Определение эффективного излучающего объема в эмиссионной спектроскопии протяженной среды
ÓÄÊ 535.243; 543.42; 681.7.013
ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ ÝÔÔÅÊÒÈÂÍÎÃÎ ÈÇËÓ×ÀÞÙÅÃÎ ÎÁÚÅÌÀ  ÝÌÈÑÑÈÎÍÍÎÉ ÑÏÅÊÒÐÎÑÊÎÏÈÈ ÏÐÎÒßÆÅÍÍÎÉ ÑÐÅÄÛ
2009 ã.
À. À. Øåïåëåíêî, êàíä. ôèç.-ìàò. íàóê Ñàìàðñêèé ôèëèàë Ôèçè÷åñêîãî èíñòèòóòà èì. Ï.Í. Ëåáåäåâà, Ñàìàðà E-mal: shepelenko@fian.smr.ru
Ïðåäñòàâëåí âûâîä ôîðìóë äëÿ ðàñ÷åòà ýôôåêòèâíîãî îáúåìà, êîòîðûé ñâÿçûâàåò êîíöåíòðàöèþ èçëó÷àþùèõ ÷àñòèö ñ èíòåíñèâíîñòüþ ñïåêòðàëüíîé ëèíèè èëè ïîëîñû ïðè èçìåðåíèÿõ ìåòîäîì ýìèññèîííîé ñïåêòðîñêîïèè. Äàþòñÿ ôîðìóëû äëÿ ðàñ÷åòà ýôôåêòèâíîãî îáúåìà, îïèñûâàþùèå âêëàäû öåíòðàëüíîé è ïåðèôåðèéíîé îáëàñòåé ïðè èçëó÷àþùåé ñðåäå çíà÷èòåëüíîé ïðîòÿæåííîñòè âäîëü îñè èçëó÷àþùåãî îáúåìà.
Êîäû OCIS: 120.0120, 120.4570, 120.6200.
Ïîñòóïèëà â ðåäàêöèþ 31.07.2008.
Ââåäåíèå
 èññëåäîâàíèÿõ ïëàçìû è âîçáóæäåííûõ ãàçîâûõ ñðåä øèðîêî èñïîëüçóåòñÿ ìåòîä èçìåðåíèÿ êîíöåíòðàöèé âîçáóæäåííûõ àòîìîâ èëè ìîëåêóë ïî èíòåíñèâíîñòè ýìèññèîííûõ ñïåêòðàëüíûõ ëèíèé èëè ïîëîñ. Êîíöåíòðàöèè èçëó÷àþùèõ ìîëåêóë N îïðåäåëÿþòñÿ èç âûðàæåíèÿ, îïèñûâàþùåãî ñèãíàë ôîòîäåòåêòîðà, ðåãèñòðèðóþùåãî ìîùíîñòü èçëó÷åíèÿ â ñïåêòðàëüíîé ëèíèè èëè ïîëîñå
I (ν) = C(ν)A(ν)N (1/4π)∫ Ω(x, y, z)dV,
ãäå Ñ(ν) – ñïåêòðàëüíàÿ ÷óâñòâèòåëüíîñòü ñïåêòðîìåòðè÷åñêîé ñèñòåìû ñ ôîòîäåòåêòîðîì, A(ν) – êîýôôèöèåíò Ýéíøòåéíà ïåðåõîäà, äàþùåãî äàííóþ ñïåêòðàëüíóþ ëèíèþ, Ω – òåëåñíûé óãîë, êîòîðûé çàäàåò ïîïàäàþùóþ â ðåãèñòðèðóþùóþ ñèñòåìó ÷àñòü èç âñåãî èçëó÷åíèÿ, èñïóñêàåìîãî ýëåìåíòîì îáúåìà â óãîë 4π. Èíòåãðèðîâàíèå ïðîâîäèòñÿ ïî âñåìó îáúåìó V âûðåçàåìîé äèàôðàãìàìè îáëàñòè, èçëó÷åíèå èç êîòîðîé ïîïàäàåò â ïîëå çðåíèÿ ðåãèñòðèðóþùåé ñèñòåìû. Çäåñü ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî èññëåäóåìàÿ ñðåäà îïòè÷åñêè òîíêàÿ, òî åñòü ïîãëîùåíèå èçëó÷åíèÿ íà äëèíå èçëó÷àþùåãî îáúåìà ïðåíåáðåæèìî ìàëî. Êðîìå òîãî, ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî îáúåì çàïîëíåí èçëó÷àþùèìè ìîëåêóëàìè îäíîðîäíî.
Óãîë Ω çàäàåòñÿ âèäèìîé èç èçëó÷àþùåé òî÷êè ïëîùàäüþ âõîäíîé àïåðòóðû êîíäåíñîðà, ôîêóñèðóþùåãî ñâåò íà âõîäíóþ ùåëü ñïåêòðîìåòðà. Ýòà âõîäíàÿ àïåðòóðà îãðàíè÷èâàåòñÿ ñîîòâåòñòâóþùåé äèàôðàãìîé D1. Ðàçìåð îáëàñòè, èçëó÷åíèå èç êîòîðîé ïîïàäàåò â ñèñòåìó ðåãèñòðàöèè, îáû÷íî îãðàíè÷èâàþò òàêæå è äèàôðàãìîé D2, óñòàíîâëåííîé ïåðåä äèàãíîñòèðóåìîé ñðåäîé.  ìîíîãðàôèè [1], íàïðèìåð, îäíèì èç óñëîâèé äëÿ àáñîëþòíûõ èçìåðåíèé íàçâàíî, ÷òî èçëó÷àþùèé îáúåì “ìîæåò ñ÷è-
òàòüñÿ òî÷å÷íûì èñòî÷íèêîì, ò. å. ÷òî âñå åãî ýëåìåíòû äàþò îäèíàêîâûé âêëàä â ðåãèñòðèðóåìûé ñèãíàë”.
Âåëè÷èíó, ïîëó÷àåìóþ èíòåãðèðîâàíèåì òåëåñíîãî óãëà Ω ïî âñåìó èçëó÷àþùåìó îáúåìó V, ìîæíî ïîíèìàòü êàê ñîîòâåòñòâóþùèé ýôôåêòèâíûé îáúåì
Ve = 1/4π∫ Ω(x, y, z)dV .
(1)
Ôîðìàëüíî – ýòî ïðîèçâåäåíèå îáúåìà, âûðåçàåìîãî èç âñåé èññëåäóåìîé ñðåäû äèàôðàãìàìè, íà óñðåäíåííóþ ïî ýòîìó îáúåìó äîëþ èçëó÷åíèÿ, ïîïàäàþùóþ íà ôîòîäåòåêòîð. Ýòà äîëÿ åñòü îòíîøåíèå óñðåäíåííîãî ïî îáúåìó òåëåñíîãî óãëà 〈Ω(r, z)〉 ê ïîëíîìó òåëåñíîìó óãëó 4π. Ïî ôèçè÷åñêîìó ñìûñëó Ve – ýòî îáúåì, èñïóñêàþùèé â ïîëíûé òåëåñíûé óãîë 4π ïîòîê èçëó÷åíèÿ, ðàâíûé ïîòîêó, ïîïàäàþùåìó íà ôîòîäåòåêòîð èç âñåãî èññëåäóåìîãî îáúåìà.
Òàì, ãäå ýòî âîçìîæíî, âåëè÷èíó Ve îïðåäåëÿþò ýêñïåðèìåíòàëüíî, èñïîëüçóÿ äëÿ ýòàëîíà ãàç ñ èçâåñòíîé êîíöåíòðàöèåé N*. Îñîáåííî óäîáíà êàëèáðîâêà, êîãäà ýòàëîí ñîäåðæèò ÷àñòèöû òîãî æå òèïà, ÷òî è èññëåäóåìûå: òîãäà îäíîâðåìåííî îïðåäåëÿþòñÿ è êîýôôèöèåíòû C(ν), è A(ν). Íî íåðåäêî çíà÷åíèå Ve òðåáóåòñÿ îïðåäåëèòü ðàñ÷åòîì, òàê êàê íåâîçìîæíî ñîçäàòü èçâåñòíóþ êîíöåíòðàöèþ N* è ïðîâåñòè ïî íåé êàëèáðîâêó.
