СИНТЕЗ ГИБРИДНОГО НАБЛЮДАТЕЛЯ ДЛЯ ЛИНЕЙНОГО ОБЪЕКТА В УСЛОВИЯХ ГАРМОНИЧЕСКОГО ВОЗМУЩЕНИЯ
Синтез гибридного наблюдателя для линейного объекта
13
УДК 681.51.015
С. В. АРАНОВСКИЙ, А. А. БОБЦОВ, А. А. ПЫРКИН
СИНТЕЗ ГИБРИДНОГО НАБЛЮДАТЕЛЯ ДЛЯ ЛИНЕЙНОГО ОБЪЕКТА В УСЛОВИЯХ ГАРМОНИЧЕСКОГО ВОЗМУЩЕНИЯ
Рассматривается задача синтеза гибридного наблюдателя переменных состояния линейного объекта управления в случае, когда измеряемый выходной сигнал и сам объект подвержены воздействию неизвестного гармонического возмущения. Решение задачи усложнено тем, что коэффициент усиления управляющего воздействия является неизвестным.
Ключевые слова: гармонический сигнал, гибридная система, наблюдатель.
Введение. Одной из актуальных задач в теории автоматического управления является
задача синтеза наблюдателя вектора переменных состояния линейного объекта, модель кото-
рого может записана в виде
x(t) = Ax(t) + kbu(t) + f δ(t) ;
(1)
y(t) = cT x(t) + δ(t) ,
(2)
где x ∈ Rn — неизмеряемый вектор переменных состояния; A , b , f и c — известные мат-
рицы и векторы постоянных коэффициентов соответствующих размерностей; k — неизвест-
ный постоянный параметр; δ(t) ∈ R — заранее неизвестное и недоступное прямым измерени-
ям гармоническое возмущение; u(t) ∈ R — сигнал управления; y(t) ∈ R — измеряемая вы-
ходная переменная.
В качестве практического примера наблюдателя может рассматриваться оптическая система траекторного слежения (телескоп), установленная на колеблющемся основании, например корабле, и наблюдающая космический объект или объект береговой линии. В этом случае качка, с одной стороны, создает возмущающий момент в приводах осей телескопа (возмущение по состоянию), а с другой стороны, приводит к колебательному движению объекта наблюдения относительно центра зрительного поля (возмущение в канале измерений).
Если возмущающее воздействие не приложено к выходу (см. уравнение (2)), то данная задача в настоящее время не представляет значительных трудностей и может быть решена, например, с использованием методов адаптивного наблюдения [1—5]. В работах [6, 7] для ограниченного класса линейных минимально-фазовых объектов рассмотрен случай устранения возмущений, действующих как на сам объект, так и на выходную переменную (см. урав-
нения (1), (2)). В работах [8, 9] получены алгоритмы оценивания возмущения δ(t) , аддитивно
приложенного к переменной y(t) , и оценивания вектора x(t) для неминимально-фазового
линейного и нелинейного объектов.
В настоящей статье в развитие результатов, представленных в работах [6—9], рассматривается случай, когда математическая модель объекта управления содержит неизвестный
коэффициент усиления сигнала управления, а возмущающее воздействие приложено как к самому объекту, так и к выходной переменной.
Постановка задачи. Рассмотрим в общем случае неминимально-фазовый линейный
объект вида (1), (2). Перепишем уравнения (1) и (2) в форме модели вход—выход:
y(t)
=
k
b( p) a( p)
u(t)
+
f ( p) a( p)
δ(t )
+
δ(t)
,
(3)
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 6
14 С. В. Арановский, А. А. Бобцов, А. А. Пыркин
где p = d / dt — оператор дифференцирования; a( p) = pn + an−1 pn−1 + ... + a1 p + a0 ,
b( p) = bm pm + ... + b1 p + b0 и f ( p) = fr pr + ... + f1 p + f0 — соответствующие полиномы, по-
лученные в результате перехода от модели вход—состояние—выход к модели вход—выход:
b( a(
p) p)
=
cT
(
pI
−
A)−1b
и
f ( p) a( p)
=
cT
( pI
−
A)−1
f
,
где I — единичная п×п-матрица. Для простоты ограничимся, как и в работе [9], исследованием ситуации, когда возму-
щение δ(t) представлено в виде гармонической функции
δ(t) = σsin(ωt + β)
с неизвестными амплитудой σ , частотой ω и начальной фазой β . Расширение предлагаемого
алгоритма для мультигармонического возмущения не является сложной задачей, однако тре-
бует большого количества вычислений. Будем считать выполненными следующие допущения относительно системы уравнений
(1)—(3) (см., например, [9]). Д о п у щ е н и е 1. Доступными для измерений являются только сигналы y(t) и u(t) .
