Погрешности изготовления и установки отражательных призм
РАСЧЕТ, ПРОЕКТИРОВАНИЕ И ПРОИЗВОДСТВО ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ
УДК 681.7.01 ПОГРЕШНОСТИ ИЗГОТОВЛЕНИЯ И УСТАНОВКИ ОТРАЖАТЕЛЬНЫХ ПРИЗМ
© 2011 г. В. А. Зверев, доктор техн. наук; Е. С. Рытова; И. Н. Тимощук, канд. техн. наук
Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, Санкт-Петербург
E-mail: post_vaz@rambler.ru
Проведен анализ влияния на положение базовой линии (оптической оси) погрешностей изготовления и базирования при сборке отражательных призм. Получено выражение закона преломления в матричной форме, позволившее в результате простого и наглядного вывода получить инвариант декомпланарности. Применив его последовательно к каждой из поверхностей призмы, после последней поверхности получим отклонение выходящего из призмы луча от плоскости главного сечения в виде функции от отклонений нормалей ко всем поверхностям призмы от ее главного сечения, т. е. от декомпланарности нормалей к поверхностям призмы.
Ключевые слова: плоскость главного сечения призмы, оптическая ось, развертка отражений в плоскости главного сечения, декомпланарность нормалей к поверхностям призмы.
Коды OCIS: 200.0200,220.0220.
Поступила в редакцию 28.04.2010.
Конструкция призм определяется решаемой ими в оптической схеме функциональной задачей. В результате многолетнего опыта применения из множества возможных конструкций определились типовые конструкции призм, их модификации и сочетания, наиболее широко используемые в практике проектирования оптических систем [1]. При разработке конструкции призмы в качестве конструкторской базы принимается плоскость главного сечения, т. е. плоскость, перпендикулярная линиям пересечения рабочих поверхностей (граней) призмы.
Одним из наиболее распространенных методов расчета отражательных призм является развертка отражений в плоскости главного сечения призмы, с помощью которой достигаются спрямление хода лучей в системах плоских зеркал и приведение отражательных призм к эквивалентным им плоскопараллельным пластинкам [2]. В общем случае из-за погрешностей изготовления развертка призмы приобретает клиновидность, что приводит к изменению направления выходящего из призмы осевого луча на некоторый угол δ, а следовательно, и к
рассогласованию направления оптической оси до призмы с оптической осью последующей за призмой оптической системы.
В качестве примера развертки призмы с двумя отражающими гранями рассмотрим пентапризму ВП-90, развертка отражений на поверхностях которой представлена на рис. 1. В результате погрешностей изготовления углы в главном сечении призмы принимают значения γ = 45° + δγ, θ = 90° + δθ, α1 = 112°30′ + δα1, α2 = 112°30′ + δα2, причем δα1 ≠ δα2.
Из треугольников Р1ВО, Р1Р2О и Р3Р2О имеем
ψ1 = π − γ − α1,
(1)
ψ2 = γ − ψ1 = 2γ + α1 − π,
(2)
ψ3 = γ − ψ2 = 3γ + α1 − π.
(3)
При этом из треугольника РР3С″ получаем
ψ = π − ψ3 − α2 = 2π −3γ − α1 − α2.
(4)
При номинальном значении углов клиновидность развертки отражений на поверхностях призмы ψ0 = 0. Тогда, дифференцируя
14 “Оптический журнал”, 78, 3, 2011
P2
2
P3
3
O
B
1
A
2 2
C
1 1
B
A
C
2
A
1
P1
P
Рис. 1. Развертка отражений на поверхностях пентапризмы.
δθ = 2δγ.
При θ0 ≠ 90° имеем δθ = δθ− δψ = 2δγ. При этом угол отклонения направления
оптической оси от номинального определится
выражением
δϕ = δθ + (n −1)δψ = = (5−3n)δγ −(n −1)(δα1 + δα2).
(8)
Предположим, что все углы в главном се-
чении изготовленной прямоугольной призмы
имеют номинальные значения. Предположим
также, что в процессе сборки при креплении
призмы в оптическом устройстве она поверну-
лась вокруг точки N1 в плоскости главного сечения на малый угол ω, как показано на рис. 2, где A– – орт направления оптической оси, обра-
зующий с нормалью к поверхности в точке N1 малый угол ε1 = ω. В соответствии с законом преломления sinω = nsinε1′ .
После преломления в точке N1 оптическая ось пересекает отражающую поверхность призмы в точке N2, образуя с ортом нормали N–2 к поверхности угол ε2 = 45° + ω − (ε1 − ε′2). В соответствии с законом отражения при n′ = −n
имеем ε′2 = −ε2. После отражения от поверхности призмы в точке N2 оптическая ось пересекает вторую плоскую грань призмы в точке
N3, образуя с нормалью к поверхности угол −ε3. Из треугольника N3N2K на рис. 2 следует, что 90° + ε3 + ε2 + 45° = 180°. Отсюда
выражение (4) и заменяя дифференциалы конечными разностями, получаем
δψ = −3δγ − δα1 − δα2.
(5)
Отсюда следует, что клиновидность развертки отражений призмы отсутствует при соблюдении условия
3δγ + δα1 + δα2 = 0.
(6)
Сумма углов в главном сечении пентаприз-
мы γ + θ + α1 + α2 = 2π. Дифференцируя это соотношение, получаем
δθ = −δγ − δα1 − δα2 = δψ + 2δγ.
