АНАЛИТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ТЕМПЕРАТУР ИЗОТЕРМИЧЕСКОГО ОБЪЕКТА В УСЛОВИЯХ ЕГО ЛУЧИСТОГО ТЕПЛООБМЕНА С ОКРУЖАЮЩЕЙ СРЕДОЙ
ТЕПЛОВЫЕ РЕЖИМЫ И НАДЕЖНОСТЬ ПРИБОРОВ И СИСТЕМ
УДК 621.373.526
Е. В. ЛАПОВОК, С. И. ХАНКОВ
АНАЛИТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ТЕМПЕРАТУР ИЗОТЕРМИЧЕСКОГО ОБЪЕКТА В УСЛОВИЯХ ЕГО ЛУЧИСТОГО ТЕПЛООБМЕНА С ОКРУЖАЮЩЕЙ СРЕДОЙ
Приведено аналитическое описание нестационарных температур изотермического объекта выпуклой формы при его нагреве собственным источником тепловыделений в среде с постоянной температурой и обоснована невозможность аналитического описания процесса охлаждения.
Ключевые слова: лучистый теплообмен, нагрев, охлаждение, безразмерные параметры, аналитическое описание.
Введение. Известно, что процесс лучистого теплообмена является существенно нели-
нейным и только при установлении стационарного теплового режима может характеризо-
ваться определенным значением коэффициента лучистого теплообмена [1—3]. Для неста-
ционарного теплового режима возможность линеаризации уравнений лучистого теплообмена
ограничена зависимостью коэффициента теплообмена от температуры. Актуальность полу-
чения аналитического решения с оценкой его погрешности определяется потребностями
практики. Особо можно выделить проблемы исследований основных закономерностей фор-
мирования тепловых режимов космических объектов [4] и базируемых на космических аппа-
ратах приборов [5, 6]. Для этих объектов теплообмен с внешней средой осуществляется ис-
ключительно излучением.
Цель исследований, описываемых в настоящей статье, — получение аналитических
формул для расчетов нестационарных температур изотермических объектов и установление
границ применимости формул, выявление условий различия или равенства темпов и скоростей
нагрева и охлаждения, а также разработка методик оценки общей длительности переходных
тепловых режимов объектов, находящихся в условиях теплообмена только излучением.
Математическая модель лучистого теплообмена. Рассмотрим объект из материала с
высокой теплопроводностью, нагреваемый однородным источником тепловыделений посто-
янной мощности в окружающей среде с постоянной температурой. Уравнение нестационар-
ного теплообмена объекта при отсутствии иных, кроме лучистых, механизмов теплообмена
(конвекции и кондукции) имеет вид
( )сγV
dT dτ
+ εσS
T 4 −Tс4р
=P,
(1)
где с — удельная теплоемкость материала объекта, Дж/кг⋅К; γ — его плотность, кг/м3; V —
объем объекта, м3; S — площадь поверхности объекта, м2; ε — приведенная степень черноты;
σ — постоянная Стефана — Больцмана, Вт/м2⋅К4; Т — температура объекта, К; Тср — темпе-
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2012. Т. 55, № 3
Аналитическое описание нестационарных температур изотермического объекта
57
ратура окружающей среды, К; τ — время процесса нагрева или охлаждения; Р — мощность
источников тепла (объемных или поверхностных), Вт.
Приведем уравнение (1) к безразмерному виду, считая, что среда абсолютно черная (как
космическое пространство):
dθ dt
+
θ4
=1+
θ0
;
(2)
T θ = Tср
;
θ0
=
P qS
;
q = εσTс4р ;
t = M τ;
M
=
q cγLTср
;
L
=
V S
,
где θ — относительная температура объекта; t — безразмерное время; q — имеет размерность удельного поверхностного потока, Вт/м2; М — имеет размерность темпа, с–1, [1]; L —
характерный размер объекта, м.
Максимальная температура Tm объекта, соответствующая стационарному значению при включенных источниках тепла, определяется из уравнения (2) как
Тm = θmTср , θm = 4 1+ θ0 .
