ИСПОЛЬЗОВАНИЕ УСЛОВИЙ КАЧЕСТВЕННОЙ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ ДЛЯ ОЦЕНКИ ДИНАМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ
24
УДК 681.5
В. В. ГРИГОРЬЕВ, С. В. БЫСТРОВ, А. К. НАУМОВА, Е. Ю. РАБЫШ, Н. А. ЧЕРЕВКО
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ УСЛОВИЙ КАЧЕСТВЕННОЙ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ
ДЛЯ ОЦЕНКИ ДИНАМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ
Получены аналитические выражения оценок прямых показателей качества переходных процессов, позволяющие для непрерывных и дискретных систем, используя достаточные условия качественной экспоненциальной устойчивости, создать эффективные численные процедуры конструирования регуляторов.
Ключевые слова: экспоненциальная и качественная экспоненциальная устойчивость, оценки качества, конструирование регуляторов, непрерывные и дискретные системы.
Введение. Наиболее сильные аттрактивные свойства положения равновесия системы обеспечиваются при условии экспоненциального затухания переходных процессов. Однако экспоненциальная устойчивость гарантирует только сходимость процессов к состоянию равновесия, но никак не связана с качеством их функционирования. Это обстоятельство обусловливает необходимость определения более локальных условий и понятий устойчивости, связанных с усилением ограничений на динамические свойства системы. Для этого было введено понятие качественной экспоненциальной устойчивости, тесно связанной с такими показателями качества функционирования процессов, как оценки быстродействия и перерегулирования. Это понятие является более узким, чем понятие экспоненциальной устойчивости благодаря введению дополнительных условий, ограничивающих фактически значения скорости изменения вектора состояния системы [1—5].
Постановка задачи. Предположим, что поведение непрерывной динамической системы описывается дифференциальным уравнением вида
x (t ) = Fx (t ) ,
(1)
а поведение дискретной системы — разностным уравнением вида
x (m +1) = Fx (m) ,
(2)
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 6
Использование условий качественной экспоненциальной устойчивости
25
где x ∈ Rn — вектор состояния динамической системы; x (0) = x0 ∈ Rn — вектор начальных
состояний; F — n × n -матрица описания системы; t ≥ 0 — время, m = 0, 1, 2 ... — номер ин-
тервала дискретности. Приведем определения качественной экспоненциальной устойчивости для непрерывных
и дискретных динамических систем [2]. О п р е д е л е н и е 1 . Непрерывная система (1) в положении равновесия x = 0 называет-
ся качественно экспоненциально (β, r ) устойчивой, если для любых траекторий движения
системы, определяемых произвольными начальными условиями x0 ∈ Rn , существуют такие
параметры ρ (ρ ≥ 1) , r (r > 0) и β (β + r < 0) , при которых в любой момент времени t ≥ 0
выполняется условие
( )x (t ) − eβt x0 ≤ ρ e[β+r]t − eβt ⋅ x0 ,
(3)
где норма вектора задается соотношением
∑x
⎡n =⎢
xi
2
⎤1/ ⎥
2
,
⎢⎣ i=1 ⎦⎥
(4)
здесь xi — i-я координата вектора состояния x . О п р е д е л е н и е 2 . Дискретная система (2) в положении равновесия x = 0 называется
качественно экспоненциально (β, r ) устойчивой, если для любых траекторий движения сис-
темы, определяемых произвольными начальными условиями x0 ∈ Rn , существуют такие па-
раметры ρ (ρ ≥ 1) , r (r > 0) и β (0 ≤ β < 1 − r ) , при которых для любого номера интервала
дискретности m ≥ 0 выполняется условие
( )x (m) − βm x0 ≤ ρ (β + r )m − βm ⋅ x0 .
(5)
Параметры r и β имеют следующий смысл: параметр β подобен коэффициенту сноса
и определяет среднюю скорость сходимости траекторий движения к положению равновесия, а параметр r подобен коэффициенту диффузии и определяет отклонения траекторий движения от усредненной траектории.
