ИСПРАВЛЕНИЕ СФЕРИЧЕСКОЙ АБЕРРАЦИИ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА В ЛИНЗЕ ВВЕДЕНИЕМ НЕОДНОРОДНОСТЕЙ ПОКАЗАТЕЛЯ ПРЕЛОМЛЕНИЯ
Исправление сферической аберрации третьего порядка в линзе
67
УДК 535. 317
А. Л. СУШКОВ
ИСПРАВЛЕНИЕ СФЕРИЧЕСКОЙ АБЕРРАЦИИ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА В ЛИНЗЕ
ВВЕДЕНИЕМ НЕОДНОРОДНОСТЕЙ ПОКАЗАТЕЛЯ ПРЕЛОМЛЕНИЯ
Рассмотрена возможность исправления сферической аберрации в одиночной линзе за счет применения осевой, радиальной и сфероконцентрической неоднородности показателя преломления. Проведено сравнение с результатами, полученными при асферизации поверхностью второго порядка.
Ключевые слова: сферическая аберрация, асферическая поверхность, радиальная осевая, сфероконцентрическая неоднородность показателя преломления.
В работах [1, 2] показана возможность улучшения характеристик оптической системы, в
частности, увеличения апертуры и повышения качества изображения за счет асферизации
поверхностей.
В последнее время в связи с бурным развитием оптики неоднородных сред, используе-
мой в эндоскопостроении и согласующих элементах волоконно-оптических линий связи,
актуальными стали вопросы применения неоднородности показателя преломления в линзах
классических оптических систем. В первую очередь это относится к элементам малогабарит-
ных оптических систем для телевидения, микророботов и др.
Рассмотрим вопросы влияния осевой, радиальной и радиально-осевой (сфероконцен-
трической) неоднородности показателя преломления на сферическую аберрацию линзы.
Для линзы с неоднородным показателем преломления справедливо соотношение [3]:
Si = Si + Si , i =1, 2,3, 4,5 ,
(1)
где i — номер аберрации третьего порядка, Si — коэффициент i-й аберрации, Si определяется влиянием поверхности, а Si — неоднородностью среды.
В случае тонкой линзы величину вклада переноса Si можно принять достаточно малой
и пренебречь ей при первичном анализе.
Из литературы [1, 2] известно, что коэффициент аберрации S1 однородной оптической системы с асферическими поверхностями второго порядка может быть представлен следующим
образом:
∑ ∑S1
k =n
= hk Pk
k=n
+
Bk hk4
,
(2)
k =1 k =1
где
Bk
=
bk rk3
δ
n00k , δn00k= n00k+1– n00k, bk — коэффициент деформации k-й поверхности, r —
радиус поверхности линзы, hk — высота первого вспомогательного луча на поверхности лин-
зы, Pk — поверхностный коэффициент, n00 — показатель преломления оптической среды.
Для радиальной неоднородности показателя преломления n00 — показатель преломления на
оси; для осевой неоднородности показателя преломления n00=n0 — показатель преломления в
плоскости начала градиентной среды, задаваемой смещением системы координат ∆z.
При всех типах неоднородного показателя преломления выражение для S1 имеет вид [3]:
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 5
68 А. Л. Сушков
∑ ∑S1
k =n
=
hk
Pk
k =n
+
Kk hk4
.
k =1 k =1
Коэффициент Kk определяется по следующим формулам:
— для осевой неоднородности показателя преломления ( n0 + n01z )
Kk
=
δn01k rk2
, δn01k= n01k+1 – n01k;
— для радиальной неоднородности показателя преломления ( n( y) = n00 + n10 y2 )
(3) (4)
Kk
= 4δn10k rk
, δn10k= n10k+1 – n10k;
(5)
— для радиально-осевой (сфероконцентрической) неоднородности показателя
Kk
= 4δn10k rk
+
δn01k rk2
, δn01k= n01k+1 – n01k, δn10k= n10k+1 – n10k.
