АНАЛИЗ ПОВЕДЕНИЯ АВТОМАТИЧЕСКИХ РАДИОДАЛЬНОМЕРОВ ПРИ СЛУЧАЙНЫХ ВОЗМУЩЕНИЯХ
26
УДК 681.5:681.3
В. В. ГРИГОРЬЕВ, Д. В. КОЗИС, А. Н. КОРОВЬЯКОВ, Ю. В. ЛИТВИНОВ
АНАЛИЗ ПОВЕДЕНИЯ АВТОМАТИЧЕСКИХ РАДИОДАЛЬНОМЕРОВ ПРИ СЛУЧАЙНЫХ ВОЗМУЩЕНИЯХ
Предлагается численная характеристика эффективности функционирования систем радиоавтоматики в условиях влияния случайных возмущений. Практическое использование теоретических результатов иллюстрируется применительно к типовой функциональной конфигурации автоматического радиодальномера. Ключевые слова: радиодальномер, системы радиоавтоматики, случайные возмущения, следящий измеритель дальности.
Введение. Системы радиоавтоматики (РА) очень разнообразны по функциональному построению и схемотехническим решениям. Однако в представлении систем радиоавтоматики структурными схемами обнаруживается схожесть схем широкого класса систем РА различного назначения, разных физических принципов реализации и схемных решений [1]. Это позволяет использовать единые подходы к анализу динамики и синтезу устройств управления систем РА.
Следящие измерители дальности (СИД) представляют важный тип систем РА. На рис. 1 приведена обобщенная функциональная схема СИД — радиодальномера [1], состоящего из временного дискриминатора (датчика рассогласования), усилительно-преобразовательного
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 7
Анализ поведения автоматических радиодальномеров при случайных возмущениях
27
устройства и генератора временной задержки (исполнительного устройства). Входными сиг-
налами СИД являются отраженные от выбранной цели видеоимпульсы, поступающие с вы-
хода приемника. „Истинная“ дальность D до цели определяется интервалом времени t1 (при
постоянном значении скорости распространения электромагнитной энергии). Время задерж-
ки t2 выходных следящих импульсов относительно прямых импульсов СИД соответствует
измеряемому радиодальномером значению дальности до цели Dизм. Во временном дискриминаторе время задержки t2 следящих импульсов сравнивается с временем t1 запаздывания от-
раженных от цели импульсов. В режиме слежения сигнал управления генератором временной
задержки пропорционален временной ошибке сопровождения t = t1 – t2 .
Отраженный
Сигнал ошибки
Управляющий сигнал
сигнал
D(t)
Временной дискриминатор
Усилительпреобразователь
Генератор временной задержки
Следящие импульсы
Dизм (t)
Цепь обратной связи (следящие импульсы)
Рис. 1
Оценка влияния возмущений. Для описания динамики работы радиодальномера в режиме слежения используем модель, представленную уравнениями ее состояния [2, 3]:
x (m +1) = Fx (m) + Gw(m);⎫⎪
y (m) =Cx (m),
⎬ ⎪⎭
(1)
где х — вектор состояния модели СИД; у — вектор выходных переменных; F= А – Вk — матрица замкнутого СИД; С — матрица связи векторов у и x; w(m) — случайное возмущение, действующее на СИД; матрица G определяет входы СИД, по которым действует возмущение.
Рассмотрим влияние на СИД случайного возмущения при условии движения цели с малой скоростью, т.е. приближенно будем рассматривать задачу стабилизации системы относительно нулевого значения вектора состояния, для чего положим
M[x(0)] = х (0) = 0,
где M[ • ] — операция вычисления математического ожидания (МО) вектора х(0).
Пусть матрица ковариаций вектора начальных отклонений равна
M[x(0) x Т (0)] =X 0 .
Возмущение будем считать скалярным случайным процессом w(m) с дискретным временем и следующими статистическими характеристиками:
— математическим ожиданием М[w(m)] = w (m); — дисперсией возмущения M[(w(m) – w (m))2] = σm2 , которую будем считать стационарной величиной σm2 = σ02 , m = 0, 1, 2, … Считаем также, что состояния СИД не коррелированы с возмущением
М[x(k)w(m)] = 0, k=0, 1, 2,…, m=0, 1, 2,…,
и, кроме того, возмущение имеет нормальное распределение.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 7
28 В. В. Григорьев, Д. В. Козис, А. Н. Коровьяков, Ю. В. Литвинов
В соответствии с перечисленными упрощающими условиями проанализируем поведение во времени первых двух моментов от вектора состояния СИД, в случае нормального распределения возмущения полностью характеризующих вероятностные свойства процессов в радиодальномере.
