ФОРМИРОВАНИЕ МУАР-ИНТЕРФЕРЕНЦИОННОЙ КАРТИНЫ ПРИ ДИФРАКЦИИ НА ЩЕЛИ МЕЖДУ КРАЕМ С КОНЕЧНОЙ ТОЛЩИНОЙ И ЗЕРКАЛЬНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ
69
УДК 531.7.082.5:535.42
В. Н. НАЗАРОВ, А. Н. ИВАНОВ
ФОРМИРОВАНИЕ МУАР-ИНТЕРФЕРЕНЦИОННОЙ КАРТИНЫ ПРИ ДИФРАКЦИИ НА ЩЕЛИ МЕЖДУ КРАЕМ С КОНЕЧНОЙ ТОЛЩИНОЙ
И ЗЕРКАЛЬНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ
Рассматривается модель формирования муар-интерференционных полос при дифракции излучения на щели, образованной между краем объекта, имеющим конечную толщину, и плоской отражающей поверхностью. Выведена зависимость, связывающая толщину края и форму полос.
Ключевые слова: дифракция, муар, измерения.
Введение. Совершенствование методов дифракционного контроля в целях увеличения
их точности и чувствительности возможно, как показано в работах [1—3], при использовании особого распределения фазы входного сигнала на поверхности контролируемого объекта. Один из способов формирования необходимого распределения фазового сигнала — освещение объекта двумя волновыми фронтами, распространяющимися под углом 2 θ , где θ — угол
падения волны на объект [1, 2]. Тогда, в соответствии с теоремой трансляции для преобразования Фурье, изменение формы объекта приведет к появлению разности фаз частотных спектров, формирующихся при дифракции света:
Φ = 2k∆ θ ,
(1)
где k — волновое число, ∆ — смещение оси симметрии объекта.
В случае когда ∆ = f ( y) , т.е. когда ось симметрии объекта смещается в соответствии с
каким-либо законом, разность фаз Φ изменяется пропорционально смещению ∆ . Наложение частотных спектров с разными значениями фазы приводит к появлению муар-интерференционных полос.
Для проверки данного положения были исследованы дифракционные картины на щели между краем объекта, имеющим малую толщину, и плоской отражающей поверхностью. Благодаря делению волнового фронта на зеркале формируются два волновых фронта, распространяющиеся под углом 2 θ . В ходе расчетов было получено выражение, описывающее рас-
пределение амплитуды на щели в дальней области:
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 11
70 В. Н. Назаров, А. Н. Иванов
U (ωx , y ') = Asinc(k ωx a( y) / 2) cos((k ωx a( y) + k ∆a( y) θ) / 2) ,
(2)
где ωx = x′ / z — пространственная частота; a( y) = a0 + ∆a( y) — функция, описывающая из-
менение ширины щели (а) между зеркалом и краем объекта; A = a( y) z λ , y = y ' .
Численное моделирование в соответствии с выражением (2) показало, что при
∆ a ( y) = α y , где α — угол наклон края относительно поверхности зеркала, возникает муар-
интерференционная картина полос равной ширины. Эти результаты были подтверждены экс-
периментально.
Расчет муар-интерференционной картины. С позиции практического применения ме-
тода дифракционного контроля целесообразно рассмотреть формирование муар-интерферен-
ционной картины на щели, образованной краем объекта, имеющим определенную толщину.
В качестве примера рассмотрим обладающий абсолютно поглощающей нижней гранью
объект с прямоугольным краем (рис. 1). В этом случае муар образуется наложением частот-
ных спектров, сформированных при дифракции света на кромках А и В. Так как прямая и от-
раженная волны падают на кромки объекта с разными по знаку углами, то при смещении
кромок между их частотными спектрами появляется фазовый сдвиг, пропорциональный ве-
личине смещения:
Φ = k θ∆a / 2 + k θ∆b / 2 ,
(3)
где ∆ a и ∆ b — смещения кромок А и В.
d
A
a θ
A′
B B′
Рис. 1
Если объект наклонить относительно поверхности зеркала, то вдоль щели возникнет градиент фазы, и в дифракционной картине появится дополнительная система муаровых полос равной ширины.
