ФОТОЭЛЕКТРОННОЕ ДЕТЕКТИРОВАНИЕ ПРИ ОГРАНИЧЕНИИ ЧИСЛА НАКАПЛИВАЕМЫХ ЗАРЯДОВ (ФОТОЭЛЕКТРОНОВ)
ФИЗИЧЕСКАЯ ОПТИКА
УДК 621.383.029
ФОТОЭЛЕКТРОННОЕ ДЕТЕКТИРОВАНИЕ ПРИ ОГРАНИЧЕНИИ ЧИСЛА НАКАПЛИВАЕМЫХ ЗАРЯДОВ (ФОТОЭЛЕКТРОНОВ)
© 2013 г. Ю. Н. Раковский, канд. тех. наук E-mail: egorrak@yandex.ru
С позиции теории марковских процессов размножения и гибели рассмотрен процесс накопления фотоэлектронов с учетом как рекомбинации, так и ограничения числа накапливаемых фотоэлектронов. Получены выражения для отношения сигнал/шум, порогового сигнала и динамического диапазона.
Ключевые слова: фотоэлектронное детектирование, пороговый сигнал, динамический диапазон.
Коды OCIS: 040.5160; 270.2500.
Поступила в редакцию 26.02.2013.
Настоящая работа является обобщением (ограничение числа накапливаемых зарядов),
рассмотренной в [1] нелинейной модели фотоэ- m(t) – математическое ожидание, D(t) – дис-
лектрического детектирования с накоплением персия числа событий (числа фотоэлектронов).
заряда на случай, когда число накапливаемых Решения уравнений (1) и (2) при нулевых на-
зарядов (фотоэлектронов) ограничено.
чальных условиях имеют вид
Дифференциальные уравнения процесса
размножения и гибели для математического
ожидания и дисперсии числа суммируемых событий имеют вид [2]
m(ìmt(m)(ìt=(()te)0=t∫)x=ep0t∫0x∫txpμ(xx)exp−ydxt∫ −–yx xtd∫∫tìnãy(((ìnμnyyãy((()()(y)yyy+)+))))))+++yy(γ)()()yã(nyyyì((()yãnxìdd∫t−yydx∫ty−,
tt x (p3xx)∫pex=)∫e)(=)t(ì)m(t(ì
00
dmì(t() dt
)=
ã(t)
t n(t)
ddmddmtì(tt( ()t))==ìμ ((tt) −– mm((tt)) γã((tt))++μnn((t(t)tt)) ,
+
m(t)
−
(t)
ì
(1)
dmdddDt(ìtt (()t))= =ìμ((tt) −– m(t))
+
ãnμ(((ttt))) –+ γn(t()tt )
ã(t)
–
t n(t)
m(t)
−
(t)
ì
)=
dmì(t() dt
m(ìtD()(=t))et=∫xyp∫dt
0 0
x μy(x)
++m−)))yyxt∫(x(((ã)nìn(ãγ((((xyyx∫t)−))) –+ nμ((xxy)))x×dpyx0∫te=)
)(t(ìm
(4)
dmì(t() dt
)=
ì
(t )–−2mD(tt))
+
γã((tt))++nμn((tt())tt ) ,
t n(t)
ã(t)
m(t)
−
(t)
ì
)=
dmì(t() dt
(2) t t mmì(t()ì(t=() e=)∫xep∫xpx 00
x×
exp−y–dxt∫−2yxtx∫∫tdìnãy((ì(nμnãyyy(((())y)yyy+)+)))))+))+yyγ()(())(yãynyyì()y((ãnxdì∫dt−yydx∫ty−dx.
x
tt pxx∫pex=)∫e)(=)t(ì)m(t(ìm
00
где µ(t) – интенсивность (число в единицу вре-
мени) ординарного независимого потока появления фотоэлектронов в момент времени t, γ(t) – интенсивность потока исключения событий (рекомбинации), n(t) – максимально возможное к моменту t значение числа событий
Считается, что фотоэлектрон рекомбинирует с неизменной во времени вероятностью (ξ). Тогда по теореме о редеющих потоках событий [3] интенсивность потока исключения событий равна
γ(t) = ξμ(t).
(5)
“Оптический журнал”, 80, 11, 2013
3
Дальнейший анализ проводится при условии, что на интервале накопления [0, t] величины µ и n можно считать постоянными. При этом
[ ] ] [1
m(t) D=(t) = m(t) 1 n−– /me)–(μttt((ξ)m+/1−n/ n1) ),t(m = )(6t()D
ξ+1/n
D(t) = m(t)[1 – m(t) / n],
(7)
ln 2 tm = 1 – ξn .
