Особенности течения тонких пленок жидкости в условиях проскальзывания на обтекаемой поверхности
УДК 664.03+664.08
Особенности течения тонких пленок жидкости в условиях проскальзывания на обтекаемой поверхности
В. В. ПЕЛЕНКО, В. А. АРЕТ, К. Э. ДАЙНЕКО, Е. И. ВЕРБОЛОЗ, В. П. ИВАНЕНКО, Ф. В. ПЕЛЕНКО, А. Г. КРЫСИН valdurtera@rambler.ru
Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет ИТМО Институт холода и биотехнологий
191002, Санкт-Петербург, ул. Ломоносова, 9
Решена задача определения зависимости толщины слоя вязкой жидкости на поверхности вертикальной пластины и скорости стекания жидкости при наличии сил поверхностного натяжения, инерционных сил и явления проскальзывания. Ключевые слова: ламинарный режим, вязкость, пограничный слой.
Features of flow of thin-films of liquid in the conditions of slipping
on the streamlined surface
V. V. PELENKO, W. A. ARET, K. E. DAYNEKO, E. I. VERBOLOZ, V. P. IVANENKO, F. V. PELENKO, A. G. KRYSIN
National Research University of Information Technologies, Mechanics and Optics Institute of Refrigeration and Biotechnologies 191002, St. Petersburg, Lomonosov str., 9
Solved the task of determining the dependence of the thickness of a layer of a viscous liquid on the surface of a vertical plate and speed of flow of the liquid in the presence of surface tension forces, inertia forces and phenomena of slippage. Keywords: laminar mode of a current, viscidity, frontier layer.
В технологиях связанных с транспортировкой и переработкой пищевых продуктов особую роль играют гидродинамические процессы основой которых является движение жидкости в системах (мойка, осушка, транспортирование и т. д.). Кинетика этих процессов зависит от множества факторов и, в частности, от поверхностного натяжения и вязкости жидкости. Учет этих свойств особенно важен при течении тонких пленок в условиях проскальзывания на стенке.
На сегодняшний день экспериментально установлено три различных режима течения [1]: 1. Обычный режим вязкого течения жидкости с постоянной толщиной пленки и числах Re не превышающих 20 ÷ 30; 2. Волновой режим течения при Re > 30 ÷ 50 , когда наряду с поступательным движением в жидкости возникает волновая компонента; 3. При Re примерно равном 1500 ламинарный режим течения переходит в турбулентный.
В нашем случае особенный интерес представляют системы пищевых материалов, в том числе высоковязких, с ламинарным режимом течения жидкостей по их поверхности в условиях проскальзывания на стенке [3, 4].
При квазиодномерном (в плане) характере движения жидкости в тонкой пленке (переменной толщиной h) все производные в направлении поперек пленки (ось У) велики по сравнению с производными вдоль поверхности обтекания (ось Х) и уравнения математической модели процесса допускают определенные упрощения.
Уравнения Навье - Стокса в виде уравнений пограничного слоя запишутся, согласно работам [1,2], следующим образом:
+ + =- +ν +f ,
(1)
где: f - объемная сила, отнесенная к единице плотности и направленная вдоль оси Х;
- скорость движения жидкости вдоль оси Х и У соответственно,
- время, - плотность, - давление, ν - кинематическая вязкость. Второе уравнение пограничного слоя:
+ =- +ν + ),
(2)
в условиях пренебрежения локальными компонентами высшего порядка малости упрощается до выражения:
=0 Уравнение
неразрывности
имеет
(3) вид:
+ =0
(4)
На свободной поверхности жидкости y = h(x) выполняются соотношения: P= ;
= 0;
μ = 0;
(5)
=;
(6)
- давление, обусловленное силами поверхностного натяжения;
– продольная скорость жидкости на поверхности пленки y = h;
μ = νg – динамическая вязкость; g – ускорение силы тяжести.
На поверхности твердого тела y = 0 запишем соотношения, учитывающие явление проскальзывания [3] потока на стенке и отличные от классических, приведенных в работах [1,2], (отходим от гипотезы прилипания):
= 0; (7)
= φ (8)
μ ==.
(9)
где: 0 ≤φ≤1 - коэффициент проскальзывания; коэффициент поверхностного натяжения стекающей жидкости;
длина пути обтекания (размер обтекаемой пластины вдоль оси Х).
