Например, Бобцов

ВОССТАНОВЛЕНИЕ НЕПРЕРЫВНЫХ СПЕКТРОВ АДАПТИВНЫМ СПОСОБОМ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ ЭКСПЕРИМЕНТОВ С РЕГУЛЯРИЗАЦИЕЙ

ВОССТАНОВЛЕНИЕ НЕПРЕРЫВНЫХ СПЕКТРОВ АДАПТИВНЫМ СПОСОБОМ...
УДК 535.338.1+519.642.3+519.6
ВОССТАНОВЛЕНИЕ НЕПРЕРЫВНЫХ СПЕКТРОВ АДАПТИВНЫМ СПОСОБОМ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ ЭКСПЕРИМЕНТОВ С РЕГУЛЯРИЗАЦИЕЙ
В.С. Сизиков, А.В. Кривых
Рассмотрена обратная задача спектроскопии – восстановление непрерывных спектров путем математической обработки измеренных спектров, искаженных аппаратной функцией спектрометра и помехами. Задача сводится к решению интегрального уравнения Фредгольма I рода. Задача его решения некорректна, поэтому для получения устойчивого решения используется метод регуляризации Тихонова. При этом применен адаптивный способ вычислительных экспериментов, согласно которому, наряду с исходным спектром P, обрабатывается модельный спектр Q с задаваемым истинным спектром z и моделируемым измеренным спектром u с учетом дополнительной (априорной) информации об истинном спек-
тре P. Это позволяет выбрать параметр регуляризации  . Предложенная методика может быть использована для по-
вышения разрешающей способности спектрометра. Приведены численные иллюстрации. Ключевые слова: непрерывный спектр, обратная задача спектроскопии, интегральное уравнение, метод регуляризации Тихонова, способ вычислительных экспериментов, повышение разрешающей способности спектрометра.
Введение Измеренный спектрометром (например, интерферометром Фабри–Перо) спектр u() (где  – длина волны) обычно отличается от истинного спектра z() [1–8]. Это проявляется, во-первых, в большей сглаженности спектра u() по сравнению с z() , а именно, в спектре u() не разрешены близкие линии, сглажена тонкая структура спектральной линии, что является результатом воздействия аппаратной функции спектрального прибора [1–9]. Во-вторых, это проявляется в зашумленности спектра u() , а именно, слабые линии «тонут» в шуме, что является результатом погрешностей измерений [1–3], а также воздействия среды, через которую проходит излучение [10]. Дадим следующее определение аппаратной функции (АФ) [3, 6–8] (ср. [9, С. 32, 704]): аппаратной функцией K(, ) спектрометра называется его реакция (в виде измеренной интенсивности) на дискретную линию единичной интенсивности и длины волны  при настройке спектрометра на длину волны  . Форма аппаратной функции (ширина и т.д.) может заметно меняться с изменением длины волны настройки  [min , max ] , где [min , max ] – диапазон длин волн изучаемой части спектра. Обычно с увеличением  АФ становится шире, что характерно для широкополосной спектрометрии, например, изучения спектра звезды во всем видимом диапазоне. Если же АФ практически не изменяется при изменении  , то АФ является разностной (инвариантной): K(,)  K(  ) , что имеет место, например, при изучении тонкой структуры отдельной линии [3, 6, 8], когда диапазон [min , max ] мал. На рис. 1 в качестве примера приведен смоделированный непрерывный измеренный спектр u() , сглаженный аппаратной функцией спектрометра K(, ) , а также зашумленный (и дискретизированный) измеренный спектр u()  u()  u (где u – шум) и АФ спектрометра, причем, поскольку в дан-
22 Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики,
2013, № 3 (85)

В.С. Сизиков, А.В. Кривых

ном примере K(, ) – функция неразностная, то приведено два ее «сечения» (подробности примера см.
дальше). В принципе похожий вид может иметь непрерывный узкополосный спектр [6, С. 200], например, сверхтонкая структура отдельной линии, обусловленная магнитными или электрическими полями (эффект Зеемана или Штарка), а также тепловым уширением (эффект Доплера) [10], однако в этом случае диапазон [min , max ] мал, а АФ – разностная: K(, )  K(  ) .
6

Ииннттееннссииввнноосстть,ь,у.у.е.е.

