ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ СТРУКТУРИРОВАННЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ
Определение параметров структурированных поверхностей
57
УДК 535.3
В. А. ГРИММ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ СТРУКТУРИРОВАННЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ
Рассматриваются вопросы представления структурированных поверхностей для расчета оптических систем. В рамках программы Modeling Optical System (MOPS) предложен оригинальный способ задания их параметров в виде набора функций от номера зоны элемента поверхности. Приведены формулы для описания параметров как френелевских, так и растровых структурированных поверхностей. В качестве примера использования нового типа поверхностей приведены результаты расчета френелевской линзы.
Ключевые слова: растр, оптика, алгоритм программы.
Под структурированными поверхностями понимаются два их вида — френелевские и растровые. Такие поверхности находят широкое применение при оптических расчетах систем для передачи и концентрации световой энергии, для решения задач освещения и формообразования светового пятна. В известных оптических программах (ZEMAX, OSLO, CODE V) структурированная поверхность описывается набором параметров, не зависящим от номера зоны поверхности. В разработанной автором настоящей статьи оптической программе MOPS (Modeling Optical System) [см. лит.] предложен способ задания параметров структурированной поверхности в виде набора функций от номера зоны явным образом, что можно назвать функциональным описанием параметров поверхности. Положительным результатом такого подхода является наглядность в представлении параметров конкретной зоны и сокращение числа параметров в задании на расчет. При этом аберрационные возможности структурированной поверхности хотя и снижаются, но в плане решения практических задач остаются высокими.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 1
58 В. А. Гримм
Наибольшие трудности при функциональном задании структурированной поверхности возникают при определении характеристик зон френелевской поверхности. На рис. 1 показана френелевская поверхность в сечении меридиональной плоскостью.
N N–1 N–2
j hN
2 1 hj
0 Y h1 h2 OZ
Zj X
R0=1/ρ0
Рис. 1
Высоты зон hj определяются в направлении оси OY. Поверхность зоны в этом случае описывается уравнением 2-го порядка (тогда как в программе CODE V, например, — полиномом до 20-й степени по радиус-вектору)
Ix2
+
Jy2
=
2 ρj
z
+
Aj z2 ,
где кривизна ρj в вершине элемента поверхности зоны и параметр асферизации Aj являются функциями номера зоны j:
ρ j = ρ0 + cj + bj2 ; Aj = A0 + aj , j=0, 1, …, N,
а параметры I, J определяют вид поверхности: I = 1, J = 1 — поверхность вращения с осью симметрии OZ; I = 0, J = 1 — цилиндрическая поверхность с плоскостью симметрии XOZ; I = 1, J = 0 — цилиндрическая поверхность с плоскостью симметрии YOZ. Свободные параметры ρ0, с, b, А0 и а могут использоваться для оптимизации аберраци-
онных характеристик данных поверхностей. При дальнейшем изложении под обозначением y или h будем понимать либо радиус-вектор
для поверхности вращения, либо одну из координат x, y для цилиндрической поверхности.
Ширина ∆j и высота hj зоны определяются через заданные минимальную h1 и максимальную hN высоты зон:
— для линейной разбивки
∆ j = ∆ = (hN − h1) / N ; hj = h1 + j∆ ,
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 1
Определение параметров структурированных поверхностей — для квадратичного способа разбивки
59
( )∆ = h2N − h21 N ; hj = h21 + j∆ , ∆ j = hj+1 − hj .
Для j = 0 принято h0 = 0. Для расчета луча, проходящего через j-ю зону, необходимо знать положение вершины j-й
поверхности в системе координат структурированной поверхности, совпадающей в простран-
стве с положением 0-й зоны. Для френелевской поверхности Xj = Yj = 0, а положение вершины j-й поверхности на оси OZ определяется формулой
−1 + Zj =
1 + (ρ j hj )2 Aj . ρ j Aj
Для
ρj =
0
(плоскость)
Zj = 0,
для Aj = 0
(парабола)
Zj
=
1 2
ρ
j
h2
j
,
для
ρj>106
(конус)
Z j = hj Aj .
В случае растровых поверхностей Zj = 0, а координаты вершин по осям OX и OY определяются положением центров зон:
X j ,Yj = 0,5(hj+1 + hj ) .
Глубина проточки j-й зоны на высоте y, а также текущая координата луча δZ по оси OZ в системе координат структурированной поверхности определяются путем решения системы уравнений для орта луча и j-й поверхности. Координаты точки пересечения луча с поверхностью определяются с учетом ограничения hj ≤ y < hj+1 . В результате последующего перехода
в систему координат 0-й зоны имеем
δZ = Z − Z j ,
−1 + Z=
1 + (ρ j y)2 Aj ρ j Aj
.
