МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ ИЗМЕРИТЕЛЬНОЙ ИНФОРМАЦИИ И ОЦЕНКИ ПОГРЕШНОСТЕЙ В СТЕРЕОСКОПИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ КОНТРОЛЯ ПРОСТРАНСТВЕННОГО ПОЛОЖЕНИЯ ОБЪЕКТОВ
10 К. Г. Араканцев, Д. В. Жуков, И. А. Коняхин
УДК 681.786.4
К. Г. АРАКАНЦЕВ, Д. В. ЖУКОВ, И. А. КОНЯХИН
МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ ИЗМЕРИТЕЛЬНОЙ ИНФОРМАЦИИ И ОЦЕНКИ ПОГРЕШНОСТЕЙ
В СТЕРЕОСКОПИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ КОНТРОЛЯ ПРОСТРАНСТВЕННОГО ПОЛОЖЕНИЯ ОБЪЕКТОВ
Рассмотрены методы обработки измерительной информации в стереоскопической системе контроля пространственного положения объектов. Обоснована возможность применения теории возмущений для оценки систематических и случайных погрешностей измерений.
Ключевые слова: перспективное преобразование, стереоскопическая система, сингулярное разложение, теория возмущений, погрешность измерения.
Введение. Для дистанционного контроля пространственного положения объектов ши-
роко используются стереоскопические системы технического зрения. В частности, оптико-
электронная система стереоскопического типа может быть использована для контроля сме-
щений железнодорожного полотна относительно проектного положения [1]. В этом случае
задача измерительной системы сводится к определению расстояния до рельсов в профиле и
плане относительно реперных меток, расположенных вдоль пути на столбах геодезической
сети. Диапазон смещений реперной метки относительно начала приборной системы коорди-
нат должен составлять 2000—10 000 мм в плане и ±150 мм — в профиле, при условии, что
среднеквадратическое отклонение (СКО) измерений по каждой координате не превысит 1 мм.
В настоящей работе описана модель стереоскопической системы, основанной на пер-
спективной проекции, представлены два метода численного расчета положения точечного
объекта относительно приборной системы координат, также показана возможность использо-
вания теории возмущений для анализа систематических и случайных погрешностей в стерео-
скопических оптико-электронных системах.
Модель стереоскопической системы. Стереоскопическая измерительная система, по-
строенная на основе двух видео- или фотокамер с матричными приемниками изображения и
перекрывающимися полями зрения объективов, позволяет получить четыре координаты изо-
бражений объекта, которые совместно с центрами проекции камер определяют в пространст-
ве положение двух прямых, на пересечении которых находится точечный объект.
Координаты изображений точки P в плоскостях анализа стереоскопической системы,
полученные в результате прямого перспективного преобразования [2], описываются переоп-
ределенной системой нелинейных уравнений, где в качестве неизвестных выступают коорди-
наты объекта xG, yG и zG:
xFI
=
aI′
A1xG + A2 yG + A3zG − tXI A4xG + A5 yG + A6 zG − tZI
,
⎫ ⎪ ⎪
xFII yFI yFII
= = =
aI′I
A7 xG + A8 yG + A9zG − tXII A10 xG + A11yG + A12 zG − tZII
,
aI′
A13 xG A16 xG
+ A14 yG + A17 yG
+ +
A15 zG A18 zG
− tYI − tZI
,
aI′I
A19 xG A22 xG
+ +
A20 yG A23 yG
+ A21zG + A24zG
− tYII − tZII
⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ .⎪⎪ ⎭
(1)
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 12
Методы обработки информации и оценки погрешностей пространственного положения объектов 11
Здесь A1—A24 — коэффициенты, зависящие от внешних и внутренних параметров камер; a'I, a'II — задние отрезки объективов; xFI , xFII , yFI , yFII — координаты изображений объекта в
плоскостях анализа камер FI и FII; tX, tY, tZ — линейные координаты центра проекции камеры в глобальной (G) системе координат. Для нахождения координат объекта, удовлетворяющих
системе уравнений (1), предлагается использовать один из предложенных методов. Метод скрещивающихся прямых основан на оценке вектора координат P точки P ,
сумма квадратов расстояний от которой до прямых, задаваемых точками изображений и центрами проекции камер стереоскопической системы, минимальна. Точка P лежит на середине отрезка PI PII , который является общим перпендикуляром для двух указанных прямых [3].
