ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ПЕРЕМНОЖЕНИЕМ ПЕРЕМЕННЫХ НА ОСНОВЕ КРОНЕКЕРОВСКИХ МАТРИЧНЫХ СТРУКТУР
ПРИБОРЫ И СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
УДК 62.50
Л. В. КОЖЕВНИКОВА, А. В. УШАКОВ
ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ПЕРЕМНОЖЕНИЕМ ПЕРЕМЕННЫХ
НА ОСНОВЕ КРОНЕКЕРОВСКИХ МАТРИЧНЫХ СТРУКТУР
Рассматривается задача исследования процессов в динамических системах с перемножением переменных. Для указанных целей используются возможности кронекеровских векторных и матричных структур. Задача решается применительно к системам с амплитудной модуляцией. Ключевые слова: динамическая система, перемножение переменных, кронекеровские матричные структуры.
Введение. Постановка задачи исследования динамических систем с перемножением переменных, на первый взгляд, может показаться экзотической, однако класс таких систем достаточно широк. В первую очередь, это системы, работающие на переменном токе, или, иначе, системы с амплитудно-фазовой модуляцией [1—3].
Системы управления и следящие системы с модуляцией составляют заметную часть практики автоматического управления. Модуляторами в таких системах являются: сельсины, поворотные трансформаторы, индуктивные датчики, полудисковые модуляторы лучистой энергии и т.д. [1—3]. Однако теоретические исследования процессов в системах с модуляцией в последнее время заметно сократились, причем это произошло на фоне интенсификации внедрения в теорию и практику исследования динамических систем метода пространства состояния [4].
Свойства векторных и матричных кронекеровских структур. Для понимания сформулированной выше проблемы приведем определения векторных и матричных кронекеровских структур, а также описание тех их свойств, которые непосредственно связаны с построением векторно-матричных модельных представлений процессов с модуляцией.
О п р е д е л е н и е 1 . Кронекеровским произведением векторов (КПВ) x и y , x∈Rn ,
{y∈Rm , называется вектор x⊗ y , составленный из отдельных произведений xi y j ; i =1, n; }j =1, m их элементов, так что становится справедливым представление
x⊗ y = col{xi y j ; i =1, n; j =1, m} , x⊗ y∈Rnm , при этом КПВ некоммутативны, и x⊗ y ≠ y⊗ x .
О п р е д е л е н и е 2 . Если размерности векторов x и y одинаковы, то на их кронекеровском произведении x⊗ y может быть построено согласованное сужение этого произведения
(x⊗ y)s , задаваемого представлением ( x⊗ y)s = col{xi yi ; i =1, n}.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 1
16 Л. В. Кожевникова, А. В. Ушаков
Согласованное сужение кронекеровского векторного произведения x⊗ y может быть
осуществлено с помощью оператора сужения с матрицей S вида
S = diag{[01×(i−1) 1 01×(n−i) ]; i =1, n},
так что становится справедливой запись
(x⊗ y)s = S(x⊗ y) .
Рассмотрим свойства кронекеровского произведения векторов. Свойство 1. Дифференцирование кронекеровской структуры в виде КПВ осуществляется по правилам дифференцирования сложной функции, представленной в мультикативной
форме:
d dt
(
x(t
)⊗
y(t
))
∆
=
x(t
)⊗
y(t
)
+
x(t)
⊗
y
(t
)
.
О п р е д е л е н и е 3 . Кронекеровским произведением матриц (КПМ) A∈Rn×m , B∈R p×q
называется матрица A⊗ B размерности np×mq , определяемая соотношением
A⊗ B = col{row( Aij B; j =1, m); i =1, n} .
Кронекеровское произведение произвольных прямоугольных матриц не обладает коммутативностью, так что A⊗B ≠ B⊗ A .
Задача конструирования матричной модели динамических процессов с модуляцией в своей основе использует квадратные матрицы, коими являются матрицы состояния системы, конечномерного источника внешнего воздействия и конечномерного источника модулирующего сигнала, поэтому далее рассматривается только класс квадратных матриц.
