ВХОДНОЕ УСТРОЙСТВО ДЛЯ КВАНТОВОГО КОМПЬЮТЕРА НА ЭЛЕКТРОНАХ В СВЯЗАННЫХ ВОЛНОВОДАХ
Входное устройство для квантового компьютера на электронах в связанных волноводах 53
УДК 517.938
А. Е. КУРАСОВ, И. Ю. ПОПОВ
ВХОДНОЕ УСТРОЙСТВО ДЛЯ КВАНТОВОГО КОМПЬЮТЕРА НА ЭЛЕКТРОНАХ В СВЯЗАННЫХ ВОЛНОВОДАХ
Сформулированы требования к входному устройству для квантового компьютера, в качестве элементной базы которого используются электроны в связанных волноводах. Предложена принципиальная модель данного модуля на основе задачи о генераторе начального состояния для такого компьютера. Выведены и численно промоделированы уравнения для конкретной реализации предложенной модели с использованием одномерной ограниченной параболической потенциальной ямы.
Ключевые слова: квантовый компьютер, квантовая яма, начальное состояние.
Введение. В последнее время активно ведутся исследования в области квантовых вычислений [1, 2]. Квантовый компьютер — это вычислительная машина, которая за один такт своей работы производит действия над всем доступным ей объемом памяти [1]. За счет такого эффекта квантовые компьютеры принципиально превосходят существующие классические в решении некоторых трудоемких задач. В частности, доказано, что квантовый компьютер решает задачу факторизации за полиномиальное время [1], что позволяет расшифровывать RSA-код за приемлемое время.
Задача построения квантового компьютера была декомпозирована на следующие подзадачи [1]: создание генератора начального состояния, создание достаточно большого числа кубитов, реализация одно- и двукубитных операций и реализация процесса считывания финального состояния квантового компьютера — перевод квантовой информации в классическую.
Предложенные для создания квантового компьютера классические варианты архитектуры [1—6] не позволяют решить одну или несколько поставленных задач, поэтому были предложены новые оригинальные варианты архитектуры. Одним из таких предложений было создать квантовый компьютер на связанных электронах в волноводах [7—11]. В данной архитектуре кубитом является пара связанных волноводов, в которых находится один электрон. Базовыми для кубита являются состояния, в которых электрон с вероятностью единица находится в одном из волноводов. На пути развития этой архитектуры был достигнут ряд успехов [7—11]. Настоящая работа посвящена решению задачи создания генератора начального состояния для предложенной архитектуры.
Принципиальная модель. Начальным состоянием квантового компьютера на связанных электронах в волноводах является следующее: в каждом волноводе находится по одному электрону в некотором состоянии (одинаковом для всех электронов компьютера), которое считается нулевым в данной архитектуре, эти электроны когерентны друг другу. Когерентность электронов является необходимым условием корректной работы данного квантового компьютера.
В качестве генератора предлагается использовать устройство, состоящее из нескольких ловушек (по одной на каждый волновод), каждая из которых держит по одному электрону перед своим волноводом и по внешнему сигналу выпускает их в волновод достаточно быстро, чтобы эти электроны были когерентными. Предполагается, что внешний сигнал подается одновременно на все ловушки и когерентность зависит только от времени вылета электрона. Необходимо, чтобы электрон в отсутствие сигнала находился в ловушке большое время по сравнению со временем работы квантового компьютера. Поставленные условия сводятся к одному: отношение времен жизни электрона в ловушке без сигнала и с наличием сигнала
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 5
54 А. Е. Курасов, И. Ю. Попов
должно быть достаточно большим. В качестве сигнала используется однородное электрическое поле. Потенциальная яма, характеризующая ловушку, может быть произвольной формы, в частности можно использовать одну из моделей квантовых точек.
Уравнения для одной из возможных реализаций. Время срабатывания одноэлектронного устройства можно грубо оценить как время жизни электрона в потенциальной яме соответствующей ловушки. В свою очередь, время жизни электрона будет считаться пропорциональным мнимой части волнового числа k , соответствующего резонансному состоянию системы вблизи энергетического уровня, на котором находится электрон.
В настоящей работе произведены расчеты для ловушки, состоящей из одномерной ограниченной параболической потенциальной ямы, потенциальная энергия которой U (x)
описывается следующими формулами: U = 0 : x < −d,
U = λ2x2 : −d ≤ x ≤ d,
U = ∞ : x > d,
где 2d — ширина ямы, а λ — параметр, характеризующий форму ямы. Данный выбор формы потенциала обусловлен тем, что при добавлении к такому потен-
циалу линейного форма останется неизменной: λx2 + Ex = λ ( x + x0 )2 + γ , где E — напряжен-
ность внешнего электрического поля, x0 пропорционален E , а γ — E2 . Будем считать напряженность поля достаточно небольшой, чтобы можно было пренебречь γ .
