РОБАСТНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫМ ОБЪЕКТОМ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ С ПРИМЕНЕНИЕМ КВАДРАТИЧНЫХ МЕТОДОВ СИНТЕЗА СИСТЕМЫ
ПРИБОРЫ И СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
УДК 62-506
О. А. РЕМИЗОВА, И. В. РУДАКОВА, В. В. СЫРОКВАШИН, А. Л. ФОКИН
РОБАСТНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫМ ОБЪЕКТОМ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ С ПРИМЕНЕНИЕМ КВАДРАТИЧНЫХ МЕТОДОВ
СИНТЕЗА СИСТЕМЫ
Синтез робастного регулятора для объекта с запаздыванием осуществляется по расширенной модели последнего, полученной вследствие искусственного разделения движений в нем, в рамках решения задачи Н2-оптимального управления и задачи аналитического конструирования оптимальных регуляторов для звена чистого запаздывания.
Ключевые слова: неопределенность, интегральный квадратичный функционал, случайные возмущения, линейная теория, расширенная модель, демпфирование.
Введение. Методы синтеза, основанные на решении оптимальных задач с минимизацией квадратичного функционала, широко используются при проектировании систем управления, так как они позволяют уменьшить непроизводительные затраты энергии, вызванные действием возмущений, при работе системы управления.
Основным недостатком такой системы является чувствительность регулируемых величин к неопределенности параметров модели объекта управления [1—3]. Это приводит к существенной потере качества управления, а во многих случаях к потере устойчивости реальной системы.
Наличие запаздывания в модели объекта усложняет задачу синтеза и ухудшает качественные показатели системы, в наибольшей степени — показатели грубости. Поэтому для систем с запаздыванием особенно актуальна задача снижения чувствительности к возможным вариациям параметров, в том числе и к величине запаздывания, которое может изменяться в процессе функционирования объекта.
Будем рассматривать модель „вход—выход объекта“ в виде передаточной функции в комплексной плоскости
y0 ( p) = Wo
( p)u(p)
=
ko
Bν
( p) exp( −τo p) u( p) , An ( p)
(1)
где Bν ( p), An ( p) — произвольные полиномы степени ν ,n соответственно
(ν ≤ n, Bν (0) = An (0) = 1) , коэффициенты полиномов Bν ( p), An ( p) могут изменяться в за-
данных интервалах: ko ≤ ko ≤ ko , τo ≤ τo ≤ τo .
Традиционно при наличии запаздывания используется точное его прогнозирование: упредитель Смита, регулятор Ресвика, которые обеспечивают отсутствие запаздывания в харак-
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 12
Робастное управление линейным объектом
23
теристическом уравнении замкнутой системы [4, 5]. К этой же группе можно отнести регуля-
торы, использующие прогнозирующую модель (предикторы) [6, 7].
Такая система работоспособна при известной величине запаздывания, так как звено за-
паздывания непосредственно входит в передаточную функцию регулятора.
В настоящей работе предлагается подход, в котором использована идея декомпозиции
модели (1) на звено чистого запаздывания и инерционную часть и последовательно решена
практически востребованная задача синтеза в рамках робастной квадратичной теории без
привлечения методов точного прогнозирования движения системы на время запаздывания.
Основной результат. Вместе с реальной передаточной функцией объекта (1) рассмот-
рим номинальную
Wo
(
p)
=
ko0
Bν0 An0
( (
p) p)
exp(−τo0
p)
,
(2)
где kо0, τ0о — номинальные значения коэффициента передачи и запаздывания, Bν0 ( p), An0 ( p) —
номинальные полиномы числителя и знаменателя.
Здесь предполагается, что пары реальных и номинальных полиномов Bν ( p), Bν0 ( p) и
An ( p), An0 ( p) являются одновременно устойчивыми или неустойчивыми, или находятся на
границе устойчивости. В случае неустойчивости они имеют одинаковое число неустойчивых
корней.
Задача синтеза решается при дополнительном условии уменьшения чувствительности
системы к возможным вариациям параметров модели (1) и величины запаздывания относи-
тельно их номинальных значений. Это достигается за счет искусственного расширения ис-
ходной номинальной модели (2) и разделения движений в объекте на две составляющие.
Управление решает две задачи квадратичной оптимизации: стабилизацию исходной модели
объекта и обеспечение взаимной компенсации составляющих движения модели. Решение
второй задачи, как показано в [8—11], обеспечивает робастность системы.
Первый этап синтеза. Здесь решается задача увеличения грубости по отношению к за-
паздыванию. Рассматривается часть передаточной функции (2), содержащая чистое запазды-
вание с аппроксимацией Паде
Wo1
(
p
)
=
exp(−τ0o
p)
≈
β α
( (
p) p)
=
1 1
− +
τo0 τ0o
p p
2. 2
(3)
Аппроксимация Паде первого порядка вполне точно представляет динамику запаздыва-
ния в области низких и средних частот. Для увеличения точности можно рассмотреть ап-
проксимации второго, третьего и более высоких порядков, но в этом случае увеличивается
сложность регулятора.
Для определенности условимся, что система является робастной по отношению к ва-
риациям величины запаздывания τo , если она не теряет устойчивости при неконтролируемом
возрастании этой величины в 3—4 раза относительно номинального значения τ0o . Этого
вполне достаточно для практики. Тогда справедливо следующее утверждение.
Утверждение. Решение задачи оптимального управления с минимизацией интегрально-
го квадратичного функционала для объекта чистого запаздывания, грубого по отношению к
вариациям величины запаздывания, достигается в классе ПИ законов регулирования вида
Wр1
(
p)
=
k( p) l( p)
=
b1 p + p
b0
.