μ(ξ + 1 / n)
(11)
Выражения (6) и (7) позволяют теоретически по измеренным значениям математического ожидания и дисперсии определить параметры nиξ:
где m(t) и D(t) – математическое ожидание и дисперсия числа фотоэлектронов, накопленных к моменту t (в силу нулевых начальных условий t – время накопления). При n = ∞ эти выражения переходят в формулы, полученные в [1].
Из выражений (6) и (7) следует, что – при конечном значении n распределение числа накопленных к моменту t фотоэлектронов не является пуассоновским, – зависимость математического ожидания числа накопленных фотоэлектронов от времени накопления определяется суммой ξ + 1/n и поэтому не позволяет различить факторы, ограничивающие величину m(t) (рекомбинация ξ ≠ 0 или n < ∞), – зависимость дисперсии от времени накопления имеет максимум. Последнее легко показать, введя коэффициент заполнения
m(t) ρ(t) = n .
(8)
При этом выражение для дисперсии принимает вид
D(t) = nρ(t)[1 – ρ(t)],
(9)
откуда с учетом неравенства ρ(t) ≤ 1 следует, что
D(t) ≤ n / 4.
(10)
Равенство в (10) имеет место при ρ(t) = 0,5. Экспериментальным подтверждением этого результата можно считать приведенную в [4] зависимость дисперсии от времени накопления, где отмечено, что максимум достигнут при коэффициенте заполнения “потенциальной ямы” около 0,55.
Время накопления, соответствующее максимуму зависимости D(t), равно
4
n = m(t) , 1 − D(t) / m(t)
(12)
1 1 D(∞)
ξ = – — =
.
m(∞) n [m(∞)]2
(13)
Значения m(∞) и D(∞) в (13) соответствуют “установившемуся режиму” (например, при до-
статочно большом времени накопления).
Отношение сигнал/шум Введем обозначения
μt = M,
(14)
1 – e–M(ξ + 1 / n)
m(M, ξ, n) =
,
ξ+1/n
(15)
D(M, ξ, n) = m(M, ξ, n)[1 – m(M, ξ, n) / n]. (16)
Величину M можно рассматривать как математическое ожидание числа накопленных фотоэлектронов в линейной модели фотодетектирования, т.е. при ξ = 0 и n = ∞. Все дальнейшие выражения являются функциями от М. Отношение сигнал/шум равно
ψ(MS, M0, ξ, n) = m(MS + M[D0( ,Mξ,0n, )ξ , –n m)](1M/2 0, ξ, n) .
(17)
Величина Ms соответствует интенсивности потока фотоэлектронов полезного сигнала µs, а величина M0 соответствует интенсивности потока электронов µ0 в отсутствие полезного
“Оптический журнал”, 80, 11, 2013
сигнала (шум), см. (14). Отметим, что согласно ГОСТ 17772-88 дисперсия шума в выражении (17) определяется в отсутствие полезного сигнала. На рис. 1 приведена зависимость отношения сигнал/шум от параметра n при трех значениях параметра ξ. В этом примере отношение сигнал/ шум, соответствующее линейной модели фотодетектирования, Ms/(M0)1/2 = 10. Как видно из рис. 1, отличие отношения сигнал/шум от значения, соответствующего линейной модели, может быть существенным.
Пороговый сигнал
Пороговое значение полезного сигнала (M ) σ
определяется из уравнения
ψ(Mσ, M0, ξ, n) = 1.
(18)
Рис. 1. Зависимость отношения сигнал/шум от
параметра n при Ms = 103 и M0 = 104 : ξ = 10–6 (1), ξ = 2×10–5 (2), ξ = 5×10–5 (3).