Îïðåäåëÿåìûé àïåðòóðíûìè äèàôðàãìàìè D1 è D2 èçëó÷àþùèé îáúåì â îñåñèììåòðè÷íîì ñëó÷àå âûðåçàåòñÿ ïîâåðõíîñòüþ öèëèíäðè÷åñêîé èëè êîíè÷åñêîé ôîðìû. Åãî öåíòðàëüíàÿ ÷àñòü îãðàíè÷åíà ðàäèàëüíûì ðàçìåðîì rc(z)
rc (z) = a2 − z(a1 − a2 )/L,
(2)
ãäå a1 è a2 – ðàäèóñû äèàôðàãì D1 è D2, z – êîîðäèíàòà âäîëü îñè ñèñòåìû, îòñ÷èòûâàåìàÿ îò áëèæàéøåé ê èçëó÷àåìîé îáëàñòè äèàôðàãìû D2, L – ðàñ-
“Îïòè÷åñêèé æóðíàë”, òîì 76, ¹ 3, 2009
9
ñòîÿíèå ìåæäó äèàôðàãìàìè D1 è D2. Êîãäà ïðîòÿæåííîñòü èçëó÷àþùåãî îáúåìà âäîëü îñè íåâåëèêà, èçëó÷àþùèé îáúåì îïðåäåëÿåòñÿ ýòîé öåíòðàëüíîé ÷àñòüþ, è âåëè÷èíà Ve íàõîäèòñÿ ïðîñòûì èíòåãðàëîì
∫ ∫Ve
=
1 4π
z2
Ωc
dV
z1
=
π 4
a12
z2 z1
rc (z) z+L
2
dz,
(3)
ãäå z1 è z2 – ðàññòîÿíèÿ ïî îñè îò äèàôðàãìû D2 äî íà÷àëà è äî êîíöà èçëó÷àþùåé ñðåäû. Òàê, ïðè ðàâíûõ ðàäèóñàõ äèàôðàãì a1 = a2 ðàçìåð rc = a1, è èç (2) ïîëó÷àåòñÿ
Ve
=
π 4
a14 (z2 − z1) . (z1 + L)(z2 + L)
Âûðàæåíèå (3) ñïðàâåäëèâî òîëüêî ïðè ìàëîé ïðîòÿæåííîñòè âäîëü îñè èçëó÷àþùåãî îáúåìà dz = = z2 – z1 ≤ a2. Áîëåå òî÷íûé êðèòåðèé áóäåò íåòðóäíî ñôîðìóëèðîâàòü èç äàëüíåéøåãî.
Èññëåäóåìûé îáúåì ñðåäû ÷àñòî äåëàþò ïî âîçìîæíîñòè áîëüøèì äëÿ òîãî, ÷òîáû óâåëè÷èòü ïîòîê ðåãèñòðèðóåìîãî èçëó÷åíèÿ. Ýòî íå òîëüêî æåëàòåëüíî, íî áûâàåò è íåîáõîäèìûì ïðè íèçêèõ èíòåíñèâíîñòÿõ ýìèññèè. Äëÿ óâåëè÷åíèÿ ìîùíîñòè ïîòîêîâ è, ñîîòâåòñòâåííî, ðåãèñòðèðóåìûõ ñèãíàëîâ, óâåëè÷èâàþò ïðîòÿæåííîñòü îáúåìà âäîëü îñè ñèñòåìû, òî åñòü ðàçìåð z2 – z1. Ïðè ïðîòÿæåííîì îáúåìå âûðàæåíèå (3) ñòàíîâèòñÿ íåñïðàâåäëèâûì. Ïîìèìî öåíòðàëüíîé ÷àñòè îáúåìà, îïèñûâàåìîé âûðàæåíèåì (3), â òàêîì ñëó÷àå çíà÷èòåëüíûé âêëàä äàåò ïåðèôåðèéíàÿ îáëàñòü, êîòîðàÿ ýêðàíèðóåòñÿ äèàôðàãìîé D2 â ðàçíîé ñòåïåíè äëÿ ðàçëè÷íûõ åå ÷àñòåé.
Âûâîä ñîîòâåòñòâóþùèõ ôîðìóë òðåáóåò ðàññìîòðåíèÿ ãåîìåòðè÷åñêîé çàäà÷è è ïðèâîäèò ê áîëåå ñëîæíûì, ÷åì (3), âûðàæåíèÿì, òðåáóþùèì ÷èñëåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ. Íåñìîòðÿ íà î÷åâèäíóþ ïîòðåáíîñòü, íåîáõîäèìûõ ôîðìóë äëÿ ðàñ÷åòà Ve ïðîòÿæåííûõ èçëó÷àþùèõ îáúåìîâ â ëèòåðàòóðå íå ïðåäñòàâëåíî [2, 3].
 äàííîé ðàáîòå ïðåäñòàâëÿåòñÿ âûâîä ñîîòâåòñòâóþùèõ âûðàæåíèé. Ïîêàçàí òàêæå ïðèìåð ðàñ÷åòà, èëëþñòðèðóþùèé áîëüøîé îòíîñèòåëüíûé âêëàä ïåðèôåðèéíûõ îáëàñòåé â ñëó÷àå, êîãäà èçëó÷àþùèé îáúåì ñðåäû èìååò çíà÷èòåëüíóþ ïðîòÿæåííîñòü.
Âûâîä ôîðìóë äëÿ ðàñ÷åòà Áóäåì îïðåäåëÿòü ýôôåêòèâíûé îáúåì Ve äëÿ îñåñèììåòðè÷íîé ñèñòåìû. Ñõåìà ðàñïîëîæåíèÿ ýëåìåíòîâ, îïðåäåëÿþùèõ ðàçëè÷íûå îáëàñòè èçëó÷àþùåãî îáúåìà, è ñîîòâåòñòâóþùèå îáîçíà÷å-
10
r x2 xch
zL D2
a2
z1 z2
D1 a1
O1
O1 a1
r1 O2
Ðèñ. 1. Ê ðàñ÷åòó ýôôåêòèâíîãî èçëó÷àþùåãî îáúåìà Ve – ñõåìà ðàñïîëîæåíèÿ ýëåìåíòîâ, ãðàíèö öåíòðàëüíîé è ïåðèôåðèéíîé îáëàñòåé, ïåðåñå÷åíèÿ îòâåðñòèÿ äèàôðàãìû D1 è ïðîåêöèè íà íåå äèàôðàãìû D2.
íèÿ ïîêàçàíû íà ðèñ. 1. Ïðîòÿæåííîñòü èçëó÷àþùåãî îáúåìà ñ÷èòàåì äîñòàòî÷íî áîëüøèì, òàêèì, ÷òî åãî ðàçìåð ïî êîîðäèíàòå âäîëü îñè ñèñòåìû áîëüøå èëè ïîðÿäêà õàðàêòåðíîãî ðàäèóñà îáëàñòè ñðåäû, âûðåçàåìîé îãðàíè÷èâàþùèìè äèàôðàãìàìè.
Âåñü îáúåì, èçëó÷åíèå èç êîòîðîãî ïîïàäàåò â ðåãèñòðèðóþùóþ ñèñòåìó, ñêëàäûâàåòñÿ èç äâóõ ñîñòàâëÿþùèõ ÷àñòåé – öåíòðàëüíîé è ïåðèôåðèéíîé. Öåíòðàëüíàÿ îáëàñòü îãðàíè÷èâàåòñÿ êîíè÷åñêîé ïîâåðõíîñòüþ, îáðàçóþùàÿ êîòîðîé – ïðÿìàÿ, ïðîâåäåííàÿ ÷åðåç òî÷êè A è B íà âåðõíèõ êðàÿõ äèàôðàãì D1 è D2. Ïåðèôåðèéíàÿ îáëàñòü îãðàíè÷åíà íàçâàííîé êîíè÷åñêîé ïîâåðõíîñòüþ, êîòîðàÿ äëÿ íåå âíóòðåííÿÿ, è âòîðîé – âíåøíåé êîíè÷åñêîé ïîâåðõíîñòüþ, îáðàçóþùàÿ êîòîðîé, ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êó À íà âåðõíåì êðàþ äèàôðàãìû D2 è òî÷êó Ñ íà íèæíåì êðàþ äèàôðàãìû D1.