(4)
где k ( p), l ( p) — полиномы, b1, b0 — настраиваемые параметры регулятора.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 12
24 О. А. Ремизова, И. В. Рудакова, В. В. Сыроквашин, А. Л. Фокин
Доказательство. Во временной области модель (4) будет
x1
=
−
2 τo0
x1
+
4 τo0
u1 ,
(5)
y1 = x1 − u1 .
(6)
Для робастной стабилизации такого объекта лучше всего подходит задача аналитиче-
ского конструирования оптимальных регуляторов (АКОР) расширенной модели [8, 9], так как
это позволяет получить регулятор минимальной размерности, равной единице. Кроме того, на
этом этапе задача может быть рассмотрена без возмущений.
Искусственное разделение на две составляющие достигается за счет пропускания пере-
менной состояния x1 через фильтр вида
x1
(
p)
=
1− 1+
tф1 tф2
p p
x1
(
p)
,
(7)
где tф1,tф2 — настраиваемые параметры фильтра.
Для синтеза оптимального регулятора состояния по расширенной модели вводится но-
вая регулируемая переменная
z1 = m1∆x1 + m2 x1 ,
(8)
где m1, m2 — настраиваемые коэффициенты (m1, m2 > 0 , m1 ≠ m2 ) , ∆x1 = x1 − x1 .
Расширенное уравнение состояния имеет вид
( )⎡∆x1
⎢ ⎣
x1
⎤ ⎥ ⎦
=
⎡ ⎢ ⎢ ⎣
−2β1 τ0o − 1 + 2tф1 τo0
tф−12 tф2
− 2β1 τo0 2tф1 tф2τo0
⎤ ⎥ ⎥ ⎦
⎡∆x1
⎢ ⎣
x1
⎤ ⎥ ⎦
+
4
⎡ ⎢
β1
⎢⎣tф1
τ0o tф2 τo0
⎤ ⎥ ⎦⎥
u1
,
(9)
где β1 = 1 + tф1 tф2 .
В качестве квадратичного функционала рассматривается выражение
∞
J
=
∫
⎡ ⎣
qz12
(t)
+
ru12
(t )⎤⎦
dt
,
0
где q, r — настраиваемые параметры.
(10)
Задаваясь настраиваемыми параметрами tф1, tф2 , m1, m2 , q, r , решаем задачу АКОР (9),
(10), как описано в [8], и получаем управление по состоянию
u1 = k1∆x1 + k2 x2 .
(11)
После подстановки управления (11) в модель (9) получаем замкнутую систему с извест-
ным характеристическим уравнением
G0 ( p) = p2 + g10 p + g00 = 0 ,
(12)
где g10 , g00 — известные коэффициенты.
Регулятор выхода в данном случае может быть получен в виде ПИ закона (4). Для сис-
темы, состоящей из объекта (3) и регулятора (4), характеристическое уравнение имеет вид
G ( p) = α ( p)l ( p) + β( p) k ( p) = p2 + g1 p + g0 = 0 ,
(13)
где коэффициенты g1, g0 линейно зависят от параметров b1, b0 . Приравняв полиномы (12) и (13), получим систему линейных уравнений для определе-
ния неизвестных коэффициентов b1, b0 вида
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 12
Робастное управление линейным объектом
25
( )⎡
⎢
g10 + 2
τo0
⎢ ⎣
g00
−1 2 τo0
⎤ ⎥ ⎥ ⎦
⎡ b1 ⎣⎢b2
⎤ ⎥ ⎦
=
⎡ ⎢
g10
⎢⎣
−2 g00
τo0
⎤ ⎥
.
⎦⎥
(14)
Решив систему уравнений (14), получим значения параметров регулятора (4) для задан-
ного значения запаздывания τo0 .
Второй этап синтеза. Рассматривается исходная номинальная передаточная функция объекта (2) при условии, что для компенсации влияния звена запаздывания применяется ПИ регулятор (4). Поэтому при синтезе регулятора второго этапа теоретически нужно рассматривать передаточную функцию с запаздыванием вида
Wo2 ( p)
=
ko0
b1 p + b0 p
Bν0 ( An0 (
p p
) )
exp(−τ0o
p)
.
(15)
Но дальше процедура синтеза становится приближенной, так как передаточная функция
(15) рассматривается без запаздывания. Отсутствие запаздывания легко скорректировать в
дальнейшем. Поэтому при ko0 = 1 будет
Wˆo2 ( p)
=
b1 p + b0 p
Bν0 An0
( p) ( p)
.
(16)
Синтез регулятора выхода осуществляется при помощи решения задачи Н2-оптимального
управления для расширенной модели, которая соответствует передаточной функции (16), при
наличии возмущений типа белого или цветного шума. Пусть исходная модель объекта имеет
вид
x0 = A0x0 + B10w0 + B20u, x0 (0) = x00 ,
(17)
z0 = C10x0 , y0 = C20x0 + ny ,
(18) (19)
где x0 ∈ Rn — вектор состояния, u ∈ R1 — управление, w0 ∈ Rl — вектор возмущения в
объекте, ny ∈ R1 — помеха измерения, z0 ∈ Rγ — вектор контролируемых переменных,
A0, B10, B20 — номинальные значения матриц.
При расширении модели вводится система фильтров для получения опорной траекто-
рии в пространстве состояний вида
x1
(
p
)
=
Wф
(
p
)
x0
(
p
)
=
1− 1+
Tф1 Tф2
p p
x0
(
p
)
,
(20)
где Tф1, Tф2 — постоянные времени фильтра.