Важной особенностью рассматриваемой
нелинейной модели является существование
(рудсыалхжовоеитбнйеос(шзкноеаннчеиеченнисоиймг)внезалнлиа/ччшzеиуmннмиiMnи(1î(0п,7,о)ξnл),неnиз=)н,попргрио1î2иск1ика1г+ок−нт/о1оам/-- nnzmz2minz+imn(î1i,n(îî(+,ξn),1n)n/=)n==−1î12 î2–1î21nn 11ξ+1− /1+–/1−+1−1 /1//11−+11n/n//1/nnnnn2n2î212++−1+1nî+1î/+11ξ1/1/+n/în1n− –+1− –212înnî21ξnn/ 1+–+1−1// 1+1−1+11///1−+1/1/nn/1n2nînn211î.−
= )nî n /1+
ла Ms не может быть больше единицы. В этих условиях порогового сигнала, определяемого
(23)
уравнением (18), не существует. Найдем эти
Соответствующее граничное значение вели-
условия. Для краткости записи последующих выражений введем обозначения:
чины M0 = µ0t равно
[ ]M0max (ξ, n) = (ξ + 1 / n)–1ln zmin(ξ, n) –1. (24)
z = exp[–M0 (ξ + 1 / n)], [ ]ψmax = z (1 – z)(ξ + z / n) –1/2.
(19) Пороговый сигнал в определении (18) не существует при µ0t ≥ M0max. Относительное отличие порогового сигнала (22) от порогового сиг-
(20) нала линейной модели (M10/2), т.е. величина
Тогда отношение сигнал/шум можно представить в виде:
ψ = [1 – exp(–Ms (ξ + 1 / n))] ψmax. (21)
Пороговое значение полезного сигнала, удовлетворяющее условию (18), равно
β(M0,
ξ,
n)
=
M σ
(M0,
ξ,
n)
/
(M0)1/2
(25)
в некоторых случаях может быть значительным (см. рис. 2, иллюстрирующий зависимость относительного отличия пороговых сигналов от величины M0 при некоторых фиксированных значениях параметров ξ и n).
[ ]M σ
=
(ξ
+
1
/
n)–1ln
1 – ψ
–1 max
–1.
(22)
Из (22) следует, что пороговый сигнал не существует при ψmax ≤ 1. Граничное значение z = zmin (при ψmax = 1) есть
Динамический диапазон
Динамический диапазон определяется как отношение максимального и минимального значений полезного сигнала Ms = µst :
Д = MS max / MS min .
(26)
“Оптический журнал”, 80, 11, 2013
5
dmì(t() dt
)=
ì
Рис. 2. Зависимость различия пороговых сигналов нелинейной и линейной моделей от ве-
личины M0 при ξ = 2×10–4 : n = 104 (1), n = 108 (2).
Рис. 3. Зависимость динамического диапазона от величины M0: ξ = 10–5, n = 107
(1); ξ = 2×10–5, n = 106 (2); ξ = 5×10–5, n = 105 (3).
В качестве минимального сигнала обычно используют пороговое значение M . В рассма-
триваемой нелинейной модели σнакоплениdяmì(t() математическое ожидание числа накопленныхdt
фотоэлектронов полезного сигнала
)=
ì
t n(t)
+
(Mt) S−mmax (=t) ã dd(mMmt)SSS+ mManSx=( t0t )
ã(t)
m(t)
−
(t)
ì
)=
1 =
ξ+1/n
dmì(t() dt
.
(29)
ms = ×exp[–ξM+01(ξ/+n1 / n)] × [1 – exp(–MS(ξ + 1 / n))]
Динамический диапазон при этом равен
(27)
dmì(t() dt
Д)=(Mì (0t,)
ξ−,
nm)(=t )
lãn(t1) –+ ψn–m(1attx)(1M–10,
+
ξ,
n)
t n(t)
.
m(t) ã(t)
−
(t)
(30)
ограничено величиной
mS max = (ξ + 1 / n)–1exp [–M0 (ξ + 1 / n)]. (28)
В этом случае в качестве максимального значения предлагается принять величину
На рис. 3 представлена зависимость динамического диапазона от величины М0 при некоторых значениях параметров ξ и n. Как видно из рис. 3, динамический диапазон может оказать-
ся неприемлемо малым.
*****
ЛИТЕРАТУРА
1. Раковский Ю.Н. Нелинейная пуассоновская модель фотоэлектрического детектирования // Оптический журнал. 2008. Т. 75. № 12. С. 11–15.
2. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Задачи и упражнения по теории вероятностей. М.: ACADEMIA, 2005. 440 с.
3. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория случайных процессов и ее инженерные приложения. M.: Наука, 1991. 384 с.
4. Ковчавцев А.П., Курышев Г.Л., Базовкин В.М., Валишева Н.А., Гузев А.А., Ли И.И., Ефимов В.М., Ковалевская Т.Е., Панова З.Е. Фотоприемники зарядовой инжекции на арсениде индия // Матричные фотоприемные устройства инфракрасного диапазона под ред. Синицы С.П. Новосибирск.: Наука. 2001. 376 с.