(6)
Анализ выражений (2) и (3) показывает, что за счет различных технологий можно получить близкий результат по исправлению сферической аберрации линзы. Более того, можно проводить предварительные расчеты с применением асферизации поверхности, а в дальнейшем по формулам, связывающим параметры асферической поверхности и неоднородной оптической среды, перейти к введению неоднородности показателя преломления.
Осевая неоднородность показателя преломления. Осевое распределение показателя преломления в области аберраций третьих порядков зададим полиномом:
n(z) = n00 + n01z .
(7)
Если последовательно вводить осевую неоднородность показателя преломления в об-
ласть, прилегающую к первой или второй поверхности, то можно показать, что для коэффи-
циента n01 справедливо соотношение
n01k
=
bk
( n00
rk
−1)
,
k=1,2,
(8)
В случае плосковыпуклой линзы для исправления сферической аберрации имеем при b2=–e2, где e — эксцентриситет асферической поверхности:
n01
=
−e2
(
n00 r2
−1)
.
(9)
Из (9) можно получить условие обратного перехода от осевой неоднородности показателя
преломления с коэффициентом n01 к асферической поверхности второго порядка с эксцентриситетом
e2
=
−
n01r2 n00 −1
.
(10)
Для численного примера возьмем плосковыпуклую линзу с фокусным расстоянием 200 мм.
Конструктивные данные линзы следующие: r1=∝, r2= –100 мм, n00=1,5, толщина d = 5 мм. Известно, что для исправления сферической аберрации третьего порядка асферизацией
второй поверхности должно выполняться условие e2=n002. В табл. 1 приведены реальные значения аберрации точки на оси исходной однородной
линзы (для f′=200; s′F′=200; относительного входного отверстия 1:6,67; rзр=15 мм). Здесь и далее используются следующие обозначения: ∆s′ — продольная сферическая аберрация, мм;
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 5
Исправление сферической аберрации третьего порядка в линзе
69
∆y′ — поперечная сферическая аберрация, мм; W(λ) — волновая аберрация, λ — длина вол-
ны; m — относительная высота прохождения луча на входном зрачке.
Асферизация второй поверхности линзы гиперболоидом с эксцентриситетом e2=2,25
позволила полностью исправить сферическую аберрацию по всему входному зрачку.
Таблица 1
m ∆s′ y′ W(λ)
1,000
–5,13
–0,39
–13,08
0,866
–3,82
–0,25
–7,35
0,707
–2,54
–0,14
–3,26
0,500
–1,27
–0,05
–0,82
0,000 0,00 0,00 0,00
В табл. 2 приведены результаты расчета сферической аберрации линзы с осевой неод-
нородностью показателя преломления при вычисленном по формуле (9) значении коэффи-
циента n01 (∆z=3 мм; n01=0,011 25; f′=191,38; s′F′=191,38; 1:6,31; rзр=15 мм) и ее значение после
оптимизации (∆z=3 мм; n01=0,012 00; f′=190,84; s′F′=190,84; 1:6,31; rзр=15 мм). Отличие опти-
мизированной величины n01 от расчетной по формуле (9) составляет ≈6,7 %.
Таблица 2
m Расчет по формуле (9)
Результат оптимизации
∆s′
y′
W(λ)
∆s′
y′
W(λ)
1,000
–0,302
–0,024
–0,883
–0,003
–0,0002
–0,072
0,866
–0,237
–0,016
–0,513
–0,015
–0,001
–0,058
0,707
–0,164
–0,009
–0,235
–0,019
–0,001
–0,034
0,500
–0,085
–0,003
–0,060
–0,013
–0,0005
–0,010
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
Радиальная неоднородность показателя преломления. Радиальное распределение
показателя преломления в области аберраций третьих порядков задается полиномом
n = n00 + n10 y2 + n20 y4 .
(11)
C учетом (2), (3), (5) обобщенная формула для коэффициента n10k имеет вид
n10k
=
bk
(n00 4rk2
−1)
,
k=1,
2.