Из определений 1 и 2 непосредственно следуют оценки динамических показателей качества систем. Отметим, что эти оценки вводятся для оценочных трубок, определяемых условиями качественной экспоненциальной устойчивости, в которых и расположены все траектории движения системы.
Для оценки быстродействия непрерывных и дискретных динамических систем соответственно введем в рассмотрение параметр δп , характеризующий некоторую относительную
δп -окрестность (δп ≤ 0, 05) положения равновесия:
x (t ) ≤ δп ⋅ x0 , t ≥ tп ;
(6)
x (m) ≤ δп ⋅ x0 , m ≥ tп T ,
(7)
а временем переходного процесса непрерывных и дискретных динамических систем соответственно будем называть такой момент времени tп , начиная с которого все траектории движе-
ния системы, определяемые начальными условиями x0 , лежат в заданной δп -окрестности
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 6
26 В. В. Григорьев, С. В. Быстров, А. К. Наумова и др.
установившегося значения для любого момента времени t ≥ tп , т.е. выполняются соотношения (6) и (7) соответственно, где Т — интервал квантования.
Под оценкой значения перерегулирования непрерывных и дискретных динамических систем будем понимать величины σ , определяемые соответственно уравнениями
σ
=
−
mint∈[0, tп ] x0
xм (t)
;
σ
=
− minm∈[0, tп x0
T]
xм (m)
,
(8) (9)
где xм — миноранта x , т.е. функция, ограничивающая снизу текущие значения нормы векто-
ра состояния, так что xм ≤ x ; перерегулирование косвенно характеризует колебательность
процессов в динамической системе. Ставится задача на основе достаточных условий качественной экспоненциальной ус-
тойчивости (3) и (5) для непрерывных и дискретных динамических систем, задаваемых уравнениями (1) и (2) соответственно, определения оценок динамических показателей качества (времени переходного процесса и перерегулирования), которые позволят создать эффективные процедуры аналитического конструирования регуляторов
Основные результаты. Для оценки динамических процессов будем использовать квадратичную функцию Ляпунова вида
V ( x) = xT Px ,
(10)
где P = PT — положительно-определенная n × n -матрица. Для этой функции справедливо соотношение Рэлея:
с1 x 2 ≤ V ( x) ≤ с2 x 2 ,
(11)
где с1 и с2 — минимальное и максимальное собственные числа матрицы P соответственно.
Теорема 1. Непрерывная система (1) качественно экспоненциально (β, r ) устойчива в
положении равновесия x = 0 , если для любых траекторий движения системы, определяемых произвольными начальными условиями x0 ∈ Rn , существуют такая квадратичная функция
Ляпунова V ( x (t )) и такие параметры r (r > 0) и β (β + r < 0) , при которых в любой момент
времени t ≥ 0 выполняется условие
V
⎛ ⎜⎝
d dt
x(t)
−
βx
(
t
)
⎞ ⎠⎟
≤
r 2V
(x(t))
.
(12)
Теорема 2. Дискретная система (2) качественно экспоненциально (β, r ) устойчива в по-
ложении равновесия x = 0 , если для любых траекторий движения системы, определяемых произвольными начальными условиями x0 ∈ Rn , существуют такая квадратичная функция
Ляпунова V ( x (t )) и такие параметры r (r > 0) и β (0 ≤ β < 1 − r ) , при которых для любого
номера интервала дискретности m ≥ 0 выполняется условие
V ( x (m +1) − βx (m)) ≤ r2V ( x (m)) .
(13)
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 6
Использование условий качественной экспоненциальной устойчивости Из теорем 1 и 2 следуют оценки (3) и (5) соответственно [3], при этом
27
ρ = с2 с1 .
(14)
Утверждение 1. Оценки показателей качества непрерывных систем имеют следующий
вид:
tп
=
β
1 +
r
ln
⎛ ⎜ ⎝
δп ρ
⎞ ⎟ ⎠
,
(15)
( )σ
=
⎛
ρe⎜⎝
β+r r
⎞ ⎟⎠
ln⎛⎝⎜⎜
(ρ+1)β ρ(β+r )
⎞ ⎠⎟⎟
−
ρ+1
⎛
e⎝⎜
β r
⎞ ⎟⎠
ln⎛⎝⎜⎜
(ρ+1)β ρ(β+r )
⎞ ⎟⎟⎠
.