Относительно этой опорной траектории рассматривается сигнал рассогласования
∆x1 (t ) = x0 (t ) − x1 (t ) .
(21)
После этого вводится новая регулируемая переменная
z (t ) = d1∆x1 (t ) + d2x1 (t ) ,
(22)
где d1 ≠ d2 , d1, d2 > 0 — настраиваемые параметры. В расширенном пространстве состояний xT = ⎡⎣∆x1T
x1T
⎤T ⎦
модель (17)—(22) имеет вид
( )x = Ax + B1w0 + B2u ,
x
(
0)
=
⎡ ⎢⎣
x00
T
0⎥⎦⎤T ,
(23)
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 12
26 О. А. Ремизова, И. В. Рудакова, В. В. Сыроквашин, А. Л. Фокин
z = Mdx ,
(24)
y = C2x + ny ,
(25)
где
( )A
=
⎡ ⎢
βA0 − Tф−21
⎣⎢Tф−21 I − Tф1
I A0
βA0 −Tф−21Tф1A0
⎤ ⎥ ⎥ ⎦
,
B1
=
⎡ βB10 ⎢⎣⎢−Tф−21Tф1B10
⎤ ⎥ ⎥⎦
,
B2
=
⎡ βB20 ⎣⎢⎢−Tф−21Tф1B20
⎤ ⎥ ⎦⎥
,
x
=
⎡ ∆x1 ⎤ ⎣⎢ x1 ⎦⎥
— вектор состояния расширенной модели объекта, β = 1 + Tф−21Tф1, d = [d1I d2I] , M = diag{µi } ,
C2 = [C20 C20 ] , i = 1,…, n .
Далее для расширенной модели решается задача Н2-оптимального управления. В работе
[10] доказано, что решение существует и осуществлена частичная взаимная компенсация сиг-
налов ∆x1 (t ) и x1 (t ) , которая обеспечивает робастность синтезированной системы. Для дос-
тижения заданных качественных показателей системы используется настройка в пространст-
ве параметров: Tф1, Tф2 , d1, d2 , µi . Решение находится в соответствии с методикой, представ-
ленной в [9—11]. В результате получаем регулятор с промежуточной передаточной функцией
Wр2 ( p) .
Настройка параметров выполняется таким образом, чтобы соблюдались два условия:
ωC2 ≤ ωC1 ,
(26)
h2 ≥ h1 , ϕ2 ≈ ϕ1 ,
(27)
где ωC2 — частота среза системы без запаздывания с передаточной функцией регулятора
Wр2 ( p) ; h2 , ϕ2 — запасы по амплитуде и фазе для этой системы, ωC1 , h1, ϕ1 — соответст-
вующие показатели, полученные для звена чистого запаздывания. При выполнении условия (26) процедуры синтеза первого и второго этапов дополняют
друг друга, так как целью обоих этапов является повышение качества системы примерно в одной и той же области частот. Условие (27) позволяет получить систему, не уступающую по качеству системе, синтезированной на первом этапе. Оно, в отличие от (26), не является необходимым и обусловлено приближенным характером синтеза регулятора на втором этапе. Оно позволяет устранить последствия замены точной передаточной функции (15) ее приближенным аналогом (16) и вносит дополнительный элемент коррекции.
В результате двухэтапной процедуры синтеза получается регулятор с передаточной функцией вида
Wр
(
p
)
=
b1 p + b0 kо0 p
Wр2
(
p)
.
Пример. Рассмотрим объект с номинальной передаточной функцией
(28)
( ) ( )Wо ( p) =
Tо0
ko0 p +1
3
exp
−τ0о p
,
(29)
где kо0 = 0, 325 , Tо0 = 6 с, τо0 = 6 с. На первом этапе синтеза рассмотрим значения параметров: tф1 = 50 с , tф2 = 8 с , m1 = 5 ,
m2 = 4,9 , q = 1 , r = 103 . Тогда для объекта чистого запаздывания получим систему со следующими характеристиками: Н∞-норма функции чувствительности: η = 1,558 , запас устойчи-
вости по амплитуде: h1 = 9, 05 дБ , запас устойчивости по фазе: ϕ1 = 73, 4° , частота среза:
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 12
Робастное управление линейным объектом
27
ωС1 = 0, 0947 c−1. Для регулятора (4) следующие параметры: b1 = 0, 2748 , b0 = 0, 09109 . Ин-
тервал изменения относительной величины запаздывания, при котором система не теряет ус-
тойчивости, будет
0 < τо0 τо ≤ τm = 3, 25 .
(30)
Переходная характеристика первого этапа представлена на рис. 1. Передаточная функ-
ция (16) будет иметь вид
( )Wˆ2 ( p) =
1 Tо0 p + 1
3
b1 p + b0 p
.
(31)
h, у.е.
0,8
0,6
0,4
0,2
0
–0,2
–0,4 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 t, с
Рис. 1
Ей соответствует представление (17)—(19) с матрицами
⎡0
A0
=
⎢⎢0 ⎢0
⎣⎢0
1 0 0 −0, 0046
0 1 0 −0, 083
0⎤
0 1
⎥ ⎥, ⎥
−0, 5⎥⎦
⎡0⎤
B10
=
B20
=
B0
=
⎢ ⎢ ⎢
0 0, 0013
⎥ ⎥ ⎥
,
⎣⎢−0, 0002⎦⎥
C10 = C20 = C0 = [1 0 0 0] .
