ВЫСОКОЧАСТОТНАЯ АСИМПТОТИКА МОДУЛЯ КОЭФФИЦИЕНТА ОТРАЖЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ВОЛНЫ ОТ ПЛОСКОСЛОИСТОЙ СРЕДЫ
78 А. В. Денисов, Н. П. Сидорова
УДК 535.391; 537.876
А. В. ДЕНИСОВ, Н. П. СИДОРОВА
ВЫСОКОЧАСТОТНАЯ АСИМПТОТИКА МОДУЛЯ КОЭФФИЦИЕНТА ОТРАЖЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ВОЛНЫ
ОТ ПЛОСКОСЛОИСТОЙ СРЕДЫ
Представлен асимптотический расчет электромагнитного поля, отраженного от плоскослоистой среды. Рассматривается падение волны на переходные слои диэлектрика с неоднородной диэлектрической проницаемостью, непрерывно зависящей от глубины слоя. Приведены выражения для модуля коэффициента отражения с использованием метода фазовых интегралов.
Ключевые слова: высокочастотная асимптотика, коэффициент отражения, метод фазовых интегралов.
Изучение закономерностей распространения плоских гармонических волн в неоднородной среде предполагает, в частности, определение коэффициента отражения. Поиск аналитической зависимости коэффициента отражения R от частоты волны, параметров среды и угла падения на нее волны имеет большое практическое значение при радиофизических и геофизических исследованиях. Определению коэффициентов отражения волн от различных слоистых сред посвящен ряд публикаций [1—8]. В настоящей статье исследуется отражение волн от плоскослоистых, зависящих от одной переменной (z), бесконечно протяженных сред с неоднородной диэлектрической проницаемостью. Определение зависимости коэффициента R от параметров среды во всем частотном диапазоне и при любых углах падения волны на слой возможно только при рассмотрении небольшого числа зависимостей диэлектрической проницаемости ε(z) , при которых уравнения для комплексных амплитуд электрического или
магнитного поля, вытекающие из уравнений Максвелла, можно свести к известным уравнениям математической физики. Однако число таких моделей весьма ограничено.
Если рассматривать функции ε = ε(z) , z ∈(−∞, +∞) , для которых значения
εнач
=
lim ε(z)
z→−∞
и
εкон
=
lim ε(z)
z→+∞
конечны,
то, насколько
известно
авторам, существуют
только три зависимости ε = ε(z) , сводящие волновые уравнения к известным обыкновенным
дифференциальным уравнениям:
1) слой Эпштейна [1, 3]:
( ( )( ) )k2ε(z) = k2 − k22 − ⎡⎣4k12 −
e2z α +1 k22 − k32 e2z α +1 2
⎤ ⎦
e2
z
α
,
где α — положительная константа; k1, k2, k3 — произвольные параметры, зависящие от час-
тоты при анизотропии параметров среды или наличии потерь; 2) слой, заданный в неявном виде и характеризующийся переменным масштабом изме-
нения значений ε(z) [7, 8]:
ε( x( z ))
=
1 α
ex(z) + α ex(z) +1
,
x′(z) = ε(x(z)) − β ,
где α > 0, β < 1 α — постоянные; 3) слой Хединга [6]:
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2012. Т. 55, № 9
Высокочастотная асимптотика модуля коэффициента отражения волны
79
k
2ε(z)
=
k
2
−
k12
+ k22sh
ch2 ( z
(z α)
α)
,
α >0.
Цель данной статьи заключается в том, чтобы (для первой или второй вышеуказанной модели слоя) на основе метода фазовых интегралов и с использованием равномерной на всей вещественной оси аппроксимации исходной функции ε(z) некоторой другой аналитической
функцией εапр (z) без затруднений определить высокочастотную асимптотику модуля коэф-
фициента отражения. Рассмотрим известную задачу о падении плоской гармонической ( e−iωt ) волны горизон-
тальной (другие названия — s или ТЕ) поляризации на переходный слой Эпштейна при от-
сутствии в нем потерь. Выберем декартову систему координат {x, y, z} , при которой волна
падает в плоскости (xz) со стороны z = −∞ под углом θ к оси (0z) . Запишем уравнение для
диэлектрической проницаемости:
ε(z)
=
1 α
ez ez
l l
+α +1
,
(1)
где
0 < α < 1 sin2 θ ;
(2)
l — характерный масштаб изменения функции ε(z) ; условие (2) гарантирует отсутствие точ-
ки поворота на вещественной оси (z) [9]. В выбранной системе координат волна характеризуется компонентами Ey , H x , H z .