(16)
Утверждение 2. Оценки показателей качества дискретных систем имеют следующий вид:
tп
=T
log(β+r )
⎛ ⎜ ⎝
δп ρ
⎞ ⎟
,
⎠
σ = ρ(β + r )a − (ρ + 1)βa ,
(17) (18)
где
a
=
log( (β+ r )
r)
⎛ ⎜⎝⎜
(ρ + 1) ln β ρ ln (β + r )
⎞ ⎟⎠⎟
.
Доказательство утверждений 1 и 2 см. в Приложении.
Пример. При заданных параметрах σ = 0, 05, tп = 1, δп = 0, 05, ρ = 1 исходя из условий
качественной экспоненциальной (β, r ) устойчивости задаются оценочные трубки, вид кото-
рых представлен на рисунке. Все траектории системы, исходящие из области начальных значений вектора состояния, лежат внутри оценочных трубок.
х, о.е.
||x0||
||x|| 0,5
tп
δ||x0||
0
–δ||x0||
δ
0 0,5 1 t, с
Заключение. Использование полученных аналитических выражений оценок динамиче-
ских показателей качества непрерывных и дискретных динамических систем — времени
переходных процессов и перерегулирования — совместно с достаточными условиями качест-
венной экспоненциальной устойчивости позволяет создать эффективные процедуры аналити-
ческого конструирования регуляторов.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 6
28 В. В. Григорьев, С. В. Быстров, А. К. Наумова и др.
ПРИЛОЖЕНИЕ
Доказательство утверждения 1. Согласно определениям условием качественной экс-
поненциальной (β, r ) устойчивости (3) непрерывных систем является соотношение
( )x (t ) − eβt x0 ≤ ρ e[β+r]t − eβt ⋅ x0 .
(19)
В соответствии со свойствами нормы
x (t ) − eβt x0 ≤ x (t ) − eβt x0 ; eβt x0 = eβt x0 ,
откуда, учитывая условие (19), получаем
( )x (t ) − eβt x0 ≤ ρ e[β+r]t − eβt ⋅ x0 .
Отсюда следуют неравенства
( )x (t ) − eβt x0 ≤ ρ e[β+r]t − eβt ⋅ x0 ;
(20)
( )x (t ) − eβt x0 ≥ −ρ e[β+r]t − eβt ⋅ x0 ,
(21)
получив из которых мажоранту и миноранту соответственно, с учетом условия (6) имеем
( )δп − eβt = ρ e[β+r]t − eβt ,
(22)
( )−δп − eβt = −ρ e[β+r]t − eβt .
(23)
Решив уравнение (22) относительно eβt и подставив его в (23), получим
tп
=
t
=
1 β+
r
ln
⎛ ⎜
⎝
δп ρ
⎞ ⎟
.
⎠
Рассмотрим миноранту из неравенства (21):
( )mint xм (t) − eβtσ x0 = −ρ e[β+r]tσ − eβtσ ⋅ x0 ,
(24) (25)
где
tσ
=
1 r
ln
⎛ ⎜⎝⎜
(ρ +1)β ρ(β + r)
⎞ ⎟⎠⎟
(26)
по сути является временем экстремума функции (25), т.е. временем перерегулирования сис-
темы. Подставив уравнения (25) и (26) в выражение (8), получим
( )σ
=
⎛ β+r
ρe⎜⎝ r
⎞ ⎟⎠
ln⎛⎜⎜⎝
(ρ+1)β ρ(β+r )
⎞ ⎟⎟⎠
−
ρ+1
⎛
e⎜⎝
β r
⎞ ⎟⎠
ln⎛⎜⎜⎝
(ρ+1)β ρ(β+r )
⎞ ⎟⎟⎠
.
(27)
Равенства (24), (27) соответствуют равенствам (15), (16), что и требовалось доказать. Доказательство утверждения 2. Согласно определениям условием качественной экс-
поненциальной (β, r ) устойчивости (3) для дискретных систем является соотношение
( )x(m)−βm x0 ≤ρ (β+r)m −βm ⋅ x0 .