Расширенная модель получается в соответствии с формулами (20)—(25). Далее по методике, изложенной в [9—11], решается задача Н2-оптимального управления при значениях на-
страиваемых параметров: Tф1 = 6, 9 ⋅105 c , Tф2 = 200 c , d1 = 5 , d2 = 4, 65 . В результате полу-
чается передаточная функция регулятора вида
Wр ( p) =
k( p) pl ( p)
,
(32)
где
k ( p) = 21, 65 p8 + 18, 96 p7 + 6,16 p6 + 0,91p5 + 0, 057 p4 + 0, 0007 p3 +
+3, 4 ⋅10−6 p2 + 5,54 ⋅10−9 p +1,116 ⋅10−13 ;
l ( p) = 0,325 p8 +1,124 p7 +1, 534 p6 + 0, 991p5 + 0, 2 p4 + 0, 0039 p3 +
+2,8⋅10−5 p2 + 9, 2 ⋅10−8 p +1,13⋅10−10 .
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 12
28 О. А. Ремизова, И. В. Рудакова, В. В. Сыроквашин, А. Л. Фокин
Переходная характеристика приведена на рис. 2. Система имеет следующие характеристики: η = 1, 719 , h1 = 9, 51 дБ , ϕ1 = 54, 4° , ωC1 = 0, 0701 c−1 , τm = 3, 25 , последнее совпадает со значением на первом этапе синтеза (30).
h, у.е.
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
–0,2 0
20 40 60 80 100 t, с
Рис. 2
Для сравнения приведем характеристики соответствующей системы без запаздывания. При настройках Tф1 = 9 ⋅105 c , Tф2 = 200 c , d1 = 5 , d2 = 1 получим характеристики системы:
η = 1,379 , h1 = 14, 6 дБ , ϕ1 = 54,5° , ωC1 = 0,154 c−1. Переходная характеристика представлена на рис. 3. Сравнение показывает, что система с запаздыванием имеет достаточно хорошие показатели качества переходного процесса.
h, у.е.
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
10 20 30 40 50
60 70 t, с
Рис. 3
Заключение. В работе предложена методика синтеза Н2-оптимальных систем с запаздыванием, позволяющая получить решение, которое обладает значительной грубостью к параметрической неопределенности модели объекта, в том числе и к величине запаздывания. В основе методики лежит идея декомпозиции задачи управления на подзадачи управления объектом чистого запаздывания и управления с учетом инерционности объекта. Обе задачи решаются в классе оптимальных по квадратичному критерию систем. Грубость системы достигается за счет искусственного разделения движений объекта так, что управление осуществляет их взаимную компенсацию, что позволяет сделать грубым полученное Н2-оптимальное решение.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 12
Робастное управление линейным объектом
29
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Янушевский Р. Т. О грубости решения задачи аналитического конструирования регуляторов // Автоматика и телемеханика. 1960. № 3. C. 18—25.
2. Поляк Б. Т., Щербаков П. С. Трудные задачи линейной теории управления. Некоторые подходы к решению // Автоматика и телемеханика. 2005. № 5. С. 7—46.
3. Бахилина И. М., Степанов С. А. Синтез грубых линейных квадратичных гауссовских регуляторов // Там же. 1998. № 7. С. 96—106.
4. Гурецкий Х. Анализ и синтез систем управления с запаздыванием. М.: Машиностроение, 1974. 328 с.
5. Ротач В. Я. Теория автоматического управления. М.: Изд-во МЭИ, 2004. 400 с.
6. Camacho E. F., Bordons C. Model Predictive Control. Springer-Verlag, 1999. 327 p.
7. Бобцов А. А., Колюбин С. А., Пыркин А. А. Компенсация неизвестного мультигармонического возмущения для нелинейного объекта с запаздыванием по управлению // Автоматика и телемеханика. 2010. № 11. С. 136—148.
8. Бороздин П. А., Сыроквашин В. В., Фокин А. Л. Робастное управление линейным инерционным объектом // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2008. № 4. С. 41—49.
9. Ремизова О. А., Рудакова И. В., Фокин А. Л. Синтез робастной системы стабилизации на основе квадратичной теории // Изв. СПбГТИ(ТУ). 2009. № 6. С. 71—75.
10. Климов А. П., Ремизова О. А., Рудакова И. В., Фокин А. Л. Уменьшение чувствительности Н2-оптимальной системы к влиянию неопределенности модели объекта // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2010. № 3. С. 27—32.
11. Климов А. П., Ремизова О. А., Рудакова И. В., Фокин А. Л. Достижение робастности системы стабилизации, синтезированной на основе квадратичной теории // Изв. вузов. Приборостроение. 2010. Т. 53, № 7. С. 18—26.
Сведения об авторах
Ольга Александровна Ремизова
— канд. техн. наук, доцент; Санкт-Петербургский государственный
технологический институт (Технический университет), кафедра
автоматизации процессов химической промышленности;
E-mail: remizova-oa@yandex.ru
Ирина Викторовна Рудакова
— канд. техн. наук, доцент; Санкт-Петербургский государственный
технологический институт (Технический университет), кафедра
автоматизации процессов химической промышленности;
E-mail: rudakowa@ws01.sapr.pu.ru
Владислав Викторович Сыроквашин — канд. техн. наук, доцент; Санкт-Петербургский государственный
технологический институт (Технический университет), кафедра
автоматизации процессов химической промышленности
Александр Леонидович Фокин
— д-р техн. наук, профессор; Санкт-Петербургский государственный
технологический институт (Технический университет), кафедра
автоматизации процессов химической промышленности;
E-mail: fokin_sa@mail.ru
Рекомендована кафедрой автоматизации процессов химической промышленности
Поступила в редакцию 15.02.11 г.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 12
УДК 62-506
О. А. РЕМИЗОВА, И. В. РУДАКОВА, В. В. СЫРОКВАШИН, А. Л. ФОКИН
РОБАСТНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫМ ОБЪЕКТОМ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ С ПРИМЕНЕНИЕМ КВАДРАТИЧНЫХ МЕТОДОВ
СИНТЕЗА СИСТЕМЫ
Синтез робастного регулятора для объекта с запаздыванием осуществляется по расширенной модели последнего, полученной вследствие искусственного разделения движений в нем, в рамках решения задачи Н2-оптимального управления и задачи аналитического конструирования оптимальных регуляторов для звена чистого запаздывания.