Выражение (7) принципиально отличается от классического [1 - 4] случая «прилипания» на стенке и характеризует особенности процесса течения вязких продуктов - наличие «проскальзывания». Ориентировочно, по данным работы [5], можно считать: 0,35≤φ ≤ 0,65.
Для малой толщины пленки и кривизны обтекаемой поверхности можно записать [1]:
=Тогда:
+
. +
=
+ν +f
(10)
При этом необходимо иметь в виду, что координата поверхности пленки h связанна с компонентами скоростей (для тонкой пленки) соотношением:
=+
=+
Из уравнения неразрывности следует:
(11)
=-
Уравнение (10) принимает вид:
+–
= +ν
+f
(12) (13)
С учетом уравнений (11) и (12), координата поверхности тонкой пленки h связана с соотношением:
= - (14)
Уравнение (13) для медленного стационарного движения пленки в поле сил тяжести примет вид [1]:
ν +g=0
(15)
Интегрируя (15) при граничных условиях (6),(8) и (9) получим:
= С1.
(16)
Из (6) следует: С1= h .
(17)
Из (9) получаем: С1 = .
(18)
Из системы уравнений (17) – (18) можно оценить реальную величину h – толщину пленки:
h= .
(19)
В таком случае уравнение (16) принимает вид:
=.
(20)
Интегрируя (20), получим:
= + + С2.
(21)
C учетом граничного условия (6) имеем:
С2 = +
-.
(22)
Из условия (8) следует соотношение:
С2 = .
(23)
Решая уравнения (22) и (23)совместно, найдем оценочное значение
величины
=1+ (
(24)
С учетом (19) уравнение (24) может быть приведено к основным физико-механическим, кинематическим и реологическим характеристикам жидкости и обтекаемой поверхности:
=1 .
(25)
Уравнение (21) с учетом (23) принимает вид:
= ++.
(26)
Из (25) следует соотношение:
=,
(27)
С учетом (27) аналитическое выражение для скорости стекания вязкой пленочной жидкости по поверхности вертикальной пластины под действием силы тяжести с учетом сил поверхностного натяжения и явления проскальзывания на стенке запишется в следующей окончательной компактной форме:
= ++
(28)
Осуществим количественную оценку величин h (толщина пленки, стекающей по вертикальной поверхности пластины) и (коэффициент
проскальзывания потока жидкости при обтекании вертикальной поверхности пластины) в соответствии с полученными соотношениями (19) и (25).
Для воды имеем следующие характеристики [6, 7]: = 0,072 Н/м; = 0,88.10-3 Па.с; (для Т=250С);
= 0,0686 Н/м; = 0,586.10-3 Па.с; (для Т=450С);
= 103 кг/м3; = 9,81 м/с2;
Ср = 1860 Дж/кг . К – удельная массовая теплоемкость воды при постоянном давлении;
Для случая стекания моечной жидкости с вертикально расположенного плода кураги длина обтекания « » может быть принята
равной: = 0,035 мм,
масса плода M = 16 граммов, площадь поверхности S = 16 см2.
В таком случае получаем следующие величины: h25 = 0,21 мм; h45 = 0,20 мм. Масса механически удаленной влаги составляет при этом m = 3,2 мг. Как следует из расчетов, с повышением температуры моющей среды с 250С до 450С количество влаги на поверхности плода кураги уменьшается на 5%, что дает существенную экономию тепловой энергии при досушивании продукта. Вторым выводом из полученных результатов следует очевидная возможность использования разработанных уравнений (19) и (25) для экспериментального определения толщины стекающей пленки h и
коэффициента проскальзывания жидкости на стенке.
25 = 1- ; 45 = 1-
.
Третий вывод, который следует из полученных результатов, состоит в возможности существенно интенсифицировать процесс механического съема поверхностной влаги с пищевых материалов после их мойки. Действительно, как видим по соотношениям (19) и (25), для обеспечения наиболее полного механического удаления поверхностной влаги необходимо минимизировать величину h в (19) и максимизировать в (25), то есть минимизировать второе
слагаемое в (25). И то, и другое может быть осуществлено одним из очевидных и реальных путей – увеличением объемной силы , что достигается
использованием метода встряхивания. Количественная оценка механических колебаний показывает, что при
частоте встряхивания емкости с продуктом ω = 2 Герца, с амплитудой А = 0,25м удается увеличить второе слагаемое уравнения (25) почти вдвое – в 1,8
раза, при этом толщина остающейся на поверхности плода жидкостной пленки также уменьшается в 1,8 раза.