Показанные на рис. 1 направляющие векторы rI и rII проецирующих лучей задаются
выражениями
rI = PFI − OLI , rII = PFII − OLII ,
где PFI , PFII — векторы, состоящие из координат изображений объекта в глобальной системе
координат; OLI , OLII — векторы, определяющие положение начал отсчета локальных (LI и LII) систем координат камер в глобальной системе координат.
Ob LII OLI
r I
OFI
PFI FI
OFII
PFII FII
r II
ZG
P I
OG XG
YG
P P
II
Рис. 1
Уравнения проецирующих лучей запишутся в виде
PFI = OLI − qIrI , PFII = OLII − qIIrII ,
(2)
где qI, qII — свободные параметры. Значения свободных параметров qI и qII , соответствующие минимальному расстоянию
между скрещивающимися прямыми, находятся из выражений
( ) (( ) ) ( )qI =
O LII
− OLI
T
rI
−
⎡ ⎣⎢
OLII
− OLI
T
rII
⎤ ⎦⎥
rIT rII
1 − rIT rII 2
,
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 12
12 К. Г. Араканцев, Д. В. Жуков, И. А. Коняхин
( ) (( )) ( )qII
=
⎡ ⎣⎢
O LII
− OLI
T
rI
⎤ ⎥⎦
rIT rII
−
1 − rIT rII 2
OLII − OLI
T rII .
После подстановки найденных коэффициентов qI и qII в уравнения прямых (2) получим координаты концов искомого отрезка в глобальной системе координат
PGI = OLI − qIrI , PGII = OLII − qIIrII ,
полусумма которых даст оценку P вектора координат точечного объекта P
PG
=
PGI
+ PGII 2
.
Метод сингулярного разложения основан на решении переопределенной системы ли-
нейных уравнений с помощью сингулярного разложения [4]. На рис. 2 приведена геометриче-
ская схема метода, в котором для нахождения координат точечного объекта при статических
измерениях для каждой из камер выбираются две плоскости (I' и I'', II' и II''), задающие своим
пересечением две прямые, каждая из которых содержит точку изображения объекта и центр
проекции камеры.
ZG
OG YG
OLI PFI
FI
OFI
XG b
OFII FII
OLII
I' II' II''
PFII
P I''
Рис. 2
Уравнения выбранных плоскостей образуют следующую систему:
AG′ I PGX AG′′I PGX AG′ II PGX
+ BG′ I PGY + CG′ I PGZ + DG′ I = + BG′′I PGY + CG′′I PGZ + DG′′I = + BG′ II PGY + CG′ II PGZ + DG′ II
0, 0, = 0,
⎫ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪
AG′′II PGX + BG′′II PGY + CG′′II PGZ + DG′′II = 0,⎪⎭
(3)
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 12
Методы обработки информации и оценки погрешностей пространственного положения объектов 13
где AG′ I — AG′ II , AG′′I — AG′′II , BG′ I — BG′ II , BG′′I — BG′′II , CG′ I — CG′ II , CG′′I — CG′′II , DG′ I — DG′ II ,
DG′′I — DG′′II — коэффициенты, зависящие от внешних и внутренних параметров камер, а также измеренных координат изображений объекта.
Для каждой камеры в плоскости анализа задаются две прямые, пересекающиеся в точке
изображения
yI′ = kI′xI′ + lI′ , yI′I = kI′I xI′I + lI′I ,
yI′′ = kI′′xI′′ + lI′′ , yI′′I = kI′′I xI′′I + lI′′I ,
где kI′ , kI′′ , kI′I , kI′′I — коэффициенты наклона прямых в плоскостях анализа FI и FII; lI′ , lI′′ , lI′I ,
lI′′I — коэффициенты линейного смещения прямых в плоскостях анализа FI и FII. Затем для
камер выбираются четыре плоскости, каждая из которых содержит одну из заданных прямых
и центр проекции камеры. Для каждой камеры получается по два линейных уравнения плос-
костей, коэффициенты в которых равны
AL′ I = lI′aI′ , BL′ I = −aI′ , CL′ I = lI′ , DL′ I = 0 ; AL′′I = lI′′aI′ , BL′′I = −aI′ , CL′′I = lI′′ , DL′′I = 0 ;
AL′ II = lI′IaI′I , BL′ II = −aI′I , CL′ II = lI′I , DL′ II = 0 ;
AL′′II = lI′′IaI′′I , BL′′II = −aI′′I , CL′′II = lI′′I , DL′′II = 0 . В матричном виде уравнения плоскостей запишутся следующим образом:
H′LI TGLI RGLI PG
=
0,
⎫ ⎪
HHH′L′L′′L′IIIIITTTGGGLLLIIIIIRRRGLGLGLIIIIPIPPGGG===000,,⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎬
или
H′GI PG H′G′ I PG H′GII PG
= = =
0, ⎫
0,
⎪ ⎪
0,⎬⎪
H′G′ II PG = 0,⎭⎪
где H′LI , H′L′I , H′LII , H′L′II — столбцы коэффициентов плоскостей для локальных систем ко-
ординат камер; H′GI , H′G′ I , H′GII , H′G′ II — столбцы коэффициентов плоскостей для глобальной
системы координат; PG = ( xG , yG , zG ,1)T — искомый вектор оценок однородных координат
объекта; RGL , TGL — матрицы поворота и переноса локальных систем координат камер отно-
сительно глобальной системы координат.