Ðàäèóñ ãðàíèöû rñ(z) öåíòðàëüíîé îáëàñòè îïðåäåëÿåòñÿ âûðàæåíèåì (2).Äëÿ ïåðèôåðèéíîé îáëàñòè ðàäèóñ åå âíóòðåííåé ãðàíèöû – rñ(z), à âíåøíåé
rp = a2 + z(a1 + a2)/L.
(4)
Òåëåñíûé óãîë Ωñ, êîòîðûì îãðàíè÷åíà ÷àñòü îò âñåãî èçëó÷àåìîãî ýëåìåíòîì îáúåìà ïîòîêà èçëó÷åíèÿ, ïîïàäàþùàÿ â ðåãèñòðèðóþùóþ ñèñòåìó, äëÿ ýëåìåíòîâ öåíòðàëüíîé îáëàñòè ñîñòàâëÿåò
Ωc (z) = π a12/(z + L)2.
(5)
Çäåñü ïðåíåáðåãàåòñÿ ìàëûìè èçìåíåíèÿìè ðàññòîÿíèé è óãëîâ äëÿ ýëåìåíòîâ îáúåìà ñ ðàçëè÷íûìè ðàäèàëüíûìè êîîðäèíàòàìè ïðè ôèêñèðîâàííîé êîîðäèíàòå z. Ïðåäïîëàãàåòñÿ òàêæå, ÷òî, êàê â áîëüøèíñòâå ïðàêòè÷åñêèõ ñëó÷àåâ, íàèáîëüøàÿ êîîðäèíàòà zmax èçëó÷àþùåé îáëàñòè íå ïðåâûøàåò âåëè÷èíû a2L/(a1 – a2), ïðè êîòîðîé îáðàçóþùàÿ êî-
“Îïòè÷åñêèé æóðíàë”, òîì 76, ¹ 3, 2009
íè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè, îãðàíè÷èâàþùåé öåíòðàëüíóþ îáëàñòü, ïåðåñåêàåò îñü ñèñòåìû. ( ñëó÷àå, åñëè zmax ≥ a2L/(a1 – a2), òåëåñíûé óãîë äëÿ öåíòðàëüíîé îáëàñòè çàäàåòñÿ ïëîùàäüþ äèàôðàãìû D2, à íå D1, êàê â (4)). Âêëàä, êîòîðûé âíîñèòñÿ â ýôôåêòèâíûé îáúåì öåíòðàëüíîé îáëàñòüþ îïèñûâàåòñÿ âûðàæåíèåì (3).
Òåëåñíûé óãîë Ωp äëÿ ýëåìåíòîâ îáúåìà ïåðèôåðèéíîé îáëàñòè çàäàåòñÿ ïëîùàäüþ ïåðåñå÷åíèÿ îòâåðñòèÿ äèàôðàãìû D1 è ïðîåêöèè íà íåå îòâåðñòèÿ äèàôðàãìû D2. Ñõåìà, ïîÿñíÿþùàÿ ôîðìó ýòîé ïëîùàäè ïåðåñå÷åíèÿ, ïîêàçàíà â ïðàâîé ÷àñòè ðèñ. 1. Ïî êîîðäèíàòå x ñ íà÷àëîì x = 0 â öåíòðå îêðóæíîñòè D1 öåíòð ïðîåêöèè îêðóæíîñòè D2 ñìåùåí â òî÷êó
x2 = –rL/z,
(6)
ãäå r, z – êîîðäèíàòû ðàññìàòðèâàåìîãî ýëåìåíòà èçëó÷àþùåé îáëàñòè. Ïðîåêöèÿ îòâåðñòèÿ D2íà ïëîñêîñòü äèàôðàãìû D1 èìååò ôîðìó êðóãà.  ýòîì íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, çàìåòèâ, ÷òî ýòà ïðîåêöèÿ îáðàçóåòñÿ ñíà÷àëà ïðåîáðàçîâàíèåì êðóãà â ýëëèïñ, à çàòåì îáðàòíî – ýëëèïñà â êðóã. Íà ïëîñêîñòü, ïåðïåíäèêóëÿðíóþ îñè, ïðîõîäÿùóþ èç òåêóùåé èçëó÷àþùåé òî÷êè ñ êîîðäèíàòàìè (r, z) â öåíòð ïðîåêöèè x2, îêðóæíîñòü D2 ïðîåêòèðóåòñÿ â ýëëèïñ óìíîæåíèåì íà êîñèíóñ óãëà íàêëîíà îñè. Çàòåì íà ïëîñêîñòü äèàôðàãìû D1 ýòîò ýëëèïñ äàåò ïðîåêöèþ äåëåíèåì íà êîñèíóñ òîãî æå óãëà íàêëîíà, è òåì ñàìûì ïðåîáðàçóåòñÿ ñíîâà â îêðóæíîñòü. Ðàäèóñ îêðóæíîñòè ïðîåêöèè
r2 = a2 (1 + L/z).
(7)
Îáëàñòü ïåðåñå÷åíèÿ äâóõ êðóãîâ ðàäèóñîì a1 è r2 ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñóììó äâóõ ñåãìåíòîâ. Ïëîùàäü ýòîé îáëàñòè, îïðåäåëÿþùàÿ òåëåñíûé óãîë, ìîæíî
ðàññ÷èòàòü, îïðåäåëèâ êîîðäèíàòó õîðäû xch, ñîåäèíÿþùåé äâå òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ îêðóæíîñòåé: îêðóæíîñòè D1 è ïðîåêöèè îêðóæíîñòè D2. Êîîðäèíàòà xch îïðåäåëÿåòñÿ ñèñòåìîé óðàâíåíèé, îïèñûâàþùèõ ýòè îêðóæíîñòè
x 2 [ x
+ y2 = + r(L/z
a12 )]2
+
y2
=
a22 (1 +
L/z)2,
èç ðåøåíèÿ êîòîðîé íàõîäèì
xch
=
z 2rL
a22 (1 +
L/z)2
−
a12
−
rL/2z.
(8)
Äëÿ ìàëîé îêðóæíîñòè ïëîùàäü ñåãìåíòà, âëåâî îò õîðäû, ðàâíà [4]
S1(r, z)
=
πa12 2
+
xch
a12 −
xc2h
+
a12
arcsin(xch
/a1
)
.
(9)
Äëÿ áîëüøåé îêðóæíîñòè êîîðäèíàòà õîðäû ðàâíà xch – x2, ãäå âåëè÷èíû èç (7) è (8). Ïëîùàäü ñåãìåíòà (âïðàâî îò õîðäû) îïèñûâàåòñÿ, àíàëîãè÷íî (10), âûðàæåíèåì
(S2 (r, z)
=
πr22 2
−
(xch − x2 )
r22 − (xch − x2 )2 +
+
r22arcsin
xch − r2
x2
.
(10)
Îáëàñòü ïåðåñå÷åíèÿ íàêëîíåíà ê îñè, ïðîâåäåííîé
èç òåêóùåé òî÷êè â öåíòð îêðóæíîñòè D1, ïîä óãëîì á, äëÿ êîòîðîãî: tgα= r/(z + L). Ðàññòîÿíèå Rb îò òåêóùåé òî÷êè (z, r) äî ýòîãî öåíòðà è ñîîòâåòñòâóþùèé òåëåñíûé óãîë Ωp ñîñòàâëÿþò
Rp (r, z) = r2 + (z + L)2 ,
Ωp (r, z) =
(S1 + S2 ) cos α Rp2
=
Rp2
(S1 + S2 )
.
1+ r2 /(z + L)2
(11)
Âûðàæåíèå äëÿ òåëåñíîãî óãëà (11) ÿâëÿåòñÿ áîëåå
òî÷íûì, ÷åì (5), è äëÿ öåíòðàëüíîé îáëàñòè, äëÿ êîòîðîé S1 + S2 = πa12. Èç (11) âèäíî, ÷òî âûðàæåíèå (5) ïîëó÷àåòñÿ èç (12) ïðåíåáðåæåíèåì â Rp è cosα âåëè÷èíàìè r2/(z + L)2 ïî ñðàâíåíèþ ñ 1.