О п р е д е л е н и е 4 . Кронекеровской суммой матриц (КСМ) A∈Rn×n и B∈Rm×m называется матрица A⊕ B , размерности nm×nm , определяемая соотношением
A⊕B = A⊗IB +IA ⊗B ,
где I A , IB — единичные матрицы, согласованные по размерности соответственно с матрицами А и В.
Для КСМ А и В, а в общем случае произвольного числа матриц, существует альтернативное название — преобразование Сильвестра Si( A, B) , что записывается в форме
∆∆
A⊕ B = A⊗ IB + I A ⊗ B = Si{A, B} . Для трех квадратных матриц A, B, D кронекеровская сумма или их преобразование
Сильвестра определяется как
Si{A, B, D}= A⊕ B⊕ D = A⊗IB ⊗ID + I A ⊗B⊗ID + I A ⊗IB ⊗D .
Отметим, что, как и КПМ, кронекеровская сумма матриц некоммутативна. Кронекеровские матричные структуры, введенные выше, обладают следующими свойствами. Свойство 2. Алгебраические спектры собственных значений кронекеровского произве-
дения A ⊗ B квадратных матриц A∈Rn×n и B∈Rm×m и их кронекеровской суммы A⊕B как матричных функций от матриц обладают следующим свойством: элементы первого алгебраического спектра образованы попарными произведениями собственных значений кронекеровски перемножаемых матриц:
σ{ A ⊗ B} = {µ k :det(µI − A ⊗ B ) = 0; µ k = λ Ai λ B j ; i = 1, n; j = 1, m; k = 1, mn} ,
(1)
элементы второго алгебраического спектра образованы попарными суммами собственных
значений кронекеровски суммируемых матриц:
σ{A⊕ B}={νl :det(νI − A⊕ B) = 0; νl = λ Ai +λBj ; i =1, n; j =1, m; l =1, mn} .
(2)
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 1
Исследование динамических систем с перемножением переменных
17
В выражениях (1) и (2) λ Ai и λBj — собственные значения матриц А и В соответственно.
Следует заметить, что алгебраические спектры собственных значений кронекеровских произведений A ⊗ B и B ⊗ A в соответствии с выражением (1) совпадают, аналогичным свойством в силу соотношения (2) обладают и спектры кронекеровских сумм A ⊕ B и B ⊕ A.
Свойство 3. Определитель КПМ матриц A∈Rn×n и B∈Rm×m удовлетворяет соотношению
det(A⊗B) = (det A)m (det B)n .
Свойство 4. След КСМ матриц A∈Rn×n и B∈Rm×m удовлетворяет соотношению tr( A⊕ B) = m trA+ n trB .
Свойство 5. Ранг КПМ матриц A∈Rn×n и B∈Rm×m удовлетворяет условию rang( A⊗ B) = rangA rangB .
Для решения поставленной задачи полезно напомнить [5] основные свойства кронеке-
ровских произведений произвольных матриц, что необходимо при преобразованиях матрич-
ных композиций, содержащих в своем составе эти произведения.
Свойство 6.
(P⊗Q)(W ⊗V ) = PW ⊗QV .
(3)
Свойство 7.
(P+Q)⊗R = P⊗R+Q⊗R ;
(4)
P⊗(Q + R) = P⊗Q + P⊗ R ,
(5)
P⊗(Q⊗ R) = (P⊗Q)⊗ R .
(6)
В выражениях (3)—(6) матрицы P, Q, R, W, V имеют произвольные размерности, не
противоречащие правилам перемножения и сложения матриц. Свойство 8.
P⊗Q = (P⊗ IQ )(IP ⊗Q) ;
(7)
(P1 ⊗Q1)(P2 ⊗Q2 ) (PR ⊗QK ) = (P1P2 PK )⊗(Q1Q2 QK ) ;
(8)
(P⊗Q)−1 = P−1 ⊗Q−1 ,
(9)
I ⊗(P1P2 PK ) = (IP1 ⊗P1)(IP2 ⊗P2 ) (IPK ⊗PK ) .
(10)
В выражениях (7)—(10) I(*) — единичная матрица, по размерности согласованная с мат-
рицей (*).
Свойство 9. Оператор сужения с матрицей S кронекеровского произведения векторов
PX, QZ удовлетворяет соотношению
S(Px⊗Qz) = S(P⊗Q)(x⊗ z) .