Окончательно система линейных уравнений запишется в виде MPG = N ,
где
M
=
⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
H′GI T H′G′ IT H′GII T H′G′ IIT
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
=
⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
AG′ I AG′′ I AG′ II AG′′ II
BG′ I BG′′ I BG′ II BG′′ II
CG′ I CG′′ I CG′ II
⎞
⎟
⎟ ⎟
,
⎟
N
=
−
⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜
DG′ I DG′′ I DG′ II
⎞
⎟
⎟ ⎟
.
⎟
CG′′ II
⎟ ⎠
⎜ ⎝
DG′′ II
⎟ ⎠
Система уравнений (3) является переопределенной. Для ее решения предлагается ис-
пользовать алгоритм сингулярного разложения SVD [4], в соответствии с которым любая
(W×K)-матрица вещественных чисел M может быть представлена в виде M=UΣVT,
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 12
14 К. Г. Араканцев, Д. В. Жуков, И. А. Коняхин
где U — ортогональная (W×W)-матрица, V — ортогональная (K×K)-матрица, Σ — (W×W)-
матрица, на главной диагонали которой находятся сингулярные числа матрицы M, располо-
женные в порядке убывания, а все внедиагональные элементы равны нулю. Для нахождения
подматриц V, Σ, U существуют итерационные алгоритмы, реализованные в системах MathCad
и MatLab.
Сингулярное разложение матрицы M позволяет найти псевдообратную ей матрицу M*,
умножение которой слева на вектор N дает вектор искомых координат объекта, соответст-
вующий минимальному значению СКО:
M* = VΣ−1UT . Тогда искомая оценка PG глобальных координат объекта может быть найдена в виде
вектора
PG = M * N .
Анализ погрешностей. Предложенные методы позволяют численно рассчитывать по-
грешности измерений в стереоскопической системе. Рассмотрим алгоритм скрещивающихся
прямых для случая наиболее простой структуры стереоскопической системы, когда оптиче-
ские оси камер параллельны горизонту, находятся в вертикальной плоскости, а глобальная
система координат совмещена с системой координат нижней камеры.
На рис. 3 представлен результат стохастического моделирования измерений, когда но-
минальные значения координат объекта xG=yG=150 мм, а расстояние zG изменялось в диапазоне 2000—10 000 мм. На графике отражена зависимость СКО σzG измерения координаты zG объекта от дистанции при СКО измеренных координат изображения в плоскостях анализа
камер σxF=σyF=0,1p [5], где p=2,775 мкм — размер пиксела. При этом были приняты следующие значения параметров системы: база (см. рис. 1 и 2) b=300 мм, a'I=a'II=35 мм.
σzG
3
2
1
2000
4000
6000
8000
zG
Рис. 3
Для стохастического моделирования погрешностей стереоскопической системы с использованием метода сингулярного разложения воспользуемся работами [6, 7], в которых доказывается возможность применения теории возмущений при анализе погрешности решения переопределенной системы линейных уравнений. В соответствии с этими работами погрешность оценки искомых координат объекта можно представить в виде
∆PG = EM ∆M + EN ∆N ,
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 12
Методы обработки информации и оценки погрешностей пространственного положения объектов 15
где ∆PG = PG − PG , ∆M — вектор погрешностей коэффициентов матрицы М системы линей-
ных уравнений (3), ∆N — вектор погрешностей свободных членов той же системы уравнений. Матрицы EM и EN, описывающие влияние ошибок коэффициентов системы уравнений
(3) на решение в виде вектора координат объекта, можно найти из выражений
( )EM = V Σ−1 PG WT , EN = VΣ−1UT ,
где PG — норма вектора PG .
