ДИСКРЕТНЫЙ ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИРУЮЩИЙ ФИЛЬТР С ПРОМЕЖУТОЧНЫМ СГЛАЖИВАНИЕМ ОТСЧЕТОВ ВХОДНОГО СИГНАЛА
47
УДК 621.396:681.323
С. И. ЗИАТДИНОВ
ДИСКРЕТНЫЙ ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИРУЮЩИЙ ФИЛЬТР С ПРОМЕЖУТОЧНЫМ СГЛАЖИВАНИЕМ ОТСЧЕТОВ ВХОДНОГО СИГНАЛА
Рассмотрен интегродифференцирующий фильтр со взвешенным суммированием промежуточных сумм отсчетов входного сигнала. Показано, что предложенный алгоритм фильтрации по статистическим характеристикам практически не уступает известным алгоритмам и обладает значительно большей вычислительной эффективностью.
Ключевые слова: дискретизация сигнала, промежуточное суммирование, дискретная фильтрация, отношение сигнал/шум.
При реализации цифровых фильтров необходимо выполнять значительное количество математических операций умножения и сложения (вычитания), что требует либо быстродействующих вычислителей, либо больших временных затрат на реализацию алгоритма фильтрации. В месте с тем в случае, когда постоянная времени фильтра значительно превышает период следования отсчетов входного сигнала, можно подвергать взвешенному суммированию не каждый отсчет входного сигнала, а их промежуточные суммы. Очевидно, что в этом случае возникают определенные информационные потери, связанные с отклонением амплитудно-частотной характеристики фильтра (АЧХ) от желаемой АЧХ [1].
Целью настоящей работы является создание дискретного интегродифференцирующего фильтра, обладающего высокой вычислительной эффективностью при сохранении качества фильтрации.
Суть предлагаемого метода фильтрации заключается в том, что из последовательности отсчетов входного сигнала x[i] формируются промежуточные суммы из m отсчетов
xΣ
[n]
=
m−1
∑
x[nL
−
i],
i=0
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 12
48 С. И. Зиатдинов
которые далее с периодом TΣ = LT (L ≥ m) поступают в дискретный интегродифференцирующий фильтр.
В качестве непрерывного аналога рассматриваемому фильтру рассмотрим фильтр верх-
них частот с АЧХ вида
W
(
p)
=
1
pTф + pTф
,
(1)
где Tф — постоянная времени фильтра, p = jω .
Путем подстановки в (1) p = 2(z −1) / TΣ (z + 1) получим следующее выражение для частотной передаточной функции интегродифференцирующего фильтра в плоскости z [2]:
W
(z)
=
a(1 − z−1) 1 + bz−1
,
(2)
где z = e pTΣ ; a = 2Tф /(TΣ + 2Tф ); b = (TΣ − 2Tф ) /(TΣ + 2Tф ). Передаточной функции (2) будет
соответствовать следующее разностное уравнение, определяющее выходной сигнал фильтра:
m−1 m−1
y[n] = a ∑ x[nL − i] + a ∑ x[nL − i −1] − by[n − 1].
(3)
i=0 i=0
Соотношение (2) после несложных преобразований позволяет получить следующее вы-
ражение для АЧХ рассматриваемого фильтра:
Ф(ω) = K
2a2
⎣⎢⎡⎢⎝⎜⎛
m−1
∑
cos
i=0
iωT
⎞2 ⎠⎟
+
⎛ ⎜⎝
m∑−1sin
i=0
1 + 2b cos ωLT
iωT
⎞2 ⎠⎟
+ b2
⎤ ⎥ ⎦⎥
(1
−
cos
ωLT
)
.
На рисунке показаны нормированные АЧХ интегродифференцирующего фильтра при
Tф / T = 10, Tф = 0, 001 c, L=m для различных значений суммируемых отсчетов входного сиг-
нала m. Из представленных графиков видно, что промежуточное сглаживание отсчетов вход-
ного сигнала приводит к заметному сужению полосы пропускания фильтра. Вместе с тем в
диапазоне ωT = 0—0,15 АЧХ фильтра практически не зависит от числа суммируемых отсче-
тов входного сигнала.
