ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ИНФОРМАТИВНЫХ ПРИЗНАКОВ ДЛЯ ВЫЯВЛЕНИЯ МОМЕНТА НАРУШЕНИЯ СТАЦИОНАРНОСТИ СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА
УДК 519.216
А. В. ДЕНИСОВ, А. П. ФИЛИМОНОВ
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ИНФОРМАТИВНЫХ ПРИЗНАКОВ ДЛЯ ВЫЯВЛЕНИЯ МОМЕНТА НАРУШЕНИЯ
СТАЦИОНАРНОСТИ СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА
Доказывается высокая информативная значимость изменения числа инверсий случайного процесса для выявления момента нарушения стационарного режима работы сложной динамической системы. Рассматриваются два критерия: параметрический, связанный с представлением дисперсий элементарных гармонических составляющих канонического разложения случайного узкополосного процесса в виде координат вектора в гильбертовом пространстве, и непараметрический, позволяющий обнаружить тренд при условии широкой априорной неопределенности процесса. Ключевые слова: выбросы случайных процессов, оценивание сигналов, фильтрация сигналов, каноническое представление случайного процесса.
Современные технические средства позволяют существенно повысить эффективность измерений и фильтрацию случайных сигналов. Задачи обнаружения трендов и выявления моментов нарушения стационарности случайного процесса на фоне существенных помех часто возникают при измерении характеристик геофизических сигналов для определения границ месторождений полезных ископаемых (особенно с подвижных оснований), при информационно-аналитическом сопровождении геофизических работ, при обнаружении аварийных ситуаций в работе сложной динамической системы (какой является, например, плавучая буровая станция). Для решения подобных задач используется функциональная обработка
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 7
14 А. В. Денисов, А. П. Филимонов
получаемой информации и логические фильтры. Подход, связанный с вычислением среднеквадратического отклонения (СКО) и спектральной плотности, недостаточно чувствителен к отдельным выбросам сигнала, которые несут полезную информацию, а распространенные интегральные фильтры порой не обладают требуемым быстродействием.
В настоящей статье предлагается использовать для математической обработки информации метод параметрической статистики, связанный с минимизацией количества членов канонического разложения, а также метод непараметрической статистики. В обоих случаях важно правильно определить вид изучаемого процесса. Использование непараметрических методов [1, 2] упрощает функциональную и структурную схему устройств обнаружения момента нарушения стационарности процесса при сохранении степени достоверности принятия решений.
Рассмотрим один из параметрических критериев, для чего установим связь между среднестатистическим числом инверсий [3, 4] и параметрами канонического представления [5—7] случайного процесса (СП), который будем считать узкополосным. Важность рассмотрения этого случая связана с квазипериодическим изменением некоторых параметров во времени при изучении различных технологических процессов. Исследуем стационарный СП a(t) , ко-
торый будем полагать нормальным и центрированным, а также дифференцируемым. Пусть на конечном интервале времени ∆t процесс имеет N пересечений с пороговым значением
a(t) = 0 . В этом случае N за время ∆t определяется как [3, 4]
N = ∆t σa , π σa
где
σa
и
σa
—
соответственно СКО
функции
a(t)
и
ее
производной
a
=
da dt
.
(1)
Из формулы (1) следует, что хотя N и зависит от σa , но информативным признаком стационарности процесса является отношение указанных СКО. Процесс a(t) также является
узкополосным.