Матрица W состоит из столбцов, элементы которых рассчитываются по формуле
wi
= −ui
(PG )T
PG
, i=1, …, ρ,
где ρ — ранг матрицы М, а ui — элементы столбцов матрицы U. Рассмотренный метод позволяет оценить погрешности первого порядка, т.е. погрешно-
сти измерения координат объекта, которые описываются первыми производными коэффици-
ентов матрицы М по исследуемым параметрам.
На рис. 4 показана зависимость СКО измерения расстояния до объекта в зависимости от
СКО измерения координат изображений на матрицах. Стохастическое моделирование было
проведено для двух методов обработки измерительной информации (кривая 1 — для алгоритма
сингулярного разложения, 2 — для алгоритма скрещивающихся прямых). СКО измерения ко-
ординат изображений σxF и σyF изменялись в диапазоне 0—100p, номинальное положение объекта было задано координатами xG=yG=150 мм, zG=10 000 мм. Из рис. 4 видно, что зависимость для алгоритма, основанного на теории возмущений (кривая 1), носит линейный характер.
Разница между зависимостями 1 и 2 становится существенной при очень больших значениях
σxF и σyF, которые никогда не имеют места на практике. На практике алгоритм поиска энергетического центра изображения обеспечивает СКО порядка 0,1 пиксела [5]. При этом разница СКО, вычисленных с использованием двух методов, не превышает 2·10–6 мм для xG, 4·10–6 — для yG и 2·10–4 — для zG, что для измерений в диапазоне 2000—10 000 мм несущественно.
σzG
3000 2000 1000
1 2
0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 σхG, σхG Рис. 4
Результаты исследования. Предложен метод сингулярного разложения матрицы коэффициентов переопределенной системы линейных уравнений для расчета координат объекта в стереоскопических и гиперстереоскопических оптико-электронных системах.
Обосновано применение теории возмущений для анализа систематических и случайных погрешностей измерений в стереоскопической системе. Такой подход удобен вследствие
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 12
16 К. Г. Араканцев, Д. В. Жуков, И. А. Коняхин
использования матрицы влияния ошибок, которая зависит только от конфигурации стереоскопической системы и описывает, как ошибка оценивания того или иного параметра влияет на погрешность результата измерений. Данный алгоритм может найти применение для анализа влияния числа камер на погрешность измерения положения объекта в системе с n числом измерительных преобразователей. Метод исследования влияния случайной ошибки в стереоскопической системе [8] позволяет обойтись без стохастического моделирования при анализе случайных погрешностей измерений.
Работа осуществлялась при финансовой поддержке Федерального агентства по науке и инновациям РФ и была проведена в рамках аналитической ведомственной целевой программы „Развитие научного потенциала высшей школы (2009—2010 гг.)“ и Федеральной целевой программы „Научные и научно-педагогические кадры инновационной России“ на 2009—2013 гг.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Arakantsev K. G., Konyakhin I. A., Timofeev A. N. Precision system for motion path parameters measurement of wheel and rail transport // Intern. Symp. on Instrum. Sci. and Techn. Institute of Physics Publishing. J. of Phys. 2006. Vol. 48. P. 998—1002.
2. Дуда Р., Харт П. Распознавание образов и анализ сцен. М.: Мир, 1976. 521 с.
3. Форсайт Д., Понс Ж. Компьютерное зрение. Современный подход. М.: Вильямс, 2004. 928 с.
4. Тыртышников Е. Е. Матричный анализ и линейная алгебра. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007. 480 с.
5. Якушенков Ю. Г. Проектирование оптико-электронных приборов. М.: Машиностроение, 1981. 263 с.
6. Wedin P., Wikstrom G. First Order Error Analysis of a Linear System of Equations by use of Error Propagation Matrices connected to the Pseudo Inverse Solution // Proc. of the Householder Symp. XV. 2005. 31 р.