5  u()
4  u~()
3

2

1 K(620, )

K(485, ) 0

450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620 630 640 650

 min

, , нм

 max

Рис. 1. u() – измеренный без шума спектр; u() – измеренный зашумленный и дискретизированный
спектр; K ( , ) – АФ при некоторой длине волны настройки    ; [min , max ] – широкий диапазон длин волн

Как будет видно далее, в примере на рис. 1 в измеренном спектре u() (тем более, в зашумленном
спектре u() ) не разрешены близкие линии и не выявлены слабые, причем этот эффект тем сильнее, чем
шире АФ K(, ) (а также чем выше уровень шумов), другими словами, чем меньше разрешающая спо-
собность спектрометра [1, 9]. В данной работе ставится известная обратная задача спектроскопии – задача восстановления ис-
тинного спектра z() по измеренному спектру u() и аппаратной функции K(, ) [1–8, 11–15]. Дан-
ная задача описывается интегральным уравнением (см. дальше), задача решения которого некорректна, поэтому его обычно решают методом регуляризации Тихонова. При этом важным является вопрос о вы-
боре параметра регуляризации  . В данной работе предлагается новый адаптивный способ (вычисли-
тельных экспериментов) для выбора параметра  .

Математическая формулировка обратной задачи спектроскопии

Рассмотрим случай непрерывного спектра, обычно характерного для веществ с повышенной плотностью (расплавленный жидкий металл, плазма и т.д.). Измеренная интенсивность u() при настройке

спектрометра на длину волны  равна сумме (интегралу) по всем истинным интенсивностям z() с ве-

совой функцией K:
b
u()   z() K (, ) d , a
где a  min , b  max , откуда, варьируя значение  (т.е. выполняя сканирование по спектру) и учитывая
зашумленность спектра u() , получим:

b
 K (, ) z() d  u() , c    d ,
a
где [c, d] – пределы изменения  (обычно более широкие, чем [a,b] ).

(1)

В соотношении (1) известны (измерены или заданы) u() , K(, ) , a, b, c, d, а z() является ис-

комым истинным спектром. Соотношение (1) есть интегральное уравнение Фредгольма I рода, причем

Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики, 2013, № 3 (85)

23

ВОССТАНОВЛЕНИЕ НЕПРЕРЫВНЫХ СПЕКТРОВ АДАПТИВНЫМ СПОСОБОМ...

K(, ) является ядром уравнения, u() – правой частью, а z() – искомой функцией. Если K(,)  K(  ) , то



 K (  ) z() d  u() , 0     .

(2)

0

Соотношение (2) есть интегральное уравнение Фредгольма I рода типа свертки на полуоси. Реше-

ние уравнения (1) или (2) дает возможность, в принципе, восстановить истинный спектр z() . Однако

задача решения уравнений (1) и (2) является некорректной (существенно неустойчивой) [2–4, 6, 8, 16]: если решать уравнение (1), например, методом квадратур, а уравнение (2) – методом преобразования Фурье (инверсной фильтрации), то в качестве решения получим так называемую «пилу» [3, 6, 8] – крайне неустойчивое решение. По этой причине для устойчивого решения этих уравнений необходимо применение таких методов, как регуляризация Тихонова [2–4, 6–8, 11–16], параметрическая фильтрация Винера [3, 6, 8, 16], итеративная регуляризация Фридмана [6, 8, 16] и др.
При обработке спектра в широком диапазоне длин волн следует учитывать изменение формы АФ

K(, ) с изменением длины волны настройки  . При обработке же спектра в узкой полосе следует ис-

пользовать уравнение Фредгольма I рода с разностным ядром (ср. (2)):

b

 K (  ) z() d  u() , c    d .

(3)

a

Задача решения уравнений (1)–(3) связана с задачей редукции к идеальному спектральному при-

бору [1–4, 9, 17] – с одним из вариантов редукционной проблемы Рэлея [3, 6, 8, 13]. Успешное решение

задачи редукции позволит путем математической обработки результатов измерений повысить разре-

шающую способность спектрального прибора. В настоящей статье воспользуемся методом регуляриза-

ции Тихонова. Что касается других устойчивых методов (фильтрации Винера, итеративных методов и

др.), то они изложены в различных публикациях ([3, 6, 8, 16] и др.) и также могут быть применены для

устойчивого восстановления спектров.