Вычислив математическое ожидание от выражений (1), получим
x (m +1) = Fx (m) + Gw(m),⎫⎪
y (m) =Cx (m).
⎬ ⎪⎭
(2)
Если x (0) = 0 и w(m) = 0, m = 1, 2, …, то МО вектора состояния СИД x (m) равно нулю
для любого момента времени.
Уравнение, характеризующее изменение во времени матрицы дисперсий СИД, получим
[2] следующим образом. Вычтем уравнения (2) из системы уравнений (1) и умножим полу-
ченное выражение на результат его транспонирования; вычислив МО от обеих сторон равен-
ства, найдем
X m+1 = Р X m F + G σm2 GT , X0 = X(0),
(3)
где X m = M[(x(m) – x (m))(x(m)–x(m))Т] — матрица ковариаций (дисперсий) вектора состоя-
ния СИД; Р — вероятность нахождения вектора состояния системы в замкнутой области. Дисперсия выходной переменной (изменения дальности) СИД определяется выражением
M
⎡ ⎣
y
(m)
−
y
(m)2
⎤ ⎦
= СX mCT
.
(4)
( )Если дисперсия возмущения является стационарной величиной σm2 = σ02 и замкнутый
СИД асимптотически устойчив (т.е. все собственные числа матрицы F лежат в единичном
круге), то решение X m разностного матричного уравнения (3) сходится к стационарному зна-
чению, являющемуся решением алгебраического матричного уравнения
X = FXFT + Gσ2 GT ,
(5)
которое определяет матрицу дисперсий в установившемся режиме, т.е. значения этой матри-
цы после окончания переходных процессов.
Уравнение вычисления МO от вектора состояния СИД (2) и уравнение вычисления мат-
рицы дисперсий (3) не связаны друг с другом, поэтому последовательности x (m) и X m мож-
но вычислять раздельно.
Рассмотрим поведение СИД при возмущениях с нулевым МО w(m) = 0 , m=0, 1, 2…, и
x (0) = 0 . В этом случае МО от вектора состояния СИД равно нулю для любого момента вре-
мени и статистические свойства процессов в СИД полностью и наиболее наглядно характери-
зуются динамикой изменения матрицы дисперсий X m . Анализ поведения этой матрицы
представляет удобный практически, с вычислительной и иллюстративной точек зрения, спо-
соб оценки влияния на динамику СИД случайных возмущений.
Вероятность нахождения вектора состояния x внутри эллипсоида
( x − x )T
X
−1 m
(
x
−
x
)
=
χ2
(6)
подчиняется χ2 -распределению с n степенями свободы, где n — размерность вектора состоя-
ния СИД. Поверхность, описываемая уравнением (6), называется эллипсоидом правдоподо-
бия. Значение вероятности нахождения вектора состояния СИД внутри эллипсоида правдо-
подобия целесообразно вычислять как значение функции χ2 -распределения
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 7
Анализ поведения автоматических радиодальномеров при случайных возмущениях
P ⎡⎣( x − x )T
X
−1 m
(
x
−
x
)
≤
χ2
⎤ ⎦
=
P
⎣⎡χ2
⎤ ⎦
=
F
⎡⎣χ2
,
n
⎤ ⎦
,
приведенной в таблице.
29
т1
2
п 34
5
1
0,683
0,333
0,199
0,030
0,037
4
0,994
0,265
0,739
0,534
0,451
9
0,997
0,989
0,971
0,939
0,891
Если в результате решения разностного матричного уравнения (3) вычислены матрицы дисперсий X m с начальной матрицей X0 , то для любого момента времени m можно постро-
ить эллипсоид правдоподобия с заданным значением χ2 , соответствующим некоторому зна-
чению вероятности P ⎡⎣χ2 ⎤⎦ нахождения траектории СИД в данный момент времени в этом
эллипсоиде. Совокупность таких эллипсоидов правдоподобия образует „трубку“ равноверо-
ятностного уровня P ⎡⎣χ2 ⎤⎦ , характеризующую поведение СИД при случайных воздействиях
описанного выше типа. В каждый из моментов времени m вероятность нахождения траекто-
рии движения СИД внутри „трубки“ равна P ⎣⎡χ2 ⎦⎤ . При стационарности дисперсии возмуще-
ния σ2m = σ02 эллипсоиды правдоподобия с течением времени стремятся к постоянному эллипсоиду
( x − x )T X −1 ( x − x ) = χ2 ,
(7)
где X −1 — матрица, обратная по отношению к матрице X, определяемой из решения матрич-
ного уравнения (5).