7. Wedin P. Perturbation Theory for Pseudoinverses // BIT. 1973. Vol. 13. P. 217—232.
8. Haralick R. M. Propagating Covariance in Computer Vision [Электронный ресурс]: .
Константин Геннадьевич Араканцев Дмитрий Валерьевич Жуков Игорь Алексеевич Коняхин
Сведения об авторах — аспирант; Санкт-Петербургский государственный университет
информационных технологий, механики и оптики, кафедра оптико-электронных приборов и систем; младший научный сотрудник; E-mail: kostya3312@mail.ru, kostya3312@yandex.ru — студент; Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра оптико-электронных приборов и систем; E-mail: dzhukov@gmail.com — д-р техн. наук, профессор; Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра оптико-электронных приборов и систем; E-mail: igor@grv.ifmo.ru
Рекомендована кафедрой оптико-электронных приборов и систем
Поступила в редакцию 26.04.10 г.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 12
УДК 681.786.4
К. Г. АРАКАНЦЕВ, Д. В. ЖУКОВ, И. А. КОНЯХИН
МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ ИЗМЕРИТЕЛЬНОЙ ИНФОРМАЦИИ И ОЦЕНКИ ПОГРЕШНОСТЕЙ
В СТЕРЕОСКОПИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ КОНТРОЛЯ ПРОСТРАНСТВЕННОГО ПОЛОЖЕНИЯ ОБЪЕКТОВ
Рассмотрены методы обработки измерительной информации в стереоскопической системе контроля пространственного положения объектов. Обоснована возможность применения теории возмущений для оценки систематических и случайных погрешностей измерений.
Ключевые слова: перспективное преобразование, стереоскопическая система, сингулярное разложение, теория возмущений, погрешность измерения.
Введение. Для дистанционного контроля пространственного положения объектов ши-
роко используются стереоскопические системы технического зрения. В частности, оптико-
электронная система стереоскопического типа может быть использована для контроля сме-
щений железнодорожного полотна относительно проектного положения [1]. В этом случае
задача измерительной системы сводится к определению расстояния до рельсов в профиле и
плане относительно реперных меток, расположенных вдоль пути на столбах геодезической
сети. Диапазон смещений реперной метки относительно начала приборной системы коорди-
нат должен составлять 2000—10 000 мм в плане и ±150 мм — в профиле, при условии, что
среднеквадратическое отклонение (СКО) измерений по каждой координате не превысит 1 мм.
В настоящей работе описана модель стереоскопической системы, основанной на пер-
спективной проекции, представлены два метода численного расчета положения точечного
объекта относительно приборной системы координат, также показана возможность использо-
вания теории возмущений для анализа систематических и случайных погрешностей в стерео-
скопических оптико-электронных системах.
Модель стереоскопической системы. Стереоскопическая измерительная система, по-
строенная на основе двух видео- или фотокамер с матричными приемниками изображения и
перекрывающимися полями зрения объективов, позволяет получить четыре координаты изо-
бражений объекта, которые совместно с центрами проекции камер определяют в пространст-
ве положение двух прямых, на пересечении которых находится точечный объект.
Координаты изображений точки P в плоскостях анализа стереоскопической системы,
полученные в результате прямого перспективного преобразования [2], описываются переоп-
ределенной системой нелинейных уравнений, где в качестве неизвестных выступают коорди-
наты объекта xG, yG и zG:
xFI
=
aI′
A1xG + A2 yG + A3zG − tXI A4xG + A5 yG + A6 zG − tZI
,
⎫ ⎪ ⎪
xFII yFI yFII
= = =
aI′I
A7 xG + A8 yG + A9zG − tXII A10 xG + A11yG + A12 zG − tZII
,
aI′
A13 xG A16 xG
+ A14 yG + A17 yG
+ +
A15 zG A18 zG
− tYI − tZI
,
aI′I
A19 xG A22 xG
+ +
A20 yG A23 yG
+ A21zG + A24zG
− tYII − tZII
⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ .⎪⎪ ⎭
(1)
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 12
Методы обработки информации и оценки погрешностей пространственного положения объектов 11
Здесь A1—A24 — коэффициенты, зависящие от внешних и внутренних параметров камер; a'I, a'II — задние отрезки объективов; xFI , xFII , yFI , yFII — координаты изображений объекта в
плоскостях анализа камер FI и FII; tX, tY, tZ — линейные координаты центра проекции камеры в глобальной (G) системе координат. Для нахождения координат объекта, удовлетворяющих
системе уравнений (1), предлагается использовать один из предложенных методов. Метод скрещивающихся прямых основан на оценке вектора координат P точки P ,
сумма квадратов расстояний от которой до прямых, задаваемых точками изображений и центрами проекции камер стереоскопической системы, минимальна. Точка P лежит на середине отрезка PI PII , который является общим перпендикуляром для двух указанных прямых [3].
Показанные на рис. 1 направляющие векторы rI и rII проецирующих лучей задаются
выражениями
rI = PFI − OLI , rII = PFII − OLII ,
где PFI , PFII — векторы, состоящие из координат изображений объекта в глобальной системе
координат; OLI , OLII — векторы, определяющие положение начал отсчета локальных (LI и LII) систем координат камер в глобальной системе координат.