6 “Оптический журнал”, 80, 11, 2013
УДК 621.383.029
ФОТОЭЛЕКТРОННОЕ ДЕТЕКТИРОВАНИЕ ПРИ ОГРАНИЧЕНИИ ЧИСЛА НАКАПЛИВАЕМЫХ ЗАРЯДОВ (ФОТОЭЛЕКТРОНОВ)
© 2013 г. Ю. Н. Раковский, канд. тех. наук E-mail: egorrak@yandex.ru
С позиции теории марковских процессов размножения и гибели рассмотрен процесс накопления фотоэлектронов с учетом как рекомбинации, так и ограничения числа накапливаемых фотоэлектронов. Получены выражения для отношения сигнал/шум, порогового сигнала и динамического диапазона.
Ключевые слова: фотоэлектронное детектирование, пороговый сигнал, динамический диапазон.
Коды OCIS: 040.5160; 270.2500.
Поступила в редакцию 26.02.2013.
Настоящая работа является обобщением (ограничение числа накапливаемых зарядов),
рассмотренной в [1] нелинейной модели фотоэ- m(t) – математическое ожидание, D(t) – дис-
лектрического детектирования с накоплением персия числа событий (числа фотоэлектронов).
заряда на случай, когда число накапливаемых Решения уравнений (1) и (2) при нулевых на-
зарядов (фотоэлектронов) ограничено.
чальных условиях имеют вид
Дифференциальные уравнения процесса
размножения и гибели для математического
ожидания и дисперсии числа суммируемых событий имеют вид [2]
m(ìmt(m)(ìt=(()te)0=t∫)x=ep0t∫0x∫txpμ(xx)exp−ydxt∫ −–yx xtd∫∫tìnãy(((ìnμnyyãy((()()(y)yyy+)+))))))+++yy(γ)()()yã(nyyyì((()yãnxìdd∫t−yydx∫ty−,
tt x (p3xx)∫pex=)∫e)(=)t(ì)m(t(ì
00
dmì(t() dt
)=
ã(t)
t n(t)
ddmddmtì(tt( ()t))==ìμ ((tt) −– mm((tt)) γã((tt))++μnn((t(t)tt)) ,
+
m(t)
−
(t)
ì
(1)
dmdddDt(ìtt (()t))= =ìμ((tt) −– m(t))
+
ãnμ(((ttt))) –+ γn(t()tt )
ã(t)
–
t n(t)
m(t)
−
(t)
ì
)=
dmì(t() dt
m(ìtD()(=t))et=∫xyp∫dt
0 0
x μy(x)
++m−)))yyxt∫(x(((ã)nìn(ãγ((((xyyx∫t)−))) –+ nμ((xxy)))x×dpyx0∫te=)
)(t(ìm
(4)
dmì(t() dt
)=
ì
(t )–−2mD(tt))
+
γã((tt))++nμn((tt())tt ) ,
t n(t)
ã(t)
m(t)
−
(t)
ì
)=
dmì(t() dt
(2) t t mmì(t()ì(t=() e=)∫xep∫xpx 00
x×
exp−y–dxt∫−2yxtx∫∫tdìnãy((ì(nμnãyyy(((())y)yyy+)+)))))+))+yyγ()(())(yãynyyì()y((ãnxdì∫dt−yydx∫ty−dx.
x
tt pxx∫pex=)∫e)(=)t(ì)m(t(ìm
00
где µ(t) – интенсивность (число в единицу вре-
мени) ординарного независимого потока появления фотоэлектронов в момент времени t, γ(t) – интенсивность потока исключения событий (рекомбинации), n(t) – максимально возможное к моменту t значение числа событий
Считается, что фотоэлектрон рекомбинирует с неизменной во времени вероятностью (ξ). Тогда по теореме о редеющих потоках событий [3] интенсивность потока исключения событий равна
γ(t) = ξμ(t).
(5)
“Оптический журнал”, 80, 11, 2013
3
Дальнейший анализ проводится при условии, что на интервале накопления [0, t] величины µ и n можно считать постоянными. При этом
[ ] ] [1
m(t) D=(t) = m(t) 1 n−– /me)–(μttt((ξ)m+/1−n/ n1) ),t(m = )(6t()D
ξ+1/n
D(t) = m(t)[1 – m(t) / n],
(7)
ln 2 tm = 1 – ξn .