Основной результат. Воспользуемся приведенными свойствами векторных и матрич-
ных кронекеровских структур для построения динамической модели процессов в линейной
многомерной непрерывной системе с амплитудной модуляцией. При построении модели процессов будем полагать, что источник внешнего воздействия (ИВВ) является конечномер-
ным и может быть представлен автономной системой; будем полагать, что и модулирующий
сигнал также является конечномерным, поэтому источник модулирующего сигнала (ИМС) тоже может быть представлен автономной системой. Таким образом, полное исходное описа-
ние задачи приобретает следующий вид:
x(t) = Fx(t)+Gv(t); x(0); y(t) = Cx(t) ; z(t) = Γz(t); z(0); g(t) = Hz(t) ;
zм (t) = Γм zм (t); zм (0); gм (t) = Hм zм (t) .
(11) (12) (13)
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 1
18 Л. В. Кожевникова, А. В. Ушаков
В модели (11) многомерной непрерывной системы x — вектор состояния; v — вектор внешнего воздействия; y — вектор выхода; x∈Rn ; v, y∈Rm ; F , G, C — матрицы состояния,
входа и выхода соответственно, F ∈Rn×n ; CT , G∈Rm×m . В модели (12) источника внешнего воздействия z и g — векторы состояния и выхода
ИВВ соответственно; z∈Rl ; g∈Rm ; Γ, H — матрицы состояния и выхода; Γ∈Rl×l ;
H ∈Rm×l . В модели (13) источника модулирующего сигнала zм и gм — векторы состояния и вы-
хода ИМС соответственно; zм ∈Rk ; gм ∈Rm ; Γм , Hм — матрицы состояния и выхода ИМС; Γм ∈Rk×k ; Hм ∈Rm×k .
Процесс формирования модулированного внешнего воздействия v(t) представим в виде
v(t) = col{g j (t)gм j (t); j =1, m} .
(14)
Нетрудно видеть, что процесс модуляции внешнего воздействия в форме (14) допускает
представление его в виде кронекеровского произведения векторов с последующим сужением, т.е.
v(t) = S(g(t)⊗gм (t)) .
(15)
Учитывая правила формирования векторов g(t) и gм (t) (см. формулы (12) и (13)), вы-
ражение (15) в силу свойств кронекеровских произведений матриц можно записать в виде
v(t) = S(g(t)⊗gм (t)) = S(Hz(t)⊗Hм zм (t)) = S(H ⊗Hм )(z(t)⊗zм (t)) .
(16)
Выражение (16) представляет модулированный сигнал v(t) как функцию состояния сис-
темы с вектором состояния z(t)⊗zм (t) .
Сформируем систему, описывающую процесс по данному вектору состояния, опираясь на модели (12) и (13), а также на свойства матричных кронекеровских структур. В результате получим следующую цепочку равенств:
d dt
(
z(t
)
⊗
zм
(t
))
∆
=
z(t
)⊗
zм
(t)
+
z(t
)
⊗
zм
(t
)
=
= Γz(t)⊗ zм (t)+ z(t)⊗Γм zм (t) = (Γ⊗IΓм + IΓ ⊗Γм )(z(t)⊗ zм (t)) =
= (Γ⊕Γм )(z(t)⊗ zм (t)), z(0)⊗ zм (0).
(17)
Для дальнейших исследований продолжим процесс построения автономной модели ди-
намических систем с модуляцией, для чего введем в рассмотрение составной вектор состояния
x = col{x, z⊗zм }
(18)
и сформулируем утверждение.
Утверждение. Процессы в непрерывной системе (11) с модулированным внешним воз-
действием (14), компоненты которого задаются с помощью моделей (12) и (13), могут быть
представлены автономной системой:
x(t) = Fx(t); x(0) = col{x (0), z (0)⊗ zм (0)};
(19)
x(t) = Cx x(t), y(t) = Cy x(t),
где матричные компоненты (19), (20) вычисляются согласно соотношениям
⎡F
F
=
⎢ ⎢
⎣⎢ 0
GS(P⊗Hм )⎤
⎥ ⎥
,
Γ⊕Γм ⎦⎥
Cx =[Ix 0]; Cy =[C 0] .