Таким образом, многообразие видов структурированных поверхностей — и френелевских, и растровых как на поверхностях вращения, так и на цилиндрических поверхностях — реализуется единообразно путем задания пяти целочисленных констант и шести действительных чисел: hN, h1, c, b, A0, a. Радиус R0 кривизны 0-й зоны задается в массиве радиусов поверхностей системы. К целочисленным константам относятся:
I, J — признаки вида поверхности (I, J = 0, 1); K (K=1, 2, 3) — условный номер оси (OX, OY, OZ), на которой расположены вершины; L — признак способа разбивки на зоны (L = 0, 1); N — количество зон (N = 0, 1, …, 999). Предложенный способ задания параметров структурированных поверхностей допускает возможность устанавливать обособленный размер 0-й зоны, отличный от шага разбивки, и не имеет ограничений на задание четного или нечетного числа зон. При четном числе зон параметр h1 задается равным нулю. Пример. Приведем результаты расчета френелевской линзы, обеспечивающей минимум аберраций в осевом пучке лучей для бесконечно удаленного предмета. Входная апертура пучка 60 мм, длина волны излучения 0,546 мкм, фокусное расстояние линзы 100 мм. Материал линзы — стекло K8 или BK7. Френелевская поверхность расположена второй по ходу падающих лучей (со стороны изображения) и может быть как круговой, так и цилиндрической. Точка фокусировки находится на расстоянии 100 мм. Толщина линзы при таком положении
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 1
60 В. А. Гримм
френелевской поверхности на результат аберрационной коррекции не влияет и может быть выбрана равной 4 мм, что обеспечивает достаточную жесткость.
Схема фокусирующей линзы с использованием френелевской поверхности приведена на рис. 2.
60 мм
100 мм
Рис. 2
В качестве коррекционных параметров в данной системе использовались параметры c, b, A0, a. В результате минимизации поперечных аберраций более чем 20 лучей осевого пучка наилучший результат получился для френелевской поверхности с квадратичным шагом разбивки при высоте центральной зоны 7 мм. Элементы поверхности зон — гиперболического вида с переменным эксцентриситетом ej2 и кривизной в вершине каждой зоны:
Aj = e j2 −1 = 1, 207075 − 0, 000828 j;
ρj
=
1 −51, 872
−
0, 0000541 j
+
0, 000000184
j2;
h25 = 30 мм, h1 = 7 мм, N = 25;
A0 = 1,207075; a = –0,000828; ρ0 = –0,0192782; c = –0,0000541; b = 0,000000184.
В табл. 1 представлена аберрационная оценка рассчитанной системы для осевого пучка лучей. Рассчитанные параметры поверхности каждой зоны френелевской поверхности сведены в табл. 2.
Высота луча на 1-й поверхности, мм
30,0 28,062 25,981 23,717 21,213 18,371 15,0 10,606
7,5 5,303 0
Поперечная аберрация, мм
0,018483 –0,00417 –0,00124
0,002311 –0,00814 –0,00135
0,004847 0,003254 0,0065 –0,00277 0
Тангенс угла наклона луча к оси OZ
0,299815 0,280092 0,259517 0,237086 0,211704 0,183452 0,14987 0,105738 0,074883 0,052918 0
Таблица 1
Волновая аберрация, в долях длины волны
0,22 0,19 –0,34 –0,21 0,43 0,24 0,46 0,02 0,23 –0,08 0
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 1
Определение параметров структурированных поверхностей
61
Номер зоны
j
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
Радиус Rj в вершине,
мм
–51,8725 –51,7278 –51,5848 –51,4437 –51,3042 –51,1665 –51,0305 –50,8962 –50,7635 –50,6325 –50,5031 –50,3752 –50,249 –50,1243 –50,0011 –49,8795 –49,7593 –49,6407 –49,5235 –49,4077 –49,2934 –49,1805 –49,0691 –48,959 –48,8502 –48,7429
Смещение вершины по оси OZ, мм
0 0,4710465 0,7974576 1,123174 1,448179 1,772456 2,095989 2,418766 2,740771 3,061992 3,382417 3,702036 4,020836 4,338808 4,655943 4,972231 5,287666 5,602239 5,915942 6,22877 6,540716 6,851775 7,161941 7,47121 7,779577 8,087038
Максимальная глубина
проточки, мм