Уравнение для волновой функции ψ в области ловушки x ∈[−d + x0, d − x0 ] имеет
следующий вид:
( )∂2ψ
∂x2
+
k2 − λ2x2
ψ = 0.
Данное уравнение имеет следующее решение:
A1eikx + A2e−ikx : x < −d + x0 ,
C1ψ1 + C2ψ2 : x ∈[−d + x0, d − x0 ],
где ψ1 и ψ2 — частные решения стационарного уравнения Шредингера в области параболи-
ческого потенциала, а A1, A2, C1, C2 — константы, зависящие от k . Не уменьшая общности,
можно считать ψ1 симметричной, а ψ2 — антисимметричной функцией.
Резонансному состоянию соответствуют условия A1 = 0 и A2 ≠ 0 . Для определенности
положим A2 = 1 и, сшивая решения на границе, получим следующую систему:
C1ψ1(d + x0 )+C2ψ2 (d + x0 ) = 0,
⎫
C1ψ1(−d +
C1
∂ψ1 (−d ∂x
x0 )+C2ψ2 (−d + x0 ) +C2 ∂ψ2
+ x0 (−d ∂x
) = eikd , + x0 ) = −ikeikd
⎪⎪ ⎬ .⎪⎪⎭
Учитывая также симметричные свойства ψ1 и ψ2 , обозначив
∂ψi (d )
θi =
∂x ψi (d)
и
γi
=
ψi (d ψi (d
− +
x0 ) x0 )
,
можно получить следующее уравнение для k , соответствующего резонансу:
θ1γ2 + θ2γ1 = ik ( γ1 + γ2 ) .
(1)
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 5
Входное устройство для квантового компьютера на электронах в связанных волноводах 55 Численное моделирование полученных уравнений. Обычно значение k , соответствующее резонансу, близко к некоторому энергетическому уровню, более того, обычно рядом с каждым энергетическим уровнем находится свой резонанс. Поэтому решение уравнения (1) можно искать в виде k = k0 + k1, где k0 соответствует интересующему нас энергетическому уровню (использовался первый уровень бесконечной параболической потенциальной ямы). Соответственно решения ψi представлялись в виде: ψi = ψi0 + k1ψik , где ψi0 — решения, соответствующие случаю k = k0 , а значение ψik находилось из исходного уравнения Шредингера путем варьирования k . Необходимым условием применимости данного приближения является k1 .
6. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. Ф. Квантовая механика. М.: Физматгиз, 1974.
7. Gortinskaya L. V., Popov I. Yu., Tesovskaya E. S. Laterally coupled waveguides with Neumann boundary condition: formal asymptotic expansions // Proc. Int. Seminar ®Day on Diffraction' 2003. St. Petersburg, 2003. P. 52.
8. Popov I. Yu., Gortinskaya L. V., Gavrilov M. I., Pestov A. A., Tesovskaya E. S. Weakly coupled quantum wires and layers as an element of quantum computer // Int. Conf. „Quantum Physics and Computation“, QPC 2005. Dubna, 2005. P. 8.
9. Popov I. Yu., Gortinskaya L. V., Gavrilov M. I., Pestov A. A., Tesovskaya E. S. Quantum computer elements based on coupled quantum waveguides // Письма в ЭЧАЯ. 2007. Т. 4, № 2(138). С.237—243.
10. Gavrilov M. I., Gortinskaya L. V., Pestov A. A., Popov I. Yu., Tesovskaya E. S. Quantum Algorithms Implementation Using Quantum Wires System // Proc. ICO Top. Meeting on Optoinformatics Information Photonics. 2006. P. 327—329.
11. Павлов Б. С., Попов И. Ю., Першенко О. С. // Изв. вузов. Приборостроение. 2000. Т. 45, № 1—2. С. 31.