(20)
(21) (22)
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 1
Исследование динамических систем с перемножением переменных
19
Доказательство. Доказательство утверждения строится на покомпонентном формиро-
вании производной по времени от вектора (18) с использованием исходной модели (11) мно-
гомерной системы, представления (16) процесса формирования внешнего модулированного
сигнала, а также соотношения (17).
■
Представление соотношений (19)—(21) позволяет для кронекеровской матричной моде-
ли динамических процессов с модуляцией записать решение в явном виде:
x (t ) = exp{Ft} x(0), x(t) =C x(t ), y (t ) =C x (t).
Заключение. Очевидно, что модель вида (19)—(22) является универсальной, поскольку позволяет исследовать процессы как с модуляцией входного воздействия, так и без нее. В по-
следнем случае в выражении (14) достаточно положить gм j (t) ≡1, j =1, n . Это означает, что
источник модулирующего сигнала (12) вырождается в скалярный интегратор с единичным начальным состоянием, нулевой матрицей состояния Γм и единичной матрицей выхода Hм .
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Бесекерский В. А., Попов Е. П. Теория систем автоматического управления. СПб.: Профессия, 2003.
2. Куракин К. И., Куракин Л. К. Анализ систем автоматического регулирования на несущей переменного тока. М.: Машиностроение, 1978.
3. Сабинин Ю. А. Позиционные и следящие электромеханические системы: Учеб. пособие. СПб.: Энергоатомиздат, 2001.
4. Заде Л., Дезоер Ч. Теория линейных систем: Пер. с англ. М.: Наука, 1970.
5. Ланкастер П. Теория матриц: Пер. с англ. М.: Наука, 1978.
Сведения об авторах
Лариса Владиславовна Кожевникова — Санкт-Петербургский государственный университет информаци-
онных технологий, механики и оптики, кафедра систем управления
и информатики; инженер-программист.
Анатолий Владимирович Ушаков
— д-р. техн. наук, профессор; Санкт-Петербургский государственный
университет информационных технологий, механики и оптики,
кафедра систем управления и информатики;
E-mail: ushakov-AVG@yandex.ru
Рекомендована кафедрой систем управления и информатики
Поступила в редакцию 04.10.07 г.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 1
УДК 62.50
Л. В. КОЖЕВНИКОВА, А. В. УШАКОВ
ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ПЕРЕМНОЖЕНИЕМ ПЕРЕМЕННЫХ
НА ОСНОВЕ КРОНЕКЕРОВСКИХ МАТРИЧНЫХ СТРУКТУР
Рассматривается задача исследования процессов в динамических системах с перемножением переменных. Для указанных целей используются возможности кронекеровских векторных и матричных структур. Задача решается применительно к системам с амплитудной модуляцией. Ключевые слова: динамическая система, перемножение переменных, кронекеровские матричные структуры.
Введение. Постановка задачи исследования динамических систем с перемножением переменных, на первый взгляд, может показаться экзотической, однако класс таких систем достаточно широк. В первую очередь, это системы, работающие на переменном токе, или, иначе, системы с амплитудно-фазовой модуляцией [1—3].
Системы управления и следящие системы с модуляцией составляют заметную часть практики автоматического управления. Модуляторами в таких системах являются: сельсины, поворотные трансформаторы, индуктивные датчики, полудисковые модуляторы лучистой энергии и т.д. [1—3]. Однако теоретические исследования процессов в системах с модуляцией в последнее время заметно сократились, причем это произошло на фоне интенсификации внедрения в теорию и практику исследования динамических систем метода пространства состояния [4].
Свойства векторных и матричных кронекеровских структур. Для понимания сформулированной выше проблемы приведем определения векторных и матричных кронекеровских структур, а также описание тех их свойств, которые непосредственно связаны с построением векторно-матричных модельных представлений процессов с модуляцией.
О п р е д е л е н и е 1 . Кронекеровским произведением векторов (КПВ) x и y , x∈Rn ,
{y∈Rm , называется вектор x⊗ y , составленный из отдельных произведений xi y j ; i =1, n; }j =1, m их элементов, так что становится справедливым представление
x⊗ y = col{xi y j ; i =1, n; j =1, m} , x⊗ y∈Rnm , при этом КПВ некоммутативны, и x⊗ y ≠ y⊗ x .