Д о п у щ е н и е 2. Пара A , b полностью управляема, и пара A , c полностью наблюдаема.
Д о п у щ е н и е 3. Полиномы a( p) и f ( p) не имеют корней ± jω , где ω — частота воз-
мущающего воздействия.
Требуется построить наблюдатель переменных состояния x(t) объекта (1), (2), такой
что
где xˆ(t) — оценка вектора x(t) .
lim x(t) − xˆ(t) = 0 ,
t→∞
(4)
Синтез наблюдателя для объекта (1), (2) будем осуществлять в два этапа: сначала решим задачу синтеза наблюдателя возмущающего воздействия δ(t) ; далее, используя информацию
о δ(t) , сформируем оценку вектора x(t) .
Синтез наблюдателя возмущающего воздействия. Построим наблюдатель возму-
щающего воздействия δ(t) = σsin(ωt + β) , для чего потребуется идентификация параметров
σ , ω и β . Для синтеза идентификатора параметра ω воспользуемся результатами работ [8, 9].
Рассмотрим произвольный гурвицев полином γ( p) степени n . Тогда уравнение (3)
можно переписать следующим образом:
y(t)
=
a1( p) γ( p)
y(t) + k
b( γ(
p) p)
u (t )
+
f ( p) γ( p)
δ(t )
+
a( γ(
p) p)
δ(t)
,
где a1( p) = γ( p) − a( p) .
Сформируем вспомогательный сигнал
(5)
w(t )
=
y(t)
−
a1( p) γ( p)
y(t)
−
k
b( p) γ( p)
u(t) .
(6)
С учетом уравнения (5) получаем
w(t) =
y(t
)
−
a1( p) γ( p)
y (t )
−
k
b( p) γ( p)
u (t )
=
f ( p) γ( p)
δ(t)
+
a( γ(
p) p)
δ(t)
=
σ
α( p) γ( p)
sin(ωt
+
β)
,
(7)
где полином α( p) = a( p) + f ( p) .
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 6
Синтез гибридного наблюдателя для линейного объекта
15
Из уравнения (7) следует, что сигнал w(t) , в силу гурвицевости γ( p) и отсутствия у по-
линомов a( p) и f ( p) корней ± jω , является гармонической функцией с частотой ω. Поэто-
му сигнал w(t) может рассматриваться в качестве выходной переменной динамической мо-
дели вида
d
2 w(t ) dt 2
=
−ω2 w(t )
=
θ
w(t)
,
(8)
где θ = −ω2 — постоянный параметр. Согласно результатам леммы 1 из работы [10] модель сигнала w(t) можно записать в
форме
w(t) = 2ς(t) + ς(t) + θς(t) + ε y (t) ,
(9)
где ε y (t) — экспоненциально затухающая функция времени, определяемая ненулевыми на-
чальными условиями, а функция ς(t) формируется следующим образом:
ς(t)
=
(
p
1 + 1)2
w(t )
.
(10)
Для синтеза идентификатора неизвестного параметра θ введем, как и в работе [10], новую переменную — измеряемый сигнал
z(t) = ς(t) = w(t) − 2ς(t) − ς(t) .
(11)
В силу уравнений (9) и (10) справедливо равенство z(t) = θ ς(t) ,
тогда оценку zˆ(t) сигнала z(t) целесообразно сформировать в виде
zˆ(t) = θˆ(t) ς(t) ,
где θˆ(t) — настраиваемый параметр (оценка параметра θ ). Утверждение 1 [10]. Пусть параметр θˆ(t) настраивается следующим образом:
(12)
θˆ(t) = K1ς(t)(z(t) − zˆ(t)) ,
(13)
где K1 > 0 — коэффициент адаптации; сигналы ς(t) , z(t) и zˆ(t) формируются в соответствии с выражениями (10), (11) и (12), при этом сигнал w(t) формируется по правилу (6); тогда
lim θˆ(t) − θ = 0 .
t→∞
С учетом утверждения 1 оценку частоты гармонического возмущения будем рассчитывать следующим образом:
ωˆ (t) = θˆ(t) .