(28)
В соответствии со свойствами нормы
x(m) − βm x0 ≤ x(m)−βm x0 ; βm x0 =βm x0 при β≥0 ,
откуда, учитывая условие (28), получаем
( )x(m) −βm x0 ≤ρ (β+r)m −βm ⋅ x0 .
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 6
Использование условий качественной экспоненциальной устойчивости
29
Отсюда следуют неравенства
( )x(m) −βm x0 ≤ρ (β+r)m −βm ⋅ x0 ; ( )x(m) −βm x0 ≥−ρ (β+r)m −βm ⋅ x0 ,
(29) (30)
получив из которых мажоранту и миноранту соответственно, с учетом условия (6) имеем
( )δп −βm =ρ (β+r)m −βm ,
(31)
( )−δп −βm =−ρ (β+r)m −βm .
(32)
Решив уравнение (31) относительно βm и подставив его в (32), с учетом t =mT получим
tп
=
t
=T
⋅log(β+r)
⎜⎜⎛⎝⎜
δп ρ
⎠⎞⎟⎟⎟
.
(33)
Рассмотрим миноранту из неравенства (30):
( )minm xм (m)−βm x0 =−ρ (β+r)mσ −βmσ ⋅ x0 ,
(34)
где
mσ =log((β+r) r) ⎜⎜⎜⎛⎜⎝ρ(ρln+(1β)+lnrβ)⎠⎞⎟⎟⎟⎟= a
(35)
по сути является временем экстремума функции (34), т.е. временем перерегулирования сис-
темы. Подставив уравнения (34) и (35) в выражение (9), получим
σ=ρ(β+r)a −(ρ+1)βa .
(36)
Равенства (33), (36) соответствуют равенствам (17), (18), что и требовалось доказать.
Исследования по рассматриваемой тематике выполнены при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, грант 09-08-00857-а.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Григорьев В. В., Дроздов В. Н., Лаврентьев В. В., Ушаков А. В. Синтез дискретных регуляторов при помощи ЭВМ. Л: Машиностроение, 1983. 245 с.
2. Григорьев В. В. Качественная экспоненциальная устойчивость непрерывных и дискретных динамических систем // Изв. вузов. Приборостроение. 2000. Т. 43, № 1—2.
3. Бойков В. И., Григорьев В. В., Мансурова О. К., Михайлов С. В. Качественная экспоненциальная стохастическая устойчивость дискретных систем // Там же. 1998. Т. 41, № 7. С. 5—8.
4. Бобцов А. А., Быстров С. В., Григорьев В. В. и др. Качественная устойчивость и неустойчивость непрерывных и дискретных динамических систем // Тр. 2-й Рос. мультиконференции по проблемам управления. СПб: ЦНИИ „Электроприбор“, 2008.
5. Григорьев В. В. Качественная экспоненциальная устойчивость динамических систем // Тез. Междунар. конф. „Нелинейные науки на рубеже тысячелетий“. СПб: СПбГУ ИТМО, 1999.
Сведения об авторах
Валерий Владимирович Григорьев — д-р техн. наук, профессор; Санкт-Петербургский государственный
университет информационных технологий, механики и оптики, ка-
федра систем управления и информатики; E-mail: grigvv@yandex.ru
Сергей Владимирович Быстров
— канд. техн. наук, доцент; Санкт-Петербургский государственный
университет информационных технологий, механики и оптики, ка-
федра систем управления и информатики;
E-mail: sbystrov@mail.ru
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 6
30 В. Ф. Антонов, С. В. Быстров, В. В. Григорьев
Алла Константиновна Наумова Евгений Юрьевич Рабыш
Николай Александрович Черевко
— канд. техн. наук, доцент; Северо-Западный государственный заочный технический университет, Санкт-Петербург
— аспирант; Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра систем управления и информатики; E-mail: Rabysh@yandex.com
— аспирант; Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра систем управления и информатики; E-mail: epostbox1@mail.ru
Рекомендована кафедрой систем управления и информатики СПбГУ ИТМО
Поступила в редакцию 18.01.11 г.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 6
УДК 681.5
В. В. ГРИГОРЬЕВ, С. В. БЫСТРОВ, А. К. НАУМОВА, Е. Ю. РАБЫШ, Н. А. ЧЕРЕВКО
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ УСЛОВИЙ КАЧЕСТВЕННОЙ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ
ДЛЯ ОЦЕНКИ ДИНАМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ
Получены аналитические выражения оценок прямых показателей качества переходных процессов, позволяющие для непрерывных и дискретных систем, используя достаточные условия качественной экспоненциальной устойчивости, создать эффективные численные процедуры конструирования регуляторов.