Стационарная „трубка“ равновероятностного уровня, построенная на основе соотноше-
ния (7), характеризует установившийся режим работы СИД.
„Трубки“ равновероятностного уровня содержат информацию о статических и динами-
ческих свойствах СИД в наглядной графической форме. Однако для многомерных процессов
наглядность геометрических образов теряется, и трудоемкость построения эллипсоидов прав-
доподобия растет с увеличением размерности вектора состояния СИД x . Поэтому введем
скалярную характеристику, связанную с эллипсоидом правдоподобия и отражающую его
свойства. Вычислим объем Vm эллипсоида правдоподобия (6):
Vm
=
⎡⎣det
X
−1 m
⎤ ⎦
−1/
2
V
0
= [det
Xm
]1/ 2
V
0
,
где V — объем сферы ( x − x )T ( x − x ) = χ2 радиусом χ .
Значение Vm в момент времени m характеризует тот объем в пространстве состояний, в
котором с вероятностью P ⎡⎣χ2 ⎤⎦ может находиться траектория СИД. Характер изменения во
времени объема Vm связан с динамическими свойствами СИД, а именно со сходимостью
процессов. Значение объема эллипсоида правдоподобия в установившемся режиме (см. фор-
мулу (7)) характеризует точностные показатели СИД.
Вычисление матрицы
X
−1 m
для построения эллипсоида правдоподобия (6) можно про-
водить как на основе решения матричного уравнения (3) с последующим обращением матри-
цы X m , так и на основе рекуррентного соотношения
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 7
30 В. В. Григорьев, Д. В. Козис, А. Н. Коровьяков, Ю. В. Литвинов
( ) ( )Xm =
F −1
T
X
m−1F
−1
⎛ ⎝⎜
I
+
F −1
T
X m−1Gσm2 GT
⎞−1 ⎟⎠
,
X
−1 0
=
X
−1
(0)
,
которое следует из уравнения (3).
Пример. В дальномерных системах РЛС для обеспечения требуемых динамических
свойств и точности измерителей дальности широко используются следующие типовые струк-
туры СИД: дальномер с одним интегратором¸ дальномер с интегратором и фильтром, даль-
номер с двумя интеграторами. Рассмотрим влияние случайных возмущений на дальномер с
двумя интеграторами, структурная схема непрерывной модели которого приведена на рис. 2.
w G kkпn
∫
∫x2 x1
y
k2
k1
Рис. 2
Уравнения дискретизированной модели последовательного соединения экстраполятора (запоминающего элемента) и исполнительной части (ИЧ) дальномера (см. рис. 3) имеют вид:
⎡ ⎢ ⎣
x1 x2
(m (m
+1) ⎤ +1)⎦⎥
=
⎡1 ⎣⎢0
T 1
⎤ ⎥ ⎦
⋅
⎡ ⎢ ⎣
x1 x2
(m)⎤ ( m )⎦⎥
+
⎡T ⎢ ⎣
2/ T
2⎤ ⎥ ⎦
⋅
u
(
m
)
;
y (m) =[1
0]⋅
⎡ ⎢ ⎣
x1 x2
(m) (m)
⎤ ⎥ ⎦
,
где Т — интервал дискретности (интервал следования импульсов дальномера).
ИЧ
w
u(m) Экстраполятор
∫ x2 ∫ x1
y
Рис. 3
Использование в дальномере закона управления
u (m) = −k1′ x1 (m) − k2 x2 (m) − kп x1 (m) = −k1x1 (m) − k2 x2 (m),
где k1′, k1, k2 — коэффициенты (параметры) закона управления, kп — коэффициент передачи линеаризованной модели пеленгационного устройства дальномера, приводит к следующим
уравнениям замкнутого СИД:
( ) ( )⎡
⎢ ⎣
x1 x2
(m (m
+1) ⎤ +1)⎥⎦
=
⎡1− ⎢ ⎢⎣
k1T 2 −k1T
/2
T − k2T 2 1− k1T
/
2⎤ ⎥ ⎥⎦
⋅
⎡ ⎢ ⎣
x1 x2
(m)⎤ ( m )⎦⎥
,
y (m) =[1
0]⋅
⎡ ⎢ ⎣
x1 x2
(m) (m)
⎤ ⎥ ⎦
.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 7
Анализ поведения автоматических радиодальномеров при случайных возмущениях
Следовательно, динамическая матрица F замкнутого СИД будет иметь вид
31
( ) ( )F = ⎡⎢1− k1T 2 / 2
T−
k2T 2
/
2⎤ ⎥
.