Ýôôåêòèâíûé îáúåì, êîòîðûé äàåò ïåðèôåðèéíàÿ
îáëàñòü
∫ ∫Vep
=
1 4π
z2
rp
dz
Ωp
2πrdr,
z1 rc
(12)
íåòðóäíî ðàññ÷èòàòü ÷èñëåííûì èíòåãðèðîâàíèåì, ãäå ãðàíè÷íûå ðàäèóñû äàþòñÿ âûðàæåíèÿìè (2) è (4). Òàêèì îáðàçîì, ôîðìóëó äëÿ ðàñ÷åòà ýôôåêòèâíîãî îáúåìà ìîæíî çàïèñàòü â âèäå
∫Ve = Vec + Vep =
π a12a22 4 L2
z2 z1
1
−
a1 a2
z
z +
L
2
dz
+
∫ ∫+
1 2
z2 z1
rp
dz
rc
(r 2
+
S 1(r, z) (z + L)2 )
+ S2 1+
(r, z) r2/(z
+
L)2
rdr,
(13)
ãäå âåëè÷èíû S1(r, z), S2(r, z), rc(z) è rp(z) äàþòñÿ âûðàæåíèÿìè (10), (11), (2) è (4).
Îòíîñèòåëüíûé âêëàä ïåðèôåðèéíîé îáëàñòè
Ïðîèëëþñòðèðóåì êîëè÷åñòâåííûì ïðèìåðîì îòíîñèòåëüíûå âêëàäû ðàçëè÷íûõ ó÷àñòêîâ ïåðèôåðèéíîé è öåíòðàëüíîé îáëàñòåé äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà èññëåäóåìàÿ èçëó÷àþùàÿ ñðåäà áåðåòñÿ äîñòàòî÷íî ïðîòÿæåííîé. Íà ðèñ. 2 ïîêàçàíû ðåçóëüòàòû ðàñ÷åòà äëÿ ñèñòåìû ñî ñëåäóþùèìè ïàðàìåòðàìè:
“Îïòè÷åñêèé æóðíàë”, òîì 76, ¹ 3, 2009
11
f (r, z), îòí. åä.
z = 4,6 z = 3,8
ðèôåðèéíîé îáëàñòè áûñòðî óâåëè÷èâàåòñÿ. Äëÿ äàííîãî ïðèìåðà ñ ðàçìåðîì èññëåäóåìîé ñðåäû âäîëü îñè 4 ñì îáùèé ýôôåêòèâíûé èçëó÷àþùèé îáúåì â 2,3 ðàçà áîëüøå îáúåìà, îïðåäåëÿåìîãî öåíòðàëüíîé îáëàñòüþ.
z = 3,0
z = 2,2
z = 1,4 0 0,1 0,2 0,3 r, ñì
Ðèñ. 2. Äîëÿ ýëåìåíòàðíîãî îáúåìà f (r, z) îò îáùåãî ýôôåêòèâíîãî èçëó÷àþùåãî îáúåìà Ve. (Ýëåìåíòàðíûé îáúåì çäåñü – êîëüöî åäèíè÷íîé øèðèíû ïî ðàäèóñó è äëèíû âäîëü îñè). Êîîðäèíàòà ñëîÿ z (ðàññòîÿíèå îò äèàôðàãìû D2 äî ñëîÿ) óêàçàíà ïîä êðèâûìè. Ñïëîøíûå ëèíèè – öåíòðàëüíàÿ îáëàñòü, òî÷êè – ïåðèôåðèéíàÿ îáëàñòü.
z1 = 1 cì, z2 – z1 = 4 ñì, a1 = 0,15 ñì, a2 = 1 ñì, L = = 30 ñì. Íà ðèñóíêå ïðåäñòàâëåíû çíà÷åíèÿ ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèè f (r, z) = Ω(r, z)2πr, îïèñûâàþ-
z2 rp
ùåé âûðàæåíèå (13) â ôîðìå Ve = ∫ dz ∫ f (r, z)dr. z1 0
Ôóíêöèÿ f (r, z) íåïîñðåäñòâåííî ïîêàçûâàåò òîò âêëàä, êîòîðûé âíîñèòñÿ â ñóììàðíûé ýôôåêòèâíûé îáúåì Ve îòäåëüíûì ýëåìåíòîì îáúåìà â âèäå êîëüöà åäèíè÷íîé øèðèíû ïî ðàäèóñó è äëèíû âäîëü îñè. Ðèñóíîê ïîêàçûâàåò ðàñïðåäåëåíèÿ f (r, z) ïî ðàäèàëüíîé êîîðäèíàòå r äëÿ íåñêîëüêèõ ñëîåâ ñ ðàçëè÷íûìè êîîðäèíàòàìè z.
Êàê âèäíî èç ðèñ. 2, ïî ìåðå óâåëè÷åíèÿ êîîðäèíàòû z (óäàëåíèÿ îò âõîäíîé ïëîñêîñòè D1 ýëåìåíòàðíîãî ñëîÿ øèðèíîé dz) îòíîñèòåëüíûé âêëàä ïå-
Çàêëþ÷åíèå
Âûâåäåíû ôîðìóëû äëÿ ðàñ÷åòà ýôôåêòèâíîãî èçëó÷àþùåãî îáúåìà, òðåáóþùåãîñÿ äëÿ îïðåäåëåíèÿ êîíöåíòðàöèè âîçáóæäåííûõ ÷àñòèö ïî èçìåðåííîé èíòåíñèâíîñòè ñïåêòðàëüíîé ëèíèè ýìèññèîííîãî èçëó÷åíèÿ. Ôîðìóëû ïîçâîëÿþò ðàññ÷èòûâàòü ýôôåêòèâíûé îáúåì è â òîì ñëó÷àå, êîãäà èññëåäóåìàÿ îáëàñòü èçëó÷àþùåé ñðåäû èìååò íå ìàëóþ ïðîòÿæåííîñòü âäîëü îñè. Âåñü îáúåì, èçëó÷åíèå èç êîòîðîãî ïîïàäàåò â ðåãèñòðèðóþùóþ ñèñòåìó, ñêëàäûâàåòñÿ èç äâóõ ÷àñòåé – öåíòðàëüíîé è ïåðèôåðèéíîé. Êîãäà â ýêñïåðèìåíòå ðàçìåð äèàãíîñòèðóåìîé îáëàñòè âäîëü îñè íå ìàë, âêëàä ïåðèôåðèéíîé ÷àñòè â îáùåå çíà÷åíèå ýôôåêòèâíîãî îáúåìà ñòàíîâèòñÿ çíà÷èòåëüíûì è åãî íåîáõîäèìî ó÷èòûâàòü. Ðàñ÷åòàìè äëÿ èññëåäóåìîãî îáúåìà ñ ðàçìåðàìè, òèïè÷íûìè äëÿ ýêñïåðèìåíòà, ïîêàçàíî, ÷òî ýòîò âêëàä ìîæåò áûòü ñðàâíèìûì èëè ïðåâîñõîäèòü âêëàä ñîîòâåòñòâóþùåé öåíòðàëüíîé îáëàñòè.
ËÈÒÅÐÀÒÓÐÀ
11. Î÷êèí Â.Í. Ñïåêòðîñêîïèÿ íèçêîòåìïåðàòóðíîé ïëàçìû. Ì.: Ôèçìàòëèò, 2006. 472 ñ.
12. Çàéäåëü À.Í., Îñòðîâñêàÿ Ã. Í., Îñòðîâñêèé Þ.È. Òåõíèêà è ïðàêòèêà ñïåêòðîñêîïèè. Ì.: Íàóêà, 1976. 392 ñ.
13. Ëåáåäåâà Â.Â. Òåõíèêà îïòè÷åñêîé ñïåêòðîñêîïèè. Ì.: èçäâî ÌÃÓ, 1986. 352 ñ.
14. Êîðí Ã., Êîðí Ò. Ñïðàâî÷íèê ïî ìàòåìàòèêå äëÿ íàó÷íûõ ðàáîòíèêîâ è èíæåíåðîâ. Ì.: Íàóêà, 1977. 831 ñ. (Korn G.A., Korn T.M. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York: McGraw-Hill Book Company, 1968).