Ключевые слова: экспоненциальная и качественная экспоненциальная устойчивость, оценки качества, конструирование регуляторов, непрерывные и дискретные системы.
Введение. Наиболее сильные аттрактивные свойства положения равновесия системы обеспечиваются при условии экспоненциального затухания переходных процессов. Однако экспоненциальная устойчивость гарантирует только сходимость процессов к состоянию равновесия, но никак не связана с качеством их функционирования. Это обстоятельство обусловливает необходимость определения более локальных условий и понятий устойчивости, связанных с усилением ограничений на динамические свойства системы. Для этого было введено понятие качественной экспоненциальной устойчивости, тесно связанной с такими показателями качества функционирования процессов, как оценки быстродействия и перерегулирования. Это понятие является более узким, чем понятие экспоненциальной устойчивости благодаря введению дополнительных условий, ограничивающих фактически значения скорости изменения вектора состояния системы [1—5].
Постановка задачи. Предположим, что поведение непрерывной динамической системы описывается дифференциальным уравнением вида
x (t ) = Fx (t ) ,
(1)
а поведение дискретной системы — разностным уравнением вида
x (m +1) = Fx (m) ,
(2)
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 6
Использование условий качественной экспоненциальной устойчивости
25
где x ∈ Rn — вектор состояния динамической системы; x (0) = x0 ∈ Rn — вектор начальных
состояний; F — n × n -матрица описания системы; t ≥ 0 — время, m = 0, 1, 2 ... — номер ин-
тервала дискретности. Приведем определения качественной экспоненциальной устойчивости для непрерывных
и дискретных динамических систем [2]. О п р е д е л е н и е 1 . Непрерывная система (1) в положении равновесия x = 0 называет-
ся качественно экспоненциально (β, r ) устойчивой, если для любых траекторий движения
системы, определяемых произвольными начальными условиями x0 ∈ Rn , существуют такие
параметры ρ (ρ ≥ 1) , r (r > 0) и β (β + r < 0) , при которых в любой момент времени t ≥ 0
выполняется условие
( )x (t ) − eβt x0 ≤ ρ e[β+r]t − eβt ⋅ x0 ,
(3)
где норма вектора задается соотношением
∑x
⎡n =⎢
xi
2
⎤1/ ⎥
2
,
⎢⎣ i=1 ⎦⎥
(4)
здесь xi — i-я координата вектора состояния x . О п р е д е л е н и е 2 . Дискретная система (2) в положении равновесия x = 0 называется
качественно экспоненциально (β, r ) устойчивой, если для любых траекторий движения сис-
темы, определяемых произвольными начальными условиями x0 ∈ Rn , существуют такие па-
раметры ρ (ρ ≥ 1) , r (r > 0) и β (0 ≤ β < 1 − r ) , при которых для любого номера интервала
дискретности m ≥ 0 выполняется условие
( )x (m) − βm x0 ≤ ρ (β + r )m − βm ⋅ x0 .
(5)
Параметры r и β имеют следующий смысл: параметр β подобен коэффициенту сноса
и определяет среднюю скорость сходимости траекторий движения к положению равновесия, а параметр r подобен коэффициенту диффузии и определяет отклонения траекторий движения от усредненной траектории.
Из определений 1 и 2 непосредственно следуют оценки динамических показателей качества систем. Отметим, что эти оценки вводятся для оценочных трубок, определяемых условиями качественной экспоненциальной устойчивости, в которых и расположены все траектории движения системы.