⎣⎢ −k1T
1− k1T ⎦⎥
Матрица G, определяющая входы, по которым действует возмущение, равна
G
=
⎡0⎤ ⎣⎢1⎦⎥
,
что видно из анализа схемы СИД, приведенной на рис. 2.
Выберем следующие значения параметров: T =1/ 500 (500 импульсов за секунду),
k1 = 400, k2 = 400 , тогда матрица F в модели замкнутого СИД и матрица G будут равны
F=
⎡1 ⎢⎣−0,
8
0, 002⎤ 0, 2 ⎦⎥
,
G=
⎡0⎤ ⎣⎢1⎥⎦
.
Корни характеристического уравнения матрицы F замкнутого СИД по модулю меньше
единицы ( z1 = 0, 20 , z2 = 0,99 ). Замкнутый СИД устойчив, и существует установившийся ре-
жим отслеживания измеряемой дальности.
Для оценки влияния шумов на работу дальномера в установившемся режиме измерения
фиксированной (не изменяющейся) дальности при дисперсии возмущения σ2 =1 решаем
уравнение (5) относительно матрицы ковариаций Х:
⎡ x11
⎢ ⎣
x21
x12 x22
⎤ ⎥ ⎦
=
⎡1 ⎢⎣−0,
8
2 ⋅10−3 0, 2
⎤ ⎥⋅ ⎦
⎡ x11
⎢ ⎣
x21
x12 x22
⎤ ⎥ ⎦
⋅
⎡ ⎣⎢2
1 ⋅10−3
−0, 8⎤
0, 2
⎥ ⎦
+
⎡0⎤ ⎢⎣1⎥⎦
⋅1[0
1] ,
тогда
Х=
⎡3⋅10−3
⎢ ⎣⎢
−10−3
−10−3
⎤ ⎥
.
1 ⎥⎦
Отсюда следует, что матрица Х положительно определена (в соответствии с критерием Силь-
вестра положительной определенности матриц). Обратная к матрице Х матрица X −1 равна
X
−1
=
⎡ 333, 44 ⎢⎣0, 33344
0,
33344⎤ 1 ⎦⎥
.
Дисперсия выходной координаты СИД (измеренной дальности) в установившемся режиме в соответствии с выражением (4) определяется как
d y = CXCT =[1
0]⋅
⎡3⋅10−3
⎢ ⎢⎣
−10−3
−10−3 1
⎤ ⎥ ⎦⎥
⋅
⎡1⎤ ⎣⎢0⎦⎥
=
3⋅10−3
.
Установившийся режим работы СИД, описываемый соотношением (7), в рассматриваемом конкретном примере оценивается соотношением
(
x
−
x
)T
⋅
⎡ 333, 44 ⎣⎢0, 33344
0,
33344⎤ 1 ⎥⎦
⋅
(x
−
x
)T
= χ2
.
Стационарная „трубка“ равновероятностного уровня, определяемая этим соотношением, оказывается очень „сплющенной“.
Заключение. Время сходимости процессов в СИД к установившемуся режиму оценивается несколькими десятками интервалов дискретности Т, но в силу малого значения Т (Т=1/500=0,002 с) это время вполне приемлемо и оценивается величиной порядка 0,04 с.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 7
32 В. В. Григорьев, Д. В. Козис, А. Н. Коровьяков, Ю. В. Литвинов
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Дудник П. И., Чересов Ю. И. Авиационные радиолокационные устройства. М.: ВВИА им. Н. Е. Жуковского, 1986.
2. Квакернаак Х., Сиван Р. Линейные оптимальные системы управления. М.: Мир, 1977.
3. Брайсон А., Хо Ю-Ши. Прикладная теория оптимального управления. М.: Мир, 1972.