(14)
Однако в силу неопределенности коэффициента k усиления сигнала управления u(t)
функция
w(t )
содержит
неизвестное
слагаемое
k
b( γ(
p) p)
u(t) .
Поэтому при
реализации
алгорит-
ма (13), (14) примем сигнал u(t) = 0 . Для формирования оценки возмущения δ(t) допустим,
что фаза β = 0 . В противном случае при β ≠ 0 будем иметь задачу идентификации двух ам-
плитуд. А именно, для гармонического сигнала w(t) получим
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 6
16 С. В. Арановский, А. А. Бобцов, А. А. Пыркин
w(t )
=
α( p) γ( p)
σ sin(ωt
+
β)
=
α( p) γ( p)
[σ1
sin
ωt
+
σ2
cos ωt]
=
σ1ψ1 (t )
+
σ2ψ2 (t),
где возмущение δ(t) = σsin(ωt + β) представлено в виде суммы двух гармонических сигналов разной амплитуды, но с нулевой начальной фазой:
δ(t) = σ1 sin ωt + σ2 cos ωt ,
а физически реализуемые сигналы ψ1(t) и ψ2 (t) формируются как
ψ1(t) =
α( p) γ( p)
sin
ωt
и
ψ2 (t) =
α( p) γ( p)
cos
ωt
.
Подобное решение было представлено в работе [9]. При β = 0 оценка возмущения δ(t) формируется в виде
δˆ(t) = σˆ sin ωˆ t ,
где σˆ — настраиваемый параметр (оценка параметра σ ). Покажем справедливость следующего утверждения. Утверждение 2. Пусть параметр σˆ настраивается следующим образом:
(15)
σˆ (t) = K2ψˆ (t) ( w(t) − σˆ (t)ψˆ (t)) ,
(16)
где K2 > 0 — коэффициент адаптации, сигнал w(t) определяется выражением (6), а функция
ψˆ (t) формируется по правилу
ψˆ (t)
=
α( p) γ( p)
sin
ωˆ t
(17)
с использованием оценки частоты гармонического возмущения (13), (14). Тогда
lim σ(t) − σˆ (t) = 0 .
(18)
Таким образом, адаптивный наблюдатель возмущения, содержащий схемы формирования вспомогательных сигналов w(t) , ς(t) и z(t) — формулы (6), (10) и (11) соответственно,
настраиваемые модели (12) и (15), а также алгоритмы настройки (13), (16), обеспечивает для объекта (1), (2) асимптотическую идентификацию заранее неизвестного синусоидального возмущения.
Синтез наблюдателя состояния. Теперь, зная оценку возмущения δ(t) , построим на-
блюдатель переменных состояния x(t) для объекта управления (1), (2). Для этого воспользу-
емся результатом, полученным в работе [9]
xˆ(t) = Axˆ(t) + kˆ(t)bu(t) + f δˆ(t) + l( y(t) − yˆ(t)) ;
(19)
yˆ(t) = cT xˆ(t) + δˆ(t) ,
(20)
где xˆ(t) ∈ Rn — оценка вектора x(t) ; δˆ(t) ∈ R — оценка неизвестного возмущения, форми-
руемая по правилу (15); kˆ(t) ∈ R — оценка неизвестного коэффициента k ; yˆ(t) ∈ R — оцен-
ка переменной y(t) ; вектор постоянных коэффициентов l рассчитывается таким образом,
чтобы матрица A = A − lcT была гурвицевой. Для оценки неизвестного коэффициента k воспользуемся уравнением (5), а именно
представим (5) следующим образом:
y(t) = ξ1(t) + kξ2 (t) + ξ3 (t) ,
(21)
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 6
Синтез гибридного наблюдателя для линейного объекта
17
где
ξ1 (t )
=
a1( p) γ( p)
y (t )
,
ξ2
(t )
=
b( γ(
p) p)
u(t)
,
ξ3 (t)
=
α( p) γ( p)
δ(t)
,
и
примем
сигнал
управления
u(t) ≠ 0 .