μ(ξ + 1 / n)
(11)
Выражения (6) и (7) позволяют теоретически по измеренным значениям математического ожидания и дисперсии определить параметры nиξ:
где m(t) и D(t) – математическое ожидание и дисперсия числа фотоэлектронов, накопленных к моменту t (в силу нулевых начальных условий t – время накопления). При n = ∞ эти выражения переходят в формулы, полученные в [1].
Из выражений (6) и (7) следует, что – при конечном значении n распределение числа накопленных к моменту t фотоэлектронов не является пуассоновским, – зависимость математического ожидания числа накопленных фотоэлектронов от времени накопления определяется суммой ξ + 1/n и поэтому не позволяет различить факторы, ограничивающие величину m(t) (рекомбинация ξ ≠ 0 или n < ∞), – зависимость дисперсии от времени накопления имеет максимум. Последнее легко показать, введя коэффициент заполнения
m(t) ρ(t) = n .
(8)
При этом выражение для дисперсии принимает вид
D(t) = nρ(t)[1 – ρ(t)],
(9)
откуда с учетом неравенства ρ(t) ≤ 1 следует, что
D(t) ≤ n / 4.
(10)
Равенство в (10) имеет место при ρ(t) = 0,5. Экспериментальным подтверждением этого результата можно считать приведенную в [4] зависимость дисперсии от времени накопления, где отмечено, что максимум достигнут при коэффициенте заполнения “потенциальной ямы” около 0,55.
Время накопления, соответствующее максимуму зависимости D(t), равно
4
n = m(t) , 1 − D(t) / m(t)
(12)
1 1 D(∞)
ξ = – — =
.
m(∞) n [m(∞)]2
(13)
Значения m(∞) и D(∞) в (13) соответствуют “установившемуся режиму” (например, при до-
статочно большом времени накопления).
Отношение сигнал/шум Введем обозначения
μt = M,
(14)
1 – e–M(ξ + 1 / n)
m(M, ξ, n) =
,
ξ+1/n
(15)
D(M, ξ, n) = m(M, ξ, n)[1 – m(M, ξ, n) / n]. (16)
Величину M можно рассматривать как математическое ожидание числа накопленных фотоэлектронов в линейной модели фотодетектирования, т.е. при ξ = 0 и n = ∞. Все дальнейшие выражения являются функциями от М. Отношение сигнал/шум равно
ψ(MS, M0, ξ, n) = m(MS + M[D0( ,Mξ,0n, )ξ , –n m)](1M/2 0, ξ, n) .
(17)
Величина Ms соответствует интенсивности потока фотоэлектронов полезного сигнала µs, а величина M0 соответствует интенсивности потока электронов µ0 в отсутствие полезного
“Оптический журнал”, 80, 11, 2013
сигнала (шум), см. (14). Отметим, что согласно ГОСТ 17772-88 дисперсия шума в выражении (17) определяется в отсутствие полезного сигнала. На рис. 1 приведена зависимость отношения сигнал/шум от параметра n при трех значениях параметра ξ. В этом примере отношение сигнал/ шум, соответствующее линейной модели фотодетектирования, Ms/(M0)1/2 = 10. Как видно из рис. 1, отличие отношения сигнал/шум от значения, соответствующего линейной модели, может быть существенным.
Пороговый сигнал
Пороговое значение полезного сигнала (M ) σ
определяется из уравнения
ψ(Mσ, M0, ξ, n) = 1.
(18)
Рис. 1. Зависимость отношения сигнал/шум от
параметра n при Ms = 103 и M0 = 104 : ξ = 10–6 (1), ξ = 2×10–5 (2), ξ = 5×10–5 (3).
Важной особенностью рассматриваемой
нелинейной модели является существование
(рудсыалхжовоеитбнйеос(шзкноеаннчеиеченнисоиймг)внезалнлиа/ччшzеиуmннмиiMnи(1î(0п,7,о)ξnл),неnиз=)н,попргрио1î2иск1ика1г+ок−нт/о1оам/-- nnzmz2minz+imn(î1i,n(îî(+,ξn),1n)n/=)n==−1î12 î2–1î21nn 11ξ+1− /1+–/1−+1−1 /1//11−+11n/n//1/nnnnn2n2î212++−1+1nî+1î/+11ξ1/1/+n/în1n− –+1− –212înnî21ξnn/ 1+–+1−1// 1+1−1+11///1−+1/1/nn/1n2nînn211î.−
= )nî n /1+
ла Ms не может быть больше единицы. В этих условиях порогового сигнала, определяемого
(23)
уравнением (18), не существует. Найдем эти
Соответствующее граничное значение вели-
условия. Для краткости записи последующих выражений введем обозначения:
чины M0 = µ0t равно
[ ]M0max (ξ, n) = (ξ + 1 / n)–1ln zmin(ξ, n) –1. (24)
z = exp[–M0 (ξ + 1 / n)], [ ]ψmax = z (1 – z)(ξ + z / n) –1/2.