0,4697449 0,3242429 0,3227115 0,3211921 0,3196849 0,3181899 0,3167071 0,3152367 0,3137788 0,3123333 0,3109003 0,3094798 0,3080718 0,3066762 0,3052932 0,3039226 0,3025644 0,3012187 0,2998853 0,2985641 0,2972553 0,2959585 0,2946739 0,2934014 0,2921408 0,2908921
Эксцентриситет ej2=Aj+1
2,20707 2,20625 2,20542 2,20459 2,20376 2,20293 2,20211 2,20128 2,20045 2,19962 2,19879 2,19797 2,19714 2,19631 2,19548 2,19465 2,19383 2,193 2,19217 2,19134 2,19051 2,18969 2,18886 2,18803 2,1872 2,18637
Таблица 2
Начальная и конечная высота зоны, мм
hj hj+1
0 7 9,112629 10,82035 12,29309 13,60735 14,8054 15,91352 16,94934 17,9254 18,85099 19,73322 20,57766 21,38878 22,17025 22,92509 23,65587 24,36473 25,05354 25,72392 26,37726 27,01481 27,63766 28,24677 28,84302 29,4272
7 9,112629 10,82035 12,29309 13,60735 14,8054 15,91352 16,94934 17,9254 18,85099 19,73322 20,57766 21,38878 22,17025 22,92509 23,65587 24,36473 25,05354 25,72392 26,37726 27,01481 27,63766 28,24677 28,84302 29,4272 30
В заключение следует отметить достигнутую компактность в представлении параметров
структурированных поверхностей, что выражается в малом числе независимых параметров
hN, h1, c, b, A0, a, а также их очевидную самодостаточность для эффективной оптимизации характеристик оптической системы.
ЛИТЕРАТУРА
Гримм В. А., Карасев В. Б., Кузьмин Ю. В. и др. Лазерные и микроволновые оптические системы. СПб.: СПбГУ ИТМО, 2005. 232 с.
Вячеслав Антонович Гримм
Сведения об авторе — Санкт-Петербургский государственный университет информационных
технологий, механики и оптики, кафедра лазерной техники и биомедицинской оптики; ст. науч. сотрудник; E-mail: mopsat@mail.ru
Рекомендована кафедрой лазерной техники и биомедицинской оптики
Поступила в редакцию 29.11.06 г.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 1
57
УДК 535.3
В. А. ГРИММ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ СТРУКТУРИРОВАННЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ
Рассматриваются вопросы представления структурированных поверхностей для расчета оптических систем. В рамках программы Modeling Optical System (MOPS) предложен оригинальный способ задания их параметров в виде набора функций от номера зоны элемента поверхности. Приведены формулы для описания параметров как френелевских, так и растровых структурированных поверхностей. В качестве примера использования нового типа поверхностей приведены результаты расчета френелевской линзы.
Ключевые слова: растр, оптика, алгоритм программы.
Под структурированными поверхностями понимаются два их вида — френелевские и растровые. Такие поверхности находят широкое применение при оптических расчетах систем для передачи и концентрации световой энергии, для решения задач освещения и формообразования светового пятна. В известных оптических программах (ZEMAX, OSLO, CODE V) структурированная поверхность описывается набором параметров, не зависящим от номера зоны поверхности. В разработанной автором настоящей статьи оптической программе MOPS (Modeling Optical System) [см. лит.] предложен способ задания параметров структурированной поверхности в виде набора функций от номера зоны явным образом, что можно назвать функциональным описанием параметров поверхности. Положительным результатом такого подхода является наглядность в представлении параметров конкретной зоны и сокращение числа параметров в задании на расчет. При этом аберрационные возможности структурированной поверхности хотя и снижаются, но в плане решения практических задач остаются высокими.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 1
58 В. А. Гримм
Наибольшие трудности при функциональном задании структурированной поверхности возникают при определении характеристик зон френелевской поверхности. На рис. 1 показана френелевская поверхность в сечении меридиональной плоскостью.
