Например, Бобцов

ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ С ПЕРЕМЕННОЙ СТРУКТУРОЙ И РАЗМЕРНОСТЬЮ

Динамические системы с переменной структурой и размерностью

23
УДК 519.8

А. Н. КИРИЛЛОВ
ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ С ПЕРЕМЕННОЙ СТРУКТУРОЙ И РАЗМЕРНОСТЬЮ
Предлагается подход к математическому моделированию сложных динамических систем с переменной структурой и размерностью. Модель задается системами обыкновенных дифференциальных уравнений, количество и вид которых зависят от поведения специальных переменных. Приведен пример использования предложенного подхода в задаче стабилизации системы твердых тел.
Ключевые слова: динамическая система, математическая модель, изменение структуры, переменная размерность, декомпозиция, управление.
Введение. Решение задачи управления техническими системами и технологическими процессами связано с построением сложных математических моделей, что обусловлено, в частности, многочисленными взаимосвязями различных подсистем. Необходимость учета этих взаимосвязей приводит к созданию динамических систем, аналитическое исследование которых весьма затруднительно. К системам, в которых важную роль играют изменяющиеся во времени взаимосвязи образующих их подсистем, можно отнести крупные производственные комплексы, движущиеся объекты с переменным количеством компонентов, роботыманипуляторы, динамические модели теории метапопуляций. Эти и многие другие аналогичные системы имеют общие свойства: в процессе функционирования их структура изменяется таким образом, что подсистемы, из которых они состоят, могут на различных интервалах времени находиться в пассивном или активном режиме. В настоящей статье для моделирования таких процессов предлагается использовать динамические системы, размерность и структура которых, в зависимости от состояния, может изменяться с течением времени, т.е. происходит динамическая декомпозиция сложной системы [1]. Отметим, что вопросы моделирования сложных систем со структурными изменениями исследовались в работах [2—7]. Настоящая статья развивает это направление.
Пусть некоторая сложная система S состоит из подсистем Si , i = 1, ..., n, которые в процессе функционирования могут отключаться от нее или, наоборот, подключаться к ней в зависимости от состояния сложной системы. Тем самым структура и, следовательно, размерность S изменяются. Перейдем к формальному описанию. Предположим, что система S

ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 3

24 А. Н. Кириллов

представляет собой совокупность взаимосвязанных подсистем Si , i = 1, ..., n, причем не все Si могут входить в состав S одновременно. Итак, S = {Sk1, ..., Skj , ..., Skm}, kj ∈{1, ..., n},
j = 1, ..., m, m ≤ n, при этом полагаем, что ki ≡ ki , ki < k(i + 1). О п р е д е л е н и е . Вектором структуры γ ∈ Rn системы S называется вектор
γT = (γ1,...,γn ) , такой что γi = 1, если Si ∈ S, и γi = 0, если Si ∉ S. Вектор γ будем также называть структурой системы S . Введем вектор y(t) ∈ Rn ,
yT (t) = ( y1(t),..., yn (t)), такой что γi = 1, если yi (t) > yi , и γi = 0, если yi (t) < yi . Здесь yi — заданные постоянные (пороговые значения). Если в некоторый момент времени t справедливо равенство yi (t ) = yi , то происходит изменение структуры системы S, а именно: если при t ∈ (t − δ, t ) подсистема Si входит в состав S, Si ⊂ S, т.е. yi (t) > yi , то происходит отключение Si от S. Если при t ∈ (t − δ, t ) подсистема Si не входит в состав S, Si ⊄ S, т.е. yi (t) < yi , то происходит подключение Si к S. Здесь δ > 0 — заданная постоянная.
З а м е ч а н и е . Вектор y(t) можно назвать многомерным временем эволюции системы в
отличие от текущего времени t. Именно изменение компонентов yi (t) приводит к изменению структуры системы S.
Перейдем к описанию динамики системы S. При этом рассмотрим два варианта: разрывное (скачкообразное) и непрерывное изменения структуры.
Разрывное изменение структуры. Отключение Skj . Пусть в некоторый момент време-
ни t в состав S входят подсистемы Ski : S = {Sk1, ..., Skm}, т.е. yki (t) > yki . Введем векторы состояний Xki ∈ R(ki) подсистем Ski , где (ki) — размерность вектора Xki . Тогда полагаем, что динамика системы S в момент времени t описывается системой дифференциальных уравнений

Xki = fkk1i,...,km (Xk1,..., Xki ,..., Xkm ), i = 1, ..., m;⎪⎫

yl = gkl 1,...,km (Xk1,..., Xki ,..., Xkm ),

l = 1, ..., n,

⎬ ⎭⎪

(1)

где

f

ki k1,...,km

:

R(k1)+...+(km)



R(ki) ;

gkl 1,...,km : R(k1)+...+(km) → R,

причем правые части обеспечи-

вают существование и единственность решения системы (1).