(7)
При δψ = 0 отклонение направления оптической оси от номинального в пространстве после призмы равно погрешности угла θ0 = 90°, т. е.
“Оптический журнал”, 78, 3, 2011
A–
1
N1
N– 2 P
N2 2
K N3
A– –3 δϕϕ Рис. 2. Погрешность базирования прямоугольной призмы в плоскости главного сечения.
15
находим, что угол ε3 = −ε2 + 45°. При этом имеем sinε3′ = nsinε3′ . Однако учитывая, что угол ω – мал, получаем
ε3′ = nε3 = −n(ε2 −45°) =
=
−n⎛⎜⎜⎝45°
+
ω−
ω
+
1 n
ω
−
45°⎞⎟⎟⎟⎠
=
−ω.
В результате получаем, что при малом повороте призмы на угол ω оптическая ось отклоняется от номинального направления на угол, равный
δϕ = ω− ε3′ = 2ω.
(9)
Предположим, что в процессе сборки идеально изготовленная призма получила поворот вокруг оптической оси, расположенной в пространстве перед призмой, на малый угол ω, как показано на рис. 3. Рассмотрим при этом ход луча, падающего на призму вдоль оптической оси и представленного ортом A–.
При прохождении первой грани призмы направление луча не изменяется. С началом в точке пересечения луча с отражающей гранью призмы введем систему декартовых координат x, y, z. Орт –i оси Ox совместим с ортом A– луча. При этом A– = –iAx. Будем считать, что ось Oy расположена в плоскости главного сечения призмы в исходном положении. При этом орт нормали призмы в исходном положении можно записать как
N = iNx + jNy,
где
Nx = cos45° =
2 2
,
Ny = cos45° =
2 2
.
При повороте призмы проекция Nx орта нормали остается неизменной, а проекция Ny становится равной
Ny = cos45°cosω =
2 2
⎜⎛⎝⎜⎜1−
1 2
ω2
⎠⎞⎟⎟⎟
≈
2 2
.
При этом появится проекция на ось Oz, равная
Nz = cos45°sinω =
2 2
ω.
Если известна матрица-столбец A проекций орта падающего луча и проекции орта нормали к отражающей поверхности в точке падения луча, то матрица-столбец A′ орта отраженного луча определится формулой [3]
А′ = M′A,
(10)
где А = (Àx, Ay, )Az T, A′ = (Àx′, Ay′, Az′ )T,
M′ = ⎜⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛−−122−NN2xxNNNx2yz
−2Nx Ny 1 − 2Ny2
−2Ny Nz
−2Nx Nz
−2Ny Nz 1 − 2Nz2
⎠⎟⎟⎟⎟⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟.
Подставив в формулу (10) значения величин
Ax = 1, Ay = Az = 0, Nx = Ny = 2/2, Nz = ( 2/2)ω,
y
N– yz x
zО
B– A–
N– xy О
Рис. 3. Погрешность базирования прямоугольной призмы в плоскости, перпендикулярной плоскости главного сечения.
16 “Оптический журнал”, 78, 3, 2011
получаем Ax′ = 0, Ay′ = −1, Az′ = −ω. При этом угол отклонения оптической оси от номинального
направления ϕ = A′z/A′y = ω, т. е. оптическая ось с плоскостью главного сечения, а следователь-
но, и с номинальным направлением, образует
угол, равный ω. Орт B– предмета, перпендикулярный орту A–
и параллельный оси Oy, можно записать как B– =П–iBоxсл+е–jBпyер+вk–оBйz,пгодвееBрхxн=ос0т,иByо=рт1,B–Bzо=ст0а.ется неизменным. Совместим с ортом B– луч, падаю-
щий на отражающую поверхность. Тогда орт
отраженного луча определится формулой (10) как B′ = M′B. В рассматриваемом случае имеем
⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎜⎜⎛
Âx′ By′ Bz′
⎟⎟⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎞
=
⎜⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛−−122−NN2xyNNNy2zy
⎟⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎞⎟
=
⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎜⎜⎛−−0ω1⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎟⎞.
Отсюда следует, что орт изображения повер-
нулся в плоскости главного сечения призмы на
угол π/2 и поменял знак, т. е. произошло обо-
рачивание изображения, и повернулся вокруг
оптической оси в плоскости хOz, перпендику-
лярной плоскости главного сечения, на угол
ϕ = ω.
Очевидно, что изменение направления опти-
ческой оси и оборачивание изображения осу-
ществляются в плоскости главного сечения
зеркально-призменной системы. Для обора-
чивания изображения в перпендикулярной
(в сагиттальной) плоскости либо применяют
составную призму, либо заменяют отражаю-
щую поверхность призмы (или одну из отража-
ющих поверхностей) двумя отражающими по-
верхностями, перпендикулярными друг другу,
при этом линия пересечения этих поверхностей
(ребро крыши призмы) должна лежать в пло-
скости главного сечения. Наклон ребра крыши
в плоскости главного сечения призмы эквива-
лентен наклону заменяемой крышей отражаю-
щей поверхности. Однако в процессе изготов-
ления призмы ребро крыши может оказаться
не параллельным плоскости главного сечения.
Рассмотрим случай поворота ребра крыши на
малый угол ω вокруг нормали к ребру, лежащей
в плоскости главного сечения призмы, на при-
мере призмы Шмидта, как показано на рис. 4.