Краткая формулировка метода регуляризации Тихонова

Запишем уравнение (1) в виде

b

A z   K (, ) z() d  u() , c    d ,

(4)

a

где A – оператор, соответствующий ядру K. Метод регуляризации Тихонова сводится к решению инте-

грального уравнения Фредгольма II рода

b
 z (t)  B(t, ) z () d  U (t) , a  t  b , a
где   0 – параметр регуляризации, а новое ядро и новая правая часть равны

(5)

dd
B(t, )  B(,t)   K (,t) K (, ) d , U (t)   K (,t)u() d . cc
В таком варианте уравнение (5) обычно решается методом квадратур [3, 4, 6, 8, 16]. Если же рассматривать уравнение (2) или (3), то его решение методом регуляризации Тихонова будет включать преобразование Фурье и  -регуляризацию (подробности см. в [3, 4, 6, 8, 11–16, 18–21]).
При этом важным является вопрос о выборе параметра регуляризации  и об учете дополнитель-

ной (априорной) информации относительно искомого спектра z() . Существует ряд способов выбора

параметра регуляризации  : способ невязки, обобщенный принцип невязки, метод перекрестной значимости, локальный регуляризующий алгоритм, способ подбора и др. [3, 4, 6, 8, 13, 16, 18–21].

Способ вычислительных экспериментов

В данной работе получает дальнейшее развитие способ вычислительных экспериментов для выбора параметра регуляризации  (другие его названия – способ псевдообратного оператора, способ эталонных, или модельных примеров, способ моделирования) [3, 6, 8, 16, 22, 23]. Данный способ учитывает дополнительную (априорную) информацию об искомом спектре (оценку количества спектральных линий, их параметров и т.д.) и поэтому является интерактивным и адаптивным способом.
Кратко изложим способ вычислительных экспериментов. Рассмотрим операторное уравнение I рода: A z  u (ср. (4)). Полагаем, что вместо точных u и K из-
вестны u и K такие, что || u  u ||  , || A  A ||  , где  и  – верхние оценки погрешностей по норме
правой части u и ядра K. При использовании метода регуляризации Тихонова решается операторное

24 Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики,
2013, № 3 (85)

В.С. Сизиков, А.В. Кривых

уравнение  z  AT A z  AT u (ср. (5)), где AT – транспонированный оператор. Обозначим  z  z  z –
погрешность регуляризованного решения z , а z – точное решение (нормальное псевдорешение [16, 20, 21]). В работах [16, 22, 23] получена следующая оценка относительной погрешности регуляризованного решения по норме:

||

 z || z ||

||



()

,

(6)

где

()



|| A
2

|| 




p p 1

.

(7)

Здесь   отн  отн , причем отн   || u || и  отн   || A || – относительные погрешности исходных
данных; p || A  ||2 , A – псевдообратный оператор: Au  z [20, С. 184]. Функция () является верх-

ней огибающей для истинной относительной погрешности

 отн

()



||

 ||

z z ||

||

.

(8)

В работах [16, 22] показано, что функция () имеет (единственный) минимум при условии

p  (|| A  || )2  27 16  1, 69 или || A  ||  || A ||   3 3 4  1, 30 . Согласно соотношениям (6)–(8), оценка

относительной погрешности ||  z || || z || регуляризованного решения z зависит от A и  (точнее, от
произведения || A ||  ). По этой причине, если решается несколько задач (другими словами, обрабатыва-

ется несколько спектров) с одинаковыми A и  , то для них оценки погрешности

 отн ()



||

 z || z ||

||



|| A~ || 
2



p p 1

будут одинаковыми.

Отсюда следует, что при решении некоторого исходного примера P (т.е. при обработке исходного

спектра uP ) с неизвестным решением (спектром) zP можно использовать результаты решения другого,

модельного, примера Q с известным (заданным) точным решением (спектром) zQ , причем с такими же

A и  , что и в примере P. При этом при решении примера Q можно рассчитать функцию

 отн () Q  ||  z Q || || zQ || и по ней найти  опт Q – оптимальное значение  , при котором

 отн () Q



min 

.