Александр Евгеньевич Курасов Игорь Юрьевич Попов
Сведения об авторах — аспирант; Санкт-Петербургский государственный университет ин-
формационных технологий, механики и оптики, кафедра высшей математики; E-mail: akurasov@gmail.com — д-р физ.-мат. наук, профессор; Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра высшей математики; заведующий кафедрой; E-mail: popov@mail.ifmo.ru
Рекомендована кафедрой высшей математики
Поступила в редакцию 29.04.09 г.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 5
УДК 517.938
А. Е. КУРАСОВ, И. Ю. ПОПОВ
ВХОДНОЕ УСТРОЙСТВО ДЛЯ КВАНТОВОГО КОМПЬЮТЕРА НА ЭЛЕКТРОНАХ В СВЯЗАННЫХ ВОЛНОВОДАХ
Сформулированы требования к входному устройству для квантового компьютера, в качестве элементной базы которого используются электроны в связанных волноводах. Предложена принципиальная модель данного модуля на основе задачи о генераторе начального состояния для такого компьютера. Выведены и численно промоделированы уравнения для конкретной реализации предложенной модели с использованием одномерной ограниченной параболической потенциальной ямы.
Ключевые слова: квантовый компьютер, квантовая яма, начальное состояние.
Введение. В последнее время активно ведутся исследования в области квантовых вычислений [1, 2]. Квантовый компьютер — это вычислительная машина, которая за один такт своей работы производит действия над всем доступным ей объемом памяти [1]. За счет такого эффекта квантовые компьютеры принципиально превосходят существующие классические в решении некоторых трудоемких задач. В частности, доказано, что квантовый компьютер решает задачу факторизации за полиномиальное время [1], что позволяет расшифровывать RSA-код за приемлемое время.
Задача построения квантового компьютера была декомпозирована на следующие подзадачи [1]: создание генератора начального состояния, создание достаточно большого числа кубитов, реализация одно- и двукубитных операций и реализация процесса считывания финального состояния квантового компьютера — перевод квантовой информации в классическую.
Предложенные для создания квантового компьютера классические варианты архитектуры [1—6] не позволяют решить одну или несколько поставленных задач, поэтому были предложены новые оригинальные варианты архитектуры. Одним из таких предложений было создать квантовый компьютер на связанных электронах в волноводах [7—11]. В данной архитектуре кубитом является пара связанных волноводов, в которых находится один электрон. Базовыми для кубита являются состояния, в которых электрон с вероятностью единица находится в одном из волноводов. На пути развития этой архитектуры был достигнут ряд успехов [7—11]. Настоящая работа посвящена решению задачи создания генератора начального состояния для предложенной архитектуры.
Принципиальная модель. Начальным состоянием квантового компьютера на связанных электронах в волноводах является следующее: в каждом волноводе находится по одному электрону в некотором состоянии (одинаковом для всех электронов компьютера), которое считается нулевым в данной архитектуре, эти электроны когерентны друг другу. Когерентность электронов является необходимым условием корректной работы данного квантового компьютера.
В качестве генератора предлагается использовать устройство, состоящее из нескольких ловушек (по одной на каждый волновод), каждая из которых держит по одному электрону перед своим волноводом и по внешнему сигналу выпускает их в волновод достаточно быстро, чтобы эти электроны были когерентными. Предполагается, что внешний сигнал подается одновременно на все ловушки и когерентность зависит только от времени вылета электрона. Необходимо, чтобы электрон в отсутствие сигнала находился в ловушке большое время по сравнению со временем работы квантового компьютера. Поставленные условия сводятся к одному: отношение времен жизни электрона в ловушке без сигнала и с наличием сигнала
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 5
54 А. Е. Курасов, И. Ю. Попов
должно быть достаточно большим. В качестве сигнала используется однородное электрическое поле. Потенциальная яма, характеризующая ловушку, может быть произвольной формы, в частности можно использовать одну из моделей квантовых точек.
Уравнения для одной из возможных реализаций. Время срабатывания одноэлектронного устройства можно грубо оценить как время жизни электрона в потенциальной яме соответствующей ловушки. В свою очередь, время жизни электрона будет считаться пропорциональным мнимой части волнового числа k , соответствующего резонансному состоянию системы вблизи энергетического уровня, на котором находится электрон.
В настоящей работе произведены расчеты для ловушки, состоящей из одномерной ограниченной параболической потенциальной ямы, потенциальная энергия которой U (x)
описывается следующими формулами: U = 0 : x < −d,
U = λ2x2 : −d ≤ x ≤ d,
U = ∞ : x > d,
где 2d — ширина ямы, а λ — параметр, характеризующий форму ямы. Данный выбор формы потенциала обусловлен тем, что при добавлении к такому потен-
циалу линейного форма останется неизменной: λx2 + Ex = λ ( x + x0 )2 + γ , где E — напряжен-
ность внешнего электрического поля, x0 пропорционален E , а γ — E2 . Будем считать напряженность поля достаточно небольшой, чтобы можно было пренебречь γ .