12 “Îïòè÷åñêèé æóðíàë”, òîì 76, ¹ 3, 2009
ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ ÝÔÔÅÊÒÈÂÍÎÃÎ ÈÇËÓ×ÀÞÙÅÃÎ ÎÁÚÅÌÀ  ÝÌÈÑÑÈÎÍÍÎÉ ÑÏÅÊÒÐÎÑÊÎÏÈÈ ÏÐÎÒßÆÅÍÍÎÉ ÑÐÅÄÛ
2009 ã.
À. À. Øåïåëåíêî, êàíä. ôèç.-ìàò. íàóê Ñàìàðñêèé ôèëèàë Ôèçè÷åñêîãî èíñòèòóòà èì. Ï.Í. Ëåáåäåâà, Ñàìàðà E-mal: shepelenko@fian.smr.ru
Ïðåäñòàâëåí âûâîä ôîðìóë äëÿ ðàñ÷åòà ýôôåêòèâíîãî îáúåìà, êîòîðûé ñâÿçûâàåò êîíöåíòðàöèþ èçëó÷àþùèõ ÷àñòèö ñ èíòåíñèâíîñòüþ ñïåêòðàëüíîé ëèíèè èëè ïîëîñû ïðè èçìåðåíèÿõ ìåòîäîì ýìèññèîííîé ñïåêòðîñêîïèè. Äàþòñÿ ôîðìóëû äëÿ ðàñ÷åòà ýôôåêòèâíîãî îáúåìà, îïèñûâàþùèå âêëàäû öåíòðàëüíîé è ïåðèôåðèéíîé îáëàñòåé ïðè èçëó÷àþùåé ñðåäå çíà÷èòåëüíîé ïðîòÿæåííîñòè âäîëü îñè èçëó÷àþùåãî îáúåìà.
Êîäû OCIS: 120.0120, 120.4570, 120.6200.
Ïîñòóïèëà â ðåäàêöèþ 31.07.2008.
Ââåäåíèå
 èññëåäîâàíèÿõ ïëàçìû è âîçáóæäåííûõ ãàçîâûõ ñðåä øèðîêî èñïîëüçóåòñÿ ìåòîä èçìåðåíèÿ êîíöåíòðàöèé âîçáóæäåííûõ àòîìîâ èëè ìîëåêóë ïî èíòåíñèâíîñòè ýìèññèîííûõ ñïåêòðàëüíûõ ëèíèé èëè ïîëîñ. Êîíöåíòðàöèè èçëó÷àþùèõ ìîëåêóë N îïðåäåëÿþòñÿ èç âûðàæåíèÿ, îïèñûâàþùåãî ñèãíàë ôîòîäåòåêòîðà, ðåãèñòðèðóþùåãî ìîùíîñòü èçëó÷åíèÿ â ñïåêòðàëüíîé ëèíèè èëè ïîëîñå
I (ν) = C(ν)A(ν)N (1/4π)∫ Ω(x, y, z)dV,
ãäå Ñ(ν) – ñïåêòðàëüíàÿ ÷óâñòâèòåëüíîñòü ñïåêòðîìåòðè÷åñêîé ñèñòåìû ñ ôîòîäåòåêòîðîì, A(ν) – êîýôôèöèåíò Ýéíøòåéíà ïåðåõîäà, äàþùåãî äàííóþ ñïåêòðàëüíóþ ëèíèþ, Ω – òåëåñíûé óãîë, êîòîðûé çàäàåò ïîïàäàþùóþ â ðåãèñòðèðóþùóþ ñèñòåìó ÷àñòü èç âñåãî èçëó÷åíèÿ, èñïóñêàåìîãî ýëåìåíòîì îáúåìà â óãîë 4π. Èíòåãðèðîâàíèå ïðîâîäèòñÿ ïî âñåìó îáúåìó V âûðåçàåìîé äèàôðàãìàìè îáëàñòè, èçëó÷åíèå èç êîòîðîé ïîïàäàåò â ïîëå çðåíèÿ ðåãèñòðèðóþùåé ñèñòåìû. Çäåñü ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî èññëåäóåìàÿ ñðåäà îïòè÷åñêè òîíêàÿ, òî åñòü ïîãëîùåíèå èçëó÷åíèÿ íà äëèíå èçëó÷àþùåãî îáúåìà ïðåíåáðåæèìî ìàëî. Êðîìå òîãî, ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî îáúåì çàïîëíåí èçëó÷àþùèìè ìîëåêóëàìè îäíîðîäíî.
Óãîë Ω çàäàåòñÿ âèäèìîé èç èçëó÷àþùåé òî÷êè ïëîùàäüþ âõîäíîé àïåðòóðû êîíäåíñîðà, ôîêóñèðóþùåãî ñâåò íà âõîäíóþ ùåëü ñïåêòðîìåòðà. Ýòà âõîäíàÿ àïåðòóðà îãðàíè÷èâàåòñÿ ñîîòâåòñòâóþùåé äèàôðàãìîé D1. Ðàçìåð îáëàñòè, èçëó÷åíèå èç êîòîðîé ïîïàäàåò â ñèñòåìó ðåãèñòðàöèè, îáû÷íî îãðàíè÷èâàþò òàêæå è äèàôðàãìîé D2, óñòàíîâëåííîé ïåðåä äèàãíîñòèðóåìîé ñðåäîé.  ìîíîãðàôèè [1], íàïðèìåð, îäíèì èç óñëîâèé äëÿ àáñîëþòíûõ èçìåðåíèé íàçâàíî, ÷òî èçëó÷àþùèé îáúåì “ìîæåò ñ÷è-
òàòüñÿ òî÷å÷íûì èñòî÷íèêîì, ò. å. ÷òî âñå åãî ýëåìåíòû äàþò îäèíàêîâûé âêëàä â ðåãèñòðèðóåìûé ñèãíàë”.
Âåëè÷èíó, ïîëó÷àåìóþ èíòåãðèðîâàíèåì òåëåñíîãî óãëà Ω ïî âñåìó èçëó÷àþùåìó îáúåìó V, ìîæíî ïîíèìàòü êàê ñîîòâåòñòâóþùèé ýôôåêòèâíûé îáúåì
Ve = 1/4π∫ Ω(x, y, z)dV .
(1)
Ôîðìàëüíî – ýòî ïðîèçâåäåíèå îáúåìà, âûðåçàåìîãî èç âñåé èññëåäóåìîé ñðåäû äèàôðàãìàìè, íà óñðåäíåííóþ ïî ýòîìó îáúåìó äîëþ èçëó÷åíèÿ, ïîïàäàþùóþ íà ôîòîäåòåêòîð. Ýòà äîëÿ åñòü îòíîøåíèå óñðåäíåííîãî ïî îáúåìó òåëåñíîãî óãëà 〈Ω(r, z)〉 ê ïîëíîìó òåëåñíîìó óãëó 4π. Ïî ôèçè÷åñêîìó ñìûñëó Ve – ýòî îáúåì, èñïóñêàþùèé â ïîëíûé òåëåñíûé óãîë 4π ïîòîê èçëó÷åíèÿ, ðàâíûé ïîòîêó, ïîïàäàþùåìó íà ôîòîäåòåêòîð èç âñåãî èññëåäóåìîãî îáúåìà.
Òàì, ãäå ýòî âîçìîæíî, âåëè÷èíó Ve îïðåäåëÿþò ýêñïåðèìåíòàëüíî, èñïîëüçóÿ äëÿ ýòàëîíà ãàç ñ èçâåñòíîé êîíöåíòðàöèåé N*. Îñîáåííî óäîáíà êàëèáðîâêà, êîãäà ýòàëîí ñîäåðæèò ÷àñòèöû òîãî æå òèïà, ÷òî è èññëåäóåìûå: òîãäà îäíîâðåìåííî îïðåäåëÿþòñÿ è êîýôôèöèåíòû C(ν), è A(ν). Íî íåðåäêî çíà÷åíèå Ve òðåáóåòñÿ îïðåäåëèòü ðàñ÷åòîì, òàê êàê íåâîçìîæíî ñîçäàòü èçâåñòíóþ êîíöåíòðàöèþ N* è ïðîâåñòè ïî íåé êàëèáðîâêó.