Электрическое поле представим выражением Ey = E(z) exp (ikx sin θ − iωt ) , где k — волновое
число в вакууме. Дифференциальное уравнение для комплексной амплитуды E(z) , вытекаю-
щее из системы уравнений Максвелла, имеет следующий вид [1, 7]:
( )d2E
ds2
+
η02
ε(s) − sin2 θ
E =0,
(3)
где s = z l — безразмерная переменная, η0 = ωl c , с — скорость света в вакууме.
( )Коэффициент η02 ε(s) − sin2 θ уравнения (3) для зависимости (1) при ограничении (2)
характеризуется наличием на комплексной плоскости (s) бесконечной серии точек поворота
s0i , i = 1, ∞ , при которых он обращается в нуль, и бесконечной серии простых полюсов spi ,
при которых он стремится к бесконечности. При ограничении (2), как показано в работах [9, 10], на основе топологии линий Стокса и сопряженных с ними линий „антистокса“ (на которых
s
( )соответственно вещественная и мнимая части интеграла ∫ η0 ε(s) − sin2 θ ⋅ ds равны нулю) 0
при одновременном обходе точек поворота и полюсов простые полюсы не влияют на асим-
птотику R , а влияют только точки поворота. Далее это утверждение докажем, опираясь на
метод последовательных приближений решения волнового уравнения (3). При достаточно больших значениях частоты волны можно ограничиться учетом только
двух ближайших к вещественной оси точек поворота: s0+ , s0− — соответственно выше и ни-
же вещественной оси. Согласно сложившейся в теории метода фазовых интегралов терминологии, при ограничении (2) имеем задачу о надбарьерном отражении [9]. В этом случае модуль коэффициента отражения определяется известной формулой [9]:
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2012. Т. 55, № 9
80 А. В. Денисов, Н. П. Сидорова
R
=
exp
⎛ ⎜ ⎝⎜
iη0
s0+
∫
s0−
ε(
s)
−
sin
2
θ
⋅
ds
⎞ ⎟
,
⎟⎠
(4)
где для рассматриваемого слоя (1) ближайшими к вещественной оси s точками поворота яв-
ляются
s0
_
=
ln
⎛ ⎝⎜⎜
cos2 θ εкон − sin
2
θ
⎞ ⎠⎟⎟
−
iπ
и
s0+
=
ln
⎛ ⎜⎝⎜
cos2 θ εкон − sin2
θ
⎞ ⎟⎠⎟
+
iπ
.
Интеграл, входящий в показатель экспоненты (4), для рассматриваемой функции ε(s)
можно вычислить и непосредственно, однако его значительно проще найти следующим образом: проведем на комплексной плоскости (s) из точек разветвления подынтегральной функ-
ции разрезы, как показано, например, на рис. 1 и 2, и заменим интегрирование на участке AD
интегрированием по трем сторонам AB, BC, CD . При этом внутри прямоугольника ABCD
функция ε(s) − sin2 θ будет однозначной регулярной функцией, если прямоугольник по-
строить правее точек s0+ , s0− в случае, когда они расположены правее точек sp+ , sp− (см. рис. 1),
либо левее от них в противоположном случае, т.е. если точки s0+ , s0− размещены левее полюсов (см. рис. 2).
Im s iπ sp+
D s0+
(s) C
C
Im s (s) D s0+ iπ sp+
⎛ ln ⎜⎝⎜
cos2 θ ⎞ εкон − sin2 θ ⎠⎟⎟
Re s
⎛ ln ⎜⎜⎝
cos2 θ εкон − sin2
⎞ θ ⎠⎟⎟
Re s
–iπ sp–
s0– A
BB
A s0– –iπ sp–
Рис. 1
Рис. 2
Устремим затем точки В и С к бесконечности, при этом на участке ВС подынтегральная
функция в формуле (4) будет постоянной (так как существуют конечные пределы значений
диэлектрической проницаемости), а интегралы на участках CD и АВ взаимно уничтожатся.