Ключевые слова: неопределенность, интегральный квадратичный функционал, случайные возмущения, линейная теория, расширенная модель, демпфирование.
Введение. Методы синтеза, основанные на решении оптимальных задач с минимизацией квадратичного функционала, широко используются при проектировании систем управления, так как они позволяют уменьшить непроизводительные затраты энергии, вызванные действием возмущений, при работе системы управления.
Основным недостатком такой системы является чувствительность регулируемых величин к неопределенности параметров модели объекта управления [1—3]. Это приводит к существенной потере качества управления, а во многих случаях к потере устойчивости реальной системы.
Наличие запаздывания в модели объекта усложняет задачу синтеза и ухудшает качественные показатели системы, в наибольшей степени — показатели грубости. Поэтому для систем с запаздыванием особенно актуальна задача снижения чувствительности к возможным вариациям параметров, в том числе и к величине запаздывания, которое может изменяться в процессе функционирования объекта.
Будем рассматривать модель „вход—выход объекта“ в виде передаточной функции в комплексной плоскости
y0 ( p) = Wo
( p)u(p)
=
ko
Bν
( p) exp( −τo p) u( p) , An ( p)
(1)
где Bν ( p), An ( p) — произвольные полиномы степени ν ,n соответственно
(ν ≤ n, Bν (0) = An (0) = 1) , коэффициенты полиномов Bν ( p), An ( p) могут изменяться в за-
данных интервалах: ko ≤ ko ≤ ko , τo ≤ τo ≤ τo .
Традиционно при наличии запаздывания используется точное его прогнозирование: упредитель Смита, регулятор Ресвика, которые обеспечивают отсутствие запаздывания в харак-
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 12
Робастное управление линейным объектом
23
теристическом уравнении замкнутой системы [4, 5]. К этой же группе можно отнести регуля-
торы, использующие прогнозирующую модель (предикторы) [6, 7].
Такая система работоспособна при известной величине запаздывания, так как звено за-
паздывания непосредственно входит в передаточную функцию регулятора.
В настоящей работе предлагается подход, в котором использована идея декомпозиции
модели (1) на звено чистого запаздывания и инерционную часть и последовательно решена
практически востребованная задача синтеза в рамках робастной квадратичной теории без
привлечения методов точного прогнозирования движения системы на время запаздывания.
Основной результат. Вместе с реальной передаточной функцией объекта (1) рассмот-
рим номинальную
Wo
(
p)
=
ko0
Bν0 An0
( (
p) p)
exp(−τo0
p)
,
(2)
где kо0, τ0о — номинальные значения коэффициента передачи и запаздывания, Bν0 ( p), An0 ( p) —
номинальные полиномы числителя и знаменателя.
Здесь предполагается, что пары реальных и номинальных полиномов Bν ( p), Bν0 ( p) и
An ( p), An0 ( p) являются одновременно устойчивыми или неустойчивыми, или находятся на
границе устойчивости. В случае неустойчивости они имеют одинаковое число неустойчивых
корней.
Задача синтеза решается при дополнительном условии уменьшения чувствительности
системы к возможным вариациям параметров модели (1) и величины запаздывания относи-
тельно их номинальных значений. Это достигается за счет искусственного расширения ис-
ходной номинальной модели (2) и разделения движений в объекте на две составляющие.
Управление решает две задачи квадратичной оптимизации: стабилизацию исходной модели
объекта и обеспечение взаимной компенсации составляющих движения модели. Решение
второй задачи, как показано в [8—11], обеспечивает робастность системы.
Первый этап синтеза. Здесь решается задача увеличения грубости по отношению к за-
паздыванию. Рассматривается часть передаточной функции (2), содержащая чистое запазды-
вание с аппроксимацией Паде
Wo1
(
p
)
=
exp(−τ0o
p)
≈
β α
( (
p) p)
=
1 1
− +
τo0 τ0o
p p
2. 2
(3)
Аппроксимация Паде первого порядка вполне точно представляет динамику запаздыва-
ния в области низких и средних частот. Для увеличения точности можно рассмотреть ап-
проксимации второго, третьего и более высоких порядков, но в этом случае увеличивается
сложность регулятора.
Для определенности условимся, что система является робастной по отношению к ва-
риациям величины запаздывания τo , если она не теряет устойчивости при неконтролируемом
возрастании этой величины в 3—4 раза относительно номинального значения τ0o . Этого
вполне достаточно для практики. Тогда справедливо следующее утверждение.
Утверждение. Решение задачи оптимального управления с минимизацией интегрально-
го квадратичного функционала для объекта чистого запаздывания, грубого по отношению к
вариациям величины запаздывания, достигается в классе ПИ законов регулирования вида
Wр1
(
p)
=
k( p) l( p)
=
b1 p + p
b0
.
