РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ РАЙСА ПРИ ОБНАРУЖЕНИИ СИГНАЛОВ В ОПТИЧЕСКОЙ ЛОКАЦИИ
28
УДК 535:621.373.826
М. Г. СЕРИКОВА, Е. Г. ЛЕБЕДЬКО
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ РАЙСА ПРИ ОБНАРУЖЕНИИ СИГНАЛОВ В ОПТИЧЕСКОЙ ЛОКАЦИИ
Рассматривается возможность применения задачи Райса для обнаружения сигналов в приложении оптической локации. Показано, что даже в случае низкого отношения порог—шум возможно качественное обнаружение при условии приема сигнала на интервале между двумя шумовыми выбросами. Ключевые слова: задача Райса, выбросы случайных процессов, оптическая локация, обнаружение сигналов.
В теории случайных процессов задачей Райса называется проблема поиска распределений интервалов между нулями случайного процесса в приложении теории связи [1]. Однако со временем она расширилась до поиска распределений временных интервалов не только над ненулевым, но и над функционально заданным уровнем, а также несколькими не равными друг другу уровнями. Решение данной проблемы имеет большое прикладное значение для разных областей, среди которых океанография, распознавание речи, сейсмология, биологические системы и лазерная оптика. Важным приложением решения задачи Райса в оптической локации является обнаружение и оценка информационных параметров сигналов на фоне шумов приемно-усилительного тракта.
Известно, что при заданной средней мощности случайный процесс обладает максимальной информативностью, если имеет нормальное распределение [2]. Воздействие помехи с нормальным распределением на информацию приведет к ее частичной или даже полной потере. Следовательно, наиболее опасной является помеха, которая при заданной средней мощности имеет нормальный закон распределения.
Рассмотрим распределения длительности выбросов случайного процесса при пересечении им одного уровня и интервалов между последовательными выбросами (далее — одноуровневое пересечение) [3—5]. Решение выражается через функцию Райса, которая представляет собой условную вероятность Q(τ, H ) того, что процесс x(t) пересекает уровень H с отри-
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2012. Т. 55, № 4
Решение задачи Райса при обнаружении сигналов в оптической локации
29
цательной производной на интервале (t0,t0 + τ) при условии, что начало выброса совпадает с точкой t0 [4]:
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫Q(τ,
H
)
=
1−
τ 0
d1 (t )dt
+
1 2!
τ 0
τ 0
d2
(t1, t2
)dt1dt2
−
1 3!
τ 0
τ 0
τ 0
d3 (t1,
t2
, t3 )dt1dt2 dt3
+
…
=
∑ ∫ ∫=
∞ (−1)s
s=0 s!
ττ
… ds (t1,t2,…, ts )dt1…dts
00
,
(1)
где ds (t1,t2,…, ts ) — совместная плотность распределения вероятности процесса x(t) и его производной при условии, что в момент времени t = t0 начался выброс (значение случайного процесса x(t0 ) = H , а x′(t0) > 0 ).
При этом искомая плотность вероятности распределения интервалов Р(τ, H ) между вы-
бросами случайного процесса связана с Q(τ, H ) как
∞
∫ P(τ, H )dτ = Q(τ, H ) .
τ
Таким образом, искомое значение Р(τ, H ) находится, согласно формуле (1), следующим
образом [4]:
τ
Р(τ, H ) = d1(τ) − ∫ d2 (t, τ)dt + …
(2)
0
Аналогичным образом могут быть получены выражения для длительности интервалов
между выбросами.
Несмотря на то что использование общего выражения для плотности распределения ве-
роятности (2) затруднено, в области малых значений длительности τ можно ограничиться
вычислением только первых двух членов ряда (2) и пренебречь теми, которые учитывают ма-
ловероятные в данном случае множественные пересечения уровня H на малом по длительно-
сти интервале (t0,t0 + τ) . Исходя из определения функций ds (t1,t2,…, ts ) [4, 5] получим:
∫ ∫P(τ, H )
≈
P0 (τ, H )
=
1 N (H )
∞ −∞
dx0′
00
x0′ x1′ p2 (H ,
H , x0′ , x1′)dx1′
,
(3)
где N — частота пересечения процессом уровня Н. На рис. 1 представлен результат приближенного расчета плотности распределения вероят-
ности для интервалов между выбросами нормального случайного процесса в первом прибли-
жении, рассчитанные по выражению (3); кривая 1 — Н/σ=0, 2 — 1, 3 — 2 (∆f =10 — ширина энергетического спектра шума, σ — СКО шума). Из рисунка видно, что длительность выбросов случайного процесса с гауссовой статистикой имеет негауссово распределение.