Таким образом, процесс механического встряхивания позволяет почти вдвое снизить количество влаги, остающейся на поверхности единичного плода (с 3,2мг до 1,7 мг), и тем самым почти вдвое снизить энергозатраты на испарение в процессе последующей досушки.
При этом на осуществление процесса механического съема 1,5 мг влаги с
плода кураги затрачивается энергия: W = M ω2 A2 = 4.10-3 Дж.
В случае конвективно-тепловой осушки поверхностной влаги, только на тепловую составляющую, без учета аэродинамических расходов, потребуется энергия: Q = m Cp (T2 –T1) = 1,5 .10-6 . 1860. (45 -25) =55,8.10-3 Дж, что почти в 15 раз превышает энергоемкость механического процесса съема поверхностной влаги.
Список литературы 1. В.Г. Левич. Физико-химическая гидродинамика. - М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1959. - 700 с. 2. Г. Шлихтинг. Теория пограничного слоя.- М.: «Наука», 1969. – 744 с. 3. Пеленко В.В., Арет В.А., Гусев Б.К., Пеленко Ф.В. Течение вязкопластических нелинейных сред с пограничным проскальзыванием // Вестник Красноярского государственного аграрного университета: Межвуз. сб. науч. тр. - Красноярск: Крас. ГАУ, 2008. - Вып. №2. - С. 54-57. 4. Пеленко В.В., Арет В.А., Васильев Д.А., Морозов Е.А., Пеленко Ф.В. Течение продуктов обработки растительного сырья в перерабатывающих аппаратах // Пищевая технология. - М.: Известия ВУЗов, 2008. - Вып. №5-6. С. 77-80. 5. Зайцев А.В., Пеленко Ф.В. Моделирование течения вязкой жидкости в трубе // [Электронный ресурс]: электронный научный журнал «Процессы и аппараты пищевых производств». – Электронный журнал. – Санкт-Петербург: СПбГУНиПТ, 2012. - №1. – март 2012. 6. Л.С. Артюшков. Динамика ненютоновских жидкостей. – Л.: ЛКИ, 1979.-228 с.
Особенности течения тонких пленок жидкости в условиях проскальзывания на обтекаемой поверхности
В. В. ПЕЛЕНКО, В. А. АРЕТ, К. Э. ДАЙНЕКО, Е. И. ВЕРБОЛОЗ, В. П. ИВАНЕНКО, Ф. В. ПЕЛЕНКО, А. Г. КРЫСИН valdurtera@rambler.ru
Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет ИТМО Институт холода и биотехнологий
191002, Санкт-Петербург, ул. Ломоносова, 9
Решена задача определения зависимости толщины слоя вязкой жидкости на поверхности вертикальной пластины и скорости стекания жидкости при наличии сил поверхностного натяжения, инерционных сил и явления проскальзывания. Ключевые слова: ламинарный режим, вязкость, пограничный слой.
Features of flow of thin-films of liquid in the conditions of slipping
on the streamlined surface
V. V. PELENKO, W. A. ARET, K. E. DAYNEKO, E. I. VERBOLOZ, V. P. IVANENKO, F. V. PELENKO, A. G. KRYSIN
National Research University of Information Technologies, Mechanics and Optics Institute of Refrigeration and Biotechnologies 191002, St. Petersburg, Lomonosov str., 9
Solved the task of determining the dependence of the thickness of a layer of a viscous liquid on the surface of a vertical plate and speed of flow of the liquid in the presence of surface tension forces, inertia forces and phenomena of slippage. Keywords: laminar mode of a current, viscidity, frontier layer.
В технологиях связанных с транспортировкой и переработкой пищевых продуктов особую роль играют гидродинамические процессы основой которых является движение жидкости в системах (мойка, осушка, транспортирование и т. д.). Кинетика этих процессов зависит от множества факторов и, в частности, от поверхностного натяжения и вязкости жидкости. Учет этих свойств особенно важен при течении тонких пленок в условиях проскальзывания на стенке.
На сегодняшний день экспериментально установлено три различных режима течения [1]: 1. Обычный режим вязкого течения жидкости с постоянной толщиной пленки и числах Re не превышающих 20 ÷ 30; 2. Волновой режим течения при Re > 30 ÷ 50 , когда наряду с поступательным движением в жидкости возникает волновая компонента; 3. При Re примерно равном 1500 ламинарный режим течения переходит в турбулентный.