Схему, приведенную на рис. 1, можно представить как объект типа бипланарная щель [4, 5], образованную кромкой А и изображением кромки В в зеркале (В′). Ширина волнового фронта, проходящего через такую щель, зависит от расстояния d и определяется выражением W = a + b′, b′ = b − d θ , где a и b — расстояния между кромками и зеркалом. Отраженный
волновой фронт не будет проходить через щель, если выполняется условие b = d θ . С учетом
вышеизложенного распределение амплитуды в дальней области характеризуется выражением
⎛0
b'( y) ⎞
∫ ∫U (ωx
,
y)
=
(exp(i
k
z)
/
i
k
λ)
⎜ ⎜⎝
C1
−a(
y)
exp(i
k
(ωx
+
θ)) d
x
+ C2
0
exp(i
k
(ωx
−
θ))
d
x
⎟ ⎟⎠
,
(4)
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 11
Формирование муар-интерференционной картины
71
C1 = exp(−i k ∆a( y) (ωx + θ) / 2) exp(−i k d (ωx + θ)2 / 2) ,
C2 = exp(−i k ∆a( y) (ωx − θ) / 2) . Полагая ∆a = ∆b и пренебрегая виньетированием части волнового фронта, так как это
приводит лишь к изменению начального значения разности фаз, упрощаем выражение (4):
U (ωx , y ') ≈ Asinc(k ωx a( y) / 2) cos((k ωx a( y) + k ∆a( y) θ) / 2 − k ω2x dθ / 4) .
(5)
Численное моделирование в соответствии с выражениями (4) и (5) показало, что если
∆ a( y) = α y , то ширина муаровых полос не меняется
и составляет S = λ / α θ , но полосы искривляются.
Это обусловлено продольным смещением кромок А и В, приводящим к появлению разности фаз частот-
ных спектров: Φd = k d ω2x / 2 .
На рис. 2 представлена полученная в результате
компьютерного моделирования муар-интерферен-
ционная картина на щели, образованной краем тол-
щиной 1,2 мм.
Рассматривая функции sinc(⋅) и cos(⋅) выражения (5) как пространственные амплитудно-фазовые
Рис. 2
решетки, можно получить параметрическое уравнение муаровых полос
p = (2 ∆a( y) θ − ω2x d − λ) / 2 λ ,
(6)
где p — порядок полосы; в случае наклона на угол α выражение (6) принимает вид
y = (x2 d / z2 + λ (2 p + 1)) / 2 α θ .
Экспериментальное исследование. Для экспериментальной оценки предложенного метода был собран макет установки. В качестве контролируемого объекта использовался калиброванный цилиндр диаметром 13 мм с неотражающей поверхностью, изготовленный с допуском h9. Согласно методу эквивалентных диафрагм [4, 5] цилиндр можно заменить двумя полуплоскостями, смещенными относительно друг друга на расстояние d = D θ , где D —
диаметр цилиндра. Поэтому, оценив по муаровым полосам величину d , можно определить
диаметр цилиндра D . Для оценки параметра d была создана цифровая методика обработки
полос, позволяющая найти величину d по разности координат трех точек минимумов муаровой полосы:
d = (∆ y1 − ∆ y2 ) α θ z2 /(∆ x1 ∆ x2 ) ,
где ∆ x1 , ∆ y1 — разности координат первой пары точек, ∆ x2 , ∆ y2 — разности координат
второй пары точек.
Подробное описание алгоритма обработки муар-
интерференционной картины и схема макета установки
приведены в работе [6].
Экспериментально полученная муар-интерферен-
ционная картина изображена на рис. 3. Ее сравнение с
численной моделью (см. рис. 2) показало хорошее каче-
ственное соответствие. Погрешность определения диа-
метра цилиндра по координатам муаровых полос соста-
Рис. 3
вила порядка 3 %.