(3)
Представим уравнение (2) в виде
dU dt
+ ΩU
=
θ0 ;
(4)
U
=
θ −1 =
T − Tср Tср
,
( )Ω
=
θ4 −1 θ −1
=
(θ
+ 1)(θ2
+ 1)
=
(U
+
2)
U 2 + 2U + 2
.
В случае малых перегревов, когда Т – Тср
УДК 621.373.526
Е. В. ЛАПОВОК, С. И. ХАНКОВ
АНАЛИТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ТЕМПЕРАТУР ИЗОТЕРМИЧЕСКОГО ОБЪЕКТА В УСЛОВИЯХ ЕГО ЛУЧИСТОГО ТЕПЛООБМЕНА С ОКРУЖАЮЩЕЙ СРЕДОЙ
Приведено аналитическое описание нестационарных температур изотермического объекта выпуклой формы при его нагреве собственным источником тепловыделений в среде с постоянной температурой и обоснована невозможность аналитического описания процесса охлаждения.
Ключевые слова: лучистый теплообмен, нагрев, охлаждение, безразмерные параметры, аналитическое описание.
Введение. Известно, что процесс лучистого теплообмена является существенно нели-
нейным и только при установлении стационарного теплового режима может характеризо-
ваться определенным значением коэффициента лучистого теплообмена [1—3]. Для неста-
ционарного теплового режима возможность линеаризации уравнений лучистого теплообмена
ограничена зависимостью коэффициента теплообмена от температуры. Актуальность полу-
чения аналитического решения с оценкой его погрешности определяется потребностями
практики. Особо можно выделить проблемы исследований основных закономерностей фор-
мирования тепловых режимов космических объектов [4] и базируемых на космических аппа-
ратах приборов [5, 6]. Для этих объектов теплообмен с внешней средой осуществляется ис-
ключительно излучением.
Цель исследований, описываемых в настоящей статье, — получение аналитических
формул для расчетов нестационарных температур изотермических объектов и установление
границ применимости формул, выявление условий различия или равенства темпов и скоростей
нагрева и охлаждения, а также разработка методик оценки общей длительности переходных
тепловых режимов объектов, находящихся в условиях теплообмена только излучением.
Математическая модель лучистого теплообмена. Рассмотрим объект из материала с
высокой теплопроводностью, нагреваемый однородным источником тепловыделений посто-
янной мощности в окружающей среде с постоянной температурой. Уравнение нестационар-
ного теплообмена объекта при отсутствии иных, кроме лучистых, механизмов теплообмена
(конвекции и кондукции) имеет вид
( )сγV
dT dτ
+ εσS
T 4 −Tс4р
=P,
(1)
где с — удельная теплоемкость материала объекта, Дж/кг⋅К; γ — его плотность, кг/м3; V —
объем объекта, м3; S — площадь поверхности объекта, м2; ε — приведенная степень черноты;
σ — постоянная Стефана — Больцмана, Вт/м2⋅К4; Т — температура объекта, К; Тср — темпе-
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2012. Т. 55, № 3
Аналитическое описание нестационарных температур изотермического объекта
57
ратура окружающей среды, К; τ — время процесса нагрева или охлаждения; Р — мощность
источников тепла (объемных или поверхностных), Вт.
Приведем уравнение (1) к безразмерному виду, считая, что среда абсолютно черная (как
космическое пространство):
dθ dt
+
θ4
=1+
θ0
;
(2)
T θ = Tср
;
θ0
=
P qS
;
q = εσTс4р ;
t = M τ;
M
=
q cγLTср
;
L
=
V S
,
где θ — относительная температура объекта; t — безразмерное время; q — имеет размерность удельного поверхностного потока, Вт/м2; М — имеет размерность темпа, с–1, [1]; L —
характерный размер объекта, м.
Максимальная температура Tm объекта, соответствующая стационарному значению при включенных источниках тепла, определяется из уравнения (2) как
Тm = θmTср , θm = 4 1+ θ0 .
(3)
Представим уравнение (2) в виде
dU dt
+ ΩU
=
θ0 ;
(4)
U
=
θ −1 =
T − Tср Tср
,
( )Ω
=
θ4 −1 θ −1
=
(θ
+ 1)(θ2
+ 1)
=
(U
+
2)
U 2 + 2U + 2
.
В случае малых перегревов, когда Т – Тср