Утверждение 3. Пусть параметр kˆ(t) настраивается следующим образом:
( )kˆ(t) = K3ξ2 (t) y(t) − ξ1(t) − ξ3 (t) − kˆξ2 (t) ,
(22)
где K3 > 0 — коэффициент адаптации.
Тогда lim k − kˆ(t) = 0 .
(23)
Введем в рассмотрение ошибку оценки состояния x = x − xˆ . Тогда, вычитая (19) из уравнения (1) с учетом выражений (2) и (20), получаем модель ошибки оценки состояния:
x = Ax + l(σ(t) − σˆ (t)) + (k − kˆ(t))u(t) .
Из последнего выражения с учетом гурвицевости матрицы A и равенств (18) и (23) следует выполнение целевого условия (4).
Заключение. Предложен гибридный алгоритм синтеза наблюдателя переменных состояния вида (13)—(17), (19), (22) для линейного объекта управления (1), (2). Реализация алгоритма предполагает переключение между режимом идентификации возмущения δ(t)
( u(t) = 0 ) и режимом оценивания неизвестного параметра k и состояния x(t) объекта (1), (2)
( u(t) ≠ 0 ).
В данной статье авторы не ответили на вопрос, когда следует осуществлять переключение режимов управления. С технической точки зрения, эта проблема, по-видимому, может быть решена различными способами: например, можно переключать режимы при стабилизации оценки параметров возмущения (частоты, амплитуды). Математическое же решение данной задачи — перспектива для продолжения исследований.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Никифоров В. О. Адаптивное и робастное управление с компенсацией возмущений. СПб: Наука, 2003.
2. Никифоров В. О. Наблюдатели внешних возмущений. Ч. 1. Объекты с известными параметрами // Автоматика и телемеханика. 2004. № 10. С. 13—23.
3. Никифоров В. О. Наблюдатели внешних возмущений. Ч. 2. Объекты с неизвестными параметрами // Там же. № 11. С. 40—52.
4. Бобцов А. А., Кремлев А. С. Синтез наблюдателя в задаче компенсации конечномерного квазигармонического возмущения // Изв. РАН. Сер. Теория и системы управления. 2005. № 3. С. 5—11.
5. Бобцов А. А. Алгоритм управления по выходу с компенсацией гармонического возмущения со смещением // Автоматика и телемеханика. 2008. № 8. С. 25—32.
6. Marino R., Santosuosso G., Tomei R. Adaptive stabilization of linear systems with outputs affected by unknown sinusoidal disturbances // Proc. of the European Control Conf. 2007, Kos, Greece, July 2—5, 2007. P. 129—134.
7. Marino R., Tomei R. Output regulation for linear minimum phase systems with unknown order exosystem // IEEE Transact. on Automatic Control. 2007. Vol. 52. P. 2000—2005.
8. Арановский С. В., Бобцов А. А., Пыркин А. А.. Адаптивный наблюдатель неизвестного синусоидального выходного возмущения для линейного объекта // Автоматика и телемеханика. 2009. № 11. С. 108—116.
9. Арановский С. В., Бобцов А. А., Никифоров В. О. Синтез наблюдателя для нелинейного объекта в условиях гармонического возмущения, приложенного к выходной переменной // Науч.-техн. вестн. СПбГУ ИТМО. 2010. № 3. C. 32—38.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 6
18 С. В. Быстров, В. В. Григорьев, О. К. Мансурова и др.
10. Арановский С. В., Бобцов А. А., Кремлев А. С., Лукьянова Г. В. Робастный алгоритм идентификации частоты синусоидального сигнала // Изв. РАН. Сер. Теория и системы управления. 2007. № 3. С. 1—6.