(12)
Легко показать, что для тонкой линзы оптическая сила Фгр, обусловленная наличием радиальной неоднородности показателя преломления, определяется соотношением
Φгр = −2n10d .
(13)
Отсюда получаем
n10
=
−
Фгр 2d
.
После подстановки (14) в (12) будем иметь:
Фгр
=
−
2bk
d (n00
4rk2
−1)
.
Из (15) видно, что знак оптической силы Фгр зависит от знака коэффициента bk:
(14) (15)
Ф=Фодн +Фгр,
(16)
где Фодн — оптическая сила однородной линзы, определяемая значением кривизны поверхностей линзы.
Оптическая сила, вносимая радиальной неоднородностью показателя преломления, по-
ложительна:
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 5
70 А. Л. Сушков
Фгр
=
n002d (n00 2r22
−1)
>
0
.
(17)
Следовательно, применение радиальной неоднородности показателя преломления в от-
личие от асферизации поверхности приводит к изменению оптической силы исходной линзы.
Числовые данные сферической аберрации линзы после введения радиальной неоднород-
ности (f′=189,43; s′F′=189,34; 1:6,31; rзр=15 мм; n10 = –2,8125⋅10–5) по формуле (12) и ее оптимизации (f′=188,77; s′F′=188,68; 1:6,31; rзр=15 мм; n10 = –3,0⋅10–5) приведены в табл. 3. Величина
волновой аберрации при оптимизированном значении коэффициента n10 не превышает 0,1λ. Таким образом, введение радиальной неоднородности показателя преломления с поло-
жительной оптической силой позволило исправить сферическую аберрацию в одиночной
линзе. Если в склеенном дублете исправление сферической аберрации достигается за счет со-
вместной работы положительной и отрицательной линз, то в градиентном синглете положи-
тельный эффект получен за счет совместного действия двух положительных линз: однород-
ной и радиально-градиентной.
Таблица 3
m Расчет по формуле (12)
Результат оптимизации
∆s′ y′
W(λ) ∆s′ y′
W(λ)
1,000
–0,306
–0,0241
–0,873
–0,014 –0,0010
–0,062
0,866
–0,232
–0,0158
–0,497
–0,015 –0,0010
–0,0416
0,707
–0,156
–0,0087
–0,223
–0,013 –0,0007
–0,0215
0,500
–0,079
–0,0031
–0,0565
–0,008 –0,0003
–0,0061
0,000
0,000
0,0000
0,000
0,000
0,0000
0,0000
Разница в значениях коэффициента n10 табл. 3 составляет 6,67 %. Сфероконцентрическая неоднородность показателя преломления задается полино-
мом в сферической системе координат:
( )n(rg − ρ) = nρ0 + nρ1 rg − ρ ,
(18)
где rg — технологический радиус формирования сфероконцентрической неоднородности по-
казателя преломления, ρ — текущая координата показателя преломления на технологическом
радиусе.
В общем случае значения радиуса поверхности линзы r и rg могут не совпадать. При переходе к декартовой системе координат [4] имеем:
n00=nρ0,
n01=nρ1,
n10
=
−
1 2rg
nρ1 .
(19)
Подставим Kk (см. формулу (6)) для первой и второй поверхностей в параметрах (19) и приравняем Kk к Bk .
Для первой поверхности линзы будем иметь:
⎛ K1 = ⎜⎝⎜
1 r12
−
2 r1rg
⎞ ⎟⎟⎠ nρ1
и
n1ρ1 =
b1 (n00 −1)
r1
⎡ ⎢1− ⎢⎣
2
⎛ ⎝⎜⎜
r1 rg1
⎞ ⎟⎠⎟
⎤ ⎥ ⎦⎥
.