В нашем случае особенный интерес представляют системы пищевых материалов, в том числе высоковязких, с ламинарным режимом течения жидкостей по их поверхности в условиях проскальзывания на стенке [3, 4].
При квазиодномерном (в плане) характере движения жидкости в тонкой пленке (переменной толщиной h) все производные в направлении поперек пленки (ось У) велики по сравнению с производными вдоль поверхности обтекания (ось Х) и уравнения математической модели процесса допускают определенные упрощения.
Уравнения Навье - Стокса в виде уравнений пограничного слоя запишутся, согласно работам [1,2], следующим образом:
+ + =- +ν +f ,
(1)
где: f - объемная сила, отнесенная к единице плотности и направленная вдоль оси Х;
- скорость движения жидкости вдоль оси Х и У соответственно,
- время, - плотность, - давление, ν - кинематическая вязкость. Второе уравнение пограничного слоя:
+ =- +ν + ),
(2)
в условиях пренебрежения локальными компонентами высшего порядка малости упрощается до выражения:
=0 Уравнение
неразрывности
имеет
(3) вид:
+ =0
(4)
На свободной поверхности жидкости y = h(x) выполняются соотношения: P= ;
= 0;
μ = 0;
(5)
=;
(6)
- давление, обусловленное силами поверхностного натяжения;
– продольная скорость жидкости на поверхности пленки y = h;
μ = νg – динамическая вязкость; g – ускорение силы тяжести.
На поверхности твердого тела y = 0 запишем соотношения, учитывающие явление проскальзывания [3] потока на стенке и отличные от классических, приведенных в работах [1,2], (отходим от гипотезы прилипания):
= 0; (7)
= φ (8)
μ ==.
(9)
где: 0 ≤φ≤1 - коэффициент проскальзывания; коэффициент поверхностного натяжения стекающей жидкости;
длина пути обтекания (размер обтекаемой пластины вдоль оси Х).
Выражение (7) принципиально отличается от классического [1 - 4] случая «прилипания» на стенке и характеризует особенности процесса течения вязких продуктов - наличие «проскальзывания». Ориентировочно, по данным работы [5], можно считать: 0,35≤φ ≤ 0,65.
Для малой толщины пленки и кривизны обтекаемой поверхности можно записать [1]:
=Тогда:
+
. +
=
+ν +f
(10)
При этом необходимо иметь в виду, что координата поверхности пленки h связанна с компонентами скоростей (для тонкой пленки) соотношением:
=+
=+
Из уравнения неразрывности следует:
(11)
=-
Уравнение (10) принимает вид:
+–
= +ν
+f
(12) (13)
С учетом уравнений (11) и (12), координата поверхности тонкой пленки h связана с соотношением:
= - (14)
Уравнение (13) для медленного стационарного движения пленки в поле сил тяжести примет вид [1]:
ν +g=0
(15)
Интегрируя (15) при граничных условиях (6),(8) и (9) получим:
= С1.
(16)
Из (6) следует: С1= h .
(17)
Из (9) получаем: С1 = .
(18)
Из системы уравнений (17) – (18) можно оценить реальную величину h – толщину пленки:
h= .
(19)
В таком случае уравнение (16) принимает вид:
=.
(20)
Интегрируя (20), получим:
= + + С2.
(21)
C учетом граничного условия (6) имеем:
С2 = +
-.
(22)
Из условия (8) следует соотношение:
С2 = .
(23)
Решая уравнения (22) и (23)совместно, найдем оценочное значение
величины
=1+ (
(24)
С учетом (19) уравнение (24) может быть приведено к основным физико-механическим, кинематическим и реологическим характеристикам жидкости и обтекаемой поверхности:
=1 .
(25)
Уравнение (21) с учетом (23) принимает вид:
= ++.
(26)
Из (25) следует соотношение:
=,
(27)
С учетом (27) аналитическое выражение для скорости стекания вязкой пленочной жидкости по поверхности вертикальной пластины под действием силы тяжести с учетом сил поверхностного натяжения и явления проскальзывания на стенке запишется в следующей окончательной компактной форме:
= ++
(28)
Осуществим количественную оценку величин h (толщина пленки, стекающей по вертикальной поверхности пластины) и (коэффициент
проскальзывания потока жидкости при обтекании вертикальной поверхности пластины) в соответствии с полученными соотношениями (19) и (25).
