СОЗДАНИЕ СРЕД, ИМЕЮЩИХ БЛИЗКУЮ К НУЛЮ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКУЮ ПРОНИЦАЕМОСТЬ В ШИРОКОМ ДИАПАЗОНЕ ЧАСТОТ
УДК 537.876.4
СОЗДАНИЕ СРЕД, ИМЕЮЩИХ БЛИЗКУЮ К НУЛЮ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКУЮ ПРОНИЦАЕМОСТЬ В ШИРОКОМ ДИАПАЗОНЕ ЧАСТОТ
© 2010 г. Е. О. Лизнев**; А. В. Дорофеенко*, канд. физ.-мат. наук; А. П. Виноградов*, доктор физ.-мат. наук ** Институт теоретической и прикладной электродинамики РАН, Москва
** Московский физико-технический институт, г. Долгопрудный
** E-mail: liznev@phystech.edu
В последнее время повышенный интерес вызывают среды с близкой к нулю диэлектрической проницаемостью. Известно, что в оптическом диапазоне благородные металлы вблизи определенной частоты обладают этим свойством. В настоящей работе показано, что для заданной частоты можно подобрать состав композита, у которого диэлектрическая проницаемость близка к нулю, причем потери будут того же порядка, что и для благородного металла на частоте обращения действительной части его диэлектрической проницаемости в нуль.
Ключевые слова: композит, эффективная диэлектрическая проницаемость композита, создание композитов.
Коды OCIS: 160.3918.
Поступила в редакцию 31.05.2010.
Как уже упоминалось выше, в последнее время значительно возрос интерес к композитам с близкой к нулю диэлектрической проницаемостью [1]. Рассмотрим возможности получения таких композитов. Простейшим композитом является диэлектрическая матрица, заполненная с объемной концентрацией р металлическими (в нашем случае серебряными) шариками. Эффективная диэлектрическая проницаемость композита может быть оценена в рамках теории М. Гарнетта (см., например [2]) как
εeff
=
εd
+
3
p
(εAg
εd (εAg + 2εd )−
−εd ) p(εAg
−
εd
),
где εAg – диэлектрическая проницаемость серебряных включений, εd – диэлектрическая проницаемость диэлектрической матрицы.
Хотя у серебра есть потери, сначала мы ими
пренебрежем. В этом случае теория Гарнетта
предсказывает два качественно разных поведения εeff(p) [3]. При частотах, когда –2εd < εAg < 0,
существует
концентрация
p
=
−
1 2
(εεAAgg+−2εεdd),
на
которой εeff обращается в нуль. На меньших частотах, когда εAg < –2εd < 0,
поведение εeff(p) качественно меняется. Теперь
уже величина ε–ef1f(p) принимает значение, рав-
ное
нулю,
при
p
=
εAg + 2εd εAg − εd
,
а
сама
εeff(p)
имеет
полюс [4–5]). Как следствие εeff(p) ни при каких концентрациях в нуль не обращается. В этом
случае при учете потерь полюс превращается
в резонансную кривую (pис. 1), а точка, где
Reεeff(p) = 0 есть, но потери там очень велики. Иными словами, искомого решения нет.
εeff
60
2
40
20
1
0 0,2 0,4 0,6 0,8 –20
1p
Рис. 1. Действительная (1) и мнимая (2) части эффективной диэлектрической проницаемости
как функции объемной концентрации серебря-
ных включений в диэлектрической матрице с εm = 1 на длине волны λ = 500 нм, соответствует εi = –9,8 + 1,5i.
“Оптический журнал”, 77, 9, 2010
11
Для уменьшения потерь имеет смысл умень-
шить концентрацию металла. Для этого можно
использовать включение в виде диэлектриче-
ского шара (core) в металлической оболочке (shell) с отношениями радиусов q = r3core/r3shell. Оценим εeff(p) такого композита среды по формуле Гарнетта, заменив включения однородными
шариками, имеющими ту же поляризацию [6]
αeff.i
=
3 4π
1−
q
εcore − εshell εcore + 2εshell
εm + 2εshell εm − εshell
εshell + 2εm εshell − εm
+ 2q
εcore − εshell εcore + 2εshell
,
как составное включение. Иными словами, шар в оболочке рассматривается как однородный шар с диэлектрической проницаемостью
εeff.i
=
3 + 8παeff.i 3− 4παeff.i
εm.
Тогда эффективная диэлектрическая прони-
цаемость композита (где εm – диэлектрическая проницаемость металла) определится как
εeff
=
εm
1
+
2
p
εeff.i − εm 2εm + εeff.i
1−
p
εeff.i − εm 2εm + εeff.i
.