Îïðåäåëÿåìûé àïåðòóðíûìè äèàôðàãìàìè D1 è D2 èçëó÷àþùèé îáúåì â îñåñèììåòðè÷íîì ñëó÷àå âûðåçàåòñÿ ïîâåðõíîñòüþ öèëèíäðè÷åñêîé èëè êîíè÷åñêîé ôîðìû. Åãî öåíòðàëüíàÿ ÷àñòü îãðàíè÷åíà ðàäèàëüíûì ðàçìåðîì rc(z)
rc (z) = a2 − z(a1 − a2 )/L,
(2)
ãäå a1 è a2 – ðàäèóñû äèàôðàãì D1 è D2, z – êîîðäèíàòà âäîëü îñè ñèñòåìû, îòñ÷èòûâàåìàÿ îò áëèæàéøåé ê èçëó÷àåìîé îáëàñòè äèàôðàãìû D2, L – ðàñ-
“Îïòè÷åñêèé æóðíàë”, òîì 76, ¹ 3, 2009
9
ñòîÿíèå ìåæäó äèàôðàãìàìè D1 è D2. Êîãäà ïðîòÿæåííîñòü èçëó÷àþùåãî îáúåìà âäîëü îñè íåâåëèêà, èçëó÷àþùèé îáúåì îïðåäåëÿåòñÿ ýòîé öåíòðàëüíîé ÷àñòüþ, è âåëè÷èíà Ve íàõîäèòñÿ ïðîñòûì èíòåãðàëîì
∫ ∫Ve
=
1 4π
z2
Ωc
dV
z1
=
π 4
a12
z2 z1
rc (z) z+L
2
dz,
(3)
ãäå z1 è z2 – ðàññòîÿíèÿ ïî îñè îò äèàôðàãìû D2 äî íà÷àëà è äî êîíöà èçëó÷àþùåé ñðåäû. Òàê, ïðè ðàâíûõ ðàäèóñàõ äèàôðàãì a1 = a2 ðàçìåð rc = a1, è èç (2) ïîëó÷àåòñÿ
Ve
=
π 4
a14 (z2 − z1) . (z1 + L)(z2 + L)
Âûðàæåíèå (3) ñïðàâåäëèâî òîëüêî ïðè ìàëîé ïðîòÿæåííîñòè âäîëü îñè èçëó÷àþùåãî îáúåìà dz = = z2 – z1 ≤ a2. Áîëåå òî÷íûé êðèòåðèé áóäåò íåòðóäíî ñôîðìóëèðîâàòü èç äàëüíåéøåãî.
Èññëåäóåìûé îáúåì ñðåäû ÷àñòî äåëàþò ïî âîçìîæíîñòè áîëüøèì äëÿ òîãî, ÷òîáû óâåëè÷èòü ïîòîê ðåãèñòðèðóåìîãî èçëó÷åíèÿ. Ýòî íå òîëüêî æåëàòåëüíî, íî áûâàåò è íåîáõîäèìûì ïðè íèçêèõ èíòåíñèâíîñòÿõ ýìèññèè. Äëÿ óâåëè÷åíèÿ ìîùíîñòè ïîòîêîâ è, ñîîòâåòñòâåííî, ðåãèñòðèðóåìûõ ñèãíàëîâ, óâåëè÷èâàþò ïðîòÿæåííîñòü îáúåìà âäîëü îñè ñèñòåìû, òî åñòü ðàçìåð z2 – z1. Ïðè ïðîòÿæåííîì îáúåìå âûðàæåíèå (3) ñòàíîâèòñÿ íåñïðàâåäëèâûì. Ïîìèìî öåíòðàëüíîé ÷àñòè îáúåìà, îïèñûâàåìîé âûðàæåíèåì (3), â òàêîì ñëó÷àå çíà÷èòåëüíûé âêëàä äàåò ïåðèôåðèéíàÿ îáëàñòü, êîòîðàÿ ýêðàíèðóåòñÿ äèàôðàãìîé D2 â ðàçíîé ñòåïåíè äëÿ ðàçëè÷íûõ åå ÷àñòåé.
Âûâîä ñîîòâåòñòâóþùèõ ôîðìóë òðåáóåò ðàññìîòðåíèÿ ãåîìåòðè÷åñêîé çàäà÷è è ïðèâîäèò ê áîëåå ñëîæíûì, ÷åì (3), âûðàæåíèÿì, òðåáóþùèì ÷èñëåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ. Íåñìîòðÿ íà î÷åâèäíóþ ïîòðåáíîñòü, íåîáõîäèìûõ ôîðìóë äëÿ ðàñ÷åòà Ve ïðîòÿæåííûõ èçëó÷àþùèõ îáúåìîâ â ëèòåðàòóðå íå ïðåäñòàâëåíî [2, 3].
 äàííîé ðàáîòå ïðåäñòàâëÿåòñÿ âûâîä ñîîòâåòñòâóþùèõ âûðàæåíèé. Ïîêàçàí òàêæå ïðèìåð ðàñ÷åòà, èëëþñòðèðóþùèé áîëüøîé îòíîñèòåëüíûé âêëàä ïåðèôåðèéíûõ îáëàñòåé â ñëó÷àå, êîãäà èçëó÷àþùèé îáúåì ñðåäû èìååò çíà÷èòåëüíóþ ïðîòÿæåííîñòü.
Âûâîä ôîðìóë äëÿ ðàñ÷åòà Áóäåì îïðåäåëÿòü ýôôåêòèâíûé îáúåì Ve äëÿ îñåñèììåòðè÷íîé ñèñòåìû. Ñõåìà ðàñïîëîæåíèÿ ýëåìåíòîâ, îïðåäåëÿþùèõ ðàçëè÷íûå îáëàñòè èçëó÷àþùåãî îáúåìà, è ñîîòâåòñòâóþùèå îáîçíà÷å-
10
r x2 xch
zL D2
a2
z1 z2
D1 a1
O1
O1 a1
r1 O2
Ðèñ. 1. Ê ðàñ÷åòó ýôôåêòèâíîãî èçëó÷àþùåãî îáúåìà Ve – ñõåìà ðàñïîëîæåíèÿ ýëåìåíòîâ, ãðàíèö öåíòðàëüíîé è ïåðèôåðèéíîé îáëàñòåé, ïåðåñå÷åíèÿ îòâåðñòèÿ äèàôðàãìû D1 è ïðîåêöèè íà íåå äèàôðàãìû D2.
íèÿ ïîêàçàíû íà ðèñ. 1. Ïðîòÿæåííîñòü èçëó÷àþùåãî îáúåìà ñ÷èòàåì äîñòàòî÷íî áîëüøèì, òàêèì, ÷òî åãî ðàçìåð ïî êîîðäèíàòå âäîëü îñè ñèñòåìû áîëüøå èëè ïîðÿäêà õàðàêòåðíîãî ðàäèóñà îáëàñòè ñðåäû, âûðåçàåìîé îãðàíè÷èâàþùèìè äèàôðàãìàìè.
Âåñü îáúåì, èçëó÷åíèå èç êîòîðîãî ïîïàäàåò â ðåãèñòðèðóþùóþ ñèñòåìó, ñêëàäûâàåòñÿ èç äâóõ ñîñòàâëÿþùèõ ÷àñòåé – öåíòðàëüíîé è ïåðèôåðèéíîé. Öåíòðàëüíàÿ îáëàñòü îãðàíè÷èâàåòñÿ êîíè÷åñêîé ïîâåðõíîñòüþ, îáðàçóþùàÿ êîòîðîé – ïðÿìàÿ, ïðîâåäåííàÿ ÷åðåç òî÷êè A è B íà âåðõíèõ êðàÿõ äèàôðàãì D1 è D2. Ïåðèôåðèéíàÿ îáëàñòü îãðàíè÷åíà íàçâàííîé êîíè÷åñêîé ïîâåðõíîñòüþ, êîòîðàÿ äëÿ íåå âíóòðåííÿÿ, è âòîðîé – âíåøíåé êîíè÷åñêîé ïîâåðõíîñòüþ, îáðàçóþùàÿ êîòîðîé, ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êó À íà âåðõíåì êðàþ äèàôðàãìû D2 è òî÷êó Ñ íà íèæíåì êðàþ äèàôðàãìû D1.