Сведения об авторах
Валерий Владимирович Григорьев — д-р техн. наук, профессор; Санкт-Петербургский государственный
университет информационных технологий, механики и оптики, ка-
федра систем управления и информатики; E-mail: grigvv@yandex.ru
Дмитрий Владимирович Козис
— канд. техн. наук, доцент; филиал РАА „Спецтехника“, Санкт-Петер-
бург; директор; E-mail: fcd.kdv@gmail.com
Анатолий Николаевич Коровьяков — канд. техн. наук, доцент; Санкт-Петербургский государственный
университет информационных технологий, механики и оптики, ка-
федра систем управления и информатики; E-mail: 06kan@mail.ru
Юрий Володарович Литвинов
— канд. техн. наук, доцент; Санкт-Петербургский государственный
университет информационных технологий, механики и оптики, ка-
федра систем управления и информатики; E-mail: yurl13@yandex.ru
Рекомендована кафедрой систем управления и информатики СПбГУ ИТМО
Поступила в редакцию 11.09.09 г.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 7
УДК 681.5:681.3
В. В. ГРИГОРЬЕВ, Д. В. КОЗИС, А. Н. КОРОВЬЯКОВ, Ю. В. ЛИТВИНОВ
АНАЛИЗ ПОВЕДЕНИЯ АВТОМАТИЧЕСКИХ РАДИОДАЛЬНОМЕРОВ ПРИ СЛУЧАЙНЫХ ВОЗМУЩЕНИЯХ
Предлагается численная характеристика эффективности функционирования систем радиоавтоматики в условиях влияния случайных возмущений. Практическое использование теоретических результатов иллюстрируется применительно к типовой функциональной конфигурации автоматического радиодальномера. Ключевые слова: радиодальномер, системы радиоавтоматики, случайные возмущения, следящий измеритель дальности.
Введение. Системы радиоавтоматики (РА) очень разнообразны по функциональному построению и схемотехническим решениям. Однако в представлении систем радиоавтоматики структурными схемами обнаруживается схожесть схем широкого класса систем РА различного назначения, разных физических принципов реализации и схемных решений [1]. Это позволяет использовать единые подходы к анализу динамики и синтезу устройств управления систем РА.
Следящие измерители дальности (СИД) представляют важный тип систем РА. На рис. 1 приведена обобщенная функциональная схема СИД — радиодальномера [1], состоящего из временного дискриминатора (датчика рассогласования), усилительно-преобразовательного
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 7
Анализ поведения автоматических радиодальномеров при случайных возмущениях
27
устройства и генератора временной задержки (исполнительного устройства). Входными сиг-
налами СИД являются отраженные от выбранной цели видеоимпульсы, поступающие с вы-
хода приемника. „Истинная“ дальность D до цели определяется интервалом времени t1 (при
постоянном значении скорости распространения электромагнитной энергии). Время задерж-
ки t2 выходных следящих импульсов относительно прямых импульсов СИД соответствует
измеряемому радиодальномером значению дальности до цели Dизм. Во временном дискриминаторе время задержки t2 следящих импульсов сравнивается с временем t1 запаздывания от-
раженных от цели импульсов. В режиме слежения сигнал управления генератором временной
задержки пропорционален временной ошибке сопровождения t = t1 – t2 .
Отраженный
Сигнал ошибки
Управляющий сигнал
сигнал
D(t)
Временной дискриминатор
Усилительпреобразователь
Генератор временной задержки
Следящие импульсы
Dизм (t)
Цепь обратной связи (следящие импульсы)
Рис. 1
Оценка влияния возмущений. Для описания динамики работы радиодальномера в режиме слежения используем модель, представленную уравнениями ее состояния [2, 3]:
x (m +1) = Fx (m) + Gw(m);⎫⎪
y (m) =Cx (m),
⎬ ⎪⎭
(1)
где х — вектор состояния модели СИД; у — вектор выходных переменных; F= А – Вk — матрица замкнутого СИД; С — матрица связи векторов у и x; w(m) — случайное возмущение, действующее на СИД; матрица G определяет входы СИД, по которым действует возмущение.
Рассмотрим влияние на СИД случайного возмущения при условии движения цели с малой скоростью, т.е. приближенно будем рассматривать задачу стабилизации системы относительно нулевого значения вектора состояния, для чего положим
M[x(0)] = х (0) = 0,
где M[ • ] — операция вычисления математического ожидания (МО) вектора х(0).
Пусть матрица ковариаций вектора начальных отклонений равна
M[x(0) x Т (0)] =X 0 .
Возмущение будем считать скалярным случайным процессом w(m) с дискретным временем и следующими статистическими характеристиками:
— математическим ожиданием М[w(m)] = w (m); — дисперсией возмущения M[(w(m) – w (m))2] = σm2 , которую будем считать стационарной величиной σm2 = σ02 , m = 0, 1, 2, … Считаем также, что состояния СИД не коррелированы с возмущением
М[x(k)w(m)] = 0, k=0, 1, 2,…, m=0, 1, 2,…,
и, кроме того, возмущение имеет нормальное распределение.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 7
28 В. В. Григорьев, Д. В. Козис, А. Н. Коровьяков, Ю. В. Литвинов
В соответствии с перечисленными упрощающими условиями проанализируем поведение во времени первых двух моментов от вектора состояния СИД, в случае нормального распределения возмущения полностью характеризующих вероятностные свойства процессов в радиодальномере.