Сформируем для процесса a(t) с нулевым средним значением и дисперсией σa2 его ка-
ноническое
представление
[5]
в
виде
тригонометрического
ряда
на
интервале
⎛ ⎜⎝
−
Т 2
,
Т 2
⎞ ⎠⎟
:
∑a(t)
=
∞ l=0
⎡ ⎢⎣
Al
cos
⎛ ⎜⎝
2πl T
t
⎞ ⎠⎟
+
Bl
sin
⎛ ⎝⎜
2πl T
t
⎞⎤ ⎠⎟⎥⎦
,
(2)
где Al и Bl — некоррелированные между собой при разных значениях l случайные величи-
ны, распределенные по нормальному закону, имеющие нулевые математические ожидания и
дисперсии σl2 , сумма которых равна σ2a ; при выборе периода разложения Т целесообразно
использовать оптимальные параметры канонического разложения [7]. В качестве математической модели процесса a(t) зададим его корреляционную функ-
цию K (τ) в следующем виде [7]: на интервале τ ≤T 2 представим ее в виде произведения
огибающей, характеризующейся параметром Ω, и гармонического заполнения с частотой β:
K
(τ)
=
σ2
⎛ ⎝⎜
sin Ωτ Ωτ
⎞2 ⎠⎟
cos
βτ
,
а при τ >T 2 положим K (τ) = 0 . С ростом τ огибающая корреляционной функции впервые
обращается в нуль при τ = ± π Ω . Интервал между этими двумя точками будем считать периодом T , на котором процесс a(t) представлен в виде уравнения (2), затем продолжим это
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 7
Использование информативных признаков для выявления нарушения стационарности СП 15
представление на всю временную ось t , при этом функция a(t) останется непрерывной. Дис-
персии элементарных гармонических составляющих в этом случае определяются формулами
∫σ02
=
2 T
T2 0
K
(τ)d
τ,
(3)
∫σl2
=
4 T
T2 0
K
(τ)
cos
⎛ ⎝⎜
2πl T
τ
⎞ ⎠⎟
d
τ
,
T
=
π Ω
.
Выбор указанного периода разложения обусловлен, во-первых, быстрым уменьшением
дисперсии высокочастотных составляющих процесса [7], так что в каноническом представ-
лении достаточно учесть только несколько первых гармоник; во-вторых, задание корреляци-
онной функции при всех значениях τ с формальной точки зрения требует наличия бесконечной выборки, что практически невозможно.
В соответствии с физической сущностью многих случайных процессов в представлении
СП a(t) должна отсутствовать постоянная составляющая σ02 . При выборе указанного перио-
да Т величина σ02 (см. формулу (3)) отсутствует только в двух случаях: если Ω β ≈ 0,30 или
Ω β ≈ 0, 42 . В обоих случаях можно ограничиться первой, второй и третьей гармониками, ис-
ключив высокочастотные элементарные процессы, дисперсии которых много меньше дис-
персии анализируемого СП:
∑a(t)
≈
3 l =1
⎡ ⎢⎣
Al
cos
⎛ ⎜⎝
2πl T
t
⎞ ⎟⎠
+
Bl
sin
⎛ ⎜⎝
2πl T
t
⎞⎤ ⎟⎠⎦⎥
.
(4)
При Ω β ≈ 0, 42 получаем: σ12 = 0,15σa2 , σ22 = 0, 45σa2 , σ32 = 0,30σ2a . Поскольку ряд (2) мажорируется сходящимся положительным числовым рядом, члена-
ми которого являются дисперсии элементарных составляющих, то его можно почленно про-
интегрировать. Интегрируя соотношение (4) и полагая постоянную интегрирования равной
нулю, получаем приближенное каноническое представление для a(t) , согласно которому на-
ходим среднеквадратическое отклонение σa исходного СП a(t) :
σa
≈
σa Ω
σ12
+
1 4
σ22
+
1 9
σ32
.
С учетом этого соотношения формула (1) примет следующий вид:
N ≈ ∆t 2Ω . π
При рассмотрении узкополосного случайного процесса изменение значения Ω можно
использовать как критерий, характеризующий нарушение стационарного режима СП. Целе-
сообразно, однако, в качестве информативного признака рассматривать дисперсии элемен-
тарных процессов, которые можно представить в виде координат вектора в конечномерном
гильбертовом пространстве. Этот вектор полностью характеризует СП. Затем можно разде-
лить данное пространство на множества (классы) таким образом, чтобы расстояние между
ними было наибольшим, а время, необходимое для идентификации принадлежности вектора
к какому-либо классу, было наименьшим.
