Нестационарный массообмен в процессах удаления влаги из фосфолипидных эмульсии подсолнечного масла

УДК 519.8: 665.37.047.79
Нестационарный массообмен в процессах удаления влаги из фосфолипидных эмульсии подсолнечного масла
C. Алтайулы, С. Т. Антипов, И.О. Павлов Воронежский государственный университет инженерных технологий
sagimbek@mail.ru Предложено решение задачи нестационарного массообменного процесса удаления влаги из фосфолипидной эмульсии подсолнечных масел в вакуумном цилиндрическом ротационно-пленочном аппарате с использованием метода конечных элементов.
Ключевые слова: математическое моделирование, метод конечных элементов, массообмен, фосфолипидные эмульсии, ротационно-пленочный аппарат.
Unsteady mass transfer processes in removing moisture from the phospholipid emulsion of sunflower oil
S. Altayuly,S.T. Antipov, I.O. Pavlov
Voronezh State University of Engineering Technology sagimbek@mail.ru
Proposed solution to the problem of unsteady mass transfer processes, removal of moisture from the phospholipid emulsion of sunflower oil in a cylindrical vacuum rotary-film apparatus, using the finite element method
Keywords: mathematical modeling, finite element method, mass transfer, phospholipid emulsions, rotary-film apparatus.
Распределение высоковязкой термолабильной фосфолипидной эмульсии на внутреннюю поверхность цилиндрического корпуса аппарата осуществляется центробежной силой вращающимися лопастями ротора и создает горизонтально расположенную цилиндрическую тонкослойную кольцевую пленку. Фосфолипидная эмульсия в виде тонкой пленки

перемешается вдоль ротационно-пленочного аппарата в зависимости от подачи фосфолипидной эмульсий по зазору между кромки лопасти ротора и внутренней поверхности корпуса аппарата. Преимуществом тонкого слоя при выпаривании в ротационно-пленочных аппаратах под вакуумом является малое время пребывания высоковязких жидких пищевых термолабильных продуктов в зоне нагрева.
Слой фосфолипидной эмульсии можно представить в виде кольцевой

цилиндрической фигуры радиусом R, толщиной  = R – Rc, длиной L и внутренним радиусом кольца Rc . Температура внутренней стенки корпуса аппарата на этом участке нагрева поддерживается постоянной и на внутренней поверхности пленки происходит испарение под вакуумом.
Для решения задачи принимаем уравнение нестационарного массопереноса вещества C  r, z, t в цилиндрической системе координат r, z

[1, 2]

C t

 vr

C  r



v

z

C  z



Dm



1 r

 r



 

r



C r

 



2C z2



,

r [Rc ,

R] ,

z [0,

L] ,

t [0,

tk ] ,

(1)

с начальным условием

Cr, z, 0  C0 , где C0  const ,

(2)

и граничными условиями первого рода на границе S1:
Cr, z, t  S1  C0 ,

(3)

третьего рода на границе S2:

 Dm 

C(r, z, t)  r

S2

  Cп

 C 
,

(4)

условием непроницаемости на границе S4:

 C(r, z, t)  0

 r S4

,

(5)

где vr ,vz – компоненты вектора скорости в направлении осей r и z , которые могут быть определены из уравнений Навье-Стокса.

В новых переменных

r  r / L , z  z / L ,   t / tk уравнение (1) представим в безразмерной форме

(6)

C 

 ur

 

C r

 uz

 

C z



K1



1 r

 r

 r 

C r

  

2C z 2



,

r [rc, rk ] , z [0, zk ] ,  [0, 1] ,

(7)

где rc  Rc / L ; rk  R / L ; zk  L / L ; ur  vr / v ; uz  vz / v ; v  L / tk ; L , v – масштабная длина области и базовая скорость системы соответственно. За

масштабную длину принимаем наружный радиус – L  R . Условия (2) – (5) в новых переменных (6) принимают вид
Cr. z, 0  C0 ; Cr. z,  z 0  C0 ;



C(r, z, t) r

r  rc

 Bim Cп

 C 
;



C(r, z, r

t)

r rk

0
.