N N–1 N–2
j hN
2 1 hj
0 Y h1 h2 OZ
Zj X
R0=1/ρ0
Рис. 1
Высоты зон hj определяются в направлении оси OY. Поверхность зоны в этом случае описывается уравнением 2-го порядка (тогда как в программе CODE V, например, — полиномом до 20-й степени по радиус-вектору)
Ix2
+
Jy2
=
2 ρj
z
+
Aj z2 ,
где кривизна ρj в вершине элемента поверхности зоны и параметр асферизации Aj являются функциями номера зоны j:
ρ j = ρ0 + cj + bj2 ; Aj = A0 + aj , j=0, 1, …, N,
а параметры I, J определяют вид поверхности: I = 1, J = 1 — поверхность вращения с осью симметрии OZ; I = 0, J = 1 — цилиндрическая поверхность с плоскостью симметрии XOZ; I = 1, J = 0 — цилиндрическая поверхность с плоскостью симметрии YOZ. Свободные параметры ρ0, с, b, А0 и а могут использоваться для оптимизации аберраци-
онных характеристик данных поверхностей. При дальнейшем изложении под обозначением y или h будем понимать либо радиус-вектор
для поверхности вращения, либо одну из координат x, y для цилиндрической поверхности.
Ширина ∆j и высота hj зоны определяются через заданные минимальную h1 и максимальную hN высоты зон:
— для линейной разбивки
∆ j = ∆ = (hN − h1) / N ; hj = h1 + j∆ ,
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 1
Определение параметров структурированных поверхностей — для квадратичного способа разбивки
59
( )∆ = h2N − h21 N ; hj = h21 + j∆ , ∆ j = hj+1 − hj .
Для j = 0 принято h0 = 0. Для расчета луча, проходящего через j-ю зону, необходимо знать положение вершины j-й
поверхности в системе координат структурированной поверхности, совпадающей в простран-
стве с положением 0-й зоны. Для френелевской поверхности Xj = Yj = 0, а положение вершины j-й поверхности на оси OZ определяется формулой
−1 + Zj =
1 + (ρ j hj )2 Aj . ρ j Aj
Для
ρj =
0
(плоскость)
Zj = 0,
для Aj = 0
(парабола)
Zj
=
1 2
ρ
j
h2
j
,
для
ρj>106
(конус)
Z j = hj Aj .
В случае растровых поверхностей Zj = 0, а координаты вершин по осям OX и OY определяются положением центров зон:
X j ,Yj = 0,5(hj+1 + hj ) .
Глубина проточки j-й зоны на высоте y, а также текущая координата луча δZ по оси OZ в системе координат структурированной поверхности определяются путем решения системы уравнений для орта луча и j-й поверхности. Координаты точки пересечения луча с поверхностью определяются с учетом ограничения hj ≤ y < hj+1 . В результате последующего перехода
в систему координат 0-й зоны имеем
δZ = Z − Z j ,
−1 + Z=
1 + (ρ j y)2 Aj ρ j Aj
.
Таким образом, многообразие видов структурированных поверхностей — и френелевских, и растровых как на поверхностях вращения, так и на цилиндрических поверхностях — реализуется единообразно путем задания пяти целочисленных констант и шести действительных чисел: hN, h1, c, b, A0, a. Радиус R0 кривизны 0-й зоны задается в массиве радиусов поверхностей системы. К целочисленным константам относятся:
I, J — признаки вида поверхности (I, J = 0, 1); K (K=1, 2, 3) — условный номер оси (OX, OY, OZ), на которой расположены вершины; L — признак способа разбивки на зоны (L = 0, 1); N — количество зон (N = 0, 1, …, 999). Предложенный способ задания параметров структурированных поверхностей допускает возможность устанавливать обособленный размер 0-й зоны, отличный от шага разбивки, и не имеет ограничений на задание четного или нечетного числа зон. При четном числе зон параметр h1 задается равным нулю. Пример. Приведем результаты расчета френелевской линзы, обеспечивающей минимум аберраций в осевом пучке лучей для бесконечно удаленного предмета. Входная апертура пучка 60 мм, длина волны излучения 0,546 мкм, фокусное расстояние линзы 100 мм. Материал линзы — стекло K8 или BK7. Френелевская поверхность расположена второй по ходу падающих лучей (со стороны изображения) и может быть как круговой, так и цилиндрической. Точка фокусировки находится на расстоянии 100 мм. Толщина линзы при таком положении
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 1
60 В. А. Гримм
френелевской поверхности на результат аберрационной коррекции не влияет и может быть выбрана равной 4 мм, что обеспечивает достаточную жесткость.
Схема фокусирующей линзы с использованием френелевской поверхности приведена на рис. 2.
