Application of fuzzy sets in determination of the price of the prophylactic nectar “Vitanect”
УДК 338.5.01
Использование нечетких множеств при определении цены профилактического нектара «Витанект»
Байченко Л.А.,Байченко А.А.,
larabaychenko@yandex.ru
Санкт-Петербургский государственный университет низкотемпературных и пищевых технологий
В статье показано, как с помощью теории нечетких множеств можно определить цену профилактического нектара «Витанект».
Ключевые слова: цена, нектар, нечеткие множества.
Application of fuzzy sets in determination of the price of the prophylactic nectar “Vitanect”
Baychenko L.A., Baychenko A.A., larabaychenko@yandex.ru
Saint-Petersburg state university of refrigeration and food engineering
The article shows how to use the theory of fuzzy sets to determine the price of the prophylactic nectar “Vitanekt”.
Keywords: price, nectar, fuzzy sets.
В работе [1] показана возможность использования теории нечетких множеств для оптимизации рецептуры профилактических плодово-ягодных нектаров «Витанект», предназначенных для людей, контактирующих с фенолом и анилином. Органолептические оценки по своей математической природе можно рассматривать как объекты теории вероятностей или как лингвистические переменные теории нечетких множеств [2] . Это позволяет одновременно в одной серии экспертных исследований оптимизировать биотехнологические (содержание ингредиентов) и экономический параметр продукта (цена).
Поскольку статья ориентирована на использование теории нечетких множеств в экономической задаче ценообразования, то не будем уточнять физико-химической природы биотехнологических ингредиентов нектара. Обозначим ингредиенты через порядковые номера 1 и 2 ( это может быть, например, содержание витаминов и сахаров) и сосредоточим внимание на цене.
В результате органолептической оценки
дегустаторами
профилактического нектара «Витанект» было получены три матрицы оценок
следующего вида.
Таблица № 1
Обозначен Показатели ие матриц
Средние арифметические величины показателей
1-
матрица ингредиен та 1
Содержание мг/100 г, g
Средние оценки экспертов
20 21.4 23 25 27.2 28.6 30 0.12 0.32 0.68 0.88 0.82 0.38 0.06
2-
матрица ингредиен та 2
Содержание мг/100 г, b
Средние оценки экспертов
10 0
11.7 13.4 15 0.33 0.65 1
16.7 18.4 20 0.63 0.32 0
3-
Цена нектара 3.5 4 5 6 10 20 30
матрица руб/100 г , h
цены
Средние
1 1 1 1 0.64 0.35 0
оценки
экспертов
В таблице приведены три пары нечетких множества , которые принимают некоторые информативные значения по отношению содержания ингредиентов 1 и 2 в нектаре Витанект и ее цены. Мнения экспертов представляли собой степень принадлежностей : вкусно -1, почти вкусно -0.8, не очень вкусно – 0.3, невкусно – 0, а также дешево -1, довольно дешево - 0,8, дороговато – 0,3, слишком дорого -0. Поскольку экспертов пять человек, то их оценки отличаются и в таблице уже приведены математические ожидания
оценок экспертов. Для матрицы оценок 1 применим функцию
принадлежности в виде нормального закона распределения и программу Mathcad 14 [3]. В обозначениях программы :
g(g, A1, B1).. exp A1 B1 g2 , (1)
где g – содержание ингредиента 1 в таблице № 1 ,
A1 – статистическая дисперсия строки g в таблице №1,
B1 – среднее арифметическое строки g в таблице №1.
Расчет дал величины В1=25.029, А1=0.083. На рис.1 видно, что ломанная сплошная линия, которая проходит через экспериментальные точки, хорошо апроксимируется функцией принадлежности виде нормального закона распределения ( точечная линия).
g (g, A1, B1)Рис.1. Сопоставление функции принадлежности
и
точек нечеткого множества 1 из таблицы № 1.
b(b, A2, B2)Рис.2. Сопоставление функции принадлежности
и
точек нечеткого множества 2 из таблицы № 1. А2=0.09; В2=15,03
По данным таблицы № 1 очевидно, что для нечеткого множества 3 ,
нельзя построить такую простую функцию принадлежности, как для двух предыдущих. Не останавливаясь на промежуточных операциях , приведем
вид функции (3) принадлежности для второго множества в обозначениях Mathcad 14 и график этой функции на рис.2 :
hh, A3, B3 if h 12,6, h0h, A3, B3 ,
(2)
где h – цена в таблице № 1 , A3 – статистическая дисперсия правой части строки h таблице №1, B3 – среднее арифметическое правой части строки h в таблице №1.