Пусть в некоторый первый момент времени t = tk−j переменная ykj (t) принимает значе-

ние ykj : ykj (tk−j ) = ykj . Введем отключающее подсистему Skj непрерывное отображение

φk−j : R(k1)+...+(km)+n+1 → R(k1)+...+(km)+n+1 :

φk−j (Xk1(tk−j ),..., Xkj (tk−j ),..., Xkm (tk−j ), y1(tk−j ),..., ykj ,..., yn (tk−j ), tk−j ) =

( )= X(k−1kj) ,..., 0(kj) ,..., X(k−mkj) , y1(−kj) ,..., ykj − δ−kj ,..., yn(−kj) , tk−j ,

где 0(kj) — нулевой вектор, 0(kj) ∈ R(kj) , причем 0(kj) находится на j-м месте; постоянная δ−kj > 0 ; постоянная ykj − δ−kj находится на (m + j)-м месте; tk−j ≤ tk−j — заданный момент вре-
мени; X(k−i kj) , yl(−kj) — заданные векторы и постоянные, l = 1, ..., n, l ≠ kj , i = 1, ..., m, i ≠ j, X(k−i kj) ∈ Rki . При этом полагаем
( )( yl (tk−j ) − yl ) yl(−kj) − yl > 0 , l = 1,..., n, l ≠ kj,

ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 3

Динамические системы с переменной структурой и размерностью

25

т.е. положение постоянных yl (tk−j ) по отношению к пороговым значениям ~yl после скачка не

изменяется. Тогда отображение перехода φ−kj , понижающее размерность системы S, не влияет мгновенно на отключение или подключение других подсистем Ski .
Далее, при t ≥ tk−j динамика системы S задается уравнениями

Xki = fkk1i,...,kˆj,...,km (Xk1,..., Xˆ ki ,..., Xkm ),

i = 1, ..., m,

i ≠ j;⎫ ⎪

Xkj = 0(kj) ;

⎪ ⎬

yl = gkl 1,...,kˆj,...,km (Xk1,..., Xˆ kj ,..., Xkm ), l = 1, ..., n,

⎪ ⎭⎪

(2)

с начальными условиями

Xki (tk−ji ) = X(k−i kj) , i = 1, ..., m, i ≠ j; Xkj (tk−j ) = 0(kj) ; yl (tk−j ) = yl(−kj) , l = 1, ..., n, l ≠ kj, ykj (tk−j ) = ykj − δ−kj .

(3) (4)

Здесь символом Xˆ ki обозначен отсутствующий вектор. В силу второго уравнения системы (2) и начального условия (3) Xkj (t) ≡ 0(kj) при t ≥ tk−j . Это означает, что переменной
Xkj (t) можно пренебречь. Тогда будем полагать, что при t ≥ tk−j динамика системы S задается уравнениями

Xki = fkk1i,...,kj−1,kj+1,...,km (Xk1,..., Xkj−1, Xkj+1,..., Xkm ), i = 1, ..., m, i ≠ j;⎪⎫

yl = gkl 1,...,kj−1,kj+1,...,km (Xk1,..., Xkj−1, Xkj+1,..., Xkm ), l = 1, ..., n.

⎬ ⎭⎪

(5)

Таким образом, произошло отключение подсистемы Skj . В результате динамика системы S описывается уравнениями (5) с начальными условиями (3), (4).
З а м е ч а н и е . Следует отметить, что отображение φk−j позволяет системе S совершить
временной скачок длительностью tk−j − tkj ≥ 0. Подключение Skj . Пусть динамика системы S задается уравнениями (5). Предположим,
что в некоторый момент времени t = tk+j переменная ykj (t) принимает значение
ykj : ykj (tk+j ) = ykj . Отсутствие в составе S подсистемы Skj при t < tk+j означает, что при этом выполняется условие ykj (t) < ykj . Введем подключающие подсистему Skj отображения φ+kj : R(k1)+...+(kj−1)+(kj+1)+...+(km)+n+1 → R(k1)+...+(km)+n+1 , так что

φk+j (Xk1(tk+j ),..., Xk( j−1) (tk+j ), Xk( j+1) (tk+j ),..., Xkm (tk+j ), y1(tk+j ),..., yn (tk+j ), tk+j ) =

( )=

X(k+1kj

)

,

...,

X(k+( kjj−)1)

,

X(k+j

kj)