В случае когда априорная информация о процессе отсутствует или график спектральной
плотности характеризуется наличием ряда максимумов на близкорасположенных частотах,
для выявления момента нарушения стационарного режима целесообразно использовать метод
нелинейной фильтрации сигналов, связанный с суммированием отклонений N от нулевого
значения с учетом весовых коэффициентов.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 7
16 А. В. Денисов, А. П. Филимонов
Рассмотрим этот вопрос с общих позиций. Для обнаружения тренда следует использо-
вать непараметрическую форму задания J-критерия в виде
∑J
=
±b
+
⎛ ⎜⎝⎜
m i=1
ki
Di
+
cF
⎞ ⎟⎠⎟
S
,
(5)
где S — вектор-столбец информационных сигналов, полученных по m каналам; b — век-
тор-столбец, определяемый как стартовая пороговая точка в т-мерном пространстве; c —
коэффициент, характеризующий доверительную вероятность обнаружения тренда ( он может,
например, соответствовать ряду коэффициентов Стьюдента для нормального распределения
СП); F — функциональная квадратная матрица ( m × m ) непараметрического преобразования
сигналов; Di — квадратные матрицы ( m × m ) для нелинейной обработки входного (векторно-
го) сигнала a(t) ; ki — весовые коэффициенты, зависящие от стохастических характеристик
сигнала a(t) и измерительных каналов, с помощью коэффициентов ki можно повысить чув-
ствительность критерия в каждом конкретном случае, не изменяя непосредственно матрицы
Di и время принятия решения.
На основе априорной информации строятся далее вектор-столбцы Jmin , Jmax , опреде-
ляющие граничные значения для каждого информационного параметра. Разность Jmax – Jmin
формирует новый вектор-столбец, по которому можно судить о наличии тренда и о наруше-
нии стационарности режима работы системы.
Проверка этого критерия (в более упрощенном виде — для одного измерительного ка-
нала) была осуществлена авторами в НЦ „Вагоны“ Петербургского государственного универ-
ситета путей сообщения. Для обнаружения схода колесной пары грузового вагона были про-
ведены компьютерное моделирование и натурный эксперимент. Установлено, что „инте-
гральные критерии“ (СКО и основанные на вычислении спектральной плотности) в этом слу-
чае неэффективны, а использование непараметрического критерия, подобного приведенному
в формуле (5), позволяет зафиксировать время схода вагона при максимальной скорости его
движения и при любой шпальной неровности не более чем за 2 с. Эта задача была решена в
аналого-цифровом варианте с использованием микропроцессорного устройства, при этом
предварительная фильтрация сигнала выполнялась посредством аналоговой части схемы.
Был реализован алгоритм, автоматически обнаруживающий и выделяющий тренд в темпе по-
ступления данных, т.е. в реальном масштабе времени. В простейшем случае одноканальной
системы графики функций Jmin (N ) и Jmax (N ) разделяют пространство (J , N ) на область
Jmin (N ) ≤ J (N ) ≤ Jmax (N ) , в которой процесс стационарен, и две области J (N ) > Jmax (N ) ,
Jmin (N ) > J (N ) , в которых процесс становится нестационарным с возрастающим или убы-
вающим трендом.
Таким образом, непараметрическая форма оценки реализаций СП обладает простотой
использования и имеет широкую область применения, что существенно улучшает эффектив-
ность решения задачи анализа случайных процессов.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Дмитриев Ю. Г., Кошкин Г. М. Непараметрическое оценивание сигналов. М.: Наука, 1997. 336 с. 2. Тарасенко Ф. П. Непараметрическая статистика. Томск: Изд-во Томск. ун-та, 1976. 292 c. 3. Светлицкий В. А. Случайные колебания механических систем. М.: Машиностроение, 1976. 216 с. 4. Тихонов В. И. Выбросы случайных процессов // Успехи физ. наук. 1962. Т. 77, вып. 3. С. 449—480. 5. Пугачёв В. С. Теория случайных функций и ее применение. М.: Физматгиз, 1962. 720 с.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 7
Использование информативных признаков для выявления нарушения стационарности СП 17
6. Райс С. Теория флуктуационных шумов // Теория передачи электрических сигналов при наличии помех: Сб. переводов / Под ред. Н. А. Железнова. М.: Изд-во иностр. лит., 1953. C. 88—238.
7. Филимонов А. П., Денисов А. В. Выбор параметров канонического разложения узкополосного случайного процесса // Изв. вузов. Приборостроение. 2007. Т. 50, № 8. С. 48—53.