Рис.3. Сопоставление функции принадлежности h(h, A3, B3) и точек
3нечеткого множества
из таблицы № 1. А3 = 0,011; В3 = 11,21
С целью оптимизации находим пересечение трех функций принадлежности виде функции трех переменных:
gbh(g,
b,
h)
min
g(g, A1, b(b, A2,
B1) B2)
hh, A3, B3
(3)
Составим программу расчета в Маткаде. В программе величина G0 – это максимальное значение функции ( 3). В программе каждый участок изменения величин g, b и h делится на 500 отрезков и для каждого сочетания величин gi , bi и hi на этих отрезках вычисляются значения d1 , (начиная с d = 0) которое сравниваются с предыдущим значением d . Если новое значение d1 больше предыдущего, то величины G0 , G1 , G2 и G3 запоминаются в
векторе G. В конечном счете получаем четырехмерную функцию принадлежности, где G1 = 25 , и G2 = 15 - оптимальные с точки зрения экспертов величины ингредиентов, а G3 = 3,5 наилучшая цена. Этот результат на первый взгляд банален, поскольку естественно, что эксперты считают наилучшей ценой минимальную -3.5 руб. Но важно другое – третий график принадлежности (рис. 3) показывает, что потребитель еще при цене 6.5 склонен покупать нектар, а при 12 рублей и выше число желающих резко падает, что следует учесть при построение планов продаж, маркетинге. Остальные элементы вектора важны с позиции биотехнологической оценки рецептуры. Пример показывает, что теория нечетких множеств позволяет проводит оптимизацию по факторам совершенно разной природы, используя один и тот же состав экспертов на одной одновременной сессии .
Список литературы
1. Колодязная В.С., Байченко Л.А. Оптимизация рецептуры профилактического нектара «Витанект» с использованием нечетких множеств: Электронный научный журнал «Процессы и аппараты пищевых производств»— Санкт-Петербург: СПбГУНиПТ. — №1. — март 2012.
2. Заде Л. Понятие лингвистической переменной и ее применение к принятию приближенных решений. М.: Мир, 1976. – с. 165
3. Яньков В.Ю. Лабораторный практикум по Маткаду . Модуль 3. Моделирование в Маткаде. -М.: МГУТУ, 2009.- с. 68.
Использование нечетких множеств при определении цены профилактического нектара «Витанект»
Байченко Л.А.,Байченко А.А.,
larabaychenko@yandex.ru
Санкт-Петербургский государственный университет низкотемпературных и пищевых технологий
В статье показано, как с помощью теории нечетких множеств можно определить цену профилактического нектара «Витанект».
Ключевые слова: цена, нектар, нечеткие множества.
Application of fuzzy sets in determination of the price of the prophylactic nectar “Vitanect”
Baychenko L.A., Baychenko A.A., larabaychenko@yandex.ru
Saint-Petersburg state university of refrigeration and food engineering
The article shows how to use the theory of fuzzy sets to determine the price of the prophylactic nectar “Vitanekt”.
Keywords: price, nectar, fuzzy sets.
В работе [1] показана возможность использования теории нечетких множеств для оптимизации рецептуры профилактических плодово-ягодных нектаров «Витанект», предназначенных для людей, контактирующих с фенолом и анилином. Органолептические оценки по своей математической природе можно рассматривать как объекты теории вероятностей или как лингвистические переменные теории нечетких множеств [2] . Это позволяет одновременно в одной серии экспертных исследований оптимизировать биотехнологические (содержание ингредиентов) и экономический параметр продукта (цена).
Поскольку статья ориентирована на использование теории нечетких множеств в экономической задаче ценообразования, то не будем уточнять физико-химической природы биотехнологических ингредиентов нектара. Обозначим ингредиенты через порядковые номера 1 и 2 ( это может быть, например, содержание витаминов и сахаров) и сосредоточим внимание на цене.
В результате органолептической оценки
дегустаторами
профилактического нектара «Витанект» было получены три матрицы оценок
следующего вида.