Станислав Владимирович Арановский Алексей Алексеевич Бобцов Антон Александрович Пыркин
Сведения об авторах — канд. техн. наук; Санкт-Петербургский государственный универ-
ситет информационных технологий, механики и оптики, кафедра систем управления и информатики; E-mail: s.aranovskiy@gmail.com — д-р техн. наук, профессор; Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра систем управления и информатики; E-mail: bobtsov@mail.ifmo.ru — канд. техн. наук; Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра систем управления и информатики; E-mail: a.pyrkin@gmail.com
Рекомендована кафедрой систем управления и информатики
Поступила в редакцию 18.01.11 г.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 6
13
УДК 681.51.015
С. В. АРАНОВСКИЙ, А. А. БОБЦОВ, А. А. ПЫРКИН
СИНТЕЗ ГИБРИДНОГО НАБЛЮДАТЕЛЯ ДЛЯ ЛИНЕЙНОГО ОБЪЕКТА В УСЛОВИЯХ ГАРМОНИЧЕСКОГО ВОЗМУЩЕНИЯ
Рассматривается задача синтеза гибридного наблюдателя переменных состояния линейного объекта управления в случае, когда измеряемый выходной сигнал и сам объект подвержены воздействию неизвестного гармонического возмущения. Решение задачи усложнено тем, что коэффициент усиления управляющего воздействия является неизвестным.
Ключевые слова: гармонический сигнал, гибридная система, наблюдатель.
Введение. Одной из актуальных задач в теории автоматического управления является
задача синтеза наблюдателя вектора переменных состояния линейного объекта, модель кото-
рого может записана в виде
x(t) = Ax(t) + kbu(t) + f δ(t) ;
(1)
y(t) = cT x(t) + δ(t) ,
(2)
где x ∈ Rn — неизмеряемый вектор переменных состояния; A , b , f и c — известные мат-
рицы и векторы постоянных коэффициентов соответствующих размерностей; k — неизвест-
ный постоянный параметр; δ(t) ∈ R — заранее неизвестное и недоступное прямым измерени-
ям гармоническое возмущение; u(t) ∈ R — сигнал управления; y(t) ∈ R — измеряемая вы-
ходная переменная.
В качестве практического примера наблюдателя может рассматриваться оптическая система траекторного слежения (телескоп), установленная на колеблющемся основании, например корабле, и наблюдающая космический объект или объект береговой линии. В этом случае качка, с одной стороны, создает возмущающий момент в приводах осей телескопа (возмущение по состоянию), а с другой стороны, приводит к колебательному движению объекта наблюдения относительно центра зрительного поля (возмущение в канале измерений).
Если возмущающее воздействие не приложено к выходу (см. уравнение (2)), то данная задача в настоящее время не представляет значительных трудностей и может быть решена, например, с использованием методов адаптивного наблюдения [1—5]. В работах [6, 7] для ограниченного класса линейных минимально-фазовых объектов рассмотрен случай устранения возмущений, действующих как на сам объект, так и на выходную переменную (см. урав-
нения (1), (2)). В работах [8, 9] получены алгоритмы оценивания возмущения δ(t) , аддитивно
приложенного к переменной y(t) , и оценивания вектора x(t) для неминимально-фазового
линейного и нелинейного объектов.
В настоящей статье в развитие результатов, представленных в работах [6—9], рассматривается случай, когда математическая модель объекта управления содержит неизвестный
коэффициент усиления сигнала управления, а возмущающее воздействие приложено как к самому объекту, так и к выходной переменной.
Постановка задачи. Рассмотрим в общем случае неминимально-фазовый линейный
объект вида (1), (2). Перепишем уравнения (1) и (2) в форме модели вход—выход:
y(t)
=
k
b( p) a( p)
u(t)
+
f ( p) a( p)
δ(t )
+
δ(t)
,
(3)
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 6
14 С. В. Арановский, А. А. Бобцов, А. А. Пыркин
где p = d / dt — оператор дифференцирования; a( p) = pn + an−1 pn−1 + ... + a1 p + a0 ,
b( p) = bm pm + ... + b1 p + b0 и f ( p) = fr pr + ... + f1 p + f0 — соответствующие полиномы, по-
лученные в результате перехода от модели вход—состояние—выход к модели вход—выход:
b( a(
p) p)
=
cT
(
pI
−
A)−1b
и
f ( p) a( p)
=
cT
( pI
−
A)−1
f
,
где I — единичная п×п-матрица. Для простоты ограничимся, как и в работе [9], исследованием ситуации, когда возму-
щение δ(t) представлено в виде гармонической функции
δ(t) = σsin(ωt + β)
с неизвестными амплитудой σ , частотой ω и начальной фазой β . Расширение предлагаемого
алгоритма для мультигармонического возмущения не является сложной задачей, однако тре-
бует большого количества вычислений. Будем считать выполненными следующие допущения относительно системы уравнений
(1)—(3) (см., например, [9]). Д о п у щ е н и е 1. Доступными для измерений являются только сигналы y(t) и u(t) .