Александр Владимирович Денисов Анатолий Павлович Филимонов
Сведения об авторах — канд. физ-мат. наук, доцент; Санкт-Петербургский государственный
горный институт им. Г. В. Плеханова (ТУ), кафедра высшей математики; E-mail: rectorat@spmi.ru — канд. техн. наук, доцент; Петербургский государственный университет путей сообщения, кафедра физики; E-mail: pgups200@rambler.ru
Рекомендована кафедрой высшей математики СПбГГИ (ТУ)
Поступила в редакцию 23.10.09 г.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 7
А. В. ДЕНИСОВ, А. П. ФИЛИМОНОВ
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ИНФОРМАТИВНЫХ ПРИЗНАКОВ ДЛЯ ВЫЯВЛЕНИЯ МОМЕНТА НАРУШЕНИЯ
СТАЦИОНАРНОСТИ СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА
Доказывается высокая информативная значимость изменения числа инверсий случайного процесса для выявления момента нарушения стационарного режима работы сложной динамической системы. Рассматриваются два критерия: параметрический, связанный с представлением дисперсий элементарных гармонических составляющих канонического разложения случайного узкополосного процесса в виде координат вектора в гильбертовом пространстве, и непараметрический, позволяющий обнаружить тренд при условии широкой априорной неопределенности процесса. Ключевые слова: выбросы случайных процессов, оценивание сигналов, фильтрация сигналов, каноническое представление случайного процесса.
Современные технические средства позволяют существенно повысить эффективность измерений и фильтрацию случайных сигналов. Задачи обнаружения трендов и выявления моментов нарушения стационарности случайного процесса на фоне существенных помех часто возникают при измерении характеристик геофизических сигналов для определения границ месторождений полезных ископаемых (особенно с подвижных оснований), при информационно-аналитическом сопровождении геофизических работ, при обнаружении аварийных ситуаций в работе сложной динамической системы (какой является, например, плавучая буровая станция). Для решения подобных задач используется функциональная обработка
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 7
14 А. В. Денисов, А. П. Филимонов
получаемой информации и логические фильтры. Подход, связанный с вычислением среднеквадратического отклонения (СКО) и спектральной плотности, недостаточно чувствителен к отдельным выбросам сигнала, которые несут полезную информацию, а распространенные интегральные фильтры порой не обладают требуемым быстродействием.
В настоящей статье предлагается использовать для математической обработки информации метод параметрической статистики, связанный с минимизацией количества членов канонического разложения, а также метод непараметрической статистики. В обоих случаях важно правильно определить вид изучаемого процесса. Использование непараметрических методов [1, 2] упрощает функциональную и структурную схему устройств обнаружения момента нарушения стационарности процесса при сохранении степени достоверности принятия решений.
Рассмотрим один из параметрических критериев, для чего установим связь между среднестатистическим числом инверсий [3, 4] и параметрами канонического представления [5—7] случайного процесса (СП), который будем считать узкополосным. Важность рассмотрения этого случая связана с квазипериодическим изменением некоторых параметров во времени при изучении различных технологических процессов. Исследуем стационарный СП a(t) , ко-
торый будем полагать нормальным и центрированным, а также дифференцируемым. Пусть на конечном интервале времени ∆t процесс имеет N пересечений с пороговым значением
a(t) = 0 . В этом случае N за время ∆t определяется как [3, 4]
N = ∆t σa , π σa
где
σa
и
σa
—
соответственно СКО
функции
a(t)
и
ее
производной
a
=
da dt
.
(1)
Из формулы (1) следует, что хотя N и зависит от σa , но информативным признаком стационарности процесса является отношение указанных СКО. Процесс a(t) также является
узкополосным.
Сформируем для процесса a(t) с нулевым средним значением и дисперсией σa2 его ка-
ноническое
представление
[5]
в
виде
тригонометрического
ряда
на
интервале
⎛ ⎜⎝
−
Т 2
,
Т 2
⎞ ⎠⎟
:
∑a(t)
=
∞ l=0
⎡ ⎢⎣
Al
cos
⎛ ⎜⎝
2πl T
t
⎞ ⎠⎟
+
Bl
sin
⎛ ⎝⎜
2πl T
t
⎞⎤ ⎠⎟⎥⎦
,
(2)
где Al и Bl — некоррелированные между собой при разных значениях l случайные величи-
ны, распределенные по нормальному закону, имеющие нулевые математические ожидания и
дисперсии σl2 , сумма которых равна σ2a ; при выборе периода разложения Т целесообразно
использовать оптимальные параметры канонического разложения [7]. В качестве математической модели процесса a(t) зададим его корреляционную функ-
цию K (τ) в следующем виде [7]: на интервале τ ≤T 2 представим ее в виде произведения
огибающей, характеризующейся параметром Ω, и гармонического заполнения с частотой β:
K
(τ)
=
σ2
⎛ ⎝⎜
sin Ωτ Ωτ
⎞2 ⎠⎟
cos
βτ
,
а при τ >T 2 положим K (τ) = 0 . С ростом τ огибающая корреляционной функции впервые
обращается в нуль при τ = ± π Ω . Интервал между этими двумя точками будем считать периодом T , на котором процесс a(t) представлен в виде уравнения (2), затем продолжим это
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 7
Использование информативных признаков для выявления нарушения стационарности СП 15
представление на всю временную ось t , при этом функция a(t) останется непрерывной. Дис-
персии элементарных гармонических составляющих в этом случае определяются формулами
∫σ02
=
2 T
T2 0
K
(τ)d
τ,
(3)
∫σl2
=
4 T
T2 0
K
(τ)
cos
⎛ ⎝⎜
2πl T
τ
⎞ ⎠⎟
d
τ
,
T
=
π Ω
.