Заключение. Предложенный метод дифракционного контроля основан на использовании фазовой составляющей сигнала. Получено хорошее соответствие результатов численного
моделирования и эксперимента. Исследована зависимость муаровых полос от толщины краев
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 11
72 А. М. Бурбаев, А. И. Леонтьева, Г. А. Одиноких, Д. А. Френкель
объекта и выведено соответствующее выражение. Показано, что данный метод может быть использован для контроля геометрических параметров цилиндров большого диаметра.
Работа выполнена при финансовой поддержке Правительства Санкт-Петербурга, грант № 28-04/18.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Назаров В. Н., Иванов А. Н. Использование явления муара для увеличения точности дифракционных методов контроля геометрических параметров и пространственного положения объектов // Оптич. журн. 2009. Т. 76, № 1. С. 46—50.
2. Назаров В. Н., Иванов А. Н. Дифракционный метод контроля на основе „зеркальной“ апертуры // Изв. вузов. Приборостроение. 2007. Т. 50, № 4. С. 38—42.
3. Назаров В. Н., Линьков А. Е. Дифракционные методы контроля геометрических параметров и пространственного положения объектов // Оптич. журн. 2002. Т. 69, № 2. С. 76—81.
4. Зебрева К. А., Чугуй Ю. В. Расчет дифракционных явлений на 3D объектах постоянной толщины при различных конфигурациях освещения // Тр. VII Междунар. конф. „Прикладная оптика — 2006“. СПб, 2006. Т. 3. С. 258—267.
5. Чугуй Ю. В. Определение геометрических параметров протяженных объектов постоянной толщины по их дифракционным картинам // Автометрия. 1991. № 6. С. 76—92.
6. Иванов А. Н., Каракулев Ю. А., Михайлов В. М. Алгоритм измерения геометрических параметров объекта по его муар-интерференционной картине // Наст. выпуск. С. 33—37.
Виктор Николаевич Назаров Александр Николаевич Иванов
Сведения об авторах — канд. техн. наук, доцент; Санкт-Петербургский государственный уни-
верситет информационных технологий, механики и оптики, кафедра компьютеризации и проектирования оптических приборов — канд. техн. наук, доцент; Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра компьютеризации и проектирования оптических приборов; E-mail: i_off@mail.ru
Рекомендована кафедрой компьютеризации и проектирования оптических приборов
Поступила в редакцию 26.04.11 г.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 11
УДК 531.7.082.5:535.42
В. Н. НАЗАРОВ, А. Н. ИВАНОВ
ФОРМИРОВАНИЕ МУАР-ИНТЕРФЕРЕНЦИОННОЙ КАРТИНЫ ПРИ ДИФРАКЦИИ НА ЩЕЛИ МЕЖДУ КРАЕМ С КОНЕЧНОЙ ТОЛЩИНОЙ
И ЗЕРКАЛЬНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ
Рассматривается модель формирования муар-интерференционных полос при дифракции излучения на щели, образованной между краем объекта, имеющим конечную толщину, и плоской отражающей поверхностью. Выведена зависимость, связывающая толщину края и форму полос.
Ключевые слова: дифракция, муар, измерения.
Введение. Совершенствование методов дифракционного контроля в целях увеличения
их точности и чувствительности возможно, как показано в работах [1—3], при использовании особого распределения фазы входного сигнала на поверхности контролируемого объекта. Один из способов формирования необходимого распределения фазового сигнала — освещение объекта двумя волновыми фронтами, распространяющимися под углом 2 θ , где θ — угол
падения волны на объект [1, 2]. Тогда, в соответствии с теоремой трансляции для преобразования Фурье, изменение формы объекта приведет к появлению разности фаз частотных спектров, формирующихся при дифракции света:
Φ = 2k∆ θ ,
(1)
где k — волновое число, ∆ — смещение оси симметрии объекта.
В случае когда ∆ = f ( y) , т.е. когда ось симметрии объекта смещается в соответствии с
каким-либо законом, разность фаз Φ изменяется пропорционально смещению ∆ . Наложение частотных спектров с разными значениями фазы приводит к появлению муар-интерференционных полос.