Используя данное свойство случайного процесса, можно перейти от обнаружения на фоне гауссовых помех к обнаружению при воздействии помех с менее „опасным“ негауссовым распределением. При этом следует использовать для приема отраженного сигнала временной интервал между двумя выбросами помех на выходе приемного устройства. Это оказывается возможным, если время запаздывания сигнала сопоставимо с его длительностью, что характерно для схем ближней локации, в которых рабочая дистанция ограничена 10—15 метрами [6].
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2012. Т. 55, № 4
30 М. Г. Серикова, Е. Г. Лебедько Используя данный метод, можно принимать слабые сигналы с малой вероятностью ложной тревоги, несмотря на сниженное значение отношения порог—шум решающего устройства. Возможность уменьшить порог позволяет снизить мощность лоцирующего импульса, а следовательно, сделать систему более энергетически эффективной.
Р(τ)
3 0,8
0,6
0,4 2 1
0,2
0
0,5 1 1,5
2 τ, 10–6 с
Рис. 1
Для реализации указанного способа приема необходимо синхронизировать момент за-
пуска излучения со спадом шумового выброса. На рис. 2 проиллюстрирован выбор порога
при шумовой синхронизации излучения: а) порог задает распределение вероятности интерва-
лов между шумовыми выбросами, по которому рассчитывается обеспечиваемая вероятность
ложной тревоги PЛТ, б) порог влияет на частоту посылки зондирующих импульсов N(H/σ)
(1 — ∆f=0,2; 2 — 1; 3 — 2; 4 — 10 МГц). Вероятность ложной тревоги PЛТ в данном случае
задается распределением шумовых интервалов и рабочей дистанцией l=Тc/2, где с — ско-
рость света (рис. 2, а), а частота импульсов излучения определяется частотой пересечения
уровня H с положительной производной (рис. 2, б) [7, 8]. Можно заметить, что требования к
частоте посылок излучения и вероятности ложной тревоги противоречат друг другу. С одной
стороны, требование низкой вероятности ложной тревоги обусловливает повышение порога
детектирования (снижение длительности интервалов), а с другой — при высоком пороге рез-
ко снижается частота излучения лазера, это может привести к тому, что за время наблюдения
не будет послан ни один зондирующий импульс.
а) б)
Р N, МГц
2,5
2
1,5
13
4
РЛТ
2 0,5 1
0Т
τ
0 0,5 Рис. 2
1
1,5 2
2,5 Н/σ
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2012. Т. 55, № 4
Решение задачи Райса при обнаружении сигналов в оптической локации
31
Однако эти противоречия могут быть разрешены использованием двухуровневой схемы приема, в которой импульс излучения возникает в момент пересечения шумовым выбросом с отрицательной производной более низкого уровня, а принятие решения о наличии сигнала вырабатывается при пересечении процессом более высокого уровня [7, 8]. На рис. 3 продемонстрирована шумовая синхронизация излучения при двухуровневой схеме обработки (в кружке указан момент запуска излучателя).
Отсчетный уровень U Н1
Н2 0
Рис. 3
При этом, если задача поиска оптимального уровня H2 в предложенном методе обнаружения сигналов на сегодня решена, то выбор верхнего уровня H1, связанный с определением достижимой вероятности ложной тревоги, может быть выполнен только экспериментально,
поскольку в аналитическом виде задача поиска плотности вероятности распределения шумо-
вых интервалов при пересечении случайным процессом двух уровней (далее — двухуровне-
вое пересечение) сегодня не решена даже приближенными методами [3—5].
Для поиска распределений шумовых интервалов при двухуровневом пересечении была
разработана модель в среде LabView (рис. 4). Сформированный генератором случайного про-
цесса шум поступает на вход низкочастотного фильтра с изменяемой полосой пропускания
(фильтр Баттерворта первого порядка). Далее случайный сигнал (шум) поступает на два уров-
ня H1 и H2, сигналы с выхода которых запускают процедуры поиска моментов отрицательных и положительных пересечений соответственно.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2012. Т. 55, № 4
Рис. 4
32 М. Г. Серикова, Е. Г. Лебедько
Данные о найденных моментах пересечений являются входными для процедуры вычисления длительности интервалов. Полученная таким образом информация о числе и длительности интервалов передается на построитель гистограммы. Плотность распределения вероятности рассчитывается путем нормирования полученного результата по числу интервалов, после чего выводится на экран в виде графика; при равенстве значений Н1 и Н2 возможно получить распределение интервалов между выбросами, характерное для одноуровневого пересечения.