(4)
где k ( p), l ( p) — полиномы, b1, b0 — настраиваемые параметры регулятора.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 12
24 О. А. Ремизова, И. В. Рудакова, В. В. Сыроквашин, А. Л. Фокин
Доказательство. Во временной области модель (4) будет
x1
=
−
2 τo0
x1
+
4 τo0
u1 ,
(5)
y1 = x1 − u1 .
(6)
Для робастной стабилизации такого объекта лучше всего подходит задача аналитиче-
ского конструирования оптимальных регуляторов (АКОР) расширенной модели [8, 9], так как
это позволяет получить регулятор минимальной размерности, равной единице. Кроме того, на
этом этапе задача может быть рассмотрена без возмущений.
Искусственное разделение на две составляющие достигается за счет пропускания пере-
менной состояния x1 через фильтр вида
x1
(
p)
=
1− 1+
tф1 tф2
p p
x1
(
p)
,
(7)
где tф1,tф2 — настраиваемые параметры фильтра.
Для синтеза оптимального регулятора состояния по расширенной модели вводится но-
вая регулируемая переменная
z1 = m1∆x1 + m2 x1 ,
(8)
где m1, m2 — настраиваемые коэффициенты (m1, m2 > 0 , m1 ≠ m2 ) , ∆x1 = x1 − x1 .
Расширенное уравнение состояния имеет вид
( )⎡∆x1
⎢ ⎣
x1
⎤ ⎥ ⎦
=
⎡ ⎢ ⎢ ⎣
−2β1 τ0o − 1 + 2tф1 τo0
tф−12 tф2
− 2β1 τo0 2tф1 tф2τo0
⎤ ⎥ ⎥ ⎦
⎡∆x1
⎢ ⎣
x1
⎤ ⎥ ⎦
+
4
⎡ ⎢
β1
⎢⎣tф1
τ0o tф2 τo0
⎤ ⎥ ⎦⎥
u1
,
(9)
где β1 = 1 + tф1 tф2 .
В качестве квадратичного функционала рассматривается выражение
∞
J
=
∫
⎡ ⎣
qz12
(t)
+
ru12
(t )⎤⎦
dt
,
0
где q, r — настраиваемые параметры.
(10)
Задаваясь настраиваемыми параметрами tф1, tф2 , m1, m2 , q, r , решаем задачу АКОР (9),
(10), как описано в [8], и получаем управление по состоянию
u1 = k1∆x1 + k2 x2 .
(11)
После подстановки управления (11) в модель (9) получаем замкнутую систему с извест-
ным характеристическим уравнением
G0 ( p) = p2 + g10 p + g00 = 0 ,
(12)
где g10 , g00 — известные коэффициенты.
Регулятор выхода в данном случае может быть получен в виде ПИ закона (4). Для сис-
темы, состоящей из объекта (3) и регулятора (4), характеристическое уравнение имеет вид
G ( p) = α ( p)l ( p) + β( p) k ( p) = p2 + g1 p + g0 = 0 ,
(13)
где коэффициенты g1, g0 линейно зависят от параметров b1, b0 . Приравняв полиномы (12) и (13), получим систему линейных уравнений для определе-
ния неизвестных коэффициентов b1, b0 вида
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 12
Робастное управление линейным объектом
25
( )⎡
⎢
g10 + 2
τo0
⎢ ⎣
g00
−1 2 τo0
⎤ ⎥ ⎥ ⎦
⎡ b1 ⎣⎢b2
⎤ ⎥ ⎦
=
⎡ ⎢
g10
⎢⎣
−2 g00
τo0
⎤ ⎥
.
⎦⎥
(14)
Решив систему уравнений (14), получим значения параметров регулятора (4) для задан-
ного значения запаздывания τo0 .
Второй этап синтеза. Рассматривается исходная номинальная передаточная функция объекта (2) при условии, что для компенсации влияния звена запаздывания применяется ПИ регулятор (4). Поэтому при синтезе регулятора второго этапа теоретически нужно рассматривать передаточную функцию с запаздыванием вида
Wo2 ( p)
=
ko0
b1 p + b0 p
Bν0 ( An0 (
p p
) )
exp(−τ0o
p)
.
(15)
Но дальше процедура синтеза становится приближенной, так как передаточная функция
(15) рассматривается без запаздывания. Отсутствие запаздывания легко скорректировать в
дальнейшем. Поэтому при ko0 = 1 будет
Wˆo2 ( p)
=
b1 p + b0 p
Bν0 An0
( p) ( p)
.
(16)
Синтез регулятора выхода осуществляется при помощи решения задачи Н2-оптимального
управления для расширенной модели, которая соответствует передаточной функции (16), при
наличии возмущений типа белого или цветного шума. Пусть исходная модель объекта имеет
вид
x0 = A0x0 + B10w0 + B20u, x0 (0) = x00 ,
(17)
z0 = C10x0 , y0 = C20x0 + ny ,
(18) (19)
где x0 ∈ Rn — вектор состояния, u ∈ R1 — управление, w0 ∈ Rl — вектор возмущения в
объекте, ny ∈ R1 — помеха измерения, z0 ∈ Rγ — вектор контролируемых переменных,
A0, B10, B20 — номинальные значения матриц.
При расширении модели вводится система фильтров для получения опорной траекто-
рии в пространстве состояний вида
x1
(
p
)
=
Wф
(
p
)
x0
(
p
)
=
1− 1+
Tф1 Tф2
p p
x0
(
p
)
,
(20)
где Tф1, Tф2 — постоянные времени фильтра.