Тогда с учетом теоремы Коши для модуля коэффициента отражения (4) окончательно полу-
чаем
( )R
≅
⎪⎧exp ⎨
−2πη0
εкон − sin2 θ
, если εкон > 1;
⎩⎪exp (−2πη0 cos θ), если sin2 θ < εкон < 1.
(5)
Обратимся теперь к задаче о распространении плоской волны вертикальной (p или ТМ)
поляризации, характеризующейся в выбранной ранее системе координат компонентами
H y , Ex , Ez . Уравнение для комплексной амплитуды в этом случае имеет следующий вид [1]:
( )d2H
ds2
−
1 ε(s)
dε ds
dH ds
+ η02
ε(s) − sin2 θ
H
=0.
(6)
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2012. Т. 55, № 9
Высокочастотная асимптотика модуля коэффициента отражения волны
81
Рассмотрим функцию диэлектрической проницаемости переходного слоя без потерь,
заданную в неявном виде [7]:
ε(s)
=
1 α
ex(s) + α ex(s) +1
,
(7)
где α > 0 , xs′ = ε(s) ⇔ ex (ex + α)α−1 = A0es = es , A0 > 0 (без потери общности константу вы-
берем произвольно, так как она влияет только на фазу волны).
Перейдем в уравнении (6) к новой независимой переменной х:
d2H dx2
+
η02
⎛ ⎝⎜⎜
ε(s) − sin2 ε2 (s)
θ
⎞ ⎠⎟⎟
H
=
0.
(8)
Коэффициент уравнения (8) для функции (7) характеризуется наличием на комплексной
плоскости (х) двух серий точек поворота x0(1i), x0(2i ) , соответствующих корням уравнений
ex +
cos2 θ εкон − sin2
θ
=
0
,
ex +1= 0,
и
наличием серии полюсов
x pi
второй
кратности, для
кото-
рых ex + α = 0 . Как и в предыдущем случае, будем при нахождении модуля коэффициента
отражения опираться на метод фазовых интегралов и учитывать только две ближайшие к ве-
щественной оси точки x0(1±), x0(2±) и не учитывать полюсы, что будет обосновано далее. Будем
считать, что угол падения волны не равен углу Брюстера θБр = arcsin
1 α +1
=
arcsin
εкон . εкон +1
Тогда количество точек поворота, ближайших к вещественной оси s, будет равно четырем, и
при достаточно больших значениях ω можно рассматривать каждую из симметричных относительно оси s пар точек как две независящие друг от друга локальные неоднородности. С математической точки зрения это означает, что обход вокруг каждой такой пары точек бу-
дет осуществляться порознь. При учете одной пары точек получим R ≅ exp (−πη0C1 ) , а при
x0( +j)
учете другой — R ≅ exp (−πη0C2 ) , где C j = Im ∫
x0(
j) _
ε
−
sin ε2
2
θ
⋅
dx;
j = 1, 2 . Тогда, учитывая,
что η0 >> 1 и C j > 0 , получаем
R ≅ exp (−πη0 min{C1,C2}) .
(9)
( )При вычислении C j , так же как и ранее, заменим интегрирование на участке x0(−j), x0(+j)
интегрированием по трем сторонам прямоугольника. Тогда c учетом соотношения (9) для мо-
дуля коэффициента отражения получаем
( ) ( () )R
=
⎪⎧exp(−2πη0 cos θ), θ ∈ (0, θБр ), εкон < 1; θ ∈ θБр , π / 2
⎨ ⎪⎩exp −2πη0
εкон − sin2 θ , θ ∈ (0, θБр ), εкон > 1; θ ∈
, εкон > 1; θБр , π / 2 , εкон
< 1.
Этот результат согласуется с точным аналитическим решением, полученным в работе [7].