Ob LII OLI
r I
OFI
PFI FI
OFII
PFII FII
r II
ZG
P I
OG XG
YG
P P
II
Рис. 1
Уравнения проецирующих лучей запишутся в виде
PFI = OLI − qIrI , PFII = OLII − qIIrII ,
(2)
где qI, qII — свободные параметры. Значения свободных параметров qI и qII , соответствующие минимальному расстоянию
между скрещивающимися прямыми, находятся из выражений
( ) (( ) ) ( )qI =
O LII
− OLI
T
rI
−
⎡ ⎣⎢
OLII
− OLI
T
rII
⎤ ⎦⎥
rIT rII
1 − rIT rII 2
,
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 12
12 К. Г. Араканцев, Д. В. Жуков, И. А. Коняхин
( ) (( )) ( )qII
=
⎡ ⎣⎢
O LII
− OLI
T
rI
⎤ ⎥⎦
rIT rII
−
1 − rIT rII 2
OLII − OLI
T rII .
После подстановки найденных коэффициентов qI и qII в уравнения прямых (2) получим координаты концов искомого отрезка в глобальной системе координат
PGI = OLI − qIrI , PGII = OLII − qIIrII ,
полусумма которых даст оценку P вектора координат точечного объекта P
PG
=
PGI
+ PGII 2
.
Метод сингулярного разложения основан на решении переопределенной системы ли-
нейных уравнений с помощью сингулярного разложения [4]. На рис. 2 приведена геометриче-
ская схема метода, в котором для нахождения координат точечного объекта при статических
измерениях для каждой из камер выбираются две плоскости (I' и I'', II' и II''), задающие своим
пересечением две прямые, каждая из которых содержит точку изображения объекта и центр
проекции камеры.
ZG
OG YG
OLI PFI
FI
OFI
XG b
OFII FII
OLII
I' II' II''
PFII
P I''
Рис. 2
Уравнения выбранных плоскостей образуют следующую систему:
AG′ I PGX AG′′I PGX AG′ II PGX
+ BG′ I PGY + CG′ I PGZ + DG′ I = + BG′′I PGY + CG′′I PGZ + DG′′I = + BG′ II PGY + CG′ II PGZ + DG′ II
0, 0, = 0,
⎫ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪
AG′′II PGX + BG′′II PGY + CG′′II PGZ + DG′′II = 0,⎪⎭
(3)
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 12
Методы обработки информации и оценки погрешностей пространственного положения объектов 13
где AG′ I — AG′ II , AG′′I — AG′′II , BG′ I — BG′ II , BG′′I — BG′′II , CG′ I — CG′ II , CG′′I — CG′′II , DG′ I — DG′ II ,
DG′′I — DG′′II — коэффициенты, зависящие от внешних и внутренних параметров камер, а также измеренных координат изображений объекта.
Для каждой камеры в плоскости анализа задаются две прямые, пересекающиеся в точке
изображения
yI′ = kI′xI′ + lI′ , yI′I = kI′I xI′I + lI′I ,
yI′′ = kI′′xI′′ + lI′′ , yI′′I = kI′′I xI′′I + lI′′I ,
где kI′ , kI′′ , kI′I , kI′′I — коэффициенты наклона прямых в плоскостях анализа FI и FII; lI′ , lI′′ , lI′I ,
lI′′I — коэффициенты линейного смещения прямых в плоскостях анализа FI и FII. Затем для
камер выбираются четыре плоскости, каждая из которых содержит одну из заданных прямых
и центр проекции камеры. Для каждой камеры получается по два линейных уравнения плос-
костей, коэффициенты в которых равны
AL′ I = lI′aI′ , BL′ I = −aI′ , CL′ I = lI′ , DL′ I = 0 ; AL′′I = lI′′aI′ , BL′′I = −aI′ , CL′′I = lI′′ , DL′′I = 0 ;
AL′ II = lI′IaI′I , BL′ II = −aI′I , CL′ II = lI′I , DL′ II = 0 ;
AL′′II = lI′′IaI′′I , BL′′II = −aI′′I , CL′′II = lI′′I , DL′′II = 0 . В матричном виде уравнения плоскостей запишутся следующим образом:
H′LI TGLI RGLI PG
=
0,
⎫ ⎪
HHH′L′L′′L′IIIIITTTGGGLLLIIIIIRRRGLGLGLIIIIPIPPGGG===000,,⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎬
или
H′GI PG H′G′ I PG H′GII PG
= = =
0, ⎫
0,
⎪ ⎪
0,⎬⎪
H′G′ II PG = 0,⎭⎪
где H′LI , H′L′I , H′LII , H′L′II — столбцы коэффициентов плоскостей для локальных систем ко-
ординат камер; H′GI , H′G′ I , H′GII , H′G′ II — столбцы коэффициентов плоскостей для глобальной
системы координат; PG = ( xG , yG , zG ,1)T — искомый вектор оценок однородных координат
объекта; RGL , TGL — матрицы поворота и переноса локальных систем координат камер отно-
сительно глобальной системы координат.