В системе координат, показанной на рис. 4,
положение падающего на ребро (на крышу)
призмы луча определяется проекциями его орта A–′ на оси координат: Ax′ = −sin 22°30′ = = −0,3827, Ay′ = −cos 22°30′ = −0,9239, A′z = 0. В соответствии с рисунком проекции орта р–
ребра
y
B– A– N1 N3
B– ′ A–′
N2
N–
P– Oz
х
ω O
Рис. 4. Погрешность положения ребра крыши прямоугольной призмы относительно плоскости главного сечения.
px = cosω ≈1−0,5ω2 ≈1, py = 0, pz = sinω ≈ ω.
Направление орта A–″ луча, отраженного от двойного (углового) зеркала, определяется формулой
А′′ = M′′A′,
(11)
где
А′
=
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎜
Àx′ Ay′ Az′
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎞⎠
,
A′′ = ⎜⎛⎜⎜⎜⎝⎜⎜⎜ AAAxyz′′′′′′⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞,
M″ – матрица, определяющая направление луча, отраженного от двойного зеркала. Если угол между зеркалами равен 90°, то матрица имеет вид
“Оптический журнал”, 78, 3, 2011
17
М′′ = −⎜⎜⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛−−12−2pp2xxðppx2yz
−2 px py 1−2 py2
−2 py pz
−2 px pz
−2 py pz 1−2 pz2
⎟⎟⎟⎟⎟⎞⎟⎠⎟⎟⎟⎟,
(12)
где px, py, pz – проекции орта p– направления ребра углового зеркала на оси координат. В рас-
сматриваемом случае
М′′ = −⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛⎜⎜−−021ω
0 1 0
−≈021ω⎟⎟⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎞.
При этом
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝ AAAxyz′′′′′′⎟⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠= ⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎜−00,0,79,632583429ω7⎞⎟⎟⎟⎟⎠⎟⎟⎟⎟ .
Отсюда следует, что угол отклонения направления отраженного от углового зеркала луча от номинального направления определится как
ϕ = Az′′ = 0,7654ω. Àx′′2 + Ay′′2
Орт B–′ предмета, перпендикулярный орту A–′ и параллельный оси Oz, можно записать в виде
В = iÂõ + jÂy + kÂz = B′ = iBx′ + jBy′ + kBz′,
где B′x = 0, B′y = 0, B′z = 1. В этом случае, совместив
с
ортом
B– ′
луч,
па-
дающий на угловое зеркало, в соответствии с
формулой (11) в виде B″ = M″B′ получаем
⎜⎜⎜⎝⎜⎜⎜⎜⎛BBBxyz′′′′′′⎟⎟⎟⎟⎠⎟⎟⎟⎟⎞ = −⎜⎜⎜⎝⎜⎜⎜⎜⎛−−021ω
0 1 0
−≈021ω⎟⎟⎟⎟⎠⎟⎟⎟⎟⎞⎜⎜⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎛100⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎟⎟⎟⎞ = ⎜⎜⎜⎝⎜⎜⎜⎜⎛−20ω1⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎟⎟⎟⎞.
Отсюда следует, что орт изображения поменял знак, т. е. произошли оборачивание изображения и поворот на угол ϕ = Bx″/Bz″ = −2ω.
При изготовлении призм всегда возможен случай, когда одна из граней призмы может оказаться не параллельной линии пересечения (ребру) между другими гранями, например в прямоугольной призме, как показано на рис. 5. При этом призма превращается в усеченную пирамиду. Угол между ребром пересечения двух граней и плоскостью третьей грани называется ошибкой пирамидальности. На рис. 5 ошибку пирамидальности определяет угол α.
Угол пирамидальности естественно считать малой величиной. Тогда, принимая высоту пирамиды равной H, пирамидальность для каждой из граней призмы можно выразить следующими соотношениями:
α = ha /H, β = hb /H, γ = hc /H,
где ha, hb, hc – длины перпендикуляров, опущенных из каждого угла призмы на противолежащую грань. Значения пирамидальности взаимосвязаны. Действительно, площадь треугольника АВС – S = 0,5haa = 0,5hbb = 0,5hcc, где a, b, c – стороны треугольника. Умножая площадь треугольника на отношение (2/Н), получаем (2/H)S = aα = bβ = cγ.
Выбор угла для определения требования к пирамидальности призмы определяется ее базированием в конструкции оптического устройства. Кроме прямоугольной призмы АР-90
O
H
c A
h
a
90° ba
B
C Рис. 5. Наклон грани прямоугольной призмы.
18 “Оптический журнал”, 78, 3, 2011
и ее производных конструкций, свойствами пирамидальности обладают такие призмы, как полупентапризма БУ-45, равнобедренная призма ВР-180, призма Шмидта ВР-45 и их производные конструкции. При наклоне одной из граней таких призм, как ромбическая призма БС-0, призма Лемана ВЛ-0, пентапризма БП-90 и их производные конструкции, пирамида не образуется, а следовательно, понятие пирамидальности к ним не применимо.
При номинальных значениях углов призмы нормали к преломляющим и отражающим граням призм параллельны плоскости главного сечения, а по сути дела, расположены в ней, т. е. все нормали к граням призм компланарны. Если одна из противолежащих ребру граней наклонена к нему, то нормаль к ней будет некомпланарна с нормалями к другим граням. Если плоскость главного сечения призмы выбрана в качестве базовой, то нормаль к любой грани призмы может быть компланарна в этой плоскости или некомпланарна (декомпланарна) к ней. Такой подход позволяет оценить в угловой мере декомпланарность нормали к любой грани относительно любой базовой плоскости, т. е. плоскости главного сечения. Следует иметь в виду, что при определении требований к декомпланарности нормалей к поверхностям призмы необходимо учитывать условия базирования призмы в процессе контроля ее параметров.