,

X(k+(

kj) j+1)

,

...,

X

(+kj km

)

,

y1( + kj )

,

...,

yk(+( kj−j)1)

,

ykj

+

δ+kj

,

yk(+(

kj) j +1)

,

...,

yn(+

kj

)

,

tk+j

,

где δk+j , tk+j , yi(+kj) — заданные постоянные, δ+kj > 0, tk+j ≥ tk+j ; X(k+i kj) — заданные векторы,
( )X(k+i kj) ∈ R(ki) , i = 1, ..., m; при этом полагаем, что ( yl (tk+j ) − yl ) yl(+kj) − yl > 0, l = 1, ..., n,

ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 3

26 А. Н. Кириллов

l ≠ kj, т.е. положение постоянных yl (tk+j ) не изменяется по отношению к пороговым значе-
ниям yl после скачка, иными словами, отображение φ+kj , повышающее размерность системы, не влияет мгновенно на отключение или подключение других подсистем Ski .
Далее, при t ≥ tk+j динамика системы S задается уравнениями (1) с начальными условиями Xki (tk+j ) = X(k+i kj) , yl (tk+j ) = yl(+kj) , ykj (tk+j ) = ykj + δ+kj , l = 1, ..., n, l ≠ kj, i = 1, ..., m.
Непрерывное изменение структуры. Отключение Skj . Предположим, что при t < tk−j
динамика системы S задается уравнениями (1). Пусть ykj (tk−j ) = ykj . Также полагаем, что gkk1j,...,km (Xk1(tk−j ),..., Xkm (tk−j )) < 0. Пусть при t ≥ tk−j , Xkj (t) ≠ 0 ди-
намика системы S задается уравнениями

Xki = fk−1k,.i...,km (Xk1,..., Xki ,..., Xkm ), i = 1,..., m;⎪⎫

yl = gk−1l,...,km (Xk1,..., Xkj ,..., Xkm ), l = 1,..., n,

⎬ ⎭⎪

(6)

где функции

fk−1,k.i..,km ,

g

−l k1,...,km

обеспечивают

существование

и

единственность

решений

сис-

темы (6). При этом полагаем, что в области {|| Xkj ||≤|| Xkj (tk−j ) ||}

f

−kj k1,...,km

(Xk1

,...,

Xkj

,

...,

Xkm

)

<

−α−kj

<

0,

(7)

где α−kj — заданная постоянная, кроме того, gk−1k,.j..,km (Xk1(tk−j ),..., Xkj (tk−j ),..., Xkm (tk−j )) < 0.
Далее, наличие условия (7) позволяет определить момент времени tˆkj , такой что Xkj (tˆkj ) = 0. При этом возможны два случая: 1) траектория системы (6), находясь в области, для которой ykj < ykj , попадает на множество Xkj = 0; 2) траектория системы (6) сначала при t = tkj < tˆkj попадает на плоскость ykj = ykj .
Рассмотрим оба случая: 1) с момента попадания траектории на множество Xkj = 0 динамика системы S задается уравнениями (5); таким образом, происходит отключение подсистемы Skj ; 2) после попадания траектории на плоскость ykj = ykj из области ykj < ykj полагаем, что динамика системы S задается уравнениями

Xki = fk+1k,.i...,km (Xk1,..., Xki ,..., Xkm ), i = 1,..., m;⎫⎪

yl = gk+1l,...,km (Xk1,..., Xkj ,..., Xkm ), l = 1,..., n,

⎬ ⎭⎪

(8)

где функции

f

+ kj k1,...,km

,

gk+1l,...,km обеспечивают существование и единственность решения.

Пусть

gk+1k,.j..,km (Xk1(tkj ),..., Xkj (tkj ),..., Xkm (tkj )) ≥ 0 ,

gk−1k,.j..,km (Xk1(tkj ),..., Xkj (tkj ),..., Xkm (tkj )) > 0 .

(9)

ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 3

Динамические системы с переменной структурой и размерностью

27

При этом функции gk+1k,.j..,km обладают свойством положительного скачка: гарантируют попа-
дание траектории на плоскость ykj = ykj + δ+kj , после чего динамика системы S задается уравнениями (1). Это означает, что отключения подсистемы Skj не произошло („ложная тревога“).
Подключение Skj . Пусть динамика S задается системой (5), и в некоторый момент