Это

значение

 опт Q

может быть использовано при решении исходного примера (спек-

тра) P. При этом необходимо также определить p || A  ||2 . Оценка p может быть получена путем подбо-

ра такого значения p, при котором огибающая кривая () касается набора кривых отн ()Q (см. рис. 3).
Добавим, что для повышения эффективности изложенного способа модельный пример Q (или несколько примеров) должен содержать дополнительную информацию об исходном примере (спектре) P, а именно, оценку количества спектральных линий (максимумов) в искомом спектре zP , соотношений их
интенсивностей и значений их длин волн. Данную оценку должен делать опытный спектроскопист. Ис-
пользование такой информации в модельном примере Q позволит более удачно выбрать параметр  .
Данный способ следует считать адаптивным и интерактивным способом.

Численная иллюстрация

В рамках системы программирования MATLAB 7 был разработан пакет программ для восстанов-

ления истинных непрерывных спектров z() путем численного решения интегрального уравнения

Фредгольма I рода методом регуляризации Тихонова с использованием способа вычислительных экспериментов.
Сначала был рассмотрен первый пример (рис. 1) – оригинал P, у которого известен зашумленный

измеренный спектр u() на равномерной сетке узлов   min , min  h,, max , где min  450 нм ; max  650 нм ; h    const  1 нм – шаг дискретизации; n  (max  min ) h  200 – число шагов дискретизации по  . Известна также аппаратная функция – дифракционная АФ Рэлея (ср. [1, 4, 5]) вида

K (, )



1 ()

sinc2

  

   ()

  



1 ()

sin (  ) ()2

 

(  ) ()

 

,

(9)

Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики, 2013, № 3 (85)

25

ВОССТАНОВЛЕНИЕ НЕПРЕРЫВНЫХ СПЕКТРОВ АДАПТИВНЫМ СПОСОБОМ...

где () – полуширина АФ по уровню 0, равная приблизительно ширине АФ по уровню 0,5, которую мы

положили равной ()  8 min нм . Спектр полагается широкополосным (от фиолетового до красного), поэтому ширина АФ непостоянна, а именно, (min )  8 нм , а (max )  11, 55 нм , т.е. (max ) (min )  1, 44 . При этом истинный спектр z() в примере P неизвестен.

Из рис. 1 видно, что измеренный спектр u() имеет довольно сложную структуру, а именно, со-

держит шесть явных флуктуаций, две из которых (при   525 нм и   620 нм ), скорее всего, состоят каждая из двух линий, но они не разрешились из-за того, что АФ имеет немалую ширину и, тем самым, ограничивает разрешающую способность спектрометра. Кроме того, есть намек на то, что при   507 нм и   543 нм имеются еще две слабые линии. Таким образом, все указывает на то, что на самом деле в спектре имеются не менее восьми спектральных линий. В связи с этим в качестве второго (модельного или эталонного) примера Q был составлен близкий к оригиналу P пример, истинный спектр zQ () которого состоит из 9 спектральных линий в виде гауссиан:
zQ ()  2, 0 exp{[(  486) /10]2} 0, 4exp{[(  512) / 5]2}
8,5exp{[(  522) / 2]2} 9, 2exp{[(  530) / 2]2}

0,5exp{[(  542) / 5]2} 8, 2exp{[(  566) / 6]2}

2,5exp{[(  592) / 4]2} 4,5exp{[(  614) / 7]2}

3, 0 exp{[(  626) / 5]2}.