С помощью рассмотренной модели удалось получить экспериментальные данные, в которых присутствовали такие известные особенности искомых распределений, как многовершинность [4], экспоненциальное затухание „хвостов“ [2, 3] и др. Кроме того, результаты тестов для одноуровневого пересечения хорошо согласуются с полученными ранее экспериментальными данными [2—4]. На следующем этапе исследования планируется доработать существующую модель, с тем чтобы определять зависимость значения H2 от вероятности ложной тревоги.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Riсe S. O. The Mathematical Analysis of Random Noise // B.S.T.J., 1944. Vol. 23, N 3; 1945. Vol. 24, N 1.
2. Лебедько Е. Г. Теоретические основы передачи информации. СПб: Лань, 2011. 360 с.
3. Левин Б. Р. Теоретические основы статистической радиотехники. Кн. I. М.: Сов. радио, 1969. 752 с.
4. Тихонов В. И., Хименко В. И. Выбросы траекторий случайных процессов. М.: Наука, 1987.
5. Munakata T. Some unsolved problems on the level crossing of random process // Unsolved Problems of Noise / Ed. by C.R. Doering, L.B. Kiss, and M.F. Shlesinger. Singapore: World Scientific, 1997. P. 213—222.
6. Мусьяков М. П., Миценко И. Д., Ванеев Г. Г. Проблемы ближней лазерной локации: Учеб. пособие для втузов. М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2000. 295 с.
7. Лебедько Е. Г., Серикова М. Г. Анализ распределения интервалов между выбросами случайного процесса и возможность построения систем ближней локации с шумовой синхронизацией // Науч.-техн. вестн. СПбГУ ИТМО. 2010. Вып. 6(70). С. 1—5.
8. Serikova M. G. and Lebedko E. G. Noise-induced outpulsing technique for energy efficiency improvement of laser radar systems // Proc. SPIE. 2011. Vol. 8137. P. 813 718.
Мария Геннадьевна Серикова Евгений Георгиевич Лебедько
Сведения об авторах — аспирант; Санкт-Петербургский национальный исследовательский
университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра оптико-электронных приборов и систем; E-mail: serikovamg@gmail.com — д-р техн. наук, профессор; Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра оптико-электронных приборов и систем; E-mail: eleb@rambler.ru
Рекомендована факультетом ОИСТ
Поступила в редакцию 25.11.11 г.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2012. Т. 55, № 4
УДК 535:621.373.826
М. Г. СЕРИКОВА, Е. Г. ЛЕБЕДЬКО
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ РАЙСА ПРИ ОБНАРУЖЕНИИ СИГНАЛОВ В ОПТИЧЕСКОЙ ЛОКАЦИИ
Рассматривается возможность применения задачи Райса для обнаружения сигналов в приложении оптической локации. Показано, что даже в случае низкого отношения порог—шум возможно качественное обнаружение при условии приема сигнала на интервале между двумя шумовыми выбросами. Ключевые слова: задача Райса, выбросы случайных процессов, оптическая локация, обнаружение сигналов.
В теории случайных процессов задачей Райса называется проблема поиска распределений интервалов между нулями случайного процесса в приложении теории связи [1]. Однако со временем она расширилась до поиска распределений временных интервалов не только над ненулевым, но и над функционально заданным уровнем, а также несколькими не равными друг другу уровнями. Решение данной проблемы имеет большое прикладное значение для разных областей, среди которых океанография, распознавание речи, сейсмология, биологические системы и лазерная оптика. Важным приложением решения задачи Райса в оптической локации является обнаружение и оценка информационных параметров сигналов на фоне шумов приемно-усилительного тракта.
Известно, что при заданной средней мощности случайный процесс обладает максимальной информативностью, если имеет нормальное распределение [2]. Воздействие помехи с нормальным распределением на информацию приведет к ее частичной или даже полной потере. Следовательно, наиболее опасной является помеха, которая при заданной средней мощности имеет нормальный закон распределения.
Рассмотрим распределения длительности выбросов случайного процесса при пересечении им одного уровня и интервалов между последовательными выбросами (далее — одноуровневое пересечение) [3—5]. Решение выражается через функцию Райса, которая представляет собой условную вероятность Q(τ, H ) того, что процесс x(t) пересекает уровень H с отри-
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2012. Т. 55, № 4
Решение задачи Райса при обнаружении сигналов в оптической локации
29
цательной производной на интервале (t0,t0 + τ) при условии, что начало выброса совпадает с точкой t0 [4]:
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫Q(τ,
H
)
=
1−
τ 0
d1 (t )dt
+
1 2!