Вычислив математическое ожидание от выражений (1), получим
x (m +1) = Fx (m) + Gw(m),⎫⎪
y (m) =Cx (m).
⎬ ⎪⎭
(2)
Если x (0) = 0 и w(m) = 0, m = 1, 2, …, то МО вектора состояния СИД x (m) равно нулю
для любого момента времени.
Уравнение, характеризующее изменение во времени матрицы дисперсий СИД, получим
[2] следующим образом. Вычтем уравнения (2) из системы уравнений (1) и умножим полу-
ченное выражение на результат его транспонирования; вычислив МО от обеих сторон равен-
ства, найдем
X m+1 = Р X m F + G σm2 GT , X0 = X(0),
(3)
где X m = M[(x(m) – x (m))(x(m)–x(m))Т] — матрица ковариаций (дисперсий) вектора состоя-
ния СИД; Р — вероятность нахождения вектора состояния системы в замкнутой области. Дисперсия выходной переменной (изменения дальности) СИД определяется выражением
M
⎡ ⎣
y
(m)
−
y
(m)2
⎤ ⎦
= СX mCT
.
(4)
( )Если дисперсия возмущения является стационарной величиной σm2 = σ02 и замкнутый
СИД асимптотически устойчив (т.е. все собственные числа матрицы F лежат в единичном
круге), то решение X m разностного матричного уравнения (3) сходится к стационарному зна-
чению, являющемуся решением алгебраического матричного уравнения
X = FXFT + Gσ2 GT ,
(5)
которое определяет матрицу дисперсий в установившемся режиме, т.е. значения этой матри-
цы после окончания переходных процессов.
Уравнение вычисления МO от вектора состояния СИД (2) и уравнение вычисления мат-
рицы дисперсий (3) не связаны друг с другом, поэтому последовательности x (m) и X m мож-
но вычислять раздельно.
Рассмотрим поведение СИД при возмущениях с нулевым МО w(m) = 0 , m=0, 1, 2…, и
x (0) = 0 . В этом случае МО от вектора состояния СИД равно нулю для любого момента вре-
мени и статистические свойства процессов в СИД полностью и наиболее наглядно характери-
зуются динамикой изменения матрицы дисперсий X m . Анализ поведения этой матрицы
представляет удобный практически, с вычислительной и иллюстративной точек зрения, спо-
соб оценки влияния на динамику СИД случайных возмущений.
Вероятность нахождения вектора состояния x внутри эллипсоида
( x − x )T
X
−1 m
(
x
−
x
)
=
χ2
(6)
подчиняется χ2 -распределению с n степенями свободы, где n — размерность вектора состоя-
ния СИД. Поверхность, описываемая уравнением (6), называется эллипсоидом правдоподо-
бия. Значение вероятности нахождения вектора состояния СИД внутри эллипсоида правдо-
подобия целесообразно вычислять как значение функции χ2 -распределения
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 7
Анализ поведения автоматических радиодальномеров при случайных возмущениях
P ⎡⎣( x − x )T
X
−1 m
(
x
−
x
)
≤
χ2
⎤ ⎦
=
P
⎣⎡χ2
⎤ ⎦
=
F
⎡⎣χ2
,
n
⎤ ⎦
,
приведенной в таблице.
29
т1
2
п 34
5
1
0,683
0,333
0,199
0,030
0,037
4
0,994
0,265
0,739
0,534
0,451
9
0,997
0,989
0,971
0,939
0,891
Если в результате решения разностного матричного уравнения (3) вычислены матрицы дисперсий X m с начальной матрицей X0 , то для любого момента времени m можно постро-
ить эллипсоид правдоподобия с заданным значением χ2 , соответствующим некоторому зна-
чению вероятности P ⎡⎣χ2 ⎤⎦ нахождения траектории СИД в данный момент времени в этом
эллипсоиде. Совокупность таких эллипсоидов правдоподобия образует „трубку“ равноверо-
ятностного уровня P ⎡⎣χ2 ⎤⎦ , характеризующую поведение СИД при случайных воздействиях
описанного выше типа. В каждый из моментов времени m вероятность нахождения траекто-
рии движения СИД внутри „трубки“ равна P ⎣⎡χ2 ⎦⎤ . При стационарности дисперсии возмуще-
ния σ2m = σ02 эллипсоиды правдоподобия с течением времени стремятся к постоянному эллипсоиду
( x − x )T X −1 ( x − x ) = χ2 ,
(7)
где X −1 — матрица, обратная по отношению к матрице X, определяемой из решения матрич-
ного уравнения (5).
Стационарная „трубка“ равновероятностного уровня, построенная на основе соотноше-
ния (7), характеризует установившийся режим работы СИД.
