
(ДП
)
I
m.1
(
ДП
))
Ki cos(2 piДП * 2 )
i 1,2,3...
(8)
(
I
m.2
(
ДП
)
I
m.2
(
ДП
))
Ki cos(2 piДП * 2 ).
i 1, 2,3...
Параметры модели момента гармоник Ki определяются из уравнения (8) методом наименьших
квадратов (МНК). Затем для определения параметров зубцового момента M sc.i составляется следующее уравнение:
80 Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики,
2013, № 2 (84)
В.С. Томасов, С.Ю. Ловлин, А.В. Егоров
3 2
ce
(
I
m
(ДП
)
I
m
(ДП
))
cos(*
)
3 2
ce
(
I
m
(ДП
)
I
m
(ДП
))
Ki cos(2 piДП * ) 2 M sc.i Ns sin(NcnДП * ) f (ДП ),
i 1,2,3...
n 1, 2 , 3...
причем
f
()
(M
тр
(ДП
)
M
тр
(ДП
))
2M каб
(ДП
)
2M дисб
(ДП
)
.
При принятых допущениях относительно линейности M каб и при несовпадении периода M дисб с
периодом гармоник M cog , параметры M sc.i достаточно точно определяются с помощью МНК.
Эксперимент
Оценка эффективности алгоритма компенсации проводилась путем сравнения двух трехконтурных систем управления с контурами тока, скорости и положения, настроенных с учетом и без учета нелинейностей исполнительной электрической машины. Для проведения эксперимента использован уникальный стенд, спроектированный и изготовленный в ОАО НПК «СПП» для проведения экспериментальных научно-исследовательских работ в НИУ ИТМО, полностью имитирующий поведение азимутальной оси опорно-поворотного устройства. Стенд состоит из двухмассового механизма и позволяет изменять коэффициент жесткости между первой и второй массами, а также момент инерции второй массы. Для измерения угла поворота оси стенд оснащен прецизионным датчиком фирмы «Renishaw». На стенде установлен трехфазный синхронный двигатель типа RSM-P-36-275*25 BS производства фирмы ООО «Рухсервомотор». Согласно паспортным данным, СМПМ имеет следующие параметры: коэффици-
ент противо-ЭДС ce 6, 2 В с/рад ; активное сопротивление фазы R 1, 2 Ом ; электромагнитная посто-
янная времени Te 8 мс ; количество пар полюсов p 24 ; количество пазов Ns 36 . Напряжение в зве-
не постоянного тока – 48 В.
25 M, Нм
4 M, Нм
20 2
15 0
10 –-2
520
30
40
, град 50 60
–-420
30
40
, град 50 60
аб
Рис. 1. График основного момента при движении с постоянной скоростью (а) и график результатов идентификации зубцового момента и момента гармоник СМПМ (б)
err,
err,
3 1,2 2,5 1
2 0,8 1,5 0,6
1 0,4
0,5 0,2
0 5 10 15 f, Гц 0 5 10 15 f, Гц
аб Рис. 2. Спектральный состав ошибки трехконтурной системы управления, настроенной без (а)
и с учетом (б) влияния нелинейностей исполнительной электрической машины
Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики, 2013, № 2 (84)
81
АЛГОРИТМЫ КОМПЕНСАЦИИ ПУЛЬСАЦИЙ МОМЕНТА …
Идентификация параметров моделей момента гармоник и зубцового момента проводилась согласно методике, описанной выше. На вход трехконтурной системы управления подавалось линейновозрастающее задающее воздействие, соответствующее скорости вращения 1град с . При этом средне-
квадратичное отклонение (СКО) ошибки по углу составляло 1, 3 . Результаты идентификации изображе-
ны на рис. 1. Спектральный состав ошибки err при отработке линейно изменяющегося сигнала задания со
скоростью 8 град с системами управления с компенсацией и без компенсации влияния зубцового мо-
мента и момента гармоник изображен на рис. 2. В таблице приведены значения СКО ошибок слежения при отработке системами задающих сигна-
лов, изменяющихся с постоянной скоростью. Очевидно, что использование алгоритма компенсации позволяет существенно повысить точность слежения прецизионного электропривода.
Скорость слежения, град с
1 8
СКО трехконтурной системы управления, угл. секунды
1,5 5,6
СКО трехконтурной системы управления с алгоритмом компенсации влияния нелинейностей СМПМ, угл. секунды
0,7
2,9
Таблица. Результаты применения алгоритма компенсации на испытательном стенде
Заключение
Предложена модель электропривода, учитывающая нелинейности синхронной машины с постоянными магнитами. Разработаны алгоритмы идентификации параметров моделей зубцового момента и момента гармоник и компенсации влияния нелинейностей синхронной машины с постоянными магнитами. Разработанные алгоритмы позволили повысить точность сопровождения космических аппаратов при движении оптической оси с постоянной скоростью. Рассмотренные в работе алгоритмы идентификации и компенсации были использованы при разработке цифровых сервоприводов для ОПУ-799, ОПУ-834 проектов «Прицел» и «Моренос», выполненных по заказам ОАО НПК «СПП».