Декомпланарность поверхностей призмы приводит к отклонению осевого луча, а соответственно, и оптической оси, от номинального положения. Для определения угла отклонения луча, прошедшего через призму с декомпланарными поверхностями, приме′ним закон преломления Декарта в векторной форме:
n(N×A) = n′(N×A′),
(13)
где N– – орт нормали к поверхности в точке падения луча, A–, A–′ – орты направления падающего
и преломленного лучей. Представив орты N–, A– и A–′ через их проек-
ции на оси координат, получим
N = iNx + jNy + kNz , A = iAx + jAy + kAz , A′ = iAx′ + jAy′ + kAz′ .
Тогда
n(N×A) = n ⎢⎡⎣ i (Ny Az − Nz Ay )− − j (Nx Az − Nz Ax )+ k(Nx Ay − Ny Az )⎤⎦⎥.
Аналогично определяется произведение n′(N–×A). В результате получаем выражение закона преломления Декарта в матричной форме
i jk
i jk
n Nx Ny Nz = n′ Nx Ny Nz .
Ax Ay Az
Ax′ Ay′ Az′
(14)
Применим полученное выражение закона преломления для определения угла отклонения луча при прохождении призмы с декомпланарными поверхностями. Будем считать, что плоскость главного сечения призмы расположена в плоскости xOy. Тогда орт N– декомпланарной нормали к поверхности и орт A– падающего на нее луча после преломления на предыдущей (или одной из предыдущих) поверхности, нормаль к которой декомпланарна, можно определить их проекциями на оси координат в виде
A = i cosα + jsinα + kϕ,
(15)
N = i cosβ + jsinβ + kω,
(16)
где ϕ – угол между ортом A– и плоскостью главного сечения призмы, ω – угол между ортом N–
и плоскостью главного сечения призмы.
Подставив соответствующие величины выра-
жений (15) и (16) в формулу (14) и приравнивая соответствующие проекции при ортах –i , –j , k–
в пространствах до и после преломления на
поверхности, получаем систему из трех урав-
нений
n(ϕsinβ− ωsinα) = n′(ϕ′sinβ− ωsinα′),
n(ϕcosβ− ωcosα) = n′(ϕ′cosβ− ωcosα′), n(sinαcosβ− cosαsinβ) = = n′(sinαcosβ− cosα′sinβ).
Полученные выражения легко преобразовать к виду:
ϕ′sin2β =
= (n/n′)(ϕsin2β− ωsinαsinβ)+ ωsinα′sinβ,
ϕ′cos2β =
= (n/n′)(ϕcos2β− ωcosαcosβ)+ ωcosα′cosβ,
nsinε = n′sinε′,
где ε, ε′ – проекции угла падения и угла преломления луча на плоскость главного сечения призмы.
Сложив первые два выражения, в результате последующих преобразований получаем
“Оптический журнал”, 78, 3, 2011
19
ϕ′
=
(n/n′)ϕ
−
n
cos(α
−
β)
− n ′cos(α ′ n′
− β)
ω.
(17)
Пренебрегая малой величиной углов ω и ϕ в степени выше первой, получаем
Nxy ≈ i cosβ0 + j sinβ0.
Аналогично находим, что
Axy ≈ i cosα0 + j sin α0.
Тогда α − β ≈ α0 − β0 = ε0, а α′−β ≈ α0′ − β0 = = ε′0. При этом выражение (17) принимает вид
ϕ′
=
n n′
ϕ
−
n
cos
ε0
− n ′cos ε0′ n′
ω.
(18)
В общем случае это выражение можно представить как
ϕi′
=
ni ni′
ϕi
−
nicos
ε0i −ni+1cos ni+1
ε0′ i
ωi .
(19)
В таком виде полученное выражение пред-
ставляет собой инвариант, который можно
назвать инвариантом декомпланарности; ему
можно придать симметричную форму
òi (ϕi − ωicosε0i ) = ni+1(ϕi+1− ωicosε0i+1), (20) где ϕi + 1 = ϕi′.
Подобное выражение можно получить с помощью сферической тригонометрии [4]. Полученный инвариант (20) применим как для преломляющих, так и для отражающих поверхностей. В случае отражающих поверхностей следует принять n′ = − n. Применив выражение (19) последовательно к каждой из поверхностей призмы, после последней поверхности получим отклонение выходящего из призмы луча от плоскости главного сечения в виде функции от отклонений нормалей ко всем поверхностям призмы от ее главного сечения, т. е. от декомпланарности нормалей к поверхностям призмы.
ЛИТЕРАТУРА
1. Кожевников Ю.Г. Оптические призмы. Проектирование, исследование, расчет. М.: Машиностроение, 1984. 152 с.
2. Вычислительная оптика. Справочник / Под общ. ред. М.М. Русинова. Л.: Машиностроение, 1984. 423 с.
3. Погарев Г.В. Юстировка оптических приборов. Л.: Машиностроение, 1968. 292 c.
4. Чуриловский В.Н. Инварианта пирамидальности // ОМП. 1932. № 11. C. 7–11.