Обоснуем утверждение об отсутствии влияния полюсов на модуль коэффициента отра-
жения. Для этого рассмотрим решение уравнения (1) методом последовательных приближе-
ний. Вместо зависимости
ε(s)
=
1 α
es es
+α +1
обратимся к зависимости
εапр (s)
=
1 α
eu + α eu +1
,
где
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2012. Т. 55, № 9
82 А. В. Денисов, Н. П. Сидорова
величина
u
неявно
задана уравнением
es
=
eu (eu +1+ δ) eu +1
= eu
+
δeu eu +1
,
и
бесконечно
малый
параметр δ > 0 выберем так, чтобы его порядок был меньше, чем модуль коэффициента от-
ражения, который вычисляется при учете только точек поворота, при этом будет справедливо
( )неравенство η0 εапр − ε
УДК 535.391; 537.876
А. В. ДЕНИСОВ, Н. П. СИДОРОВА
ВЫСОКОЧАСТОТНАЯ АСИМПТОТИКА МОДУЛЯ КОЭФФИЦИЕНТА ОТРАЖЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ВОЛНЫ
ОТ ПЛОСКОСЛОИСТОЙ СРЕДЫ
Представлен асимптотический расчет электромагнитного поля, отраженного от плоскослоистой среды. Рассматривается падение волны на переходные слои диэлектрика с неоднородной диэлектрической проницаемостью, непрерывно зависящей от глубины слоя. Приведены выражения для модуля коэффициента отражения с использованием метода фазовых интегралов.
Ключевые слова: высокочастотная асимптотика, коэффициент отражения, метод фазовых интегралов.
Изучение закономерностей распространения плоских гармонических волн в неоднородной среде предполагает, в частности, определение коэффициента отражения. Поиск аналитической зависимости коэффициента отражения R от частоты волны, параметров среды и угла падения на нее волны имеет большое практическое значение при радиофизических и геофизических исследованиях. Определению коэффициентов отражения волн от различных слоистых сред посвящен ряд публикаций [1—8]. В настоящей статье исследуется отражение волн от плоскослоистых, зависящих от одной переменной (z), бесконечно протяженных сред с неоднородной диэлектрической проницаемостью. Определение зависимости коэффициента R от параметров среды во всем частотном диапазоне и при любых углах падения волны на слой возможно только при рассмотрении небольшого числа зависимостей диэлектрической проницаемости ε(z) , при которых уравнения для комплексных амплитуд электрического или
магнитного поля, вытекающие из уравнений Максвелла, можно свести к известным уравнениям математической физики. Однако число таких моделей весьма ограничено.
Если рассматривать функции ε = ε(z) , z ∈(−∞, +∞) , для которых значения
εнач
=
lim ε(z)
z→−∞
и
εкон
=
lim ε(z)
z→+∞
конечны,
то, насколько
известно
авторам, существуют
только три зависимости ε = ε(z) , сводящие волновые уравнения к известным обыкновенным
дифференциальным уравнениям:
1) слой Эпштейна [1, 3]:
( ( )( ) )k2ε(z) = k2 − k22 − ⎡⎣4k12 −
e2z α +1 k22 − k32 e2z α +1 2
⎤ ⎦
e2
z
α
,
где α — положительная константа; k1, k2, k3 — произвольные параметры, зависящие от час-
тоты при анизотропии параметров среды или наличии потерь; 2) слой, заданный в неявном виде и характеризующийся переменным масштабом изме-
нения значений ε(z) [7, 8]:
ε( x( z ))
=
1 α
ex(z) + α ex(z) +1
,
x′(z) = ε(x(z)) − β ,
где α > 0, β < 1 α — постоянные; 3) слой Хединга [6]:
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2012. Т. 55, № 9
Высокочастотная асимптотика модуля коэффициента отражения волны
79
k
2ε(z)
=
k
2
−
k12
+ k22sh
ch2 ( z
(z α)
α)
,
α >0.
Цель данной статьи заключается в том, чтобы (для первой или второй вышеуказанной модели слоя) на основе метода фазовых интегралов и с использованием равномерной на всей вещественной оси аппроксимации исходной функции ε(z) некоторой другой аналитической
функцией εапр (z) без затруднений определить высокочастотную асимптотику модуля коэф-
фициента отражения. Рассмотрим известную задачу о падении плоской гармонической ( e−iωt ) волны горизон-
тальной (другие названия — s или ТЕ) поляризации на переходный слой Эпштейна при от-
сутствии в нем потерь. Выберем декартову систему координат {x, y, z} , при которой волна
падает в плоскости (xz) со стороны z = −∞ под углом θ к оси (0z) . Запишем уравнение для
диэлектрической проницаемости:
ε(z)
=
1 α
ez ez
l l
+α +1
,
(1)
где
0 < α < 1 sin2 θ ;
(2)
l — характерный масштаб изменения функции ε(z) ; условие (2) гарантирует отсутствие точ-
ки поворота на вещественной оси (z) [9]. В выбранной системе координат волна характеризуется компонентами Ey , H x , H z .