Уравнение для волновой функции ψ в области ловушки x ∈[−d + x0, d − x0 ] имеет
следующий вид:
( )∂2ψ
∂x2
+
k2 − λ2x2
ψ = 0.
Данное уравнение имеет следующее решение:
A1eikx + A2e−ikx : x < −d + x0 ,
C1ψ1 + C2ψ2 : x ∈[−d + x0, d − x0 ],
где ψ1 и ψ2 — частные решения стационарного уравнения Шредингера в области параболи-
ческого потенциала, а A1, A2, C1, C2 — константы, зависящие от k . Не уменьшая общности,
можно считать ψ1 симметричной, а ψ2 — антисимметричной функцией.
Резонансному состоянию соответствуют условия A1 = 0 и A2 ≠ 0 . Для определенности
положим A2 = 1 и, сшивая решения на границе, получим следующую систему:
C1ψ1(d + x0 )+C2ψ2 (d + x0 ) = 0,
⎫
C1ψ1(−d +
C1
∂ψ1 (−d ∂x
x0 )+C2ψ2 (−d + x0 ) +C2 ∂ψ2
+ x0 (−d ∂x
) = eikd , + x0 ) = −ikeikd
⎪⎪ ⎬ .⎪⎪⎭
Учитывая также симметричные свойства ψ1 и ψ2 , обозначив
∂ψi (d )
θi =
∂x ψi (d)
и
γi
=
ψi (d ψi (d
− +
x0 ) x0 )
,
можно получить следующее уравнение для k , соответствующего резонансу:
θ1γ2 + θ2γ1 = ik ( γ1 + γ2 ) .
(1)
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 5
Входное устройство для квантового компьютера на электронах в связанных волноводах 55 Численное моделирование полученных уравнений. Обычно значение k , соответствующее резонансу, близко к некоторому энергетическому уровню, более того, обычно рядом с каждым энергетическим уровнем находится свой резонанс. Поэтому решение уравнения (1) можно искать в виде k = k0 + k1, где k0 соответствует интересующему нас энергетическому уровню (использовался первый уровень бесконечной параболической потенциальной ямы). Соответственно решения ψi представлялись в виде: ψi = ψi0 + k1ψik , где ψi0 — решения, соответствующие случаю k = k0 , а значение ψik находилось из исходного уравнения Шредингера путем варьирования k . Необходимым условием применимости данного приближения является k1 .
6. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. Ф. Квантовая механика. М.: Физматгиз, 1974.
7. Gortinskaya L. V., Popov I. Yu., Tesovskaya E. S. Laterally coupled waveguides with Neumann boundary condition: formal asymptotic expansions // Proc. Int. Seminar ®Day on Diffraction' 2003. St. Petersburg, 2003. P. 52.
8. Popov I. Yu., Gortinskaya L. V., Gavrilov M. I., Pestov A. A., Tesovskaya E. S. Weakly coupled quantum wires and layers as an element of quantum computer // Int. Conf. „Quantum Physics and Computation“, QPC 2005. Dubna, 2005. P. 8.
9. Popov I. Yu., Gortinskaya L. V., Gavrilov M. I., Pestov A. A., Tesovskaya E. S. Quantum computer elements based on coupled quantum waveguides // Письма в ЭЧАЯ. 2007. Т. 4, № 2(138). С.237—243.
10. Gavrilov M. I., Gortinskaya L. V., Pestov A. A., Popov I. Yu., Tesovskaya E. S. Quantum Algorithms Implementation Using Quantum Wires System // Proc. ICO Top. Meeting on Optoinformatics Information Photonics. 2006. P. 327—329.
11. Павлов Б. С., Попов И. Ю., Першенко О. С. // Изв. вузов. Приборостроение. 2000. Т. 45, № 1—2. С. 31.
Александр Евгеньевич Курасов Игорь Юрьевич Попов
Сведения об авторах — аспирант; Санкт-Петербургский государственный университет ин-
формационных технологий, механики и оптики, кафедра высшей математики; E-mail: akurasov@gmail.com — д-р физ.-мат. наук, профессор; Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра высшей математики; заведующий кафедрой; E-mail: popov@mail.ifmo.ru
Рекомендована кафедрой высшей математики
Поступила в редакцию 29.04.09 г.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 5