(19) Пороговый сигнал в определении (18) не существует при µ0t ≥ M0max. Относительное отличие порогового сигнала (22) от порогового сиг-
(20) нала линейной модели (M10/2), т.е. величина
Тогда отношение сигнал/шум можно представить в виде:
ψ = [1 – exp(–Ms (ξ + 1 / n))] ψmax. (21)
Пороговое значение полезного сигнала, удовлетворяющее условию (18), равно
β(M0,
ξ,
n)
=
M σ
(M0,
ξ,
n)
/
(M0)1/2
(25)
в некоторых случаях может быть значительным (см. рис. 2, иллюстрирующий зависимость относительного отличия пороговых сигналов от величины M0 при некоторых фиксированных значениях параметров ξ и n).
[ ]M σ
=
(ξ
+
1
/
n)–1ln
1 – ψ
–1 max
–1.
(22)
Из (22) следует, что пороговый сигнал не существует при ψmax ≤ 1. Граничное значение z = zmin (при ψmax = 1) есть
Динамический диапазон
Динамический диапазон определяется как отношение максимального и минимального значений полезного сигнала Ms = µst :
Д = MS max / MS min .
(26)
“Оптический журнал”, 80, 11, 2013
5
dmì(t() dt
)=
ì
Рис. 2. Зависимость различия пороговых сигналов нелинейной и линейной моделей от ве-
личины M0 при ξ = 2×10–4 : n = 104 (1), n = 108 (2).
Рис. 3. Зависимость динамического диапазона от величины M0: ξ = 10–5, n = 107
(1); ξ = 2×10–5, n = 106 (2); ξ = 5×10–5, n = 105 (3).
В качестве минимального сигнала обычно используют пороговое значение M . В рассма-
триваемой нелинейной модели σнакоплениdяmì(t() математическое ожидание числа накопленныхdt
фотоэлектронов полезного сигнала
)=
ì
t n(t)
+
(Mt) S−mmax (=t) ã dd(mMmt)SSS+ mManSx=( t0t )
ã(t)
m(t)
−
(t)
ì
)=
1 =
ξ+1/n
dmì(t() dt
.
(29)
ms = ×exp[–ξM+01(ξ/+n1 / n)] × [1 – exp(–MS(ξ + 1 / n))]
Динамический диапазон при этом равен
(27)
dmì(t() dt
Д)=(Mì (0t,)
ξ−,
nm)(=t )
lãn(t1) –+ ψn–m(1attx)(1M–10,
+
ξ,
n)
t n(t)
.
m(t) ã(t)
−
(t)
(30)
ограничено величиной
mS max = (ξ + 1 / n)–1exp [–M0 (ξ + 1 / n)]. (28)
В этом случае в качестве максимального значения предлагается принять величину
На рис. 3 представлена зависимость динамического диапазона от величины М0 при некоторых значениях параметров ξ и n. Как видно из рис. 3, динамический диапазон может оказать-
ся неприемлемо малым.
*****
ЛИТЕРАТУРА
1. Раковский Ю.Н. Нелинейная пуассоновская модель фотоэлектрического детектирования // Оптический журнал. 2008. Т. 75. № 12. С. 11–15.
2. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Задачи и упражнения по теории вероятностей. М.: ACADEMIA, 2005. 440 с.
3. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория случайных процессов и ее инженерные приложения. M.: Наука, 1991. 384 с.
4. Ковчавцев А.П., Курышев Г.Л., Базовкин В.М., Валишева Н.А., Гузев А.А., Ли И.И., Ефимов В.М., Ковалевская Т.Е., Панова З.Е. Фотоприемники зарядовой инжекции на арсениде индия // Матричные фотоприемные устройства инфракрасного диапазона под ред. Синицы С.П. Новосибирск.: Наука. 2001. 376 с.
6 “Оптический журнал”, 80, 11, 2013