Φ(ω)
т=1
0,8 т = 5
0,6 т = 10
0,4 т = 15
0,2
0
0,2 0,4
0,6 ωТ
Для определения статистических характеристик выходного сигнала рассматриваемого фильтра необходимо знать его импульсную характеристику, значения которой в моменты времени tn = nTΣ можно представить следующим образом [3]:
G[n] = cn ,
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 12
Дискретный интегродифференцирующий фильтр
49
где c0 = a; c1 = −a − b; c2 = −c1b; c3 = −c2b; …; ck = −ck b и т.д.
Пусть на входе рассматриваемого интегродифференцирующего фильтра действует аддитивная смесь отсчетов полезного сигнала и помехи, причем полезный сигнал примем в виде последовательности отсчетов гармонического колебания
uс (iT ) = Uс sin(ωiT ) с амплитудой Uс и частотой ω . Отсчеты помехи будем считать некоррелированными с нуле-
вым
средним
значением
и
дисперсией
σ
2 x
.
Тогда
дисперсию
помехи
на
выходе
сумматора,
фор-
мирующего промежуточные суммы отсчетов входного сигнала, можно найти из выражения
σΣ2 = mσ2x . При этом дисперсия помехи на выходе фильтра будет равна
σф2
=
∞
∑
σΣ2 G2 (iTL),
i=0
(4)
где G(ti ) — значения импульсной характеристики в моменты времени ti = iTL.
Средняя мощность полезного сигнала на выходе фильтра будет определяться соотно-
шением
Pc
=
⎣⎡⎢i∑=∞0
ucΣ
(ti
)G(iTL)
⎤ ⎦⎥
2
,
где черта сверху означает усреднение по времени,
(5)
m−1
ucΣ (ti ) = ∑ Uc sin ωT (iL + k).
k =0
В результате отношение сигнал/шум на выходе фильтра принимает вид
(6)
q=
Pc σф2
=
⎣⎡⎢i∑=∞0
m−1
∑ Uc
k =0
sin
ωT
(iL
+
k )G (iLT
)⎦⎥⎤2
.
∞
∑
σΣ2 G2
(iLT
)
i=0
(7)
Для интегродифференцирующего фильтра без промежуточного сглаживания отсчетов
входного сигнала дисперсию помехи, среднюю мощность выходного сигнала и отношение
сигнал/помеха можно записать в виде
(σ*ф )2
=
∞
∑
σ2xG2 (iT );
i=0
Pc*
=
⎡⎢⎣i∑∞=0
uc
(iT
)G(iT
)
⎤ ⎦⎥
2
;
(8)
q=
Pc* (σ*ф )2
=
⎡⎢⎣i∑=∞0
uc
(iT
)G(iT
)
⎤2 ⎦⎥
∞
∑
σ2xG2 (iT
)
.
i=0
(9)
Рассмотрим наиболее часто встречающийся на практике случай, когда постоянная вре-
мени фильтра Tф значительно превышает период следования TΣ = LT промежуточных сумм
отсчетов входного сигнала. При этом в соотношениях (4)—(9) можно без заметных погрешностей перейти от сумм к интегралам
σф2
=
mσ2x LT
∞
∫
G
2
(t)dt;
0
Pc
=
U
2 c
(LT )2
⎡∞ ⎢∫
m−1
∑ sin
ω(t
⎣ 0 k=0
+
kT
)G(t
)dt
⎤ ⎥
2
;
⎦
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 12
50 С. И. Зиатдинов
(σ*ф )2
=
σ2x T
∞
∫
G
2
(t
)dt;
0
Pc*
=
U
2 c
T2
⎡∞ ⎢∫
sin
ωtG(t
)⎥⎤
2
.
⎣0 ⎦
Из представленных на рисунке нормированных АЧХ фильтров следует, что в диапазоне
ωT = 0—0,15 коэффициенты передачи фильтра практически совпадают. Поэтому для данного
диапазона частот можно без существенной погрешности записать, что
Pc = m2 Pc* / L2.