О п р е д е л е н и е 2 . Если размерности векторов x и y одинаковы, то на их кронекеровском произведении x⊗ y может быть построено согласованное сужение этого произведения
(x⊗ y)s , задаваемого представлением ( x⊗ y)s = col{xi yi ; i =1, n}.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 1
16 Л. В. Кожевникова, А. В. Ушаков
Согласованное сужение кронекеровского векторного произведения x⊗ y может быть
осуществлено с помощью оператора сужения с матрицей S вида
S = diag{[01×(i−1) 1 01×(n−i) ]; i =1, n},
так что становится справедливой запись
(x⊗ y)s = S(x⊗ y) .
Рассмотрим свойства кронекеровского произведения векторов. Свойство 1. Дифференцирование кронекеровской структуры в виде КПВ осуществляется по правилам дифференцирования сложной функции, представленной в мультикативной
форме:
d dt
(
x(t
)⊗
y(t
))
∆
=
x(t
)⊗
y(t
)
+
x(t)
⊗
y
(t
)
.
О п р е д е л е н и е 3 . Кронекеровским произведением матриц (КПМ) A∈Rn×m , B∈R p×q
называется матрица A⊗ B размерности np×mq , определяемая соотношением
A⊗ B = col{row( Aij B; j =1, m); i =1, n} .
Кронекеровское произведение произвольных прямоугольных матриц не обладает коммутативностью, так что A⊗B ≠ B⊗ A .
Задача конструирования матричной модели динамических процессов с модуляцией в своей основе использует квадратные матрицы, коими являются матрицы состояния системы, конечномерного источника внешнего воздействия и конечномерного источника модулирующего сигнала, поэтому далее рассматривается только класс квадратных матриц.
О п р е д е л е н и е 4 . Кронекеровской суммой матриц (КСМ) A∈Rn×n и B∈Rm×m называется матрица A⊕ B , размерности nm×nm , определяемая соотношением
A⊕B = A⊗IB +IA ⊗B ,
где I A , IB — единичные матрицы, согласованные по размерности соответственно с матрицами А и В.
Для КСМ А и В, а в общем случае произвольного числа матриц, существует альтернативное название — преобразование Сильвестра Si( A, B) , что записывается в форме
∆∆
A⊕ B = A⊗ IB + I A ⊗ B = Si{A, B} . Для трех квадратных матриц A, B, D кронекеровская сумма или их преобразование
Сильвестра определяется как
Si{A, B, D}= A⊕ B⊕ D = A⊗IB ⊗ID + I A ⊗B⊗ID + I A ⊗IB ⊗D .
Отметим, что, как и КПМ, кронекеровская сумма матриц некоммутативна. Кронекеровские матричные структуры, введенные выше, обладают следующими свойствами. Свойство 2. Алгебраические спектры собственных значений кронекеровского произве-
дения A ⊗ B квадратных матриц A∈Rn×n и B∈Rm×m и их кронекеровской суммы A⊕B как матричных функций от матриц обладают следующим свойством: элементы первого алгебраического спектра образованы попарными произведениями собственных значений кронекеровски перемножаемых матриц:
σ{ A ⊗ B} = {µ k :det(µI − A ⊗ B ) = 0; µ k = λ Ai λ B j ; i = 1, n; j = 1, m; k = 1, mn} ,
(1)
элементы второго алгебраического спектра образованы попарными суммами собственных
значений кронекеровски суммируемых матриц:
σ{A⊕ B}={νl :det(νI − A⊕ B) = 0; νl = λ Ai +λBj ; i =1, n; j =1, m; l =1, mn} .
(2)
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 1
Исследование динамических систем с перемножением переменных
17
В выражениях (1) и (2) λ Ai и λBj — собственные значения матриц А и В соответственно.
Следует заметить, что алгебраические спектры собственных значений кронекеровских произведений A ⊗ B и B ⊗ A в соответствии с выражением (1) совпадают, аналогичным свойством в силу соотношения (2) обладают и спектры кронекеровских сумм A ⊕ B и B ⊕ A.