Ðàäèóñ ãðàíèöû rñ(z) öåíòðàëüíîé îáëàñòè îïðåäåëÿåòñÿ âûðàæåíèåì (2).Äëÿ ïåðèôåðèéíîé îáëàñòè ðàäèóñ åå âíóòðåííåé ãðàíèöû – rñ(z), à âíåøíåé
rp = a2 + z(a1 + a2)/L.
(4)
Òåëåñíûé óãîë Ωñ, êîòîðûì îãðàíè÷åíà ÷àñòü îò âñåãî èçëó÷àåìîãî ýëåìåíòîì îáúåìà ïîòîêà èçëó÷åíèÿ, ïîïàäàþùàÿ â ðåãèñòðèðóþùóþ ñèñòåìó, äëÿ ýëåìåíòîâ öåíòðàëüíîé îáëàñòè ñîñòàâëÿåò
Ωc (z) = π a12/(z + L)2.
(5)
Çäåñü ïðåíåáðåãàåòñÿ ìàëûìè èçìåíåíèÿìè ðàññòîÿíèé è óãëîâ äëÿ ýëåìåíòîâ îáúåìà ñ ðàçëè÷íûìè ðàäèàëüíûìè êîîðäèíàòàìè ïðè ôèêñèðîâàííîé êîîðäèíàòå z. Ïðåäïîëàãàåòñÿ òàêæå, ÷òî, êàê â áîëüøèíñòâå ïðàêòè÷åñêèõ ñëó÷àåâ, íàèáîëüøàÿ êîîðäèíàòà zmax èçëó÷àþùåé îáëàñòè íå ïðåâûøàåò âåëè÷èíû a2L/(a1 – a2), ïðè êîòîðîé îáðàçóþùàÿ êî-
“Îïòè÷åñêèé æóðíàë”, òîì 76, ¹ 3, 2009
íè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè, îãðàíè÷èâàþùåé öåíòðàëüíóþ îáëàñòü, ïåðåñåêàåò îñü ñèñòåìû. ( ñëó÷àå, åñëè zmax ≥ a2L/(a1 – a2), òåëåñíûé óãîë äëÿ öåíòðàëüíîé îáëàñòè çàäàåòñÿ ïëîùàäüþ äèàôðàãìû D2, à íå D1, êàê â (4)). Âêëàä, êîòîðûé âíîñèòñÿ â ýôôåêòèâíûé îáúåì öåíòðàëüíîé îáëàñòüþ îïèñûâàåòñÿ âûðàæåíèåì (3).
Òåëåñíûé óãîë Ωp äëÿ ýëåìåíòîâ îáúåìà ïåðèôåðèéíîé îáëàñòè çàäàåòñÿ ïëîùàäüþ ïåðåñå÷åíèÿ îòâåðñòèÿ äèàôðàãìû D1 è ïðîåêöèè íà íåå îòâåðñòèÿ äèàôðàãìû D2. Ñõåìà, ïîÿñíÿþùàÿ ôîðìó ýòîé ïëîùàäè ïåðåñå÷åíèÿ, ïîêàçàíà â ïðàâîé ÷àñòè ðèñ. 1. Ïî êîîðäèíàòå x ñ íà÷àëîì x = 0 â öåíòðå îêðóæíîñòè D1 öåíòð ïðîåêöèè îêðóæíîñòè D2 ñìåùåí â òî÷êó
x2 = –rL/z,
(6)
ãäå r, z – êîîðäèíàòû ðàññìàòðèâàåìîãî ýëåìåíòà èçëó÷àþùåé îáëàñòè. Ïðîåêöèÿ îòâåðñòèÿ D2íà ïëîñêîñòü äèàôðàãìû D1 èìååò ôîðìó êðóãà.  ýòîì íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, çàìåòèâ, ÷òî ýòà ïðîåêöèÿ îáðàçóåòñÿ ñíà÷àëà ïðåîáðàçîâàíèåì êðóãà â ýëëèïñ, à çàòåì îáðàòíî – ýëëèïñà â êðóã. Íà ïëîñêîñòü, ïåðïåíäèêóëÿðíóþ îñè, ïðîõîäÿùóþ èç òåêóùåé èçëó÷àþùåé òî÷êè ñ êîîðäèíàòàìè (r, z) â öåíòð ïðîåêöèè x2, îêðóæíîñòü D2 ïðîåêòèðóåòñÿ â ýëëèïñ óìíîæåíèåì íà êîñèíóñ óãëà íàêëîíà îñè. Çàòåì íà ïëîñêîñòü äèàôðàãìû D1 ýòîò ýëëèïñ äàåò ïðîåêöèþ äåëåíèåì íà êîñèíóñ òîãî æå óãëà íàêëîíà, è òåì ñàìûì ïðåîáðàçóåòñÿ ñíîâà â îêðóæíîñòü. Ðàäèóñ îêðóæíîñòè ïðîåêöèè
r2 = a2 (1 + L/z).
(7)
Îáëàñòü ïåðåñå÷åíèÿ äâóõ êðóãîâ ðàäèóñîì a1 è r2 ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñóììó äâóõ ñåãìåíòîâ. Ïëîùàäü ýòîé îáëàñòè, îïðåäåëÿþùàÿ òåëåñíûé óãîë, ìîæíî
ðàññ÷èòàòü, îïðåäåëèâ êîîðäèíàòó õîðäû xch, ñîåäèíÿþùåé äâå òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ îêðóæíîñòåé: îêðóæíîñòè D1 è ïðîåêöèè îêðóæíîñòè D2. Êîîðäèíàòà xch îïðåäåëÿåòñÿ ñèñòåìîé óðàâíåíèé, îïèñûâàþùèõ ýòè îêðóæíîñòè
x 2 [ x
+ y2 = + r(L/z
a12 )]2
+
y2
=
a22 (1 +
L/z)2,
èç ðåøåíèÿ êîòîðîé íàõîäèì
xch
=
z 2rL
a22 (1 +
L/z)2
−
a12
−
rL/2z.
(8)
Äëÿ ìàëîé îêðóæíîñòè ïëîùàäü ñåãìåíòà, âëåâî îò õîðäû, ðàâíà [4]
S1(r, z)
=
πa12 2
+
xch
a12 −
xc2h
+
a12
arcsin(xch
/a1
)
.
(9)
Äëÿ áîëüøåé îêðóæíîñòè êîîðäèíàòà õîðäû ðàâíà xch – x2, ãäå âåëè÷èíû èç (7) è (8). Ïëîùàäü ñåãìåíòà (âïðàâî îò õîðäû) îïèñûâàåòñÿ, àíàëîãè÷íî (10), âûðàæåíèåì
(S2 (r, z)
=
πr22 2
−
(xch − x2 )
r22 − (xch − x2 )2 +
+
r22arcsin
xch − r2
x2
.
(10)
Îáëàñòü ïåðåñå÷åíèÿ íàêëîíåíà ê îñè, ïðîâåäåííîé
èç òåêóùåé òî÷êè â öåíòð îêðóæíîñòè D1, ïîä óãëîì á, äëÿ êîòîðîãî: tgα= r/(z + L). Ðàññòîÿíèå Rb îò òåêóùåé òî÷êè (z, r) äî ýòîãî öåíòðà è ñîîòâåòñòâóþùèé òåëåñíûé óãîë Ωp ñîñòàâëÿþò
Rp (r, z) = r2 + (z + L)2 ,
Ωp (r, z) =
(S1 + S2 ) cos α Rp2
=
Rp2
(S1 + S2 )
.
1+ r2 /(z + L)2
(11)
Âûðàæåíèå äëÿ òåëåñíîãî óãëà (11) ÿâëÿåòñÿ áîëåå
òî÷íûì, ÷åì (5), è äëÿ öåíòðàëüíîé îáëàñòè, äëÿ êîòîðîé S1 + S2 = πa12. Èç (11) âèäíî, ÷òî âûðàæåíèå (5) ïîëó÷àåòñÿ èç (12) ïðåíåáðåæåíèåì â Rp è cosα âåëè÷èíàìè r2/(z + L)2 ïî ñðàâíåíèþ ñ 1.