„Трубки“ равновероятностного уровня содержат информацию о статических и динами-
ческих свойствах СИД в наглядной графической форме. Однако для многомерных процессов
наглядность геометрических образов теряется, и трудоемкость построения эллипсоидов прав-
доподобия растет с увеличением размерности вектора состояния СИД x . Поэтому введем
скалярную характеристику, связанную с эллипсоидом правдоподобия и отражающую его
свойства. Вычислим объем Vm эллипсоида правдоподобия (6):
Vm
=
⎡⎣det
X
−1 m
⎤ ⎦
−1/
2
V
0
= [det
Xm
]1/ 2
V
0
,
где V — объем сферы ( x − x )T ( x − x ) = χ2 радиусом χ .
Значение Vm в момент времени m характеризует тот объем в пространстве состояний, в
котором с вероятностью P ⎡⎣χ2 ⎤⎦ может находиться траектория СИД. Характер изменения во
времени объема Vm связан с динамическими свойствами СИД, а именно со сходимостью
процессов. Значение объема эллипсоида правдоподобия в установившемся режиме (см. фор-
мулу (7)) характеризует точностные показатели СИД.
Вычисление матрицы
X
−1 m
для построения эллипсоида правдоподобия (6) можно про-
водить как на основе решения матричного уравнения (3) с последующим обращением матри-
цы X m , так и на основе рекуррентного соотношения
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 7
30 В. В. Григорьев, Д. В. Козис, А. Н. Коровьяков, Ю. В. Литвинов
( ) ( )Xm =
F −1
T
X
m−1F
−1
⎛ ⎝⎜
I
+
F −1
T
X m−1Gσm2 GT
⎞−1 ⎟⎠
,
X
−1 0
=
X
−1
(0)
,
которое следует из уравнения (3).
Пример. В дальномерных системах РЛС для обеспечения требуемых динамических
свойств и точности измерителей дальности широко используются следующие типовые струк-
туры СИД: дальномер с одним интегратором¸ дальномер с интегратором и фильтром, даль-
номер с двумя интеграторами. Рассмотрим влияние случайных возмущений на дальномер с
двумя интеграторами, структурная схема непрерывной модели которого приведена на рис. 2.
w G kkпn
∫
∫x2 x1
y
k2
k1
Рис. 2
Уравнения дискретизированной модели последовательного соединения экстраполятора (запоминающего элемента) и исполнительной части (ИЧ) дальномера (см. рис. 3) имеют вид:
⎡ ⎢ ⎣
x1 x2
(m (m
+1) ⎤ +1)⎦⎥
=
⎡1 ⎣⎢0
T 1
⎤ ⎥ ⎦
⋅
⎡ ⎢ ⎣
x1 x2
(m)⎤ ( m )⎦⎥
+
⎡T ⎢ ⎣
2/ T
2⎤ ⎥ ⎦
⋅
u
(
m
)
;
y (m) =[1
0]⋅
⎡ ⎢ ⎣
x1 x2
(m) (m)
⎤ ⎥ ⎦
,
где Т — интервал дискретности (интервал следования импульсов дальномера).
ИЧ
w
u(m) Экстраполятор
∫ x2 ∫ x1
y
Рис. 3
Использование в дальномере закона управления
u (m) = −k1′ x1 (m) − k2 x2 (m) − kп x1 (m) = −k1x1 (m) − k2 x2 (m),
где k1′, k1, k2 — коэффициенты (параметры) закона управления, kп — коэффициент передачи линеаризованной модели пеленгационного устройства дальномера, приводит к следующим
уравнениям замкнутого СИД:
( ) ( )⎡
⎢ ⎣
x1 x2
(m (m
+1) ⎤ +1)⎥⎦
=
⎡1− ⎢ ⎢⎣
k1T 2 −k1T
/2
T − k2T 2 1− k1T
/
2⎤ ⎥ ⎥⎦
⋅
⎡ ⎢ ⎣
x1 x2
(m)⎤ ( m )⎦⎥
,
y (m) =[1
0]⋅
⎡ ⎢ ⎣
x1 x2
(m) (m)
⎤ ⎥ ⎦
.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 7
Анализ поведения автоматических радиодальномеров при случайных возмущениях
Следовательно, динамическая матрица F замкнутого СИД будет иметь вид
31
( ) ( )F = ⎡⎢1− k1T 2 / 2
T−
k2T 2
/
2⎤ ⎥
.
⎣⎢ −k1T
1− k1T ⎦⎥
Матрица G, определяющая входы, по которым действует возмущение, равна
G
=
⎡0⎤ ⎣⎢1⎦⎥
,
что видно из анализа схемы СИД, приведенной на рис. 2.