Для воды имеем следующие характеристики [6, 7]: = 0,072 Н/м; = 0,88.10-3 Па.с; (для Т=250С);
= 0,0686 Н/м; = 0,586.10-3 Па.с; (для Т=450С);
= 103 кг/м3; = 9,81 м/с2;
Ср = 1860 Дж/кг . К – удельная массовая теплоемкость воды при постоянном давлении;
Для случая стекания моечной жидкости с вертикально расположенного плода кураги длина обтекания « » может быть принята
равной: = 0,035 мм,
масса плода M = 16 граммов, площадь поверхности S = 16 см2.
В таком случае получаем следующие величины: h25 = 0,21 мм; h45 = 0,20 мм. Масса механически удаленной влаги составляет при этом m = 3,2 мг. Как следует из расчетов, с повышением температуры моющей среды с 250С до 450С количество влаги на поверхности плода кураги уменьшается на 5%, что дает существенную экономию тепловой энергии при досушивании продукта. Вторым выводом из полученных результатов следует очевидная возможность использования разработанных уравнений (19) и (25) для экспериментального определения толщины стекающей пленки h и
коэффициента проскальзывания жидкости на стенке.
25 = 1- ; 45 = 1-
.
Третий вывод, который следует из полученных результатов, состоит в возможности существенно интенсифицировать процесс механического съема поверхностной влаги с пищевых материалов после их мойки. Действительно, как видим по соотношениям (19) и (25), для обеспечения наиболее полного механического удаления поверхностной влаги необходимо минимизировать величину h в (19) и максимизировать в (25), то есть минимизировать второе
слагаемое в (25). И то, и другое может быть осуществлено одним из очевидных и реальных путей – увеличением объемной силы , что достигается
использованием метода встряхивания. Количественная оценка механических колебаний показывает, что при
частоте встряхивания емкости с продуктом ω = 2 Герца, с амплитудой А = 0,25м удается увеличить второе слагаемое уравнения (25) почти вдвое – в 1,8
раза, при этом толщина остающейся на поверхности плода жидкостной пленки также уменьшается в 1,8 раза.
Таким образом, процесс механического встряхивания позволяет почти вдвое снизить количество влаги, остающейся на поверхности единичного плода (с 3,2мг до 1,7 мг), и тем самым почти вдвое снизить энергозатраты на испарение в процессе последующей досушки.
При этом на осуществление процесса механического съема 1,5 мг влаги с
плода кураги затрачивается энергия: W = M ω2 A2 = 4.10-3 Дж.
В случае конвективно-тепловой осушки поверхностной влаги, только на тепловую составляющую, без учета аэродинамических расходов, потребуется энергия: Q = m Cp (T2 –T1) = 1,5 .10-6 . 1860. (45 -25) =55,8.10-3 Дж, что почти в 15 раз превышает энергоемкость механического процесса съема поверхностной влаги.
Список литературы 1. В.Г. Левич. Физико-химическая гидродинамика. - М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1959. - 700 с. 2. Г. Шлихтинг. Теория пограничного слоя.- М.: «Наука», 1969. – 744 с. 3. Пеленко В.В., Арет В.А., Гусев Б.К., Пеленко Ф.В. Течение вязкопластических нелинейных сред с пограничным проскальзыванием // Вестник Красноярского государственного аграрного университета: Межвуз. сб. науч. тр. - Красноярск: Крас. ГАУ, 2008. - Вып. №2. - С. 54-57. 4. Пеленко В.В., Арет В.А., Васильев Д.А., Морозов Е.А., Пеленко Ф.В. Течение продуктов обработки растительного сырья в перерабатывающих аппаратах // Пищевая технология. - М.: Известия ВУЗов, 2008. - Вып. №5-6. С. 77-80. 5. Зайцев А.В., Пеленко Ф.В. Моделирование течения вязкой жидкости в трубе // [Электронный ресурс]: электронный научный журнал «Процессы и аппараты пищевых производств». – Электронный журнал. – Санкт-Петербург: СПбГУНиПТ, 2012. - №1. – март 2012. 6. Л.С. Артюшков. Динамика ненютоновских жидкостей. – Л.: ЛКИ, 1979.-228 с.