(20)
Пусть r1=rg1, тогда
n1ρ1
=
−
b1
( n00
r1
−1)
(21)
Выполнив аналогичные подстановки в формулу для K2 второй поверхности, имеем:
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 5
Исправление сферической аберрации третьего порядка в линзе
71
n2ρ1
=
r2
b2 (n00
⎡⎛
⎢1− ⎣⎢
2
⎝⎜⎜
−1)
r2 rg 2
⎞⎤ ⎟⎟⎠⎥⎥⎦
.
(22)
Пусть r2=rg2, тогда получаем
n2ρ1
=
−
b2
(
n00 r2
−1)
.
(23)
В случае плосковыпуклой линзы для устранения сферической аберрации будем иметь:
n2ρ1
=
n020
( n00
r2
−1)
.
(24)
Данные сферической аберрации линзы после выведения по формуле (24) неоднородности (f′=187,86; s′F′=187,69; 1:6,31; rзр=15 мм; n2ρ1 = –1,125⋅10–2) и ее оптимизации (f′=186,74; s′F′=186,55; 1:6,31; rзр=15 мм; n2ρ1 = –1,2⋅10–2) приведены в табл. 4.
Таблица 4
m Расчет по формуле (24)
∆s′ y′
W(λ)
Результат оптимизации
∆s′ y′
W(λ)
1,000 –0,306
–0,0241
–0,873
–0,017 –0,0010
–0,033
0,866 –0,232
–0,0158
–0,497
–0,009 –0,0006
–0,0014
0,707 –0,156
–0,0087
–0,223
–0,004 –0,0002
–0,0039
0,500 –0,079
–0,0031
–0,0565
–0,001 –0,0000
–0,0004
0,000
0,000
0,0000
0,000
0,000
0,0000
0,0000
Анализ формул (8) и (20), (22) показывает, что при переходе от сфероконцентрической к
осевой неоднородности показателя преломления коэффициенты nρ1 и n01 сохраняют абсо-
лютное значение, но меняют знак. При rk≠rgk имеются множество промежуточных значений nρ1 и, следовательно, широкие возможности по получению различных величин сферической
аберрации третьего порядка. Полученные выводы подтверждаются данными табл. 4 и 2, показывающими, что при
осевой неоднородности показателя преломления коэффициент n01>0. В противоположность этому при сфероконцентрической неоднородности показателя преломления коэффициент
nρ1
67
УДК 535. 317
А. Л. СУШКОВ
ИСПРАВЛЕНИЕ СФЕРИЧЕСКОЙ АБЕРРАЦИИ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА В ЛИНЗЕ
ВВЕДЕНИЕМ НЕОДНОРОДНОСТЕЙ ПОКАЗАТЕЛЯ ПРЕЛОМЛЕНИЯ
Рассмотрена возможность исправления сферической аберрации в одиночной линзе за счет применения осевой, радиальной и сфероконцентрической неоднородности показателя преломления. Проведено сравнение с результатами, полученными при асферизации поверхностью второго порядка.
Ключевые слова: сферическая аберрация, асферическая поверхность, радиальная осевая, сфероконцентрическая неоднородность показателя преломления.
В работах [1, 2] показана возможность улучшения характеристик оптической системы, в
частности, увеличения апертуры и повышения качества изображения за счет асферизации
поверхностей.
В последнее время в связи с бурным развитием оптики неоднородных сред, используе-
мой в эндоскопостроении и согласующих элементах волоконно-оптических линий связи,
актуальными стали вопросы применения неоднородности показателя преломления в линзах
классических оптических систем. В первую очередь это относится к элементам малогабарит-
ных оптических систем для телевидения, микророботов и др.
Рассмотрим вопросы влияния осевой, радиальной и радиально-осевой (сфероконцен-
трической) неоднородности показателя преломления на сферическую аберрацию линзы.
Для линзы с неоднородным показателем преломления справедливо соотношение [3]:
Si = Si + Si , i =1, 2,3, 4,5 ,
(1)
где i — номер аберрации третьего порядка, Si — коэффициент i-й аберрации, Si определяется влиянием поверхности, а Si — неоднородностью среды.