Тогда выигрыш в отношении сигнал/шум для фильтра без промежуточного сглаживания
по сравнению с рассматриваемым интегродифференцирующим фильтром составит
d=
Pc* / (σ*ф )2 Pс /σф2
=
L m
.
(10)
Из соотношения (10) видно, что при количестве суммируемых отсчетов m=L предлагае-
мый дискретный интегродифференцирующий фильтр по своим статистическим характери-
стикам практически не уступает интегродифференцирующему фильтру без промежуточного
сглаживания.
В качестве примера положим период поступления отсчетов входного сигнала
T=100 мкс, количество суммируемых импульсов m=10 и L=m. В данном случае при реализа-
ции дискретного интегродифференцирующего фильтра без промежуточного сглаживания за
одну секунду необходимо выполнить 30 000 операций суммирования и 30 000 операций ум-
ножения. При реализации предлагаемого алгоритма дискретной фильтрации с промежуточ-
ным сглаживанием за одну секунду необходимо выполнить 30 000 операций суммирования и
всего 3000 операций умножения без заметной потери качества фильтрации.
Полученные в работе математические соотношения носят общий характер и могут быть
использованы для дискретных фильтров с практически любой импульсной характеристикой.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Гоноровский И. С. Радиотехнические цепи и сигналы. М.: Радио и связь, 1986. 512 с.
2. Бесекерский В. А. Цифровые автоматические системы. М.: Наука, 1976. 575 с.
3. Зиатдинов С. И., Осипов Л. А. Нерекурсивные алгоритмы оценки параметров сигналов // Изв. вузов. Приборостроение. 2002. Т. 45, № 3. С. 19—22.
Сергей Ильич Зиатдинов
Сведения об авторе — д-р техн. наук, профессор; Санкт-Петербургский государственный
университет аэрокосмического приборостроения, кафедра информационно-сетевых технологий; E-mail: kaf53@guap.ru
Рекомендована кафедрой информационно-сетевых технологий
Поступила в редакцию 08.07.09 г.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 12
УДК 621.396:681.323
С. И. ЗИАТДИНОВ
ДИСКРЕТНЫЙ ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИРУЮЩИЙ ФИЛЬТР С ПРОМЕЖУТОЧНЫМ СГЛАЖИВАНИЕМ ОТСЧЕТОВ ВХОДНОГО СИГНАЛА
Рассмотрен интегродифференцирующий фильтр со взвешенным суммированием промежуточных сумм отсчетов входного сигнала. Показано, что предложенный алгоритм фильтрации по статистическим характеристикам практически не уступает известным алгоритмам и обладает значительно большей вычислительной эффективностью.
Ключевые слова: дискретизация сигнала, промежуточное суммирование, дискретная фильтрация, отношение сигнал/шум.
При реализации цифровых фильтров необходимо выполнять значительное количество математических операций умножения и сложения (вычитания), что требует либо быстродействующих вычислителей, либо больших временных затрат на реализацию алгоритма фильтрации. В месте с тем в случае, когда постоянная времени фильтра значительно превышает период следования отсчетов входного сигнала, можно подвергать взвешенному суммированию не каждый отсчет входного сигнала, а их промежуточные суммы. Очевидно, что в этом случае возникают определенные информационные потери, связанные с отклонением амплитудно-частотной характеристики фильтра (АЧХ) от желаемой АЧХ [1].
Целью настоящей работы является создание дискретного интегродифференцирующего фильтра, обладающего высокой вычислительной эффективностью при сохранении качества фильтрации.
Суть предлагаемого метода фильтрации заключается в том, что из последовательности отсчетов входного сигнала x[i] формируются промежуточные суммы из m отсчетов
xΣ
[n]
=
m−1
∑
x[nL
−
i],
i=0
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 12
48 С. И. Зиатдинов
которые далее с периодом TΣ = LT (L ≥ m) поступают в дискретный интегродифференцирующий фильтр.