Электрическое поле представим выражением Ey = E(z) exp (ikx sin θ − iωt ) , где k — волновое
число в вакууме. Дифференциальное уравнение для комплексной амплитуды E(z) , вытекаю-
щее из системы уравнений Максвелла, имеет следующий вид [1, 7]:
( )d2E
ds2
+
η02
ε(s) − sin2 θ
E =0,
(3)
где s = z l — безразмерная переменная, η0 = ωl c , с — скорость света в вакууме.
( )Коэффициент η02 ε(s) − sin2 θ уравнения (3) для зависимости (1) при ограничении (2)
характеризуется наличием на комплексной плоскости (s) бесконечной серии точек поворота
s0i , i = 1, ∞ , при которых он обращается в нуль, и бесконечной серии простых полюсов spi ,
при которых он стремится к бесконечности. При ограничении (2), как показано в работах [9, 10], на основе топологии линий Стокса и сопряженных с ними линий „антистокса“ (на которых
s
( )соответственно вещественная и мнимая части интеграла ∫ η0 ε(s) − sin2 θ ⋅ ds равны нулю) 0
при одновременном обходе точек поворота и полюсов простые полюсы не влияют на асим-
птотику R , а влияют только точки поворота. Далее это утверждение докажем, опираясь на
метод последовательных приближений решения волнового уравнения (3). При достаточно больших значениях частоты волны можно ограничиться учетом только
двух ближайших к вещественной оси точек поворота: s0+ , s0− — соответственно выше и ни-
же вещественной оси. Согласно сложившейся в теории метода фазовых интегралов терминологии, при ограничении (2) имеем задачу о надбарьерном отражении [9]. В этом случае модуль коэффициента отражения определяется известной формулой [9]:
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2012. Т. 55, № 9
80 А. В. Денисов, Н. П. Сидорова
R
=
exp
⎛ ⎜ ⎝⎜
iη0
s0+
∫
s0−
ε(
s)
−
sin
2
θ
⋅
ds
⎞ ⎟
,
⎟⎠
(4)
где для рассматриваемого слоя (1) ближайшими к вещественной оси s точками поворота яв-
ляются
s0
_
=
ln
⎛ ⎝⎜⎜
cos2 θ εкон − sin
2
θ
⎞ ⎠⎟⎟
−
iπ
и
s0+
=
ln
⎛ ⎜⎝⎜
cos2 θ εкон − sin2
θ
⎞ ⎟⎠⎟
+
iπ
.
Интеграл, входящий в показатель экспоненты (4), для рассматриваемой функции ε(s)
можно вычислить и непосредственно, однако его значительно проще найти следующим образом: проведем на комплексной плоскости (s) из точек разветвления подынтегральной функ-
ции разрезы, как показано, например, на рис. 1 и 2, и заменим интегрирование на участке AD
интегрированием по трем сторонам AB, BC, CD . При этом внутри прямоугольника ABCD
функция ε(s) − sin2 θ будет однозначной регулярной функцией, если прямоугольник по-
строить правее точек s0+ , s0− в случае, когда они расположены правее точек sp+ , sp− (см. рис. 1),
либо левее от них в противоположном случае, т.е. если точки s0+ , s0− размещены левее полюсов (см. рис. 2).
Im s iπ sp+
D s0+
(s) C
C
Im s (s) D s0+ iπ sp+
⎛ ln ⎜⎝⎜
cos2 θ ⎞ εкон − sin2 θ ⎠⎟⎟
Re s
⎛ ln ⎜⎜⎝
cos2 θ εкон − sin2
⎞ θ ⎠⎟⎟
Re s
–iπ sp–
s0– A
BB
A s0– –iπ sp–
Рис. 1
Рис. 2
Устремим затем точки В и С к бесконечности, при этом на участке ВС подынтегральная
функция в формуле (4) будет постоянной (так как существуют конечные пределы значений
диэлектрической проницаемости), а интегралы на участках CD и АВ взаимно уничтожатся.
Тогда с учетом теоремы Коши для модуля коэффициента отражения (4) окончательно полу-
чаем
( )R
≅
⎪⎧exp ⎨
−2πη0
εкон − sin2 θ
, если εкон > 1;
⎩⎪exp (−2πη0 cos θ), если sin2 θ < εкон < 1.