Д о п у щ е н и е 2. Пара A , b полностью управляема, и пара A , c полностью наблюдаема.
Д о п у щ е н и е 3. Полиномы a( p) и f ( p) не имеют корней ± jω , где ω — частота воз-
мущающего воздействия.
Требуется построить наблюдатель переменных состояния x(t) объекта (1), (2), такой
что
где xˆ(t) — оценка вектора x(t) .
lim x(t) − xˆ(t) = 0 ,
t→∞
(4)
Синтез наблюдателя для объекта (1), (2) будем осуществлять в два этапа: сначала решим задачу синтеза наблюдателя возмущающего воздействия δ(t) ; далее, используя информацию
о δ(t) , сформируем оценку вектора x(t) .
Синтез наблюдателя возмущающего воздействия. Построим наблюдатель возму-
щающего воздействия δ(t) = σsin(ωt + β) , для чего потребуется идентификация параметров
σ , ω и β . Для синтеза идентификатора параметра ω воспользуемся результатами работ [8, 9].
Рассмотрим произвольный гурвицев полином γ( p) степени n . Тогда уравнение (3)
можно переписать следующим образом:
y(t)
=
a1( p) γ( p)
y(t) + k
b( γ(
p) p)
u (t )
+
f ( p) γ( p)
δ(t )
+
a( γ(
p) p)
δ(t)
,
где a1( p) = γ( p) − a( p) .
Сформируем вспомогательный сигнал
(5)
w(t )
=
y(t)
−
a1( p) γ( p)
y(t)
−
k
b( p) γ( p)
u(t) .
(6)
С учетом уравнения (5) получаем
w(t) =
y(t
)
−
a1( p) γ( p)
y (t )
−
k
b( p) γ( p)
u (t )
=
f ( p) γ( p)
δ(t)
+
a( γ(
p) p)
δ(t)
=
σ
α( p) γ( p)
sin(ωt
+
β)
,
(7)
где полином α( p) = a( p) + f ( p) .
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 6
Синтез гибридного наблюдателя для линейного объекта
15
Из уравнения (7) следует, что сигнал w(t) , в силу гурвицевости γ( p) и отсутствия у по-
линомов a( p) и f ( p) корней ± jω , является гармонической функцией с частотой ω. Поэто-
му сигнал w(t) может рассматриваться в качестве выходной переменной динамической мо-
дели вида
d
2 w(t ) dt 2
=
−ω2 w(t )
=
θ
w(t)
,
(8)
где θ = −ω2 — постоянный параметр. Согласно результатам леммы 1 из работы [10] модель сигнала w(t) можно записать в
форме
w(t) = 2ς(t) + ς(t) + θς(t) + ε y (t) ,
(9)
где ε y (t) — экспоненциально затухающая функция времени, определяемая ненулевыми на-
чальными условиями, а функция ς(t) формируется следующим образом:
ς(t)
=
(
p
1 + 1)2
w(t )
.
(10)
Для синтеза идентификатора неизвестного параметра θ введем, как и в работе [10], новую переменную — измеряемый сигнал
z(t) = ς(t) = w(t) − 2ς(t) − ς(t) .
(11)
В силу уравнений (9) и (10) справедливо равенство z(t) = θ ς(t) ,
тогда оценку zˆ(t) сигнала z(t) целесообразно сформировать в виде
zˆ(t) = θˆ(t) ς(t) ,
где θˆ(t) — настраиваемый параметр (оценка параметра θ ). Утверждение 1 [10]. Пусть параметр θˆ(t) настраивается следующим образом:
(12)
θˆ(t) = K1ς(t)(z(t) − zˆ(t)) ,
(13)
где K1 > 0 — коэффициент адаптации; сигналы ς(t) , z(t) и zˆ(t) формируются в соответствии с выражениями (10), (11) и (12), при этом сигнал w(t) формируется по правилу (6); тогда
lim θˆ(t) − θ = 0 .
t→∞
С учетом утверждения 1 оценку частоты гармонического возмущения будем рассчитывать следующим образом:
ωˆ (t) = θˆ(t) .