В случае тонкой линзы величину вклада переноса Si можно принять достаточно малой
и пренебречь ей при первичном анализе.
Из литературы [1, 2] известно, что коэффициент аберрации S1 однородной оптической системы с асферическими поверхностями второго порядка может быть представлен следующим
образом:
∑ ∑S1
k =n
= hk Pk
k=n
+
Bk hk4
,
(2)
k =1 k =1
где
Bk
=
bk rk3
δ
n00k , δn00k= n00k+1– n00k, bk — коэффициент деформации k-й поверхности, r —
радиус поверхности линзы, hk — высота первого вспомогательного луча на поверхности лин-
зы, Pk — поверхностный коэффициент, n00 — показатель преломления оптической среды.
Для радиальной неоднородности показателя преломления n00 — показатель преломления на
оси; для осевой неоднородности показателя преломления n00=n0 — показатель преломления в
плоскости начала градиентной среды, задаваемой смещением системы координат ∆z.
При всех типах неоднородного показателя преломления выражение для S1 имеет вид [3]:
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 5
68 А. Л. Сушков
∑ ∑S1
k =n
=
hk
Pk
k =n
+
Kk hk4
.
k =1 k =1
Коэффициент Kk определяется по следующим формулам:
— для осевой неоднородности показателя преломления ( n0 + n01z )
Kk
=
δn01k rk2
, δn01k= n01k+1 – n01k;
— для радиальной неоднородности показателя преломления ( n( y) = n00 + n10 y2 )
(3) (4)
Kk
= 4δn10k rk
, δn10k= n10k+1 – n10k;
(5)
— для радиально-осевой (сфероконцентрической) неоднородности показателя
Kk
= 4δn10k rk
+
δn01k rk2
, δn01k= n01k+1 – n01k, δn10k= n10k+1 – n10k.
(6)
Анализ выражений (2) и (3) показывает, что за счет различных технологий можно получить близкий результат по исправлению сферической аберрации линзы. Более того, можно проводить предварительные расчеты с применением асферизации поверхности, а в дальнейшем по формулам, связывающим параметры асферической поверхности и неоднородной оптической среды, перейти к введению неоднородности показателя преломления.
Осевая неоднородность показателя преломления. Осевое распределение показателя преломления в области аберраций третьих порядков зададим полиномом:
n(z) = n00 + n01z .
(7)
Если последовательно вводить осевую неоднородность показателя преломления в об-
ласть, прилегающую к первой или второй поверхности, то можно показать, что для коэффи-
циента n01 справедливо соотношение
n01k
=
bk
( n00
rk
−1)
,
k=1,2,
(8)
В случае плосковыпуклой линзы для исправления сферической аберрации имеем при b2=–e2, где e — эксцентриситет асферической поверхности:
n01
=
−e2
(
n00 r2
−1)
.
(9)
Из (9) можно получить условие обратного перехода от осевой неоднородности показателя
преломления с коэффициентом n01 к асферической поверхности второго порядка с эксцентриситетом
e2
=
−
n01r2 n00 −1
.
(10)
Для численного примера возьмем плосковыпуклую линзу с фокусным расстоянием 200 мм.
Конструктивные данные линзы следующие: r1=∝, r2= –100 мм, n00=1,5, толщина d = 5 мм. Известно, что для исправления сферической аберрации третьего порядка асферизацией
второй поверхности должно выполняться условие e2=n002. В табл. 1 приведены реальные значения аберрации точки на оси исходной однородной
линзы (для f′=200; s′F′=200; относительного входного отверстия 1:6,67; rзр=15 мм). Здесь и далее используются следующие обозначения: ∆s′ — продольная сферическая аберрация, мм;
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 5
Исправление сферической аберрации третьего порядка в линзе
69
∆y′ — поперечная сферическая аберрация, мм; W(λ) — волновая аберрация, λ — длина вол-
ны; m — относительная высота прохождения луча на входном зрачке.