Свойство 3. Определитель КПМ матриц A∈Rn×n и B∈Rm×m удовлетворяет соотношению
det(A⊗B) = (det A)m (det B)n .
Свойство 4. След КСМ матриц A∈Rn×n и B∈Rm×m удовлетворяет соотношению tr( A⊕ B) = m trA+ n trB .
Свойство 5. Ранг КПМ матриц A∈Rn×n и B∈Rm×m удовлетворяет условию rang( A⊗ B) = rangA rangB .
Для решения поставленной задачи полезно напомнить [5] основные свойства кронеке-
ровских произведений произвольных матриц, что необходимо при преобразованиях матрич-
ных композиций, содержащих в своем составе эти произведения.
Свойство 6.
(P⊗Q)(W ⊗V ) = PW ⊗QV .
(3)
Свойство 7.
(P+Q)⊗R = P⊗R+Q⊗R ;
(4)
P⊗(Q + R) = P⊗Q + P⊗ R ,
(5)
P⊗(Q⊗ R) = (P⊗Q)⊗ R .
(6)
В выражениях (3)—(6) матрицы P, Q, R, W, V имеют произвольные размерности, не
противоречащие правилам перемножения и сложения матриц. Свойство 8.
P⊗Q = (P⊗ IQ )(IP ⊗Q) ;
(7)
(P1 ⊗Q1)(P2 ⊗Q2 ) (PR ⊗QK ) = (P1P2 PK )⊗(Q1Q2 QK ) ;
(8)
(P⊗Q)−1 = P−1 ⊗Q−1 ,
(9)
I ⊗(P1P2 PK ) = (IP1 ⊗P1)(IP2 ⊗P2 ) (IPK ⊗PK ) .
(10)
В выражениях (7)—(10) I(*) — единичная матрица, по размерности согласованная с мат-
рицей (*).
Свойство 9. Оператор сужения с матрицей S кронекеровского произведения векторов
PX, QZ удовлетворяет соотношению
S(Px⊗Qz) = S(P⊗Q)(x⊗ z) .
Основной результат. Воспользуемся приведенными свойствами векторных и матрич-
ных кронекеровских структур для построения динамической модели процессов в линейной
многомерной непрерывной системе с амплитудной модуляцией. При построении модели процессов будем полагать, что источник внешнего воздействия (ИВВ) является конечномер-
ным и может быть представлен автономной системой; будем полагать, что и модулирующий
сигнал также является конечномерным, поэтому источник модулирующего сигнала (ИМС) тоже может быть представлен автономной системой. Таким образом, полное исходное описа-
ние задачи приобретает следующий вид:
x(t) = Fx(t)+Gv(t); x(0); y(t) = Cx(t) ; z(t) = Γz(t); z(0); g(t) = Hz(t) ;
zм (t) = Γм zм (t); zм (0); gм (t) = Hм zм (t) .
(11) (12) (13)
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 1
18 Л. В. Кожевникова, А. В. Ушаков
В модели (11) многомерной непрерывной системы x — вектор состояния; v — вектор внешнего воздействия; y — вектор выхода; x∈Rn ; v, y∈Rm ; F , G, C — матрицы состояния,
входа и выхода соответственно, F ∈Rn×n ; CT , G∈Rm×m . В модели (12) источника внешнего воздействия z и g — векторы состояния и выхода
ИВВ соответственно; z∈Rl ; g∈Rm ; Γ, H — матрицы состояния и выхода; Γ∈Rl×l ;
H ∈Rm×l . В модели (13) источника модулирующего сигнала zм и gм — векторы состояния и вы-
хода ИМС соответственно; zм ∈Rk ; gм ∈Rm ; Γм , Hм — матрицы состояния и выхода ИМС; Γм ∈Rk×k ; Hм ∈Rm×k .
Процесс формирования модулированного внешнего воздействия v(t) представим в виде
v(t) = col{g j (t)gм j (t); j =1, m} .
(14)
Нетрудно видеть, что процесс модуляции внешнего воздействия в форме (14) допускает
представление его в виде кронекеровского произведения векторов с последующим сужением, т.е.
v(t) = S(g(t)⊗gм (t)) .