Для оценки быстродействия непрерывных и дискретных динамических систем соответственно введем в рассмотрение параметр δп , характеризующий некоторую относительную
δп -окрестность (δп ≤ 0, 05) положения равновесия:
x (t ) ≤ δп ⋅ x0 , t ≥ tп ;
(6)
x (m) ≤ δп ⋅ x0 , m ≥ tп T ,
(7)
а временем переходного процесса непрерывных и дискретных динамических систем соответственно будем называть такой момент времени tп , начиная с которого все траектории движе-
ния системы, определяемые начальными условиями x0 , лежат в заданной δп -окрестности
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 6
26 В. В. Григорьев, С. В. Быстров, А. К. Наумова и др.
установившегося значения для любого момента времени t ≥ tп , т.е. выполняются соотношения (6) и (7) соответственно, где Т — интервал квантования.
Под оценкой значения перерегулирования непрерывных и дискретных динамических систем будем понимать величины σ , определяемые соответственно уравнениями
σ
=
−
mint∈[0, tп ] x0
xм (t)
;
σ
=
− minm∈[0, tп x0
T]
xм (m)
,
(8) (9)
где xм — миноранта x , т.е. функция, ограничивающая снизу текущие значения нормы векто-
ра состояния, так что xм ≤ x ; перерегулирование косвенно характеризует колебательность
процессов в динамической системе. Ставится задача на основе достаточных условий качественной экспоненциальной ус-
тойчивости (3) и (5) для непрерывных и дискретных динамических систем, задаваемых уравнениями (1) и (2) соответственно, определения оценок динамических показателей качества (времени переходного процесса и перерегулирования), которые позволят создать эффективные процедуры аналитического конструирования регуляторов
Основные результаты. Для оценки динамических процессов будем использовать квадратичную функцию Ляпунова вида
V ( x) = xT Px ,
(10)
где P = PT — положительно-определенная n × n -матрица. Для этой функции справедливо соотношение Рэлея:
с1 x 2 ≤ V ( x) ≤ с2 x 2 ,
(11)
где с1 и с2 — минимальное и максимальное собственные числа матрицы P соответственно.
Теорема 1. Непрерывная система (1) качественно экспоненциально (β, r ) устойчива в
положении равновесия x = 0 , если для любых траекторий движения системы, определяемых произвольными начальными условиями x0 ∈ Rn , существуют такая квадратичная функция
Ляпунова V ( x (t )) и такие параметры r (r > 0) и β (β + r < 0) , при которых в любой момент
времени t ≥ 0 выполняется условие
V
⎛ ⎜⎝
d dt
x(t)
−
βx
(
t
)
⎞ ⎠⎟
≤
r 2V
(x(t))
.
(12)
Теорема 2. Дискретная система (2) качественно экспоненциально (β, r ) устойчива в по-
ложении равновесия x = 0 , если для любых траекторий движения системы, определяемых произвольными начальными условиями x0 ∈ Rn , существуют такая квадратичная функция
Ляпунова V ( x (t )) и такие параметры r (r > 0) и β (0 ≤ β < 1 − r ) , при которых для любого
номера интервала дискретности m ≥ 0 выполняется условие
V ( x (m +1) − βx (m)) ≤ r2V ( x (m)) .
(13)
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 6
Использование условий качественной экспоненциальной устойчивости Из теорем 1 и 2 следуют оценки (3) и (5) соответственно [3], при этом
27
ρ = с2 с1 .
(14)
Утверждение 1. Оценки показателей качества непрерывных систем имеют следующий
вид:
tп
=
β
1 +
r
ln
⎛ ⎜ ⎝
δп ρ
⎞ ⎟ ⎠
,
(15)
( )σ
=
⎛
ρe⎜⎝
β+r r
⎞ ⎟⎠
ln⎛⎝⎜⎜
(ρ+1)β ρ(β+r )
⎞ ⎠⎟⎟
−
ρ+1
⎛
e⎝⎜
β r
⎞ ⎟⎠
ln⎛⎝⎜⎜
(ρ+1)β ρ(β+r )
⎞ ⎟⎟⎠
.