Относительно этой опорной траектории рассматривается сигнал рассогласования
∆x1 (t ) = x0 (t ) − x1 (t ) .
(21)
После этого вводится новая регулируемая переменная
z (t ) = d1∆x1 (t ) + d2x1 (t ) ,
(22)
где d1 ≠ d2 , d1, d2 > 0 — настраиваемые параметры. В расширенном пространстве состояний xT = ⎡⎣∆x1T
x1T
⎤T ⎦
модель (17)—(22) имеет вид
( )x = Ax + B1w0 + B2u ,
x
(
0)
=
⎡ ⎢⎣
x00
T
0⎥⎦⎤T ,
(23)
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 12
26 О. А. Ремизова, И. В. Рудакова, В. В. Сыроквашин, А. Л. Фокин
z = Mdx ,
(24)
y = C2x + ny ,
(25)
где
( )A
=
⎡ ⎢
βA0 − Tф−21
⎣⎢Tф−21 I − Tф1
I A0
βA0 −Tф−21Tф1A0
⎤ ⎥ ⎥ ⎦
,
B1
=
⎡ βB10 ⎢⎣⎢−Tф−21Tф1B10
⎤ ⎥ ⎥⎦
,
B2
=
⎡ βB20 ⎣⎢⎢−Tф−21Tф1B20
⎤ ⎥ ⎦⎥
,
x
=
⎡ ∆x1 ⎤ ⎣⎢ x1 ⎦⎥
— вектор состояния расширенной модели объекта, β = 1 + Tф−21Tф1, d = [d1I d2I] , M = diag{µi } ,
C2 = [C20 C20 ] , i = 1,…, n .
Далее для расширенной модели решается задача Н2-оптимального управления. В работе
[10] доказано, что решение существует и осуществлена частичная взаимная компенсация сиг-
налов ∆x1 (t ) и x1 (t ) , которая обеспечивает робастность синтезированной системы. Для дос-
тижения заданных качественных показателей системы используется настройка в пространст-
ве параметров: Tф1, Tф2 , d1, d2 , µi . Решение находится в соответствии с методикой, представ-
ленной в [9—11]. В результате получаем регулятор с промежуточной передаточной функцией
Wр2 ( p) .
Настройка параметров выполняется таким образом, чтобы соблюдались два условия:
ωC2 ≤ ωC1 ,
(26)
h2 ≥ h1 , ϕ2 ≈ ϕ1 ,
(27)
где ωC2 — частота среза системы без запаздывания с передаточной функцией регулятора
Wр2 ( p) ; h2 , ϕ2 — запасы по амплитуде и фазе для этой системы, ωC1 , h1, ϕ1 — соответст-
вующие показатели, полученные для звена чистого запаздывания. При выполнении условия (26) процедуры синтеза первого и второго этапов дополняют
друг друга, так как целью обоих этапов является повышение качества системы примерно в одной и той же области частот. Условие (27) позволяет получить систему, не уступающую по качеству системе, синтезированной на первом этапе. Оно, в отличие от (26), не является необходимым и обусловлено приближенным характером синтеза регулятора на втором этапе. Оно позволяет устранить последствия замены точной передаточной функции (15) ее приближенным аналогом (16) и вносит дополнительный элемент коррекции.
В результате двухэтапной процедуры синтеза получается регулятор с передаточной функцией вида
Wр
(
p
)
=
b1 p + b0 kо0 p
Wр2
(
p)
.
Пример. Рассмотрим объект с номинальной передаточной функцией
(28)
( ) ( )Wо ( p) =
Tо0
ko0 p +1
3
exp
−τ0о p
,
(29)
где kо0 = 0, 325 , Tо0 = 6 с, τо0 = 6 с. На первом этапе синтеза рассмотрим значения параметров: tф1 = 50 с , tф2 = 8 с , m1 = 5 ,
m2 = 4,9 , q = 1 , r = 103 . Тогда для объекта чистого запаздывания получим систему со следующими характеристиками: Н∞-норма функции чувствительности: η = 1,558 , запас устойчи-
вости по амплитуде: h1 = 9, 05 дБ , запас устойчивости по фазе: ϕ1 = 73, 4° , частота среза:
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 12
Робастное управление линейным объектом
27
ωС1 = 0, 0947 c−1. Для регулятора (4) следующие параметры: b1 = 0, 2748 , b0 = 0, 09109 . Ин-
тервал изменения относительной величины запаздывания, при котором система не теряет ус-
тойчивости, будет
0 < τо0 τо ≤ τm = 3, 25 .
(30)
Переходная характеристика первого этапа представлена на рис. 1. Передаточная функ-
ция (16) будет иметь вид
( )Wˆ2 ( p) =
1 Tо0 p + 1
3
b1 p + b0 p
.
(31)
h, у.е.
0,8
0,6
0,4
0,2
0
–0,2
–0,4 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 t, с
Рис. 1
Ей соответствует представление (17)—(19) с матрицами
⎡0
A0
=
⎢⎢0 ⎢0
⎣⎢0
1 0 0 −0, 0046
0 1 0 −0, 083
0⎤
0 1
⎥ ⎥, ⎥
−0, 5⎥⎦
⎡0⎤
B10
=
B20
=
B0
=
⎢ ⎢ ⎢
0 0, 0013
⎥ ⎥ ⎥
,
⎣⎢−0, 0002⎦⎥
C10 = C20 = C0 = [1 0 0 0] .