В качестве непрерывного аналога рассматриваемому фильтру рассмотрим фильтр верх-
них частот с АЧХ вида
W
(
p)
=
1
pTф + pTф
,
(1)
где Tф — постоянная времени фильтра, p = jω .
Путем подстановки в (1) p = 2(z −1) / TΣ (z + 1) получим следующее выражение для частотной передаточной функции интегродифференцирующего фильтра в плоскости z [2]:
W
(z)
=
a(1 − z−1) 1 + bz−1
,
(2)
где z = e pTΣ ; a = 2Tф /(TΣ + 2Tф ); b = (TΣ − 2Tф ) /(TΣ + 2Tф ). Передаточной функции (2) будет
соответствовать следующее разностное уравнение, определяющее выходной сигнал фильтра:
m−1 m−1
y[n] = a ∑ x[nL − i] + a ∑ x[nL − i −1] − by[n − 1].
(3)
i=0 i=0
Соотношение (2) после несложных преобразований позволяет получить следующее вы-
ражение для АЧХ рассматриваемого фильтра:
Ф(ω) = K
2a2
⎣⎢⎡⎢⎝⎜⎛
m−1
∑
cos
i=0
iωT
⎞2 ⎠⎟
+
⎛ ⎜⎝
m∑−1sin
i=0
1 + 2b cos ωLT
iωT
⎞2 ⎠⎟
+ b2
⎤ ⎥ ⎦⎥
(1
−
cos
ωLT
)
.
На рисунке показаны нормированные АЧХ интегродифференцирующего фильтра при
Tф / T = 10, Tф = 0, 001 c, L=m для различных значений суммируемых отсчетов входного сиг-
нала m. Из представленных графиков видно, что промежуточное сглаживание отсчетов вход-
ного сигнала приводит к заметному сужению полосы пропускания фильтра. Вместе с тем в
диапазоне ωT = 0—0,15 АЧХ фильтра практически не зависит от числа суммируемых отсче-
тов входного сигнала.
Φ(ω)
т=1
0,8 т = 5
0,6 т = 10
0,4 т = 15
0,2
0
0,2 0,4
0,6 ωТ
Для определения статистических характеристик выходного сигнала рассматриваемого фильтра необходимо знать его импульсную характеристику, значения которой в моменты времени tn = nTΣ можно представить следующим образом [3]:
G[n] = cn ,
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 12
Дискретный интегродифференцирующий фильтр
49
где c0 = a; c1 = −a − b; c2 = −c1b; c3 = −c2b; …; ck = −ck b и т.д.
Пусть на входе рассматриваемого интегродифференцирующего фильтра действует аддитивная смесь отсчетов полезного сигнала и помехи, причем полезный сигнал примем в виде последовательности отсчетов гармонического колебания
uс (iT ) = Uс sin(ωiT ) с амплитудой Uс и частотой ω . Отсчеты помехи будем считать некоррелированными с нуле-
вым
средним
значением
и
дисперсией
σ
2 x
.
Тогда
дисперсию
помехи
на
выходе
сумматора,
фор-
мирующего промежуточные суммы отсчетов входного сигнала, можно найти из выражения
σΣ2 = mσ2x . При этом дисперсия помехи на выходе фильтра будет равна
σф2
=
∞
∑
σΣ2 G2 (iTL),
i=0
(4)
где G(ti ) — значения импульсной характеристики в моменты времени ti = iTL.
Средняя мощность полезного сигнала на выходе фильтра будет определяться соотно-
шением
Pc
=
⎣⎡⎢i∑=∞0
ucΣ
(ti
)G(iTL)
⎤ ⎦⎥
2
,
где черта сверху означает усреднение по времени,
(5)
m−1
ucΣ (ti ) = ∑ Uc sin ωT (iL + k).
k =0
В результате отношение сигнал/шум на выходе фильтра принимает вид
(6)
q=
Pc σф2
=
⎣⎡⎢i∑=∞0
m−1
∑ Uc
k =0
sin
ωT
(iL
+
k )G (iLT
)⎦⎥⎤2
.