(14)
Однако в силу неопределенности коэффициента k усиления сигнала управления u(t)
функция
w(t )
содержит
неизвестное
слагаемое
k
b( γ(
p) p)
u(t) .
Поэтому при
реализации
алгорит-
ма (13), (14) примем сигнал u(t) = 0 . Для формирования оценки возмущения δ(t) допустим,
что фаза β = 0 . В противном случае при β ≠ 0 будем иметь задачу идентификации двух ам-
плитуд. А именно, для гармонического сигнала w(t) получим
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 6
16 С. В. Арановский, А. А. Бобцов, А. А. Пыркин
w(t )
=
α( p) γ( p)
σ sin(ωt
+
β)
=
α( p) γ( p)
[σ1
sin
ωt
+
σ2
cos ωt]
=
σ1ψ1 (t )
+
σ2ψ2 (t),
где возмущение δ(t) = σsin(ωt + β) представлено в виде суммы двух гармонических сигналов разной амплитуды, но с нулевой начальной фазой:
δ(t) = σ1 sin ωt + σ2 cos ωt ,
а физически реализуемые сигналы ψ1(t) и ψ2 (t) формируются как
ψ1(t) =
α( p) γ( p)
sin
ωt
и
ψ2 (t) =
α( p) γ( p)
cos
ωt
.
Подобное решение было представлено в работе [9]. При β = 0 оценка возмущения δ(t) формируется в виде
δˆ(t) = σˆ sin ωˆ t ,
где σˆ — настраиваемый параметр (оценка параметра σ ). Покажем справедливость следующего утверждения. Утверждение 2. Пусть параметр σˆ настраивается следующим образом:
(15)
σˆ (t) = K2ψˆ (t) ( w(t) − σˆ (t)ψˆ (t)) ,
(16)
где K2 > 0 — коэффициент адаптации, сигнал w(t) определяется выражением (6), а функция
ψˆ (t) формируется по правилу
ψˆ (t)
=
α( p) γ( p)
sin
ωˆ t
(17)
с использованием оценки частоты гармонического возмущения (13), (14). Тогда
lim σ(t) − σˆ (t) = 0 .
(18)
Таким образом, адаптивный наблюдатель возмущения, содержащий схемы формирования вспомогательных сигналов w(t) , ς(t) и z(t) — формулы (6), (10) и (11) соответственно,
настраиваемые модели (12) и (15), а также алгоритмы настройки (13), (16), обеспечивает для объекта (1), (2) асимптотическую идентификацию заранее неизвестного синусоидального возмущения.
Синтез наблюдателя состояния. Теперь, зная оценку возмущения δ(t) , построим на-
блюдатель переменных состояния x(t) для объекта управления (1), (2). Для этого воспользу-
емся результатом, полученным в работе [9]
xˆ(t) = Axˆ(t) + kˆ(t)bu(t) + f δˆ(t) + l( y(t) − yˆ(t)) ;
(19)
yˆ(t) = cT xˆ(t) + δˆ(t) ,
(20)
где xˆ(t) ∈ Rn — оценка вектора x(t) ; δˆ(t) ∈ R — оценка неизвестного возмущения, форми-
руемая по правилу (15); kˆ(t) ∈ R — оценка неизвестного коэффициента k ; yˆ(t) ∈ R — оцен-
ка переменной y(t) ; вектор постоянных коэффициентов l рассчитывается таким образом,
чтобы матрица A = A − lcT была гурвицевой. Для оценки неизвестного коэффициента k воспользуемся уравнением (5), а именно
представим (5) следующим образом:
y(t) = ξ1(t) + kξ2 (t) + ξ3 (t) ,
(21)
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 6
Синтез гибридного наблюдателя для линейного объекта
17
где
ξ1 (t )
=
a1( p) γ( p)
y (t )
,
ξ2
(t )
=
b( γ(
p) p)
u(t)
,
ξ3 (t)
=
α( p) γ( p)
δ(t)
,
и
примем
сигнал
управления
u(t) ≠ 0 .