(5)
Обратимся теперь к задаче о распространении плоской волны вертикальной (p или ТМ)
поляризации, характеризующейся в выбранной ранее системе координат компонентами
H y , Ex , Ez . Уравнение для комплексной амплитуды в этом случае имеет следующий вид [1]:
( )d2H
ds2
−
1 ε(s)
dε ds
dH ds
+ η02
ε(s) − sin2 θ
H
=0.
(6)
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2012. Т. 55, № 9
Высокочастотная асимптотика модуля коэффициента отражения волны
81
Рассмотрим функцию диэлектрической проницаемости переходного слоя без потерь,
заданную в неявном виде [7]:
ε(s)
=
1 α
ex(s) + α ex(s) +1
,
(7)
где α > 0 , xs′ = ε(s) ⇔ ex (ex + α)α−1 = A0es = es , A0 > 0 (без потери общности константу вы-
берем произвольно, так как она влияет только на фазу волны).
Перейдем в уравнении (6) к новой независимой переменной х:
d2H dx2
+
η02
⎛ ⎝⎜⎜
ε(s) − sin2 ε2 (s)
θ
⎞ ⎠⎟⎟
H
=
0.
(8)
Коэффициент уравнения (8) для функции (7) характеризуется наличием на комплексной
плоскости (х) двух серий точек поворота x0(1i), x0(2i ) , соответствующих корням уравнений
ex +
cos2 θ εкон − sin2
θ
=
0
,
ex +1= 0,
и
наличием серии полюсов
x pi
второй
кратности, для
кото-
рых ex + α = 0 . Как и в предыдущем случае, будем при нахождении модуля коэффициента
отражения опираться на метод фазовых интегралов и учитывать только две ближайшие к ве-
щественной оси точки x0(1±), x0(2±) и не учитывать полюсы, что будет обосновано далее. Будем
считать, что угол падения волны не равен углу Брюстера θБр = arcsin
1 α +1
=
arcsin
εкон . εкон +1
Тогда количество точек поворота, ближайших к вещественной оси s, будет равно четырем, и
при достаточно больших значениях ω можно рассматривать каждую из симметричных относительно оси s пар точек как две независящие друг от друга локальные неоднородности. С математической точки зрения это означает, что обход вокруг каждой такой пары точек бу-
дет осуществляться порознь. При учете одной пары точек получим R ≅ exp (−πη0C1 ) , а при
x0( +j)
учете другой — R ≅ exp (−πη0C2 ) , где C j = Im ∫
x0(
j) _
ε
−
sin ε2
2
θ
⋅
dx;
j = 1, 2 . Тогда, учитывая,
что η0 >> 1 и C j > 0 , получаем
R ≅ exp (−πη0 min{C1,C2}) .
(9)
( )При вычислении C j , так же как и ранее, заменим интегрирование на участке x0(−j), x0(+j)
интегрированием по трем сторонам прямоугольника. Тогда c учетом соотношения (9) для мо-
дуля коэффициента отражения получаем
( ) ( () )R
=
⎪⎧exp(−2πη0 cos θ), θ ∈ (0, θБр ), εкон < 1; θ ∈ θБр , π / 2
⎨ ⎪⎩exp −2πη0
εкон − sin2 θ , θ ∈ (0, θБр ), εкон > 1; θ ∈
, εкон > 1; θБр , π / 2 , εкон
< 1.
Этот результат согласуется с точным аналитическим решением, полученным в работе [7].
Обоснуем утверждение об отсутствии влияния полюсов на модуль коэффициента отра-
жения. Для этого рассмотрим решение уравнения (1) методом последовательных приближе-
ний. Вместо зависимости
ε(s)
=
1 α
es es
+α +1
обратимся к зависимости
εапр (s)
=
1 α
eu + α eu +1
,
где
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2012. Т. 55, № 9
82 А. В. Денисов, Н. П. Сидорова
величина
u
неявно
задана уравнением
es
=
eu (eu +1+ δ) eu +1
= eu
+
δeu eu +1
,
и
бесконечно
малый
параметр δ > 0 выберем так, чтобы его порядок был меньше, чем модуль коэффициента от-
ражения, который вычисляется при учете только точек поворота, при этом будет справедливо
( )неравенство η0 εапр − ε