∞
∑
σΣ2 G2
(iLT
)
i=0
(7)
Для интегродифференцирующего фильтра без промежуточного сглаживания отсчетов
входного сигнала дисперсию помехи, среднюю мощность выходного сигнала и отношение
сигнал/помеха можно записать в виде
(σ*ф )2
=
∞
∑
σ2xG2 (iT );
i=0
Pc*
=
⎡⎢⎣i∑∞=0
uc
(iT
)G(iT
)
⎤ ⎦⎥
2
;
(8)
q=
Pc* (σ*ф )2
=
⎡⎢⎣i∑=∞0
uc
(iT
)G(iT
)
⎤2 ⎦⎥
∞
∑
σ2xG2 (iT
)
.
i=0
(9)
Рассмотрим наиболее часто встречающийся на практике случай, когда постоянная вре-
мени фильтра Tф значительно превышает период следования TΣ = LT промежуточных сумм
отсчетов входного сигнала. При этом в соотношениях (4)—(9) можно без заметных погрешностей перейти от сумм к интегралам
σф2
=
mσ2x LT
∞
∫
G
2
(t)dt;
0
Pc
=
U
2 c
(LT )2
⎡∞ ⎢∫
m−1
∑ sin
ω(t
⎣ 0 k=0
+
kT
)G(t
)dt
⎤ ⎥
2
;
⎦
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 12
50 С. И. Зиатдинов
(σ*ф )2
=
σ2x T
∞
∫
G
2
(t
)dt;
0
Pc*
=
U
2 c
T2
⎡∞ ⎢∫
sin
ωtG(t
)⎥⎤
2
.
⎣0 ⎦
Из представленных на рисунке нормированных АЧХ фильтров следует, что в диапазоне
ωT = 0—0,15 коэффициенты передачи фильтра практически совпадают. Поэтому для данного
диапазона частот можно без существенной погрешности записать, что
Pc = m2 Pc* / L2.
Тогда выигрыш в отношении сигнал/шум для фильтра без промежуточного сглаживания
по сравнению с рассматриваемым интегродифференцирующим фильтром составит
d=
Pc* / (σ*ф )2 Pс /σф2
=
L m
.
(10)
Из соотношения (10) видно, что при количестве суммируемых отсчетов m=L предлагае-
мый дискретный интегродифференцирующий фильтр по своим статистическим характери-
стикам практически не уступает интегродифференцирующему фильтру без промежуточного
сглаживания.
В качестве примера положим период поступления отсчетов входного сигнала
T=100 мкс, количество суммируемых импульсов m=10 и L=m. В данном случае при реализа-
ции дискретного интегродифференцирующего фильтра без промежуточного сглаживания за
одну секунду необходимо выполнить 30 000 операций суммирования и 30 000 операций ум-
ножения. При реализации предлагаемого алгоритма дискретной фильтрации с промежуточ-
ным сглаживанием за одну секунду необходимо выполнить 30 000 операций суммирования и
всего 3000 операций умножения без заметной потери качества фильтрации.
Полученные в работе математические соотношения носят общий характер и могут быть
использованы для дискретных фильтров с практически любой импульсной характеристикой.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Гоноровский И. С. Радиотехнические цепи и сигналы. М.: Радио и связь, 1986. 512 с.
2. Бесекерский В. А. Цифровые автоматические системы. М.: Наука, 1976. 575 с.
3. Зиатдинов С. И., Осипов Л. А. Нерекурсивные алгоритмы оценки параметров сигналов // Изв. вузов. Приборостроение. 2002. Т. 45, № 3. С. 19—22.
Сергей Ильич Зиатдинов
Сведения об авторе — д-р техн. наук, профессор; Санкт-Петербургский государственный
университет аэрокосмического приборостроения, кафедра информационно-сетевых технологий; E-mail: kaf53@guap.ru
Рекомендована кафедрой информационно-сетевых технологий
Поступила в редакцию 08.07.09 г.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 12