Выбор указанного периода разложения обусловлен, во-первых, быстрым уменьшением
дисперсии высокочастотных составляющих процесса [7], так что в каноническом представ-
лении достаточно учесть только несколько первых гармоник; во-вторых, задание корреляци-
онной функции при всех значениях τ с формальной точки зрения требует наличия бесконечной выборки, что практически невозможно.
В соответствии с физической сущностью многих случайных процессов в представлении
СП a(t) должна отсутствовать постоянная составляющая σ02 . При выборе указанного перио-
да Т величина σ02 (см. формулу (3)) отсутствует только в двух случаях: если Ω β ≈ 0,30 или
Ω β ≈ 0, 42 . В обоих случаях можно ограничиться первой, второй и третьей гармониками, ис-
ключив высокочастотные элементарные процессы, дисперсии которых много меньше дис-
персии анализируемого СП:
∑a(t)
≈
3 l =1
⎡ ⎢⎣
Al
cos
⎛ ⎜⎝
2πl T
t
⎞ ⎟⎠
+
Bl
sin
⎛ ⎜⎝
2πl T
t
⎞⎤ ⎟⎠⎦⎥
.
(4)
При Ω β ≈ 0, 42 получаем: σ12 = 0,15σa2 , σ22 = 0, 45σa2 , σ32 = 0,30σ2a . Поскольку ряд (2) мажорируется сходящимся положительным числовым рядом, члена-
ми которого являются дисперсии элементарных составляющих, то его можно почленно про-
интегрировать. Интегрируя соотношение (4) и полагая постоянную интегрирования равной
нулю, получаем приближенное каноническое представление для a(t) , согласно которому на-
ходим среднеквадратическое отклонение σa исходного СП a(t) :
σa
≈
σa Ω
σ12
+
1 4
σ22
+
1 9
σ32
.
С учетом этого соотношения формула (1) примет следующий вид:
N ≈ ∆t 2Ω . π
При рассмотрении узкополосного случайного процесса изменение значения Ω можно
использовать как критерий, характеризующий нарушение стационарного режима СП. Целе-
сообразно, однако, в качестве информативного признака рассматривать дисперсии элемен-
тарных процессов, которые можно представить в виде координат вектора в конечномерном
гильбертовом пространстве. Этот вектор полностью характеризует СП. Затем можно разде-
лить данное пространство на множества (классы) таким образом, чтобы расстояние между
ними было наибольшим, а время, необходимое для идентификации принадлежности вектора
к какому-либо классу, было наименьшим.
В случае когда априорная информация о процессе отсутствует или график спектральной
плотности характеризуется наличием ряда максимумов на близкорасположенных частотах,
для выявления момента нарушения стационарного режима целесообразно использовать метод
нелинейной фильтрации сигналов, связанный с суммированием отклонений N от нулевого
значения с учетом весовых коэффициентов.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 7
16 А. В. Денисов, А. П. Филимонов
Рассмотрим этот вопрос с общих позиций. Для обнаружения тренда следует использо-
вать непараметрическую форму задания J-критерия в виде
∑J
=
±b
+
⎛ ⎜⎝⎜
m i=1
ki
Di
+
cF
⎞ ⎟⎠⎟
S
,
(5)
где S — вектор-столбец информационных сигналов, полученных по m каналам; b — век-
тор-столбец, определяемый как стартовая пороговая точка в т-мерном пространстве; c —
коэффициент, характеризующий доверительную вероятность обнаружения тренда ( он может,
например, соответствовать ряду коэффициентов Стьюдента для нормального распределения
СП); F — функциональная квадратная матрица ( m × m ) непараметрического преобразования
сигналов; Di — квадратные матрицы ( m × m ) для нелинейной обработки входного (векторно-
го) сигнала a(t) ; ki — весовые коэффициенты, зависящие от стохастических характеристик
сигнала a(t) и измерительных каналов, с помощью коэффициентов ki можно повысить чув-
ствительность критерия в каждом конкретном случае, не изменяя непосредственно матрицы
Di и время принятия решения.