(16)
Утверждение 2. Оценки показателей качества дискретных систем имеют следующий вид:
tп
=T
log(β+r )
⎛ ⎜ ⎝
δп ρ
⎞ ⎟
,
⎠
σ = ρ(β + r )a − (ρ + 1)βa ,
(17) (18)
где
a
=
log( (β+ r )
r)
⎛ ⎜⎝⎜
(ρ + 1) ln β ρ ln (β + r )
⎞ ⎟⎠⎟
.
Доказательство утверждений 1 и 2 см. в Приложении.
Пример. При заданных параметрах σ = 0, 05, tп = 1, δп = 0, 05, ρ = 1 исходя из условий
качественной экспоненциальной (β, r ) устойчивости задаются оценочные трубки, вид кото-
рых представлен на рисунке. Все траектории системы, исходящие из области начальных значений вектора состояния, лежат внутри оценочных трубок.
х, о.е.
||x0||
||x|| 0,5
tп
δ||x0||
0
–δ||x0||
δ
0 0,5 1 t, с
Заключение. Использование полученных аналитических выражений оценок динамиче-
ских показателей качества непрерывных и дискретных динамических систем — времени
переходных процессов и перерегулирования — совместно с достаточными условиями качест-
венной экспоненциальной устойчивости позволяет создать эффективные процедуры аналити-
ческого конструирования регуляторов.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 6
28 В. В. Григорьев, С. В. Быстров, А. К. Наумова и др.
ПРИЛОЖЕНИЕ
Доказательство утверждения 1. Согласно определениям условием качественной экс-
поненциальной (β, r ) устойчивости (3) непрерывных систем является соотношение
( )x (t ) − eβt x0 ≤ ρ e[β+r]t − eβt ⋅ x0 .
(19)
В соответствии со свойствами нормы
x (t ) − eβt x0 ≤ x (t ) − eβt x0 ; eβt x0 = eβt x0 ,
откуда, учитывая условие (19), получаем
( )x (t ) − eβt x0 ≤ ρ e[β+r]t − eβt ⋅ x0 .
Отсюда следуют неравенства
( )x (t ) − eβt x0 ≤ ρ e[β+r]t − eβt ⋅ x0 ;
(20)
( )x (t ) − eβt x0 ≥ −ρ e[β+r]t − eβt ⋅ x0 ,
(21)
получив из которых мажоранту и миноранту соответственно, с учетом условия (6) имеем
( )δп − eβt = ρ e[β+r]t − eβt ,
(22)
( )−δп − eβt = −ρ e[β+r]t − eβt .
(23)
Решив уравнение (22) относительно eβt и подставив его в (23), получим
tп
=
t
=
1 β+
r
ln
⎛ ⎜
⎝
δп ρ
⎞ ⎟
.
⎠
Рассмотрим миноранту из неравенства (21):
( )mint xм (t) − eβtσ x0 = −ρ e[β+r]tσ − eβtσ ⋅ x0 ,
(24) (25)
где
tσ
=
1 r
ln
⎛ ⎜⎝⎜
(ρ +1)β ρ(β + r)
⎞ ⎟⎠⎟
(26)
по сути является временем экстремума функции (25), т.е. временем перерегулирования сис-
темы. Подставив уравнения (25) и (26) в выражение (8), получим
( )σ
=
⎛ β+r
ρe⎜⎝ r
⎞ ⎟⎠
ln⎛⎜⎜⎝
(ρ+1)β ρ(β+r )
⎞ ⎟⎟⎠
−
ρ+1
⎛
e⎜⎝
β r
⎞ ⎟⎠
ln⎛⎜⎜⎝
(ρ+1)β ρ(β+r )
⎞ ⎟⎟⎠
.
(27)
Равенства (24), (27) соответствуют равенствам (15), (16), что и требовалось доказать. Доказательство утверждения 2. Согласно определениям условием качественной экс-
поненциальной (β, r ) устойчивости (3) для дискретных систем является соотношение
( )x(m)−βm x0 ≤ρ (β+r)m −βm ⋅ x0 .