Окончательно система линейных уравнений запишется в виде MPG = N ,
где
M
=
⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
H′GI T H′G′ IT H′GII T H′G′ IIT
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
=
⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
AG′ I AG′′ I AG′ II AG′′ II
BG′ I BG′′ I BG′ II BG′′ II
CG′ I CG′′ I CG′ II
⎞
⎟
⎟ ⎟
,
⎟
N
=
−
⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜
DG′ I DG′′ I DG′ II
⎞
⎟
⎟ ⎟
.
⎟
CG′′ II
⎟ ⎠
⎜ ⎝
DG′′ II
⎟ ⎠
Система уравнений (3) является переопределенной. Для ее решения предлагается ис-
пользовать алгоритм сингулярного разложения SVD [4], в соответствии с которым любая
(W×K)-матрица вещественных чисел M может быть представлена в виде M=UΣVT,
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 12
14 К. Г. Араканцев, Д. В. Жуков, И. А. Коняхин
где U — ортогональная (W×W)-матрица, V — ортогональная (K×K)-матрица, Σ — (W×W)-
матрица, на главной диагонали которой находятся сингулярные числа матрицы M, располо-
женные в порядке убывания, а все внедиагональные элементы равны нулю. Для нахождения
подматриц V, Σ, U существуют итерационные алгоритмы, реализованные в системах MathCad
и MatLab.
Сингулярное разложение матрицы M позволяет найти псевдообратную ей матрицу M*,
умножение которой слева на вектор N дает вектор искомых координат объекта, соответст-
вующий минимальному значению СКО:
M* = VΣ−1UT . Тогда искомая оценка PG глобальных координат объекта может быть найдена в виде
вектора
PG = M * N .
Анализ погрешностей. Предложенные методы позволяют численно рассчитывать по-
грешности измерений в стереоскопической системе. Рассмотрим алгоритм скрещивающихся
прямых для случая наиболее простой структуры стереоскопической системы, когда оптиче-
ские оси камер параллельны горизонту, находятся в вертикальной плоскости, а глобальная
система координат совмещена с системой координат нижней камеры.
На рис. 3 представлен результат стохастического моделирования измерений, когда но-
минальные значения координат объекта xG=yG=150 мм, а расстояние zG изменялось в диапазоне 2000—10 000 мм. На графике отражена зависимость СКО σzG измерения координаты zG объекта от дистанции при СКО измеренных координат изображения в плоскостях анализа
камер σxF=σyF=0,1p [5], где p=2,775 мкм — размер пиксела. При этом были приняты следующие значения параметров системы: база (см. рис. 1 и 2) b=300 мм, a'I=a'II=35 мм.
σzG
3
2
1
2000
4000
6000
8000
zG
Рис. 3
Для стохастического моделирования погрешностей стереоскопической системы с использованием метода сингулярного разложения воспользуемся работами [6, 7], в которых доказывается возможность применения теории возмущений при анализе погрешности решения переопределенной системы линейных уравнений. В соответствии с этими работами погрешность оценки искомых координат объекта можно представить в виде
∆PG = EM ∆M + EN ∆N ,
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 12
Методы обработки информации и оценки погрешностей пространственного положения объектов 15
где ∆PG = PG − PG , ∆M — вектор погрешностей коэффициентов матрицы М системы линей-
ных уравнений (3), ∆N — вектор погрешностей свободных членов той же системы уравнений. Матрицы EM и EN, описывающие влияние ошибок коэффициентов системы уравнений
(3) на решение в виде вектора координат объекта, можно найти из выражений
( )EM = V Σ−1 PG WT , EN = VΣ−1UT ,
где PG — норма вектора PG .
Матрица W состоит из столбцов, элементы которых рассчитываются по формуле
wi
= −ui
(PG )T
PG
, i=1, …, ρ,
где ρ — ранг матрицы М, а ui — элементы столбцов матрицы U. Рассмотренный метод позволяет оценить погрешности первого порядка, т.е. погрешно-
сти измерения координат объекта, которые описываются первыми производными коэффици-
ентов матрицы М по исследуемым параметрам.