На основе априорной информации строятся далее вектор-столбцы Jmin , Jmax , опреде-
ляющие граничные значения для каждого информационного параметра. Разность Jmax – Jmin
формирует новый вектор-столбец, по которому можно судить о наличии тренда и о наруше-
нии стационарности режима работы системы.
Проверка этого критерия (в более упрощенном виде — для одного измерительного ка-
нала) была осуществлена авторами в НЦ „Вагоны“ Петербургского государственного универ-
ситета путей сообщения. Для обнаружения схода колесной пары грузового вагона были про-
ведены компьютерное моделирование и натурный эксперимент. Установлено, что „инте-
гральные критерии“ (СКО и основанные на вычислении спектральной плотности) в этом слу-
чае неэффективны, а использование непараметрического критерия, подобного приведенному
в формуле (5), позволяет зафиксировать время схода вагона при максимальной скорости его
движения и при любой шпальной неровности не более чем за 2 с. Эта задача была решена в
аналого-цифровом варианте с использованием микропроцессорного устройства, при этом
предварительная фильтрация сигнала выполнялась посредством аналоговой части схемы.
Был реализован алгоритм, автоматически обнаруживающий и выделяющий тренд в темпе по-
ступления данных, т.е. в реальном масштабе времени. В простейшем случае одноканальной
системы графики функций Jmin (N ) и Jmax (N ) разделяют пространство (J , N ) на область
Jmin (N ) ≤ J (N ) ≤ Jmax (N ) , в которой процесс стационарен, и две области J (N ) > Jmax (N ) ,
Jmin (N ) > J (N ) , в которых процесс становится нестационарным с возрастающим или убы-
вающим трендом.
Таким образом, непараметрическая форма оценки реализаций СП обладает простотой
использования и имеет широкую область применения, что существенно улучшает эффектив-
ность решения задачи анализа случайных процессов.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Дмитриев Ю. Г., Кошкин Г. М. Непараметрическое оценивание сигналов. М.: Наука, 1997. 336 с. 2. Тарасенко Ф. П. Непараметрическая статистика. Томск: Изд-во Томск. ун-та, 1976. 292 c. 3. Светлицкий В. А. Случайные колебания механических систем. М.: Машиностроение, 1976. 216 с. 4. Тихонов В. И. Выбросы случайных процессов // Успехи физ. наук. 1962. Т. 77, вып. 3. С. 449—480. 5. Пугачёв В. С. Теория случайных функций и ее применение. М.: Физматгиз, 1962. 720 с.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 7
Использование информативных признаков для выявления нарушения стационарности СП 17
6. Райс С. Теория флуктуационных шумов // Теория передачи электрических сигналов при наличии помех: Сб. переводов / Под ред. Н. А. Железнова. М.: Изд-во иностр. лит., 1953. C. 88—238.
7. Филимонов А. П., Денисов А. В. Выбор параметров канонического разложения узкополосного случайного процесса // Изв. вузов. Приборостроение. 2007. Т. 50, № 8. С. 48—53.
Александр Владимирович Денисов Анатолий Павлович Филимонов
Сведения об авторах — канд. физ-мат. наук, доцент; Санкт-Петербургский государственный
горный институт им. Г. В. Плеханова (ТУ), кафедра высшей математики; E-mail: rectorat@spmi.ru — канд. техн. наук, доцент; Петербургский государственный университет путей сообщения, кафедра физики; E-mail: pgups200@rambler.ru
Рекомендована кафедрой высшей математики СПбГГИ (ТУ)
Поступила в редакцию 23.10.09 г.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 7