60 мм
100 мм
Рис. 2
В качестве коррекционных параметров в данной системе использовались параметры c, b, A0, a. В результате минимизации поперечных аберраций более чем 20 лучей осевого пучка наилучший результат получился для френелевской поверхности с квадратичным шагом разбивки при высоте центральной зоны 7 мм. Элементы поверхности зон — гиперболического вида с переменным эксцентриситетом ej2 и кривизной в вершине каждой зоны:
Aj = e j2 −1 = 1, 207075 − 0, 000828 j;
ρj
=
1 −51, 872
−
0, 0000541 j
+
0, 000000184
j2;
h25 = 30 мм, h1 = 7 мм, N = 25;
A0 = 1,207075; a = –0,000828; ρ0 = –0,0192782; c = –0,0000541; b = 0,000000184.
В табл. 1 представлена аберрационная оценка рассчитанной системы для осевого пучка лучей. Рассчитанные параметры поверхности каждой зоны френелевской поверхности сведены в табл. 2.
Высота луча на 1-й поверхности, мм
30,0 28,062 25,981 23,717 21,213 18,371 15,0 10,606
7,5 5,303 0
Поперечная аберрация, мм
0,018483 –0,00417 –0,00124
0,002311 –0,00814 –0,00135
0,004847 0,003254 0,0065 –0,00277 0
Тангенс угла наклона луча к оси OZ
0,299815 0,280092 0,259517 0,237086 0,211704 0,183452 0,14987 0,105738 0,074883 0,052918 0
Таблица 1
Волновая аберрация, в долях длины волны
0,22 0,19 –0,34 –0,21 0,43 0,24 0,46 0,02 0,23 –0,08 0
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 1
Определение параметров структурированных поверхностей
61
Номер зоны
j
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
Радиус Rj в вершине,
мм
–51,8725 –51,7278 –51,5848 –51,4437 –51,3042 –51,1665 –51,0305 –50,8962 –50,7635 –50,6325 –50,5031 –50,3752 –50,249 –50,1243 –50,0011 –49,8795 –49,7593 –49,6407 –49,5235 –49,4077 –49,2934 –49,1805 –49,0691 –48,959 –48,8502 –48,7429
Смещение вершины по оси OZ, мм
0 0,4710465 0,7974576 1,123174 1,448179 1,772456 2,095989 2,418766 2,740771 3,061992 3,382417 3,702036 4,020836 4,338808 4,655943 4,972231 5,287666 5,602239 5,915942 6,22877 6,540716 6,851775 7,161941 7,47121 7,779577 8,087038
Максимальная глубина
проточки, мм
0,4697449 0,3242429 0,3227115 0,3211921 0,3196849 0,3181899 0,3167071 0,3152367 0,3137788 0,3123333 0,3109003 0,3094798 0,3080718 0,3066762 0,3052932 0,3039226 0,3025644 0,3012187 0,2998853 0,2985641 0,2972553 0,2959585 0,2946739 0,2934014 0,2921408 0,2908921
Эксцентриситет ej2=Aj+1
2,20707 2,20625 2,20542 2,20459 2,20376 2,20293 2,20211 2,20128 2,20045 2,19962 2,19879 2,19797 2,19714 2,19631 2,19548 2,19465 2,19383 2,193 2,19217 2,19134 2,19051 2,18969 2,18886 2,18803 2,1872 2,18637
Таблица 2
Начальная и конечная высота зоны, мм
hj hj+1
0 7 9,112629 10,82035 12,29309 13,60735 14,8054 15,91352 16,94934 17,9254 18,85099 19,73322 20,57766 21,38878 22,17025 22,92509 23,65587 24,36473 25,05354 25,72392 26,37726 27,01481 27,63766 28,24677 28,84302 29,4272
7 9,112629 10,82035 12,29309 13,60735 14,8054 15,91352 16,94934 17,9254 18,85099 19,73322 20,57766 21,38878 22,17025 22,92509 23,65587 24,36473 25,05354 25,72392 26,37726 27,01481 27,63766 28,24677 28,84302 29,4272 30
В заключение следует отметить достигнутую компактность в представлении параметров
структурированных поверхностей, что выражается в малом числе независимых параметров
hN, h1, c, b, A0, a, а также их очевидную самодостаточность для эффективной оптимизации характеристик оптической системы.
ЛИТЕРАТУРА
Гримм В. А., Карасев В. Б., Кузьмин Ю. В. и др. Лазерные и микроволновые оптические системы. СПб.: СПбГУ ИТМО, 2005. 232 с.
Вячеслав Антонович Гримм
Сведения об авторе — Санкт-Петербургский государственный университет информационных
технологий, механики и оптики, кафедра лазерной техники и биомедицинской оптики; ст. науч. сотрудник; E-mail: mopsat@mail.ru
Рекомендована кафедрой лазерной техники и биомедицинской оптики
Поступила в редакцию 29.11.06 г.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 1