Расширенная модель получается в соответствии с формулами (20)—(25). Далее по методике, изложенной в [9—11], решается задача Н2-оптимального управления при значениях на-
страиваемых параметров: Tф1 = 6, 9 ⋅105 c , Tф2 = 200 c , d1 = 5 , d2 = 4, 65 . В результате полу-
чается передаточная функция регулятора вида
Wр ( p) =
k( p) pl ( p)
,
(32)
где
k ( p) = 21, 65 p8 + 18, 96 p7 + 6,16 p6 + 0,91p5 + 0, 057 p4 + 0, 0007 p3 +
+3, 4 ⋅10−6 p2 + 5,54 ⋅10−9 p +1,116 ⋅10−13 ;
l ( p) = 0,325 p8 +1,124 p7 +1, 534 p6 + 0, 991p5 + 0, 2 p4 + 0, 0039 p3 +
+2,8⋅10−5 p2 + 9, 2 ⋅10−8 p +1,13⋅10−10 .
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 12
28 О. А. Ремизова, И. В. Рудакова, В. В. Сыроквашин, А. Л. Фокин
Переходная характеристика приведена на рис. 2. Система имеет следующие характеристики: η = 1, 719 , h1 = 9, 51 дБ , ϕ1 = 54, 4° , ωC1 = 0, 0701 c−1 , τm = 3, 25 , последнее совпадает со значением на первом этапе синтеза (30).
h, у.е.
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
–0,2 0
20 40 60 80 100 t, с
Рис. 2
Для сравнения приведем характеристики соответствующей системы без запаздывания. При настройках Tф1 = 9 ⋅105 c , Tф2 = 200 c , d1 = 5 , d2 = 1 получим характеристики системы:
η = 1,379 , h1 = 14, 6 дБ , ϕ1 = 54,5° , ωC1 = 0,154 c−1. Переходная характеристика представлена на рис. 3. Сравнение показывает, что система с запаздыванием имеет достаточно хорошие показатели качества переходного процесса.
h, у.е.
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
10 20 30 40 50
60 70 t, с
Рис. 3
Заключение. В работе предложена методика синтеза Н2-оптимальных систем с запаздыванием, позволяющая получить решение, которое обладает значительной грубостью к параметрической неопределенности модели объекта, в том числе и к величине запаздывания. В основе методики лежит идея декомпозиции задачи управления на подзадачи управления объектом чистого запаздывания и управления с учетом инерционности объекта. Обе задачи решаются в классе оптимальных по квадратичному критерию систем. Грубость системы достигается за счет искусственного разделения движений объекта так, что управление осуществляет их взаимную компенсацию, что позволяет сделать грубым полученное Н2-оптимальное решение.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 12
Робастное управление линейным объектом
29
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Янушевский Р. Т. О грубости решения задачи аналитического конструирования регуляторов // Автоматика и телемеханика. 1960. № 3. C. 18—25.
2. Поляк Б. Т., Щербаков П. С. Трудные задачи линейной теории управления. Некоторые подходы к решению // Автоматика и телемеханика. 2005. № 5. С. 7—46.
3. Бахилина И. М., Степанов С. А. Синтез грубых линейных квадратичных гауссовских регуляторов // Там же. 1998. № 7. С. 96—106.
4. Гурецкий Х. Анализ и синтез систем управления с запаздыванием. М.: Машиностроение, 1974. 328 с.
5. Ротач В. Я. Теория автоматического управления. М.: Изд-во МЭИ, 2004. 400 с.
6. Camacho E. F., Bordons C. Model Predictive Control. Springer-Verlag, 1999. 327 p.
7. Бобцов А. А., Колюбин С. А., Пыркин А. А. Компенсация неизвестного мультигармонического возмущения для нелинейного объекта с запаздыванием по управлению // Автоматика и телемеханика. 2010. № 11. С. 136—148.
8. Бороздин П. А., Сыроквашин В. В., Фокин А. Л. Робастное управление линейным инерционным объектом // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2008. № 4. С. 41—49.
9. Ремизова О. А., Рудакова И. В., Фокин А. Л. Синтез робастной системы стабилизации на основе квадратичной теории // Изв. СПбГТИ(ТУ). 2009. № 6. С. 71—75.
10. Климов А. П., Ремизова О. А., Рудакова И. В., Фокин А. Л. Уменьшение чувствительности Н2-оптимальной системы к влиянию неопределенности модели объекта // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2010. № 3. С. 27—32.
11. Климов А. П., Ремизова О. А., Рудакова И. В., Фокин А. Л. Достижение робастности системы стабилизации, синтезированной на основе квадратичной теории // Изв. вузов. Приборостроение. 2010. Т. 53, № 7. С. 18—26.
Сведения об авторах
Ольга Александровна Ремизова
— канд. техн. наук, доцент; Санкт-Петербургский государственный
технологический институт (Технический университет), кафедра
автоматизации процессов химической промышленности;
E-mail: remizova-oa@yandex.ru
Ирина Викторовна Рудакова
— канд. техн. наук, доцент; Санкт-Петербургский государственный
технологический институт (Технический университет), кафедра
автоматизации процессов химической промышленности;
E-mail: rudakowa@ws01.sapr.pu.ru
Владислав Викторович Сыроквашин — канд. техн. наук, доцент; Санкт-Петербургский государственный
технологический институт (Технический университет), кафедра
автоматизации процессов химической промышленности
Александр Леонидович Фокин
— д-р техн. наук, профессор; Санкт-Петербургский государственный
технологический институт (Технический университет), кафедра
автоматизации процессов химической промышленности;
E-mail: fokin_sa@mail.ru
Рекомендована кафедрой автоматизации процессов химической промышленности
Поступила в редакцию 15.02.11 г.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 12