(15)
Учитывая правила формирования векторов g(t) и gм (t) (см. формулы (12) и (13)), вы-
ражение (15) в силу свойств кронекеровских произведений матриц можно записать в виде
v(t) = S(g(t)⊗gм (t)) = S(Hz(t)⊗Hм zм (t)) = S(H ⊗Hм )(z(t)⊗zм (t)) .
(16)
Выражение (16) представляет модулированный сигнал v(t) как функцию состояния сис-
темы с вектором состояния z(t)⊗zм (t) .
Сформируем систему, описывающую процесс по данному вектору состояния, опираясь на модели (12) и (13), а также на свойства матричных кронекеровских структур. В результате получим следующую цепочку равенств:
d dt
(
z(t
)
⊗
zм
(t
))
∆
=
z(t
)⊗
zм
(t)
+
z(t
)
⊗
zм
(t
)
=
= Γz(t)⊗ zм (t)+ z(t)⊗Γм zм (t) = (Γ⊗IΓм + IΓ ⊗Γм )(z(t)⊗ zм (t)) =
= (Γ⊕Γм )(z(t)⊗ zм (t)), z(0)⊗ zм (0).
(17)
Для дальнейших исследований продолжим процесс построения автономной модели ди-
намических систем с модуляцией, для чего введем в рассмотрение составной вектор состояния
x = col{x, z⊗zм }
(18)
и сформулируем утверждение.
Утверждение. Процессы в непрерывной системе (11) с модулированным внешним воз-
действием (14), компоненты которого задаются с помощью моделей (12) и (13), могут быть
представлены автономной системой:
x(t) = Fx(t); x(0) = col{x (0), z (0)⊗ zм (0)};
(19)
x(t) = Cx x(t), y(t) = Cy x(t),
где матричные компоненты (19), (20) вычисляются согласно соотношениям
⎡F
F
=
⎢ ⎢
⎣⎢ 0
GS(P⊗Hм )⎤
⎥ ⎥
,
Γ⊕Γм ⎦⎥
Cx =[Ix 0]; Cy =[C 0] .
(20)
(21) (22)
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 1
Исследование динамических систем с перемножением переменных
19
Доказательство. Доказательство утверждения строится на покомпонентном формиро-
вании производной по времени от вектора (18) с использованием исходной модели (11) мно-
гомерной системы, представления (16) процесса формирования внешнего модулированного
сигнала, а также соотношения (17).
■
Представление соотношений (19)—(21) позволяет для кронекеровской матричной моде-
ли динамических процессов с модуляцией записать решение в явном виде:
x (t ) = exp{Ft} x(0), x(t) =C x(t ), y (t ) =C x (t).
Заключение. Очевидно, что модель вида (19)—(22) является универсальной, поскольку позволяет исследовать процессы как с модуляцией входного воздействия, так и без нее. В по-
следнем случае в выражении (14) достаточно положить gм j (t) ≡1, j =1, n . Это означает, что
источник модулирующего сигнала (12) вырождается в скалярный интегратор с единичным начальным состоянием, нулевой матрицей состояния Γм и единичной матрицей выхода Hм .
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Бесекерский В. А., Попов Е. П. Теория систем автоматического управления. СПб.: Профессия, 2003.
2. Куракин К. И., Куракин Л. К. Анализ систем автоматического регулирования на несущей переменного тока. М.: Машиностроение, 1978.
3. Сабинин Ю. А. Позиционные и следящие электромеханические системы: Учеб. пособие. СПб.: Энергоатомиздат, 2001.
4. Заде Л., Дезоер Ч. Теория линейных систем: Пер. с англ. М.: Наука, 1970.
5. Ланкастер П. Теория матриц: Пер. с англ. М.: Наука, 1978.
Сведения об авторах
Лариса Владиславовна Кожевникова — Санкт-Петербургский государственный университет информаци-
онных технологий, механики и оптики, кафедра систем управления
и информатики; инженер-программист.
Анатолий Владимирович Ушаков
— д-р. техн. наук, профессор; Санкт-Петербургский государственный
университет информационных технологий, механики и оптики,
кафедра систем управления и информатики;
E-mail: ushakov-AVG@yandex.ru
Рекомендована кафедрой систем управления и информатики
Поступила в редакцию 04.10.07 г.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 1