(28)
В соответствии со свойствами нормы
x(m) − βm x0 ≤ x(m)−βm x0 ; βm x0 =βm x0 при β≥0 ,
откуда, учитывая условие (28), получаем
( )x(m) −βm x0 ≤ρ (β+r)m −βm ⋅ x0 .
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 6
Использование условий качественной экспоненциальной устойчивости
29
Отсюда следуют неравенства
( )x(m) −βm x0 ≤ρ (β+r)m −βm ⋅ x0 ; ( )x(m) −βm x0 ≥−ρ (β+r)m −βm ⋅ x0 ,
(29) (30)
получив из которых мажоранту и миноранту соответственно, с учетом условия (6) имеем
( )δп −βm =ρ (β+r)m −βm ,
(31)
( )−δп −βm =−ρ (β+r)m −βm .
(32)
Решив уравнение (31) относительно βm и подставив его в (32), с учетом t =mT получим
tп
=
t
=T
⋅log(β+r)
⎜⎜⎛⎝⎜
δп ρ
⎠⎞⎟⎟⎟
.
(33)
Рассмотрим миноранту из неравенства (30):
( )minm xм (m)−βm x0 =−ρ (β+r)mσ −βmσ ⋅ x0 ,
(34)
где
mσ =log((β+r) r) ⎜⎜⎜⎛⎜⎝ρ(ρln+(1β)+lnrβ)⎠⎞⎟⎟⎟⎟= a
(35)
по сути является временем экстремума функции (34), т.е. временем перерегулирования сис-
темы. Подставив уравнения (34) и (35) в выражение (9), получим
σ=ρ(β+r)a −(ρ+1)βa .
(36)
Равенства (33), (36) соответствуют равенствам (17), (18), что и требовалось доказать.
Исследования по рассматриваемой тематике выполнены при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, грант 09-08-00857-а.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Григорьев В. В., Дроздов В. Н., Лаврентьев В. В., Ушаков А. В. Синтез дискретных регуляторов при помощи ЭВМ. Л: Машиностроение, 1983. 245 с.
2. Григорьев В. В. Качественная экспоненциальная устойчивость непрерывных и дискретных динамических систем // Изв. вузов. Приборостроение. 2000. Т. 43, № 1—2.
3. Бойков В. И., Григорьев В. В., Мансурова О. К., Михайлов С. В. Качественная экспоненциальная стохастическая устойчивость дискретных систем // Там же. 1998. Т. 41, № 7. С. 5—8.
4. Бобцов А. А., Быстров С. В., Григорьев В. В. и др. Качественная устойчивость и неустойчивость непрерывных и дискретных динамических систем // Тр. 2-й Рос. мультиконференции по проблемам управления. СПб: ЦНИИ „Электроприбор“, 2008.
5. Григорьев В. В. Качественная экспоненциальная устойчивость динамических систем // Тез. Междунар. конф. „Нелинейные науки на рубеже тысячелетий“. СПб: СПбГУ ИТМО, 1999.
Сведения об авторах
Валерий Владимирович Григорьев — д-р техн. наук, профессор; Санкт-Петербургский государственный
университет информационных технологий, механики и оптики, ка-
федра систем управления и информатики; E-mail: grigvv@yandex.ru
Сергей Владимирович Быстров
— канд. техн. наук, доцент; Санкт-Петербургский государственный
университет информационных технологий, механики и оптики, ка-
федра систем управления и информатики;
E-mail: sbystrov@mail.ru
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 6
30 В. Ф. Антонов, С. В. Быстров, В. В. Григорьев
Алла Константиновна Наумова Евгений Юрьевич Рабыш
Николай Александрович Черевко
— канд. техн. наук, доцент; Северо-Западный государственный заочный технический университет, Санкт-Петербург
— аспирант; Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра систем управления и информатики; E-mail: Rabysh@yandex.com
— аспирант; Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра систем управления и информатики; E-mail: epostbox1@mail.ru
Рекомендована кафедрой систем управления и информатики СПбГУ ИТМО
Поступила в редакцию 18.01.11 г.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2011. Т. 54, № 6