(8)

Решение дифференциального уравнения (7) – (8) заменим другой задачей,

т.е. найти распределение концентрации Cr, z,   , которое минимизирует

следующий функционал

J



1 2


V

 K 

1

  



 

C r

 2





 

C z



2

  



2C

 

dC d

 

r dV  Bi m 2

 r C  C 2
S2

dS

,

(9)

где V – объем исследуемой области; S - площадь соответствующей

поверхности.

Вся область разбивается на NE конечных элементов [3]. Тогда условие

минимизации значения функционала (9) принимает следующий вид

      J
 Ce T





 Ce T

NE


J

e

e 1



eNE1CJee T

0
.

(10)

При этом используем четырехузловой изопараметрический конечный

элемент. Для аппроксимации концентрации C во всей области конечного элемента используем функции форм следующего вида

 Cq,s 

4


Ni

q,

s

Ci



Nq, s Ce

i1 ,

где Niq, s - функции форм; C e - вектор узловых концентраций
   конечного элемента, Ce  C1e C2e C3e C4e .

Из условия минимального значения для функционала (10) получим

систему линейных дифференциальных уравнений вида

      me C e  ke Ce  pe ,

(11)

  me   r NT N dV

где V e

;

         Ce



  

C e 

  

;

k e  k1e  k2e  k3e ;

 k1e

 K1  r V e

  

  

 

N r

  

T

  

 

N r

  





 



N z

T  

  

 

N z

  

  

dV

:

 k2e  Bim  r N T N  dS
;S3

   k3e



V

e

r

N

T

uz

  

 

N z

  

dV
;

p(e)  Bim  r N T T dS
.S 2e 

Общая система уравнений формируется из систем линейных

дифференциальных уравнений конечных элементов (11)

M C KC P.

(12)

Систему (13) решаем, используя схему Кранка–Николсона [4].

Предполагаем, что

   C 



C



 2

C   C

,

(13)

где Δτ – шаг интегрирования. Из (13) выражаем скорость изменения

концентрации в момент времени    в виде следующего уравнения

   С 

 С



2 

С





С



.

(14)

Из выражений (12) и (14), получаем конечно-разностное уравнение для

определения искомой зависимости

    2
 

M



K

С







M




2 

С



С

  

Pcp

,

(15)

где Pcp – вектор-столбец правой части уравнения (15) в момент времени

   / 2 . Алгоритм этой схемы состоит в последовательном решении уравнения (15).

Метод конечных элементов реализован в математическом пакете символьной математики Maple [5], использование которого позволяет исследовать нестационарный массообменный процесс при удалении влаги из фосфолипидной эмульсии подсолнечных масел и проектировать высокоэффективные конструкции цилиндрического ротационно-пленочного аппарата.
Обозначения C,C0, Cп ,C – концентрация распределяемого вещества (влаги), кг/кг: текущая, начальная, на поверхности слоя и в ядре внешней фазы; R, Rc – наружный и внутренний радиус цилиндрического кольца слоя фосфолипидной эмульсии, м; L – длина аппарата, м; t – время протекания процесса, с; vr , vz – компоненты вектора скорости в направлении осей r и z , м/ к; Dm – коэффициент диффузии, м2/с;  – коэффициент массоотдачи, м/с; K1 1/(Re Sc) – комплексный критерий; Re v L / – число Рейнольдса; Sc   / Dm – число Шмидта; Bim   L / Dm – критерий Био массообменный;  – коэффициент кинематической вязкости, м2/с.
Список литературы: 1. Кафаров, В. В. Основы массопередачи. [Текст] / В. В. Кафаров. – М: Высш. школа, 1979. – 439 с. 2. Лыков, А. В.Теория тепло- и массопереноса [Текст] / А. В. Лыков, Ю. А. Михайлов. – М.: Госэнегоиздат, 1963. – 563 с. 3. Сигерлинд, Л. Применение метода конечных элементов [Текст] / Л. Сигерлинд. – М.: Мир,1979. – 392 с. 4. Митчелл, Э. Метод конечных элементов для уравнений с частными производными [Текст] /Э. Митчелл, Р. Уэйт. – М.: Мир,1981. – 216 с.

5. Аладьев В.З. Maple 6. Решение математических, статистических и физико-технических задач. [Текст] / В. З. Аладьев, М. А. Богдявичус. – М.: Лаборатория базовых знаний, 2001. – 824 с.