Асферизация второй поверхности линзы гиперболоидом с эксцентриситетом e2=2,25
позволила полностью исправить сферическую аберрацию по всему входному зрачку.
Таблица 1
m ∆s′ y′ W(λ)
1,000
–5,13
–0,39
–13,08
0,866
–3,82
–0,25
–7,35
0,707
–2,54
–0,14
–3,26
0,500
–1,27
–0,05
–0,82
0,000 0,00 0,00 0,00
В табл. 2 приведены результаты расчета сферической аберрации линзы с осевой неод-
нородностью показателя преломления при вычисленном по формуле (9) значении коэффи-
циента n01 (∆z=3 мм; n01=0,011 25; f′=191,38; s′F′=191,38; 1:6,31; rзр=15 мм) и ее значение после
оптимизации (∆z=3 мм; n01=0,012 00; f′=190,84; s′F′=190,84; 1:6,31; rзр=15 мм). Отличие опти-
мизированной величины n01 от расчетной по формуле (9) составляет ≈6,7 %.
Таблица 2
m Расчет по формуле (9)
Результат оптимизации
∆s′
y′
W(λ)
∆s′
y′
W(λ)
1,000
–0,302
–0,024
–0,883
–0,003
–0,0002
–0,072
0,866
–0,237
–0,016
–0,513
–0,015
–0,001
–0,058
0,707
–0,164
–0,009
–0,235
–0,019
–0,001
–0,034
0,500
–0,085
–0,003
–0,060
–0,013
–0,0005
–0,010
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
Радиальная неоднородность показателя преломления. Радиальное распределение
показателя преломления в области аберраций третьих порядков задается полиномом
n = n00 + n10 y2 + n20 y4 .
(11)
C учетом (2), (3), (5) обобщенная формула для коэффициента n10k имеет вид
n10k
=
bk
(n00 4rk2
−1)
,
k=1,
2.
(12)
Легко показать, что для тонкой линзы оптическая сила Фгр, обусловленная наличием радиальной неоднородности показателя преломления, определяется соотношением
Φгр = −2n10d .
(13)
Отсюда получаем
n10
=
−
Фгр 2d
.
После подстановки (14) в (12) будем иметь:
Фгр
=
−
2bk
d (n00
4rk2
−1)
.
Из (15) видно, что знак оптической силы Фгр зависит от знака коэффициента bk:
(14) (15)
Ф=Фодн +Фгр,
(16)
где Фодн — оптическая сила однородной линзы, определяемая значением кривизны поверхностей линзы.
Оптическая сила, вносимая радиальной неоднородностью показателя преломления, по-
ложительна:
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 5
70 А. Л. Сушков
Фгр
=
n002d (n00 2r22
−1)
>
0
.
(17)
Следовательно, применение радиальной неоднородности показателя преломления в от-
личие от асферизации поверхности приводит к изменению оптической силы исходной линзы.
Числовые данные сферической аберрации линзы после введения радиальной неоднород-
ности (f′=189,43; s′F′=189,34; 1:6,31; rзр=15 мм; n10 = –2,8125⋅10–5) по формуле (12) и ее оптимизации (f′=188,77; s′F′=188,68; 1:6,31; rзр=15 мм; n10 = –3,0⋅10–5) приведены в табл. 3. Величина
волновой аберрации при оптимизированном значении коэффициента n10 не превышает 0,1λ. Таким образом, введение радиальной неоднородности показателя преломления с поло-
жительной оптической силой позволило исправить сферическую аберрацию в одиночной
линзе. Если в склеенном дублете исправление сферической аберрации достигается за счет со-
вместной работы положительной и отрицательной линз, то в градиентном синглете положи-
тельный эффект получен за счет совместного действия двух положительных линз: однород-
ной и радиально-градиентной.