Утверждение 3. Пусть параметр kˆ(t) настраивается следующим образом:
( )kˆ(t) = K3ξ2 (t) y(t) − ξ1(t) − ξ3 (t) − kˆξ2 (t) ,
(22)
где K3 > 0 — коэффициент адаптации.
Тогда lim k − kˆ(t) = 0 .
(23)
Введем в рассмотрение ошибку оценки состояния x = x − xˆ . Тогда, вычитая (19) из уравнения (1) с учетом выражений (2) и (20), получаем модель ошибки оценки состояния:
x = Ax + l(σ(t) − σˆ (t)) + (k − kˆ(t))u(t) .
Из последнего выражения с учетом гурвицевости матрицы A и равенств (18) и (23) следует выполнение целевого условия (4).
Заключение. Предложен гибридный алгоритм синтеза наблюдателя переменных состояния вида (13)—(17), (19), (22) для линейного объекта управления (1), (2). Реализация алгоритма предполагает переключение между режимом идентификации возмущения δ(t)
( u(t) = 0 ) и режимом оценивания неизвестного параметра k и состояния x(t) объекта (1), (2)
( u(t) ≠ 0 ).
В данной статье авторы не ответили на вопрос, когда следует осуществлять переключение режимов управления. С технической точки зрения, эта проблема, по-видимому, может быть решена различными способами: например, можно переключать режимы при стабилизации оценки параметров возмущения (частоты, амплитуды). Математическое же решение данной задачи — перспектива для продолжения исследований.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Никифоров В. О. Адаптивное и робастное управление с компенсацией возмущений. СПб: Наука, 2003.
2. Никифоров В. О. Наблюдатели внешних возмущений. Ч. 1. Объекты с известными параметрами // Автоматика и телемеханика. 2004. № 10. С. 13—23.
3. Никифоров В. О. Наблюдатели внешних возмущений. Ч. 2. Объекты с неизвестными параметрами // Там же. № 11. С. 40—52.
4. Бобцов А. А., Кремлев А. С. Синтез наблюдателя в задаче компенсации конечномерного квазигармонического возмущения // Изв. РАН. Сер. Теория и системы управления. 2005. № 3. С. 5—11.
5. Бобцов А. А. Алгоритм управления по выходу с компенсацией гармонического возмущения со смещением // Автоматика и телемеханика. 2008. № 8. С. 25—32.
6. Marino R., Santosuosso G., Tomei R. Adaptive stabilization of linear systems with outputs affected by unknown sinusoidal disturbances // Proc. of the European Control Conf. 2007, Kos, Greece, July 2—5, 2007. P. 129—134.
7. Marino R., Tomei R. Output regulation for linear minimum phase systems with unknown order exosystem // IEEE Transact. on Automatic Control. 2007. Vol. 52. P. 2000—2005.
8. Арановский С. В., Бобцов А. А., Пыркин А. А.. Адаптивный наблюдатель неизвестного синусоидального выходного возмущения для линейного объекта // Автоматика и телемеханика. 2009. № 11. С. 108—116.
9. Арановский С. В., Бобцов А. А., Никифоров В. О. Синтез наблюдателя для нелинейного объекта в условиях гармонического возмущения, приложенного к выходной переменной // Науч.-техн. вестн. СПбГУ ИТМО. 2010. № 3. C. 32—38.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 6
18 С. В. Быстров, В. В. Григорьев, О. К. Мансурова и др.
10. Арановский С. В., Бобцов А. А., Кремлев А. С., Лукьянова Г. В. Робастный алгоритм идентификации частоты синусоидального сигнала // Изв. РАН. Сер. Теория и системы управления. 2007. № 3. С. 1—6.
Станислав Владимирович Арановский Алексей Алексеевич Бобцов Антон Александрович Пыркин
Сведения об авторах — канд. техн. наук; Санкт-Петербургский государственный универ-
ситет информационных технологий, механики и оптики, кафедра систем управления и информатики; E-mail: s.aranovskiy@gmail.com — д-р техн. наук, профессор; Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра систем управления и информатики; E-mail: bobtsov@mail.ifmo.ru — канд. техн. наук; Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра систем управления и информатики; E-mail: a.pyrkin@gmail.com
Рекомендована кафедрой систем управления и информатики
Поступила в редакцию 18.01.11 г.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 6