времени tk+j имеем ykj (tk+j ) = ykj . При этом полагаем gkk1j,...,k ( j−1),k( j+1),...,km (Xk1(tk+j ),..., Xk ( j−1) (tk+j ), Xk( j+1) (tk+j ),..., Xkm (tk+j )) > 0.
Далее, при t ≥ tk+j динамика S задается системой (8), для которой, помимо условия (9) и свойства положительного скачка для gk+1k,.j..,km , до момента попадания траектории на плоскость ykj = ykj + δ+kj выполняется условие

| fk+1,k.j..,km (Xk1,..., Xkj ,..., Xkm ) |> α+kj > 0,

где αk+j — заданная постоянная.
В результате динамика S задается системой (1). Происходит подключение подсистемы Skj .
О п р е д е л е н и е . Будем называть построенную выше математическую модель системой с переменной размерностью (СПР) с разрывным или непрерывным изменением структуры.
Траектория СПР состоит из участков, соответствующих временным интервалам, на которых структура системы не изменяется. При этом каждый участок траектории порождает последовательность структур γ(k) , т.е. структурную траекторию. Задача стабилизации задан-
ной структуры в случае линейной системы решается в работе [8]. Пример. Рассмотрим систему m связанных между собой твердых тел Pk , уравнения
движения которых имеют вид: fk (ωk , ωk , vk , vk , uk ) = 0, где ωk , vk — абсолютные угловая скорость k-го тела и скорость относительно неподвижной точки Ok ; uk — управляющий момент сил, приложенных к k-му телу. Пусть в каждом теле выделен орт rk , а в пространстве задана совокупность ортов dk . Задача состоит в стабилизации системы тел, т.е. в построении управлений uk , при которых rk → dk при t → ∞. Введем дополнительное непрямое управление w, такое что w = M − (| u1 | +...+ | um |) , где M = M (t) — пороговая кусочно-постоянная функция, | uk | — модуль вектора uk . Пусть задана бесконечная совокупность постоянных wi : wi < wi+1, i = 1, 2, ... Будем полагать, что при w ∈ (wk , wk+1) в состав системы входят тела P1,..., Pk . При достижении переменной значения wk происходит отключение тела Pk , а при достижении значения wk+1 — подключение тела Pk+1 . Переменная w характеризует запас энергии, имеющейся в распоряжении управляющего органа системы и затрачиваемой на стабилизацию. Если этот запас достаточно велик, то подключается дополнительный объект, в противном случае отключается один из объектов. Таким образом, построена саморазвивающаяся механическая система с двухуровневым управлением: посредством управления uk решается задача стабилизации, а посредством параметра w изменяется структура системы в зависимости от наличия энергии, значение которой может регулироваться изменением функции М, зависящей, в свою очередь, от параметров, характеризующих движение системы.

ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 3

28 А. Н. Кириллов
Предложенный подход, который можно назвать методом динамической декомпозиции, позволяет аналитически исследовать сложные системы с переменной структурой и размерностью, используя на различных стадиях их функционирования более простые, по сравнению с исходной, модели.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Кириллов А. Н. Динамическая декомпозиция и устойчивость структур // Математический анализ и его приложения: Сб. / Под ред. В. В. Мазалова. Чита: Изд-во Читинск. пед. ин-та, 1996. Вып. 2. С. 20—24.
2. Шильяк Д. Децентрализованное управление сложными системами. М.: Мир, 1994. 576 с.
3. Груйич Л. Т., Мартынюк А. А., Риббенс-Павелла М. Устойчивость крупномасштабных систем при структурных и сингулярных возмущениях. Киев: Наукова думка, 1984. 473 с.
4. Матросов В. М., Маликов А. И. Вектор-функции Ляпунова в анализе динамических систем со структурными изменениями // Изв. РАН. Сер. Теория и системы управления. 1998. Вып. 2. С. 47—54.
5. Охтилев М. Ю., Соколов Б. В., Юсупов Р. М. Интеллектуальные технологии мониторинга и управление структурной динамикой сложных динамических объектов. М.: Наука, 2006. 410 с.
6. Москвин Б. В., Михайлов Е. П., Павлов А. Н., Соколов Б. В. Комбинированные модели управления структурной динамикой информационных систем // Изв. вузов. Приборостроение. 2006. Т. 49, № 11. С. 7—12.
7. Емельянов С. В. Системы автоматического управления с переменной структурой. М.: Наука, 1967. 336 с.
8. Кириллов А. Н. Управление многостадийными технологическими процессами // Вестн. СПбГУ. Сер. 10. 2006. Вып. 4. С. 127—131.
Сведения об авторе Александр Николаевич Кириллов — канд. физ.-мат. наук, доцент; Санкт-Петербургский государственный
технологический университет растительных полимеров, кафедра высшей математики; E-mail: krllvaleksandr@rambler.ru

Рекомендована кафедрой высшей математики

Поступила в редакцию 18.09.08 г.

ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 3