20 “Оптический журнал”, 78, 3, 2011
УДК 681.7.01 ПОГРЕШНОСТИ ИЗГОТОВЛЕНИЯ И УСТАНОВКИ ОТРАЖАТЕЛЬНЫХ ПРИЗМ
© 2011 г. В. А. Зверев, доктор техн. наук; Е. С. Рытова; И. Н. Тимощук, канд. техн. наук
Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, Санкт-Петербург
E-mail: post_vaz@rambler.ru
Проведен анализ влияния на положение базовой линии (оптической оси) погрешностей изготовления и базирования при сборке отражательных призм. Получено выражение закона преломления в матричной форме, позволившее в результате простого и наглядного вывода получить инвариант декомпланарности. Применив его последовательно к каждой из поверхностей призмы, после последней поверхности получим отклонение выходящего из призмы луча от плоскости главного сечения в виде функции от отклонений нормалей ко всем поверхностям призмы от ее главного сечения, т. е. от декомпланарности нормалей к поверхностям призмы.
Ключевые слова: плоскость главного сечения призмы, оптическая ось, развертка отражений в плоскости главного сечения, декомпланарность нормалей к поверхностям призмы.
Коды OCIS: 200.0200,220.0220.
Поступила в редакцию 28.04.2010.
Конструкция призм определяется решаемой ими в оптической схеме функциональной задачей. В результате многолетнего опыта применения из множества возможных конструкций определились типовые конструкции призм, их модификации и сочетания, наиболее широко используемые в практике проектирования оптических систем [1]. При разработке конструкции призмы в качестве конструкторской базы принимается плоскость главного сечения, т. е. плоскость, перпендикулярная линиям пересечения рабочих поверхностей (граней) призмы.
Одним из наиболее распространенных методов расчета отражательных призм является развертка отражений в плоскости главного сечения призмы, с помощью которой достигаются спрямление хода лучей в системах плоских зеркал и приведение отражательных призм к эквивалентным им плоскопараллельным пластинкам [2]. В общем случае из-за погрешностей изготовления развертка призмы приобретает клиновидность, что приводит к изменению направления выходящего из призмы осевого луча на некоторый угол δ, а следовательно, и к
рассогласованию направления оптической оси до призмы с оптической осью последующей за призмой оптической системы.
В качестве примера развертки призмы с двумя отражающими гранями рассмотрим пентапризму ВП-90, развертка отражений на поверхностях которой представлена на рис. 1. В результате погрешностей изготовления углы в главном сечении призмы принимают значения γ = 45° + δγ, θ = 90° + δθ, α1 = 112°30′ + δα1, α2 = 112°30′ + δα2, причем δα1 ≠ δα2.
Из треугольников Р1ВО, Р1Р2О и Р3Р2О имеем
ψ1 = π − γ − α1,
(1)
ψ2 = γ − ψ1 = 2γ + α1 − π,
(2)
ψ3 = γ − ψ2 = 3γ + α1 − π.
(3)
При этом из треугольника РР3С″ получаем
ψ = π − ψ3 − α2 = 2π −3γ − α1 − α2.
(4)
При номинальном значении углов клиновидность развертки отражений на поверхностях призмы ψ0 = 0. Тогда, дифференцируя
14 “Оптический журнал”, 78, 3, 2011
P2
2
P3
3
O
B
1
A
2 2
C
1 1
B
A
C
2
A
1
P1
P
Рис. 1. Развертка отражений на поверхностях пентапризмы.
δθ = 2δγ.
При θ0 ≠ 90° имеем δθ = δθ− δψ = 2δγ. При этом угол отклонения направления
оптической оси от номинального определится
выражением
δϕ = δθ + (n −1)δψ = = (5−3n)δγ −(n −1)(δα1 + δα2).
(8)
Предположим, что все углы в главном се-
чении изготовленной прямоугольной призмы
имеют номинальные значения. Предположим
также, что в процессе сборки при креплении
призмы в оптическом устройстве она поверну-
лась вокруг точки N1 в плоскости главного сечения на малый угол ω, как показано на рис. 2, где A– – орт направления оптической оси, обра-
зующий с нормалью к поверхности в точке N1 малый угол ε1 = ω. В соответствии с законом преломления sinω = nsinε1′ .
После преломления в точке N1 оптическая ось пересекает отражающую поверхность призмы в точке N2, образуя с ортом нормали N–2 к поверхности угол ε2 = 45° + ω − (ε1 − ε′2). В соответствии с законом отражения при n′ = −n
имеем ε′2 = −ε2. После отражения от поверхности призмы в точке N2 оптическая ось пересекает вторую плоскую грань призмы в точке
N3, образуя с нормалью к поверхности угол −ε3. Из треугольника N3N2K на рис. 2 следует, что 90° + ε3 + ε2 + 45° = 180°. Отсюда
выражение (4) и заменяя дифференциалы конечными разностями, получаем
δψ = −3δγ − δα1 − δα2.
(5)
Отсюда следует, что клиновидность развертки отражений призмы отсутствует при соблюдении условия
3δγ + δα1 + δα2 = 0.
(6)
Сумма углов в главном сечении пентаприз-
мы γ + θ + α1 + α2 = 2π. Дифференцируя это соотношение, получаем
δθ = −δγ − δα1 − δα2 = δψ + 2δγ.