Для проверки данного положения были исследованы дифракционные картины на щели между краем объекта, имеющим малую толщину, и плоской отражающей поверхностью. Благодаря делению волнового фронта на зеркале формируются два волновых фронта, распространяющиеся под углом 2 θ . В ходе расчетов было получено выражение, описывающее рас-
пределение амплитуды на щели в дальней области:
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 11
70 В. Н. Назаров, А. Н. Иванов
U (ωx , y ') = Asinc(k ωx a( y) / 2) cos((k ωx a( y) + k ∆a( y) θ) / 2) ,
(2)
где ωx = x′ / z — пространственная частота; a( y) = a0 + ∆a( y) — функция, описывающая из-
менение ширины щели (а) между зеркалом и краем объекта; A = a( y) z λ , y = y ' .
Численное моделирование в соответствии с выражением (2) показало, что при
∆ a ( y) = α y , где α — угол наклон края относительно поверхности зеркала, возникает муар-
интерференционная картина полос равной ширины. Эти результаты были подтверждены экс-
периментально.
Расчет муар-интерференционной картины. С позиции практического применения ме-
тода дифракционного контроля целесообразно рассмотреть формирование муар-интерферен-
ционной картины на щели, образованной краем объекта, имеющим определенную толщину.
В качестве примера рассмотрим обладающий абсолютно поглощающей нижней гранью
объект с прямоугольным краем (рис. 1). В этом случае муар образуется наложением частот-
ных спектров, сформированных при дифракции света на кромках А и В. Так как прямая и от-
раженная волны падают на кромки объекта с разными по знаку углами, то при смещении
кромок между их частотными спектрами появляется фазовый сдвиг, пропорциональный ве-
личине смещения:
Φ = k θ∆a / 2 + k θ∆b / 2 ,
(3)
где ∆ a и ∆ b — смещения кромок А и В.
d
A
a θ
A′
B B′
Рис. 1
Если объект наклонить относительно поверхности зеркала, то вдоль щели возникнет градиент фазы, и в дифракционной картине появится дополнительная система муаровых полос равной ширины.
Схему, приведенную на рис. 1, можно представить как объект типа бипланарная щель [4, 5], образованную кромкой А и изображением кромки В в зеркале (В′). Ширина волнового фронта, проходящего через такую щель, зависит от расстояния d и определяется выражением W = a + b′, b′ = b − d θ , где a и b — расстояния между кромками и зеркалом. Отраженный
волновой фронт не будет проходить через щель, если выполняется условие b = d θ . С учетом
вышеизложенного распределение амплитуды в дальней области характеризуется выражением
⎛0
b'( y) ⎞
∫ ∫U (ωx
,
y)
=
(exp(i
k
z)
/
i
k
λ)
⎜ ⎜⎝
C1
−a(
y)
exp(i
k
(ωx
+
θ)) d
x
+ C2
0
exp(i
k
(ωx
−
θ))
d
x
⎟ ⎟⎠
,
(4)
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 11
Формирование муар-интерференционной картины
71
C1 = exp(−i k ∆a( y) (ωx + θ) / 2) exp(−i k d (ωx + θ)2 / 2) ,
C2 = exp(−i k ∆a( y) (ωx − θ) / 2) . Полагая ∆a = ∆b и пренебрегая виньетированием части волнового фронта, так как это
приводит лишь к изменению начального значения разности фаз, упрощаем выражение (4):
U (ωx , y ') ≈ Asinc(k ωx a( y) / 2) cos((k ωx a( y) + k ∆a( y) θ) / 2 − k ω2x dθ / 4) .
(5)
Численное моделирование в соответствии с выражениями (4) и (5) показало, что если
∆ a( y) = α y , то ширина муаровых полос не меняется
и составляет S = λ / α θ , но полосы искривляются.
Это обусловлено продольным смещением кромок А и В, приводящим к появлению разности фаз частот-
ных спектров: Φd = k d ω2x / 2 .
На рис. 2 представлена полученная в результате
компьютерного моделирования муар-интерферен-
ционная картина на щели, образованной краем тол-
щиной 1,2 мм.