Таблица 3
m Расчет по формуле (12)
Результат оптимизации
∆s′ y′
W(λ) ∆s′ y′
W(λ)
1,000
–0,306
–0,0241
–0,873
–0,014 –0,0010
–0,062
0,866
–0,232
–0,0158
–0,497
–0,015 –0,0010
–0,0416
0,707
–0,156
–0,0087
–0,223
–0,013 –0,0007
–0,0215
0,500
–0,079
–0,0031
–0,0565
–0,008 –0,0003
–0,0061
0,000
0,000
0,0000
0,000
0,000
0,0000
0,0000
Разница в значениях коэффициента n10 табл. 3 составляет 6,67 %. Сфероконцентрическая неоднородность показателя преломления задается полино-
мом в сферической системе координат:
( )n(rg − ρ) = nρ0 + nρ1 rg − ρ ,
(18)
где rg — технологический радиус формирования сфероконцентрической неоднородности по-
казателя преломления, ρ — текущая координата показателя преломления на технологическом
радиусе.
В общем случае значения радиуса поверхности линзы r и rg могут не совпадать. При переходе к декартовой системе координат [4] имеем:
n00=nρ0,
n01=nρ1,
n10
=
−
1 2rg
nρ1 .
(19)
Подставим Kk (см. формулу (6)) для первой и второй поверхностей в параметрах (19) и приравняем Kk к Bk .
Для первой поверхности линзы будем иметь:
⎛ K1 = ⎜⎝⎜
1 r12
−
2 r1rg
⎞ ⎟⎟⎠ nρ1
и
n1ρ1 =
b1 (n00 −1)
r1
⎡ ⎢1− ⎢⎣
2
⎛ ⎝⎜⎜
r1 rg1
⎞ ⎟⎠⎟
⎤ ⎥ ⎦⎥
.
(20)
Пусть r1=rg1, тогда
n1ρ1
=
−
b1
( n00
r1
−1)
(21)
Выполнив аналогичные подстановки в формулу для K2 второй поверхности, имеем:
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 5
Исправление сферической аберрации третьего порядка в линзе
71
n2ρ1
=
r2
b2 (n00
⎡⎛
⎢1− ⎣⎢
2
⎝⎜⎜
−1)
r2 rg 2
⎞⎤ ⎟⎟⎠⎥⎥⎦
.
(22)
Пусть r2=rg2, тогда получаем
n2ρ1
=
−
b2
(
n00 r2
−1)
.
(23)
В случае плосковыпуклой линзы для устранения сферической аберрации будем иметь:
n2ρ1
=
n020
( n00
r2
−1)
.
(24)
Данные сферической аберрации линзы после выведения по формуле (24) неоднородности (f′=187,86; s′F′=187,69; 1:6,31; rзр=15 мм; n2ρ1 = –1,125⋅10–2) и ее оптимизации (f′=186,74; s′F′=186,55; 1:6,31; rзр=15 мм; n2ρ1 = –1,2⋅10–2) приведены в табл. 4.
Таблица 4
m Расчет по формуле (24)
∆s′ y′
W(λ)
Результат оптимизации
∆s′ y′
W(λ)
1,000 –0,306
–0,0241
–0,873
–0,017 –0,0010
–0,033
0,866 –0,232
–0,0158
–0,497
–0,009 –0,0006
–0,0014
0,707 –0,156
–0,0087
–0,223
–0,004 –0,0002
–0,0039
0,500 –0,079
–0,0031
–0,0565
–0,001 –0,0000
–0,0004
0,000
0,000
0,0000
0,000
0,000
0,0000
0,0000
Анализ формул (8) и (20), (22) показывает, что при переходе от сфероконцентрической к
осевой неоднородности показателя преломления коэффициенты nρ1 и n01 сохраняют абсо-
лютное значение, но меняют знак. При rk≠rgk имеются множество промежуточных значений nρ1 и, следовательно, широкие возможности по получению различных величин сферической
аберрации третьего порядка. Полученные выводы подтверждаются данными табл. 4 и 2, показывающими, что при
осевой неоднородности показателя преломления коэффициент n01>0. В противоположность этому при сфероконцентрической неоднородности показателя преломления коэффициент
nρ1