(7)
При δψ = 0 отклонение направления оптической оси от номинального в пространстве после призмы равно погрешности угла θ0 = 90°, т. е.
“Оптический журнал”, 78, 3, 2011
A–
1
N1
N– 2 P
N2 2
K N3
A– –3 δϕϕ Рис. 2. Погрешность базирования прямоугольной призмы в плоскости главного сечения.
15
находим, что угол ε3 = −ε2 + 45°. При этом имеем sinε3′ = nsinε3′ . Однако учитывая, что угол ω – мал, получаем
ε3′ = nε3 = −n(ε2 −45°) =
=
−n⎛⎜⎜⎝45°
+
ω−
ω
+
1 n
ω
−
45°⎞⎟⎟⎟⎠
=
−ω.
В результате получаем, что при малом повороте призмы на угол ω оптическая ось отклоняется от номинального направления на угол, равный
δϕ = ω− ε3′ = 2ω.
(9)
Предположим, что в процессе сборки идеально изготовленная призма получила поворот вокруг оптической оси, расположенной в пространстве перед призмой, на малый угол ω, как показано на рис. 3. Рассмотрим при этом ход луча, падающего на призму вдоль оптической оси и представленного ортом A–.
При прохождении первой грани призмы направление луча не изменяется. С началом в точке пересечения луча с отражающей гранью призмы введем систему декартовых координат x, y, z. Орт –i оси Ox совместим с ортом A– луча. При этом A– = –iAx. Будем считать, что ось Oy расположена в плоскости главного сечения призмы в исходном положении. При этом орт нормали призмы в исходном положении можно записать как
N = iNx + jNy,
где
Nx = cos45° =
2 2
,
Ny = cos45° =
2 2
.
При повороте призмы проекция Nx орта нормали остается неизменной, а проекция Ny становится равной
Ny = cos45°cosω =
2 2
⎜⎛⎝⎜⎜1−
1 2
ω2
⎠⎞⎟⎟⎟
≈
2 2
.
При этом появится проекция на ось Oz, равная
Nz = cos45°sinω =
2 2
ω.
Если известна матрица-столбец A проекций орта падающего луча и проекции орта нормали к отражающей поверхности в точке падения луча, то матрица-столбец A′ орта отраженного луча определится формулой [3]
А′ = M′A,
(10)
где А = (Àx, Ay, )Az T, A′ = (Àx′, Ay′, Az′ )T,
M′ = ⎜⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛−−122−NN2xxNNNx2yz
−2Nx Ny 1 − 2Ny2
−2Ny Nz
−2Nx Nz
−2Ny Nz 1 − 2Nz2
⎠⎟⎟⎟⎟⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟.
Подставив в формулу (10) значения величин
Ax = 1, Ay = Az = 0, Nx = Ny = 2/2, Nz = ( 2/2)ω,
y
N– yz x
zО
B– A–
N– xy О
Рис. 3. Погрешность базирования прямоугольной призмы в плоскости, перпендикулярной плоскости главного сечения.
16 “Оптический журнал”, 78, 3, 2011
получаем Ax′ = 0, Ay′ = −1, Az′ = −ω. При этом угол отклонения оптической оси от номинального
направления ϕ = A′z/A′y = ω, т. е. оптическая ось с плоскостью главного сечения, а следователь-
но, и с номинальным направлением, образует
угол, равный ω. Орт B– предмета, перпендикулярный орту A–
и параллельный оси Oy, можно записать как B– =П–iBоxсл+е–jBпyер+вk–оBйz,пгодвееBрхxн=ос0т,иByо=рт1,B–Bzо=ст0а.ется неизменным. Совместим с ортом B– луч, падаю-
щий на отражающую поверхность. Тогда орт
отраженного луча определится формулой (10) как B′ = M′B. В рассматриваемом случае имеем
⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎜⎜⎛
Âx′ By′ Bz′
⎟⎟⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎞
=
⎜⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛−−122−NN2xyNNNy2zy
⎟⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎞⎟
=
⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎜⎜⎛−−0ω1⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎟⎞.
Отсюда следует, что орт изображения повер-
нулся в плоскости главного сечения призмы на
угол π/2 и поменял знак, т. е. произошло обо-
рачивание изображения, и повернулся вокруг
оптической оси в плоскости хOz, перпендику-
лярной плоскости главного сечения, на угол
ϕ = ω.
Очевидно, что изменение направления опти-
ческой оси и оборачивание изображения осу-
ществляются в плоскости главного сечения
зеркально-призменной системы. Для обора-
чивания изображения в перпендикулярной
(в сагиттальной) плоскости либо применяют
составную призму, либо заменяют отражаю-
щую поверхность призмы (или одну из отража-
ющих поверхностей) двумя отражающими по-
верхностями, перпендикулярными друг другу,
при этом линия пересечения этих поверхностей
(ребро крыши призмы) должна лежать в пло-
скости главного сечения. Наклон ребра крыши
в плоскости главного сечения призмы эквива-
лентен наклону заменяемой крышей отражаю-
щей поверхности. Однако в процессе изготов-
ления призмы ребро крыши может оказаться
не параллельным плоскости главного сечения.
Рассмотрим случай поворота ребра крыши на
малый угол ω вокруг нормали к ребру, лежащей
в плоскости главного сечения призмы, на при-
мере призмы Шмидта, как показано на рис. 4.