Измеренный спектр uQ () в примере Q был рассчитан согласно выражению
b
uQ ()  K (, ) zQ () d , c    d , a
численно. При этом a = 460, b = 640, c = 450, d = 650 нм. Погрешности измеренной uP () были оценены примерно в 1%, что соответствует среднеквадра-
тическому отклонению СКО ≈ 0,02. По этой причине к значениям uQ () были добавлены случайные
нормальные погрешности с СКО от 0,01 до 0,025, что соответствует отн  0,5  1,25% , поскольку значе-
ние отн в исходном примере P известно неточно. АФ спектрометра в примере Q была взята в виде (9),
причем (поскольку АФ известна также неточно) () было взято равным ()  (8  )  min , где   0  0,3 , что соответствует отн  0  3% .
Далее модельный пример Q был решен методом квадратур с регуляризацией Тихонова с помощью
разработанной m-функции Tikh.m [6, С. 207] для ряда значений параметра регуляризации  , и была
построена зависимость относительной погрешности регуляризованного решения z () по отношению к точному решению z() (см. (8)):

 отн () 

z ()  z() z()

.

На рис. 2 представлены зависимости отн () для ряда погрешностей отн и отн . На рис. 2 пред-
ставлена также огибающая () (см. (7)), при построении которой было положено   102 и
|| A |||| A ||  || u ||L2 || z ||L2  0,82 . Для ряда значений p от 100 до 270 были рассчитаны кривые ()
(рис. 2). Было выбрано то значение p, при котором одна из кривых касается набора кривых отн () , а
именно, p = 100. Этому соответствует значение параметра регуляризации   103 . Из рис. 2 видно, что,
несмотря на разброс кривых отн () и () , значения p и, как следствие,  определяются уверенно.
При значении   103 , выбранном с помощью решения модельного примера Q как вспомогательного восстановлен спектр в исходном примере P (рис. 3). Как видно из рис. 3, в примере P разрешились близкие линии и восстановились слабые линии, правда, на краях спектра проявился эффект Гиббса, однако в слабой форме (на уровне погрешностей метода). Аналогичные результаты получены для других, весьма различных, непрерывных спектров [3, 6–8, 14, 22, 23], т.е. изложенная в работе методика вычислительных экспериментов может быть использована для широкого класса спектров (с близкими линиями, со слабыми линиями, узкими и широкими линиями и т.д.).

26 Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики,
2013, № 3 (85)

В.С. Сизиков, А.В. Кривых

1

0,9

0,8

0,7
0,6
отн ()
0,5
0,4

p=270  p=200
()  p=100

0,3

0,2

0,1

0–9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 lg 
Рис. 2. Зависимости  отн () для ряда погрешностей отн и отн и огибающие ()

2

9 11
8

7

интеИннстиевннсоисвтнь,осу.теь., у.е.

6 5 22

4

3

2 33
1

0
460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620 630 640 , , нм
Рис. 3. 1 – истинный спектр zP () ; 2 – измеренный спектр u() ; 3 – восстановленный спектр z P ()
Заключение
Практическое использование изложенной методики позволит повысить разрешающую способность спектрометра. Спектральный прибор может быть соединен с компьютером или со спецпроцессором с заложенным в него математическим и программным обеспечением, реализующим методы и численные алгоритмы решения обратной задачи спектроскопии. В результате такого комплексирования (соединения прибора с компьютером) можно разрешить близкие и выделить слабые линии спектров излучения (или поглощения), а именно, в физике – спектров газов, жидкостей, металлов, плазмы; в астрофизике – спектров звезд, планет, галактик, туманностей, комет; в металлургии – спектров расплавленных металлов в домнах; в геофизике – спектров залежей руд, минералов, нефти, газа и т.д.
Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант № 13-08-00442).

Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики, 2013, № 3 (85)

27

ВОССТАНОВЛЕНИЕ НЕПРЕРЫВНЫХ СПЕКТРОВ АДАПТИВНЫМ СПОСОБОМ...