τ 0
τ 0
d2
(t1, t2
)dt1dt2
−
1 3!
τ 0
τ 0
τ 0
d3 (t1,
t2
, t3 )dt1dt2 dt3
+
…
=
∑ ∫ ∫=
∞ (−1)s
s=0 s!
ττ
… ds (t1,t2,…, ts )dt1…dts
00
,
(1)
где ds (t1,t2,…, ts ) — совместная плотность распределения вероятности процесса x(t) и его производной при условии, что в момент времени t = t0 начался выброс (значение случайного процесса x(t0 ) = H , а x′(t0) > 0 ).
При этом искомая плотность вероятности распределения интервалов Р(τ, H ) между вы-
бросами случайного процесса связана с Q(τ, H ) как
∞
∫ P(τ, H )dτ = Q(τ, H ) .
τ
Таким образом, искомое значение Р(τ, H ) находится, согласно формуле (1), следующим
образом [4]:
τ
Р(τ, H ) = d1(τ) − ∫ d2 (t, τ)dt + …
(2)
0
Аналогичным образом могут быть получены выражения для длительности интервалов
между выбросами.
Несмотря на то что использование общего выражения для плотности распределения ве-
роятности (2) затруднено, в области малых значений длительности τ можно ограничиться
вычислением только первых двух членов ряда (2) и пренебречь теми, которые учитывают ма-
ловероятные в данном случае множественные пересечения уровня H на малом по длительно-
сти интервале (t0,t0 + τ) . Исходя из определения функций ds (t1,t2,…, ts ) [4, 5] получим:
∫ ∫P(τ, H )
≈
P0 (τ, H )
=
1 N (H )
∞ −∞
dx0′
00
x0′ x1′ p2 (H ,
H , x0′ , x1′)dx1′
,
(3)
где N — частота пересечения процессом уровня Н. На рис. 1 представлен результат приближенного расчета плотности распределения вероят-
ности для интервалов между выбросами нормального случайного процесса в первом прибли-
жении, рассчитанные по выражению (3); кривая 1 — Н/σ=0, 2 — 1, 3 — 2 (∆f =10 — ширина энергетического спектра шума, σ — СКО шума). Из рисунка видно, что длительность выбросов случайного процесса с гауссовой статистикой имеет негауссово распределение.
Используя данное свойство случайного процесса, можно перейти от обнаружения на фоне гауссовых помех к обнаружению при воздействии помех с менее „опасным“ негауссовым распределением. При этом следует использовать для приема отраженного сигнала временной интервал между двумя выбросами помех на выходе приемного устройства. Это оказывается возможным, если время запаздывания сигнала сопоставимо с его длительностью, что характерно для схем ближней локации, в которых рабочая дистанция ограничена 10—15 метрами [6].
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2012. Т. 55, № 4
30 М. Г. Серикова, Е. Г. Лебедько Используя данный метод, можно принимать слабые сигналы с малой вероятностью ложной тревоги, несмотря на сниженное значение отношения порог—шум решающего устройства. Возможность уменьшить порог позволяет снизить мощность лоцирующего импульса, а следовательно, сделать систему более энергетически эффективной.
Р(τ)
3 0,8
0,6
0,4 2 1
0,2
0
0,5 1 1,5
2 τ, 10–6 с
Рис. 1
Для реализации указанного способа приема необходимо синхронизировать момент за-
пуска излучения со спадом шумового выброса. На рис. 2 проиллюстрирован выбор порога
при шумовой синхронизации излучения: а) порог задает распределение вероятности интерва-
лов между шумовыми выбросами, по которому рассчитывается обеспечиваемая вероятность
ложной тревоги PЛТ, б) порог влияет на частоту посылки зондирующих импульсов N(H/σ)
(1 — ∆f=0,2; 2 — 1; 3 — 2; 4 — 10 МГц). Вероятность ложной тревоги PЛТ в данном случае
задается распределением шумовых интервалов и рабочей дистанцией l=Тc/2, где с — ско-
рость света (рис. 2, а), а частота импульсов излучения определяется частотой пересечения
уровня H с положительной производной (рис. 2, б) [7, 8]. Можно заметить, что требования к
частоте посылок излучения и вероятности ложной тревоги противоречат друг другу. С одной
стороны, требование низкой вероятности ложной тревоги обусловливает повышение порога
детектирования (снижение длительности интервалов), а с другой — при высоком пороге рез-
ко снижается частота излучения лазера, это может привести к тому, что за время наблюдения
не будет послан ни один зондирующий импульс.