В системе координат, показанной на рис. 4,
положение падающего на ребро (на крышу)
призмы луча определяется проекциями его орта A–′ на оси координат: Ax′ = −sin 22°30′ = = −0,3827, Ay′ = −cos 22°30′ = −0,9239, A′z = 0. В соответствии с рисунком проекции орта р–
ребра
y
B– A– N1 N3
B– ′ A–′
N2
N–
P– Oz
х
ω O
Рис. 4. Погрешность положения ребра крыши прямоугольной призмы относительно плоскости главного сечения.
px = cosω ≈1−0,5ω2 ≈1, py = 0, pz = sinω ≈ ω.
Направление орта A–″ луча, отраженного от двойного (углового) зеркала, определяется формулой
А′′ = M′′A′,
(11)
где
А′
=
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎜
Àx′ Ay′ Az′
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎞⎠
,
A′′ = ⎜⎛⎜⎜⎜⎝⎜⎜⎜ AAAxyz′′′′′′⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞,
M″ – матрица, определяющая направление луча, отраженного от двойного зеркала. Если угол между зеркалами равен 90°, то матрица имеет вид
“Оптический журнал”, 78, 3, 2011
17
М′′ = −⎜⎜⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛−−12−2pp2xxðppx2yz
−2 px py 1−2 py2
−2 py pz
−2 px pz
−2 py pz 1−2 pz2
⎟⎟⎟⎟⎟⎞⎟⎠⎟⎟⎟⎟,
(12)
где px, py, pz – проекции орта p– направления ребра углового зеркала на оси координат. В рас-
сматриваемом случае
М′′ = −⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛⎜⎜−−021ω
0 1 0
−≈021ω⎟⎟⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎞.
При этом
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝ AAAxyz′′′′′′⎟⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠= ⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎜−00,0,79,632583429ω7⎞⎟⎟⎟⎟⎠⎟⎟⎟⎟ .
Отсюда следует, что угол отклонения направления отраженного от углового зеркала луча от номинального направления определится как
ϕ = Az′′ = 0,7654ω. Àx′′2 + Ay′′2
Орт B–′ предмета, перпендикулярный орту A–′ и параллельный оси Oz, можно записать в виде
В = iÂõ + jÂy + kÂz = B′ = iBx′ + jBy′ + kBz′,
где B′x = 0, B′y = 0, B′z = 1. В этом случае, совместив
с
ортом
B– ′
луч,
па-
дающий на угловое зеркало, в соответствии с
формулой (11) в виде B″ = M″B′ получаем
⎜⎜⎜⎝⎜⎜⎜⎜⎛BBBxyz′′′′′′⎟⎟⎟⎟⎠⎟⎟⎟⎟⎞ = −⎜⎜⎜⎝⎜⎜⎜⎜⎛−−021ω
0 1 0
−≈021ω⎟⎟⎟⎟⎠⎟⎟⎟⎟⎞⎜⎜⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎛100⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎟⎟⎟⎞ = ⎜⎜⎜⎝⎜⎜⎜⎜⎛−20ω1⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎟⎟⎟⎞.
Отсюда следует, что орт изображения поменял знак, т. е. произошли оборачивание изображения и поворот на угол ϕ = Bx″/Bz″ = −2ω.
При изготовлении призм всегда возможен случай, когда одна из граней призмы может оказаться не параллельной линии пересечения (ребру) между другими гранями, например в прямоугольной призме, как показано на рис. 5. При этом призма превращается в усеченную пирамиду. Угол между ребром пересечения двух граней и плоскостью третьей грани называется ошибкой пирамидальности. На рис. 5 ошибку пирамидальности определяет угол α.
Угол пирамидальности естественно считать малой величиной. Тогда, принимая высоту пирамиды равной H, пирамидальность для каждой из граней призмы можно выразить следующими соотношениями:
α = ha /H, β = hb /H, γ = hc /H,
где ha, hb, hc – длины перпендикуляров, опущенных из каждого угла призмы на противолежащую грань. Значения пирамидальности взаимосвязаны. Действительно, площадь треугольника АВС – S = 0,5haa = 0,5hbb = 0,5hcc, где a, b, c – стороны треугольника. Умножая площадь треугольника на отношение (2/Н), получаем (2/H)S = aα = bβ = cγ.
Выбор угла для определения требования к пирамидальности призмы определяется ее базированием в конструкции оптического устройства. Кроме прямоугольной призмы АР-90
O
H
c A
h
a
90° ba
B
C Рис. 5. Наклон грани прямоугольной призмы.
18 “Оптический журнал”, 78, 3, 2011
и ее производных конструкций, свойствами пирамидальности обладают такие призмы, как полупентапризма БУ-45, равнобедренная призма ВР-180, призма Шмидта ВР-45 и их производные конструкции. При наклоне одной из граней таких призм, как ромбическая призма БС-0, призма Лемана ВЛ-0, пентапризма БП-90 и их производные конструкции, пирамида не образуется, а следовательно, понятие пирамидальности к ним не применимо.
При номинальных значениях углов призмы нормали к преломляющим и отражающим граням призм параллельны плоскости главного сечения, а по сути дела, расположены в ней, т. е. все нормали к граням призм компланарны. Если одна из противолежащих ребру граней наклонена к нему, то нормаль к ней будет некомпланарна с нормалями к другим граням. Если плоскость главного сечения призмы выбрана в качестве базовой, то нормаль к любой грани призмы может быть компланарна в этой плоскости или некомпланарна (декомпланарна) к ней. Такой подход позволяет оценить в угловой мере декомпланарность нормали к любой грани относительно любой базовой плоскости, т. е. плоскости главного сечения. Следует иметь в виду, что при определении требований к декомпланарности нормалей к поверхностям призмы необходимо учитывать условия базирования призмы в процессе контроля ее параметров.