Таблица № 1
Обозначен Показатели ие матриц
Средние арифметические величины показателей
1-
матрица ингредиен та 1
Содержание мг/100 г, g
Средние оценки экспертов
20 21.4 23 25 27.2 28.6 30 0.12 0.32 0.68 0.88 0.82 0.38 0.06
2-
матрица ингредиен та 2
Содержание мг/100 г, b
Средние оценки экспертов
10 0
11.7 13.4 15 0.33 0.65 1
16.7 18.4 20 0.63 0.32 0
3-
Цена нектара 3.5 4 5 6 10 20 30
матрица руб/100 г , h
цены
Средние
1 1 1 1 0.64 0.35 0
оценки
экспертов
В таблице приведены три пары нечетких множества , которые принимают некоторые информативные значения по отношению содержания ингредиентов 1 и 2 в нектаре Витанект и ее цены. Мнения экспертов представляли собой степень принадлежностей : вкусно -1, почти вкусно -0.8, не очень вкусно – 0.3, невкусно – 0, а также дешево -1, довольно дешево - 0,8, дороговато – 0,3, слишком дорого -0. Поскольку экспертов пять человек, то их оценки отличаются и в таблице уже приведены математические ожидания
оценок экспертов. Для матрицы оценок 1 применим функцию
принадлежности в виде нормального закона распределения и программу Mathcad 14 [3]. В обозначениях программы :
g(g, A1, B1).. exp A1 B1 g2 , (1)
где g – содержание ингредиента 1 в таблице № 1 ,
A1 – статистическая дисперсия строки g в таблице №1,
B1 – среднее арифметическое строки g в таблице №1.
Расчет дал величины В1=25.029, А1=0.083. На рис.1 видно, что ломанная сплошная линия, которая проходит через экспериментальные точки, хорошо апроксимируется функцией принадлежности виде нормального закона распределения ( точечная линия).
g (g, A1, B1)Рис.1. Сопоставление функции принадлежности
и
точек нечеткого множества 1 из таблицы № 1.
b(b, A2, B2)Рис.2. Сопоставление функции принадлежности
и
точек нечеткого множества 2 из таблицы № 1. А2=0.09; В2=15,03
По данным таблицы № 1 очевидно, что для нечеткого множества 3 ,
нельзя построить такую простую функцию принадлежности, как для двух предыдущих. Не останавливаясь на промежуточных операциях , приведем
вид функции (3) принадлежности для второго множества в обозначениях Mathcad 14 и график этой функции на рис.2 :
hh, A3, B3 if h 12,6, h0h, A3, B3 ,
(2)
где h – цена в таблице № 1 , A3 – статистическая дисперсия правой части строки h таблице №1, B3 – среднее арифметическое правой части строки h в таблице №1.
Рис.3. Сопоставление функции принадлежности h(h, A3, B3) и точек
3нечеткого множества
из таблицы № 1. А3 = 0,011; В3 = 11,21
С целью оптимизации находим пересечение трех функций принадлежности виде функции трех переменных:
gbh(g,
b,
h)
min
g(g, A1, b(b, A2,
B1) B2)
hh, A3, B3
(3)
Составим программу расчета в Маткаде. В программе величина G0 – это максимальное значение функции ( 3). В программе каждый участок изменения величин g, b и h делится на 500 отрезков и для каждого сочетания величин gi , bi и hi на этих отрезках вычисляются значения d1 , (начиная с d = 0) которое сравниваются с предыдущим значением d . Если новое значение d1 больше предыдущего, то величины G0 , G1 , G2 и G3 запоминаются в
векторе G. В конечном счете получаем четырехмерную функцию принадлежности, где G1 = 25 , и G2 = 15 - оптимальные с точки зрения экспертов величины ингредиентов, а G3 = 3,5 наилучшая цена. Этот результат на первый взгляд банален, поскольку естественно, что эксперты считают наилучшей ценой минимальную -3.5 руб. Но важно другое – третий график принадлежности (рис. 3) показывает, что потребитель еще при цене 6.5 склонен покупать нектар, а при 12 рублей и выше число желающих резко падает, что следует учесть при построение планов продаж, маркетинге. Остальные элементы вектора важны с позиции биотехнологической оценки рецептуры. Пример показывает, что теория нечетких множеств позволяет проводит оптимизацию по факторам совершенно разной природы, используя один и тот же состав экспертов на одной одновременной сессии .
Список литературы
1. Колодязная В.С., Байченко Л.А. Оптимизация рецептуры профилактического нектара «Витанект» с использованием нечетких множеств: Электронный научный журнал «Процессы и аппараты пищевых производств»— Санкт-Петербург: СПбГУНиПТ. — №1. — март 2012.
2. Заде Л. Понятие лингвистической переменной и ее применение к принятию приближенных решений. М.: Мир, 1976. – с. 165
3. Яньков В.Ю. Лабораторный практикум по Маткаду . Модуль 3. Моделирование в Маткаде. -М.: МГУТУ, 2009.- с. 68.