Рассматривая функции sinc(⋅) и cos(⋅) выражения (5) как пространственные амплитудно-фазовые
Рис. 2
решетки, можно получить параметрическое уравнение муаровых полос
p = (2 ∆a( y) θ − ω2x d − λ) / 2 λ ,
(6)
где p — порядок полосы; в случае наклона на угол α выражение (6) принимает вид
y = (x2 d / z2 + λ (2 p + 1)) / 2 α θ .
Экспериментальное исследование. Для экспериментальной оценки предложенного метода был собран макет установки. В качестве контролируемого объекта использовался калиброванный цилиндр диаметром 13 мм с неотражающей поверхностью, изготовленный с допуском h9. Согласно методу эквивалентных диафрагм [4, 5] цилиндр можно заменить двумя полуплоскостями, смещенными относительно друг друга на расстояние d = D θ , где D —
диаметр цилиндра. Поэтому, оценив по муаровым полосам величину d , можно определить
диаметр цилиндра D . Для оценки параметра d была создана цифровая методика обработки
полос, позволяющая найти величину d по разности координат трех точек минимумов муаровой полосы:
d = (∆ y1 − ∆ y2 ) α θ z2 /(∆ x1 ∆ x2 ) ,
где ∆ x1 , ∆ y1 — разности координат первой пары точек, ∆ x2 , ∆ y2 — разности координат
второй пары точек.
Подробное описание алгоритма обработки муар-
интерференционной картины и схема макета установки
приведены в работе [6].
Экспериментально полученная муар-интерферен-
ционная картина изображена на рис. 3. Ее сравнение с
численной моделью (см. рис. 2) показало хорошее каче-
ственное соответствие. Погрешность определения диа-
метра цилиндра по координатам муаровых полос соста-
Рис. 3
вила порядка 3 %.
Заключение. Предложенный метод дифракционного контроля основан на использовании фазовой составляющей сигнала. Получено хорошее соответствие результатов численного
моделирования и эксперимента. Исследована зависимость муаровых полос от толщины краев
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 11
72 А. М. Бурбаев, А. И. Леонтьева, Г. А. Одиноких, Д. А. Френкель
объекта и выведено соответствующее выражение. Показано, что данный метод может быть использован для контроля геометрических параметров цилиндров большого диаметра.
Работа выполнена при финансовой поддержке Правительства Санкт-Петербурга, грант № 28-04/18.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Назаров В. Н., Иванов А. Н. Использование явления муара для увеличения точности дифракционных методов контроля геометрических параметров и пространственного положения объектов // Оптич. журн. 2009. Т. 76, № 1. С. 46—50.
2. Назаров В. Н., Иванов А. Н. Дифракционный метод контроля на основе „зеркальной“ апертуры // Изв. вузов. Приборостроение. 2007. Т. 50, № 4. С. 38—42.
3. Назаров В. Н., Линьков А. Е. Дифракционные методы контроля геометрических параметров и пространственного положения объектов // Оптич. журн. 2002. Т. 69, № 2. С. 76—81.
4. Зебрева К. А., Чугуй Ю. В. Расчет дифракционных явлений на 3D объектах постоянной толщины при различных конфигурациях освещения // Тр. VII Междунар. конф. „Прикладная оптика — 2006“. СПб, 2006. Т. 3. С. 258—267.
5. Чугуй Ю. В. Определение геометрических параметров протяженных объектов постоянной толщины по их дифракционным картинам // Автометрия. 1991. № 6. С. 76—92.
6. Иванов А. Н., Каракулев Ю. А., Михайлов В. М. Алгоритм измерения геометрических параметров объекта по его муар-интерференционной картине // Наст. выпуск. С. 33—37.
Виктор Николаевич Назаров Александр Николаевич Иванов
Сведения об авторах — канд. техн. наук, доцент; Санкт-Петербургский государственный уни-
верситет информационных технологий, механики и оптики, кафедра компьютеризации и проектирования оптических приборов — канд. техн. наук, доцент; Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра компьютеризации и проектирования оптических приборов; E-mail: i_off@mail.ru
Рекомендована кафедрой компьютеризации и проектирования оптических приборов
Поступила в редакцию 26.04.11 г.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 11