Ýôôåêòèâíûé îáúåì, êîòîðûé äàåò ïåðèôåðèéíàÿ
îáëàñòü
∫ ∫Vep
=
1 4π
z2
rp
dz
Ωp
2πrdr,
z1 rc
(12)
íåòðóäíî ðàññ÷èòàòü ÷èñëåííûì èíòåãðèðîâàíèåì, ãäå ãðàíè÷íûå ðàäèóñû äàþòñÿ âûðàæåíèÿìè (2) è (4). Òàêèì îáðàçîì, ôîðìóëó äëÿ ðàñ÷åòà ýôôåêòèâíîãî îáúåìà ìîæíî çàïèñàòü â âèäå
∫Ve = Vec + Vep =
π a12a22 4 L2
z2 z1
1
−
a1 a2
z
z +
L
2
dz
+
∫ ∫+
1 2
z2 z1
rp
dz
rc
(r 2
+
S 1(r, z) (z + L)2 )
+ S2 1+
(r, z) r2/(z
+
L)2
rdr,
(13)
ãäå âåëè÷èíû S1(r, z), S2(r, z), rc(z) è rp(z) äàþòñÿ âûðàæåíèÿìè (10), (11), (2) è (4).
Îòíîñèòåëüíûé âêëàä ïåðèôåðèéíîé îáëàñòè
Ïðîèëëþñòðèðóåì êîëè÷åñòâåííûì ïðèìåðîì îòíîñèòåëüíûå âêëàäû ðàçëè÷íûõ ó÷àñòêîâ ïåðèôåðèéíîé è öåíòðàëüíîé îáëàñòåé äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà èññëåäóåìàÿ èçëó÷àþùàÿ ñðåäà áåðåòñÿ äîñòàòî÷íî ïðîòÿæåííîé. Íà ðèñ. 2 ïîêàçàíû ðåçóëüòàòû ðàñ÷åòà äëÿ ñèñòåìû ñî ñëåäóþùèìè ïàðàìåòðàìè:
“Îïòè÷åñêèé æóðíàë”, òîì 76, ¹ 3, 2009
11
f (r, z), îòí. åä.
z = 4,6 z = 3,8
ðèôåðèéíîé îáëàñòè áûñòðî óâåëè÷èâàåòñÿ. Äëÿ äàííîãî ïðèìåðà ñ ðàçìåðîì èññëåäóåìîé ñðåäû âäîëü îñè 4 ñì îáùèé ýôôåêòèâíûé èçëó÷àþùèé îáúåì â 2,3 ðàçà áîëüøå îáúåìà, îïðåäåëÿåìîãî öåíòðàëüíîé îáëàñòüþ.
z = 3,0
z = 2,2
z = 1,4 0 0,1 0,2 0,3 r, ñì
Ðèñ. 2. Äîëÿ ýëåìåíòàðíîãî îáúåìà f (r, z) îò îáùåãî ýôôåêòèâíîãî èçëó÷àþùåãî îáúåìà Ve. (Ýëåìåíòàðíûé îáúåì çäåñü – êîëüöî åäèíè÷íîé øèðèíû ïî ðàäèóñó è äëèíû âäîëü îñè). Êîîðäèíàòà ñëîÿ z (ðàññòîÿíèå îò äèàôðàãìû D2 äî ñëîÿ) óêàçàíà ïîä êðèâûìè. Ñïëîøíûå ëèíèè – öåíòðàëüíàÿ îáëàñòü, òî÷êè – ïåðèôåðèéíàÿ îáëàñòü.
z1 = 1 cì, z2 – z1 = 4 ñì, a1 = 0,15 ñì, a2 = 1 ñì, L = = 30 ñì. Íà ðèñóíêå ïðåäñòàâëåíû çíà÷åíèÿ ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèè f (r, z) = Ω(r, z)2πr, îïèñûâàþ-
z2 rp
ùåé âûðàæåíèå (13) â ôîðìå Ve = ∫ dz ∫ f (r, z)dr. z1 0
Ôóíêöèÿ f (r, z) íåïîñðåäñòâåííî ïîêàçûâàåò òîò âêëàä, êîòîðûé âíîñèòñÿ â ñóììàðíûé ýôôåêòèâíûé îáúåì Ve îòäåëüíûì ýëåìåíòîì îáúåìà â âèäå êîëüöà åäèíè÷íîé øèðèíû ïî ðàäèóñó è äëèíû âäîëü îñè. Ðèñóíîê ïîêàçûâàåò ðàñïðåäåëåíèÿ f (r, z) ïî ðàäèàëüíîé êîîðäèíàòå r äëÿ íåñêîëüêèõ ñëîåâ ñ ðàçëè÷íûìè êîîðäèíàòàìè z.
Êàê âèäíî èç ðèñ. 2, ïî ìåðå óâåëè÷åíèÿ êîîðäèíàòû z (óäàëåíèÿ îò âõîäíîé ïëîñêîñòè D1 ýëåìåíòàðíîãî ñëîÿ øèðèíîé dz) îòíîñèòåëüíûé âêëàä ïå-
Çàêëþ÷åíèå
Âûâåäåíû ôîðìóëû äëÿ ðàñ÷åòà ýôôåêòèâíîãî èçëó÷àþùåãî îáúåìà, òðåáóþùåãîñÿ äëÿ îïðåäåëåíèÿ êîíöåíòðàöèè âîçáóæäåííûõ ÷àñòèö ïî èçìåðåííîé èíòåíñèâíîñòè ñïåêòðàëüíîé ëèíèè ýìèññèîííîãî èçëó÷åíèÿ. Ôîðìóëû ïîçâîëÿþò ðàññ÷èòûâàòü ýôôåêòèâíûé îáúåì è â òîì ñëó÷àå, êîãäà èññëåäóåìàÿ îáëàñòü èçëó÷àþùåé ñðåäû èìååò íå ìàëóþ ïðîòÿæåííîñòü âäîëü îñè. Âåñü îáúåì, èçëó÷åíèå èç êîòîðîãî ïîïàäàåò â ðåãèñòðèðóþùóþ ñèñòåìó, ñêëàäûâàåòñÿ èç äâóõ ÷àñòåé – öåíòðàëüíîé è ïåðèôåðèéíîé. Êîãäà â ýêñïåðèìåíòå ðàçìåð äèàãíîñòèðóåìîé îáëàñòè âäîëü îñè íå ìàë, âêëàä ïåðèôåðèéíîé ÷àñòè â îáùåå çíà÷åíèå ýôôåêòèâíîãî îáúåìà ñòàíîâèòñÿ çíà÷èòåëüíûì è åãî íåîáõîäèìî ó÷èòûâàòü. Ðàñ÷åòàìè äëÿ èññëåäóåìîãî îáúåìà ñ ðàçìåðàìè, òèïè÷íûìè äëÿ ýêñïåðèìåíòà, ïîêàçàíî, ÷òî ýòîò âêëàä ìîæåò áûòü ñðàâíèìûì èëè ïðåâîñõîäèòü âêëàä ñîîòâåòñòâóþùåé öåíòðàëüíîé îáëàñòè.
ËÈÒÅÐÀÒÓÐÀ
11. Î÷êèí Â.Í. Ñïåêòðîñêîïèÿ íèçêîòåìïåðàòóðíîé ïëàçìû. Ì.: Ôèçìàòëèò, 2006. 472 ñ.
12. Çàéäåëü À.Í., Îñòðîâñêàÿ Ã. Í., Îñòðîâñêèé Þ.È. Òåõíèêà è ïðàêòèêà ñïåêòðîñêîïèè. Ì.: Íàóêà, 1976. 392 ñ.
13. Ëåáåäåâà Â.Â. Òåõíèêà îïòè÷åñêîé ñïåêòðîñêîïèè. Ì.: èçäâî ÌÃÓ, 1986. 352 ñ.
14. Êîðí Ã., Êîðí Ò. Ñïðàâî÷íèê ïî ìàòåìàòèêå äëÿ íàó÷íûõ ðàáîòíèêîâ è èíæåíåðîâ. Ì.: Íàóêà, 1977. 831 ñ. (Korn G.A., Korn T.M. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York: McGraw-Hill Book Company, 1968).
12 “Îïòè÷åñêèé æóðíàë”, òîì 76, ¹ 3, 2009