Литература
1. Васильев В.Н., Томасов В.С., Шаргородский В.Д., Садовников М.А. Состояние и перспективы развития прецизионных электроприводов комплексов высокоточных наблюдений // Изв. вузов. Приборостроение. – 2008. – № 6. – С. 5–11.
2. Томасов В.С., Денисов К.М., Толмачев В.А. Следящие электроприводы систем наведения оптикомеханических комплексов нового поколения. Проблемы и достижения // Тр. V междунар. (XVI Всеросс.) конференции по автоматизированному электроприводу. – 2007. – С. 175–177.
3. Томасов В.С., Овчинников И.Е., Егоров А.В. Энергоподсистема большого алтайского телескопа траекторных измерений // Известия тульского государственного университета. – Тула: Изд-во ТулГУ, 2010. – Вып. 3. – Ч. 3. – С. 216–222.
4. Балковой А.П., Цаценкин В.К. Прецизионный электропривод с вентильными двигателями – М.: Издательский дом МЭИ, 2010. – 328 с.
5. Овчинников И.Е. Вентильные электрические двигатели и привод на их основе (малая и средняя мощность) // Курс лекций – СПб: Корона-Принт, 2010. – 336 с.
6. Сабинин Ю.А. Позиционные и следящие электромеханические системы: Учебное пособие для вузов. – СПб: Энергоатомиздат, 2001. – 208 с.
7. Campbell-Kelly Martin, Croarken Mary, Robson Eleanor. The History of Mathematical Tables From Sumer to Spreadsheets. – 1-st ed. – New York, USA: Oxford University Press. – 2003. – 372 p.
8. Iqbal Husain. Minimization of Torque Ripple in SRM Drives // IEEE Transactions on industrial electronics. – 2002. – V. 49. – № 1. – P. 28–39.
9. Wu A.P., Chapman P.L. Cancellation of Torque Ripple Due to Nonlinearities of Permanent Magnet Synchronous Machine Drives // Proc. IEEE Power Electronics Specialist Conf. – 2003. – P. 256–261.
10. Jahns T.M., Soong W.L. Pulsating torque minimization techniques for permanent magnet ac motor drives: a review // IEEE Trans. Power Electronics. – 1996. – V. 43. – P. 321–330.
11. Zhu Z.Q., Howe D. Influence of design parameters on cogging torque in permanent magnet machines // IEEE Trans. on Energy Conversion. – 2000. – V.15. – № 4. – P. 407–412.
12. Goto M., Kobayashi K. An analysis of the cogging torque of a DC motor and a new technique of reducing the cogging torque // Electrical Engineering in Japan. – 1983. – V. 103. – № 5. – P. 113–120.
13. Zhu Z.Q., Ruangsinchaiwanich S., Howe D. Synthesis of Cogging Torque Waveform from Analysis of a Single Stator Slot // IEEE International Conference on Electric Machines and Drives. – 2005. – P. 125–130.
82 Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики,
2013, № 2 (84)
В.С. Томасов, С.Ю. Ловлин, А.В. Егоров
14. Holtz J., Springob L. Identification and compensation of torque ripple in high-precision permanent magnet motor drive // IEEE Transactions on Industrial Electronics. – 1996. – V. 43. – № 2. – P. 309–320.
15. Ловлин С.Ю., Тушев С.А. Информационная подсистема цифрового электросилового привода с компенсацией пульсаций момента вентильного двигателя // Сборник тезисов докладов конференции молодых ученых. – СПб: СПбГУ ИТМО, 2011. – Вып. 2. – С. 250–251.
16. Jingqiu Qiao, William Cai. Calculation and Error Analysis of Electromagnetic Torque for a Wheel Permanent-Magnet Motor // IEEE Transactions on Industry Applications. – 2006. – V. 42. – № 5. – P. 1155–1161.
17. Arash Kiyoumarsi. Prediction of torque pulsations in brushless permanent–magnet motors using improved analytical technique // Journal of Electrical Engineering. – 2010. – V. 61. – № 1. – P. 37–43.
18. Steinbrink J. Analytical Determination of the Cogging Torque in Brushless Motors Excited by Permanent Magnets // IEEE International. – 2007. – V. 1. – P. 172–177.
19. Favre E., Cardoletti L., Jufer M. Permanent-Magnet Synchronous Motors: A Comprehensive Approach to Cogging Torque Suppression // IEEE Transactions on industry applications. – 1993. – V. 29. – № 6. – P. 1141–1149.
Томасов Валентин Сергеевич Ловлин Сергей Юрьевич Егоров Алексей Вадимович
– Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, кандидат технических наук, доцент, зав. кафедрой, tomasov@ets.ifmo.ru
– Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, младший научный сотрудник, seri-l@yandex.ru
– Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, инженер-исследователь, alexeykey@rambler.ru
Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики, 2013, № 2 (84)
83