На рис. 4 показана зависимость СКО измерения расстояния до объекта в зависимости от
СКО измерения координат изображений на матрицах. Стохастическое моделирование было
проведено для двух методов обработки измерительной информации (кривая 1 — для алгоритма
сингулярного разложения, 2 — для алгоритма скрещивающихся прямых). СКО измерения ко-
ординат изображений σxF и σyF изменялись в диапазоне 0—100p, номинальное положение объекта было задано координатами xG=yG=150 мм, zG=10 000 мм. Из рис. 4 видно, что зависимость для алгоритма, основанного на теории возмущений (кривая 1), носит линейный характер.
Разница между зависимостями 1 и 2 становится существенной при очень больших значениях
σxF и σyF, которые никогда не имеют места на практике. На практике алгоритм поиска энергетического центра изображения обеспечивает СКО порядка 0,1 пиксела [5]. При этом разница СКО, вычисленных с использованием двух методов, не превышает 2·10–6 мм для xG, 4·10–6 — для yG и 2·10–4 — для zG, что для измерений в диапазоне 2000—10 000 мм несущественно.
σzG
3000 2000 1000
1 2
0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 σхG, σхG Рис. 4
Результаты исследования. Предложен метод сингулярного разложения матрицы коэффициентов переопределенной системы линейных уравнений для расчета координат объекта в стереоскопических и гиперстереоскопических оптико-электронных системах.
Обосновано применение теории возмущений для анализа систематических и случайных погрешностей измерений в стереоскопической системе. Такой подход удобен вследствие
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 12
16 К. Г. Араканцев, Д. В. Жуков, И. А. Коняхин
использования матрицы влияния ошибок, которая зависит только от конфигурации стереоскопической системы и описывает, как ошибка оценивания того или иного параметра влияет на погрешность результата измерений. Данный алгоритм может найти применение для анализа влияния числа камер на погрешность измерения положения объекта в системе с n числом измерительных преобразователей. Метод исследования влияния случайной ошибки в стереоскопической системе [8] позволяет обойтись без стохастического моделирования при анализе случайных погрешностей измерений.
Работа осуществлялась при финансовой поддержке Федерального агентства по науке и инновациям РФ и была проведена в рамках аналитической ведомственной целевой программы „Развитие научного потенциала высшей школы (2009—2010 гг.)“ и Федеральной целевой программы „Научные и научно-педагогические кадры инновационной России“ на 2009—2013 гг.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Arakantsev K. G., Konyakhin I. A., Timofeev A. N. Precision system for motion path parameters measurement of wheel and rail transport // Intern. Symp. on Instrum. Sci. and Techn. Institute of Physics Publishing. J. of Phys. 2006. Vol. 48. P. 998—1002.
2. Дуда Р., Харт П. Распознавание образов и анализ сцен. М.: Мир, 1976. 521 с.
3. Форсайт Д., Понс Ж. Компьютерное зрение. Современный подход. М.: Вильямс, 2004. 928 с.
4. Тыртышников Е. Е. Матричный анализ и линейная алгебра. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007. 480 с.
5. Якушенков Ю. Г. Проектирование оптико-электронных приборов. М.: Машиностроение, 1981. 263 с.
6. Wedin P., Wikstrom G. First Order Error Analysis of a Linear System of Equations by use of Error Propagation Matrices connected to the Pseudo Inverse Solution // Proc. of the Householder Symp. XV. 2005. 31 р.
7. Wedin P. Perturbation Theory for Pseudoinverses // BIT. 1973. Vol. 13. P. 217—232.
8. Haralick R. M. Propagating Covariance in Computer Vision [Электронный ресурс]: .
Константин Геннадьевич Араканцев Дмитрий Валерьевич Жуков Игорь Алексеевич Коняхин
Сведения об авторах — аспирант; Санкт-Петербургский государственный университет
информационных технологий, механики и оптики, кафедра оптико-электронных приборов и систем; младший научный сотрудник; E-mail: kostya3312@mail.ru, kostya3312@yandex.ru — студент; Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра оптико-электронных приборов и систем; E-mail: dzhukov@gmail.com — д-р техн. наук, профессор; Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра оптико-электронных приборов и систем; E-mail: igor@grv.ifmo.ru
Рекомендована кафедрой оптико-электронных приборов и систем
Поступила в редакцию 26.04.10 г.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 12