Декомпланарность поверхностей призмы приводит к отклонению осевого луча, а соответственно, и оптической оси, от номинального положения. Для определения угла отклонения луча, прошедшего через призму с декомпланарными поверхностями, приме′ним закон преломления Декарта в векторной форме:
n(N×A) = n′(N×A′),
(13)
где N– – орт нормали к поверхности в точке падения луча, A–, A–′ – орты направления падающего
и преломленного лучей. Представив орты N–, A– и A–′ через их проек-
ции на оси координат, получим
N = iNx + jNy + kNz , A = iAx + jAy + kAz , A′ = iAx′ + jAy′ + kAz′ .
Тогда
n(N×A) = n ⎢⎡⎣ i (Ny Az − Nz Ay )− − j (Nx Az − Nz Ax )+ k(Nx Ay − Ny Az )⎤⎦⎥.
Аналогично определяется произведение n′(N–×A). В результате получаем выражение закона преломления Декарта в матричной форме
i jk
i jk
n Nx Ny Nz = n′ Nx Ny Nz .
Ax Ay Az
Ax′ Ay′ Az′
(14)
Применим полученное выражение закона преломления для определения угла отклонения луча при прохождении призмы с декомпланарными поверхностями. Будем считать, что плоскость главного сечения призмы расположена в плоскости xOy. Тогда орт N– декомпланарной нормали к поверхности и орт A– падающего на нее луча после преломления на предыдущей (или одной из предыдущих) поверхности, нормаль к которой декомпланарна, можно определить их проекциями на оси координат в виде
A = i cosα + jsinα + kϕ,
(15)
N = i cosβ + jsinβ + kω,
(16)
где ϕ – угол между ортом A– и плоскостью главного сечения призмы, ω – угол между ортом N–
и плоскостью главного сечения призмы.
Подставив соответствующие величины выра-
жений (15) и (16) в формулу (14) и приравнивая соответствующие проекции при ортах –i , –j , k–
в пространствах до и после преломления на
поверхности, получаем систему из трех урав-
нений
n(ϕsinβ− ωsinα) = n′(ϕ′sinβ− ωsinα′),
n(ϕcosβ− ωcosα) = n′(ϕ′cosβ− ωcosα′), n(sinαcosβ− cosαsinβ) = = n′(sinαcosβ− cosα′sinβ).
Полученные выражения легко преобразовать к виду:
ϕ′sin2β =
= (n/n′)(ϕsin2β− ωsinαsinβ)+ ωsinα′sinβ,
ϕ′cos2β =
= (n/n′)(ϕcos2β− ωcosαcosβ)+ ωcosα′cosβ,
nsinε = n′sinε′,
где ε, ε′ – проекции угла падения и угла преломления луча на плоскость главного сечения призмы.
Сложив первые два выражения, в результате последующих преобразований получаем
“Оптический журнал”, 78, 3, 2011
19
ϕ′
=
(n/n′)ϕ
−
n
cos(α
−
β)
− n ′cos(α ′ n′
− β)
ω.
(17)
Пренебрегая малой величиной углов ω и ϕ в степени выше первой, получаем
Nxy ≈ i cosβ0 + j sinβ0.
Аналогично находим, что
Axy ≈ i cosα0 + j sin α0.
Тогда α − β ≈ α0 − β0 = ε0, а α′−β ≈ α0′ − β0 = = ε′0. При этом выражение (17) принимает вид
ϕ′
=
n n′
ϕ
−
n
cos
ε0
− n ′cos ε0′ n′
ω.
(18)
В общем случае это выражение можно представить как
ϕi′
=
ni ni′
ϕi
−
nicos
ε0i −ni+1cos ni+1
ε0′ i
ωi .
(19)
В таком виде полученное выражение пред-
ставляет собой инвариант, который можно
назвать инвариантом декомпланарности; ему
можно придать симметричную форму
òi (ϕi − ωicosε0i ) = ni+1(ϕi+1− ωicosε0i+1), (20) где ϕi + 1 = ϕi′.
Подобное выражение можно получить с помощью сферической тригонометрии [4]. Полученный инвариант (20) применим как для преломляющих, так и для отражающих поверхностей. В случае отражающих поверхностей следует принять n′ = − n. Применив выражение (19) последовательно к каждой из поверхностей призмы, после последней поверхности получим отклонение выходящего из призмы луча от плоскости главного сечения в виде функции от отклонений нормалей ко всем поверхностям призмы от ее главного сечения, т. е. от декомпланарности нормалей к поверхностям призмы.
ЛИТЕРАТУРА
1. Кожевников Ю.Г. Оптические призмы. Проектирование, исследование, расчет. М.: Машиностроение, 1984. 152 с.
2. Вычислительная оптика. Справочник / Под общ. ред. М.М. Русинова. Л.: Машиностроение, 1984. 423 с.
3. Погарев Г.В. Юстировка оптических приборов. Л.: Машиностроение, 1968. 292 c.
4. Чуриловский В.Н. Инварианта пирамидальности // ОМП. 1932. № 11. C. 7–11.
20 “Оптический журнал”, 78, 3, 2011