Выберем следующие значения параметров: T =1/ 500 (500 импульсов за секунду),
k1 = 400, k2 = 400 , тогда матрица F в модели замкнутого СИД и матрица G будут равны
F=
⎡1 ⎢⎣−0,
8
0, 002⎤ 0, 2 ⎦⎥
,
G=
⎡0⎤ ⎣⎢1⎥⎦
.
Корни характеристического уравнения матрицы F замкнутого СИД по модулю меньше
единицы ( z1 = 0, 20 , z2 = 0,99 ). Замкнутый СИД устойчив, и существует установившийся ре-
жим отслеживания измеряемой дальности.
Для оценки влияния шумов на работу дальномера в установившемся режиме измерения
фиксированной (не изменяющейся) дальности при дисперсии возмущения σ2 =1 решаем
уравнение (5) относительно матрицы ковариаций Х:
⎡ x11
⎢ ⎣
x21
x12 x22
⎤ ⎥ ⎦
=
⎡1 ⎢⎣−0,
8
2 ⋅10−3 0, 2
⎤ ⎥⋅ ⎦
⎡ x11
⎢ ⎣
x21
x12 x22
⎤ ⎥ ⎦
⋅
⎡ ⎣⎢2
1 ⋅10−3
−0, 8⎤
0, 2
⎥ ⎦
+
⎡0⎤ ⎢⎣1⎥⎦
⋅1[0
1] ,
тогда
Х=
⎡3⋅10−3
⎢ ⎣⎢
−10−3
−10−3
⎤ ⎥
.
1 ⎥⎦
Отсюда следует, что матрица Х положительно определена (в соответствии с критерием Силь-
вестра положительной определенности матриц). Обратная к матрице Х матрица X −1 равна
X
−1
=
⎡ 333, 44 ⎢⎣0, 33344
0,
33344⎤ 1 ⎦⎥
.
Дисперсия выходной координаты СИД (измеренной дальности) в установившемся режиме в соответствии с выражением (4) определяется как
d y = CXCT =[1
0]⋅
⎡3⋅10−3
⎢ ⎢⎣
−10−3
−10−3 1
⎤ ⎥ ⎦⎥
⋅
⎡1⎤ ⎣⎢0⎦⎥
=
3⋅10−3
.
Установившийся режим работы СИД, описываемый соотношением (7), в рассматриваемом конкретном примере оценивается соотношением
(
x
−
x
)T
⋅
⎡ 333, 44 ⎣⎢0, 33344
0,
33344⎤ 1 ⎥⎦
⋅
(x
−
x
)T
= χ2
.
Стационарная „трубка“ равновероятностного уровня, определяемая этим соотношением, оказывается очень „сплющенной“.
Заключение. Время сходимости процессов в СИД к установившемуся режиму оценивается несколькими десятками интервалов дискретности Т, но в силу малого значения Т (Т=1/500=0,002 с) это время вполне приемлемо и оценивается величиной порядка 0,04 с.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 7
32 В. В. Григорьев, Д. В. Козис, А. Н. Коровьяков, Ю. В. Литвинов
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Дудник П. И., Чересов Ю. И. Авиационные радиолокационные устройства. М.: ВВИА им. Н. Е. Жуковского, 1986.
2. Квакернаак Х., Сиван Р. Линейные оптимальные системы управления. М.: Мир, 1977.
3. Брайсон А., Хо Ю-Ши. Прикладная теория оптимального управления. М.: Мир, 1972.
Сведения об авторах
Валерий Владимирович Григорьев — д-р техн. наук, профессор; Санкт-Петербургский государственный
университет информационных технологий, механики и оптики, ка-
федра систем управления и информатики; E-mail: grigvv@yandex.ru
Дмитрий Владимирович Козис
— канд. техн. наук, доцент; филиал РАА „Спецтехника“, Санкт-Петер-
бург; директор; E-mail: fcd.kdv@gmail.com
Анатолий Николаевич Коровьяков — канд. техн. наук, доцент; Санкт-Петербургский государственный
университет информационных технологий, механики и оптики, ка-
федра систем управления и информатики; E-mail: 06kan@mail.ru
Юрий Володарович Литвинов
— канд. техн. наук, доцент; Санкт-Петербургский государственный
университет информационных технологий, механики и оптики, ка-
федра систем управления и информатики; E-mail: yurl13@yandex.ru
Рекомендована кафедрой систем управления и информатики СПбГУ ИТМО
Поступила в редакцию 11.09.09 г.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 7