а) б)
Р N, МГц
2,5
2
1,5
13
4
РЛТ
2 0,5 1
0Т
τ
0 0,5 Рис. 2
1
1,5 2
2,5 Н/σ
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2012. Т. 55, № 4
Решение задачи Райса при обнаружении сигналов в оптической локации
31
Однако эти противоречия могут быть разрешены использованием двухуровневой схемы приема, в которой импульс излучения возникает в момент пересечения шумовым выбросом с отрицательной производной более низкого уровня, а принятие решения о наличии сигнала вырабатывается при пересечении процессом более высокого уровня [7, 8]. На рис. 3 продемонстрирована шумовая синхронизация излучения при двухуровневой схеме обработки (в кружке указан момент запуска излучателя).
Отсчетный уровень U Н1
Н2 0
Рис. 3
При этом, если задача поиска оптимального уровня H2 в предложенном методе обнаружения сигналов на сегодня решена, то выбор верхнего уровня H1, связанный с определением достижимой вероятности ложной тревоги, может быть выполнен только экспериментально,
поскольку в аналитическом виде задача поиска плотности вероятности распределения шумо-
вых интервалов при пересечении случайным процессом двух уровней (далее — двухуровне-
вое пересечение) сегодня не решена даже приближенными методами [3—5].
Для поиска распределений шумовых интервалов при двухуровневом пересечении была
разработана модель в среде LabView (рис. 4). Сформированный генератором случайного про-
цесса шум поступает на вход низкочастотного фильтра с изменяемой полосой пропускания
(фильтр Баттерворта первого порядка). Далее случайный сигнал (шум) поступает на два уров-
ня H1 и H2, сигналы с выхода которых запускают процедуры поиска моментов отрицательных и положительных пересечений соответственно.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2012. Т. 55, № 4
Рис. 4
32 М. Г. Серикова, Е. Г. Лебедько
Данные о найденных моментах пересечений являются входными для процедуры вычисления длительности интервалов. Полученная таким образом информация о числе и длительности интервалов передается на построитель гистограммы. Плотность распределения вероятности рассчитывается путем нормирования полученного результата по числу интервалов, после чего выводится на экран в виде графика; при равенстве значений Н1 и Н2 возможно получить распределение интервалов между выбросами, характерное для одноуровневого пересечения.
С помощью рассмотренной модели удалось получить экспериментальные данные, в которых присутствовали такие известные особенности искомых распределений, как многовершинность [4], экспоненциальное затухание „хвостов“ [2, 3] и др. Кроме того, результаты тестов для одноуровневого пересечения хорошо согласуются с полученными ранее экспериментальными данными [2—4]. На следующем этапе исследования планируется доработать существующую модель, с тем чтобы определять зависимость значения H2 от вероятности ложной тревоги.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Riсe S. O. The Mathematical Analysis of Random Noise // B.S.T.J., 1944. Vol. 23, N 3; 1945. Vol. 24, N 1.
2. Лебедько Е. Г. Теоретические основы передачи информации. СПб: Лань, 2011. 360 с.
3. Левин Б. Р. Теоретические основы статистической радиотехники. Кн. I. М.: Сов. радио, 1969. 752 с.
4. Тихонов В. И., Хименко В. И. Выбросы траекторий случайных процессов. М.: Наука, 1987.
5. Munakata T. Some unsolved problems on the level crossing of random process // Unsolved Problems of Noise / Ed. by C.R. Doering, L.B. Kiss, and M.F. Shlesinger. Singapore: World Scientific, 1997. P. 213—222.
6. Мусьяков М. П., Миценко И. Д., Ванеев Г. Г. Проблемы ближней лазерной локации: Учеб. пособие для втузов. М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2000. 295 с.
7. Лебедько Е. Г., Серикова М. Г. Анализ распределения интервалов между выбросами случайного процесса и возможность построения систем ближней локации с шумовой синхронизацией // Науч.-техн. вестн. СПбГУ ИТМО. 2010. Вып. 6(70). С. 1—5.
8. Serikova M. G. and Lebedko E. G. Noise-induced outpulsing technique for energy efficiency improvement of laser radar systems // Proc. SPIE. 2011. Vol. 8137. P. 813 718.
Мария Геннадьевна Серикова Евгений Георгиевич Лебедько
Сведения об авторах — аспирант; Санкт-Петербургский национальный исследовательский
университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра оптико-электронных приборов и систем; E-mail: serikovamg@gmail.com — д-р техн. наук, профессор; Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра оптико-электронных приборов и систем; E-mail: eleb@rambler.ru
Рекомендована факультетом ОИСТ
Поступила в редакцию 25.11.11 г.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2012. Т. 55, № 4