Литература
1. Раутиан С.Г. Реальные спектральные приборы // Успехи физических наук. – 1958. – Т. 66. – Вып. 3. – С. 475–517.
2. Кочиков И.В., Курамшина Г.М., Пентин Ю.А., Ягола А.Г. Обратные задачи колебательной спектроскопии. – М.: Изд-во МГУ, 1993. – 204 с.
3. Сизиков В.С. Математические методы обработки результатов измерений. – СПб: Политехника, 2001. – 240 с.
4. Старков В.Н. Конструктивные методы вычислительной физики в задачах интерпретации. – Киев: Наукова думка, 2002. – 264 с.
5. Fleckl T., Jäger H., Obernberger I. Experimental verification of gas spectra calculated for high temperatures using the HITRAN/HITEMP database // J. Phys. D: Appl. Phys. – 2002. – V. 35. – P. 3138–3144.
6. Сизиков В.С. Обратные прикладные задачи и MatLab. – СПб: Лань, 2011. – 256 с. 7. Сизиков В.С., Кривых А.В. Применение способа эталонных примеров при решении обратной задачи
спектроскопии методом регуляризации // Изв. вузов. Приборостроение. – 2011. – Т. 54. – № 9. – С. 44– 51. 8. Сизиков В.С. Интегральные уравнения и MatLab в задачах томографии, иконики и спектроскопии. – Saarbrücken: LAP, 2011. – 252 c. 9. Физический энциклопедический словарь / Гл. ред. А.М. Прохоров. – М.: Сов. энциклопедия, 1984. – 944 с. 10. Ландсберг Г.С. Оптика: Учебное пособие для вузов. – 6-е изд. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. – 848 с. 11. Преображенский Н.Г., Седельников А.И. Оптимизация спектроскопических измерений на основе методов регуляризации // Журнал прикладной спектроскопии. – 1981. – Т. 35. – Вып. 4. – С. 592–599. 12. Брагинская Т.Г., Клюбин В.В. Решение обратной задачи спектроскопии оптического смещения методом регуляризации Тихонова. Препринт № 855. – Л.: ЛИЯФ, 1983. – 60 с. 13. Глазов М.В., Болохова Т.А. Решение редукционной проблемы Рэлея с использованием различных модификаций метода регуляризации // Оптика и спектроскопия. – 1989. – Т. 67. – Вып. 3. – С. 533– 537. 14. Кривых А.В., Сизиков В.С. Комплексированное восстановление непрерывных спектров с использованием псевдообратной матрицы // XLI Неделя науки СПбГПУ: материалы научно-практической конференции с международным участием. Ч. XIII. – СПб: Изд-во Политехн. ун-та, 2012. – С. 240–242. 15. Кривых А.В., Сизиков В.С. Обработка дискретных спектров с помощью алгоритма интегральной аппроксимации // Научно-технический вестник СПбГУ ИТМО. – 2011. – № 5 (75). – С. 14–18. 16. Верлань А.Ф., Сизиков В.С. Интегральные уравнения: методы, алгоритмы, программы. – Киев: Наукова думка, 1986. – 544 с. 17. Краулиня Э.К., Лиепа С.Я., Пикалов В.В., Скудра А.Я. К проблеме исследования атомной сенсибилизированной флуоресценции по контурам спектральных линий // Некорректные обратные задачи атомной физики / Сб. статей под ред. Н.Г. Преображенского. – Новосибирск: ИТПМ, 1976. – 133 с. 18. Воскобойников Ю.Е., Преображенский Н.Г., Седельников А.И. Математическая обработка эксперимента в молекулярной газодинамике. – Новосибирск: Наука, 1984. – 240 с. 19. Воскобойников Ю.Е., Мухина И.Н. Локальный регуляризирующий алгоритм восстановления контрастных сигналов и изображений // Автометрия. – 2000. – № 3. – С 45–53. 20. Морозов В.А. Регулярные методы решения некорректно поставленных задач. – М.: Наука, 1987. – 240 с. 21. Тихонов А.Н., Гончарский А.В., Степанов В.В., Ягола А.Г. Численные методы решения некорректных задач. – М.: Наука, 1990. – 232 с. 22. Сизиков В.С. Обобщенный метод редукции измерений // Электронное моделирование. – 1991. – Т. 13. – № 4. – С. 7–14. 23. Верлань А.Ф., Сизиков В.С., Мосенцова Л.В. Метод вычислительных экспериментов для решения интегральных уравнений в обратной задачи спектроскопии // Электронное моделирование. – 2011. – Т. 33. – № 2. – С. 3–12.

Сизиков Валерий Сергеевич Кривых Александр Владимирович

– Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, доктор технических наук, профессор, sizikov2000@mail.ru
– Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, аспирант, krivykh1987@mail.ru

28 Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики,
2013, № 3 (85)