В первую очередь мы должны найти функ-
цию p0(q), которая дает решение p0 уравнения Reεeff(p, q) = 0 при заданном q. Следующим шагом минимизируем Imεeff(p0(q), q) с ограничениями 0 ≤ q ≤ 1, 0 ≤ p0(q) ≤ 1. Оказывается, что процедура поиска минимума всегда дает p0 = 1.
Итак, при εAg < –2εd < 0 композит есть диэлектрическая матрица, наполненная метал-
лическими включениями с концентрацией q.
Второй композит представляет собой серебря-
ную пену с диэлектрическими пузырями с кон-
центрацией q (концентрация серебра 1 – q).
В первом случае композит с низкими потеря-
ми может быть сделан, если –2εm < ReεAg < 0, что соответствует некоему интервалу длин волн
{λ0, λ–2εm}, где ReεAg(λ0) = 0 и ReεAg(λ–2εm) = –2εm. К сожалению, приближаясь к λ–2εm, мы наблюдаем увеличение потерь. Резкое увеличение по-
терь появляется после λ–2εm, где возникает полюс эффективной диэлектрической проница-
емости.
Imεeff
0,8 1
0,6
0,4
2
0,2
0
350 400 450 , нм
Рис. 2. Зависимости потерь композита от длины волны в случае металлических шариков (1) и пены (2).
Если оболочка сделана из серебра, то плазмонный резонанс на полости достигается при ReεAg(λ–0,5εm) = –0,5εm. В интервале {λ0, λ–0,5εm} наблюдается увеличение потерь. Для длин волн больше λ–0,5εm наблюдается уменьшение потерь. В итоге приходим к случаю, когда потери композита просто пропорциональны концентрации серебра (рис. 2).
ЛИТЕРАТУРА
1. Silverinha M., Engheta N. Design of matched zeroindex metamaterials using nonmagnetic inclusions in epsilon-near-zero media // Physical Review. 2007. V. 75. Р. 075119.
2. Виноградов А.П. Электродинамика композитов. М.: УРСС, 2001. 176 с.
3. Виноградов А.П., Дорофеенко А.В., Зухди С. К вопросу об эффективных параметрах метаматериалов // УФН. 2008. Т. 178. С. 511.
4. Milton G.W. The theory of composites. Cambridge University Press, 2001. 749 p.
5. Bergman D.A. The dielectric constant of a composite material–a problem in classical physics // Physics Rep. 1978. V. 43. P. 377–407.
6. Hashin Z., Strikman S. A variational approach to the theory of the elastic behavior of multiphase materials // J. Mech. Phys. Solid. 1963. V. 11. P. 127–140.
12 “Оптический журнал”, 77, 9, 2010
СОЗДАНИЕ СРЕД, ИМЕЮЩИХ БЛИЗКУЮ К НУЛЮ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКУЮ ПРОНИЦАЕМОСТЬ В ШИРОКОМ ДИАПАЗОНЕ ЧАСТОТ
© 2010 г. Е. О. Лизнев**; А. В. Дорофеенко*, канд. физ.-мат. наук; А. П. Виноградов*, доктор физ.-мат. наук ** Институт теоретической и прикладной электродинамики РАН, Москва
** Московский физико-технический институт, г. Долгопрудный
** E-mail: liznev@phystech.edu
В последнее время повышенный интерес вызывают среды с близкой к нулю диэлектрической проницаемостью. Известно, что в оптическом диапазоне благородные металлы вблизи определенной частоты обладают этим свойством. В настоящей работе показано, что для заданной частоты можно подобрать состав композита, у которого диэлектрическая проницаемость близка к нулю, причем потери будут того же порядка, что и для благородного металла на частоте обращения действительной части его диэлектрической проницаемости в нуль.
Ключевые слова: композит, эффективная диэлектрическая проницаемость композита, создание композитов.
Коды OCIS: 160.3918.
Поступила в редакцию 31.05.2010.
Как уже упоминалось выше, в последнее время значительно возрос интерес к композитам с близкой к нулю диэлектрической проницаемостью [1]. Рассмотрим возможности получения таких композитов. Простейшим композитом является диэлектрическая матрица, заполненная с объемной концентрацией р металлическими (в нашем случае серебряными) шариками. Эффективная диэлектрическая проницаемость композита может быть оценена в рамках теории М. Гарнетта (см., например [2]) как
εeff
=
εd
+
3
p
(εAg
εd (εAg + 2εd )−
−εd ) p(εAg
−
εd
),
где εAg – диэлектрическая проницаемость серебряных включений, εd – диэлектрическая проницаемость диэлектрической матрицы.
Хотя у серебра есть потери, сначала мы ими
пренебрежем. В этом случае теория Гарнетта
предсказывает два качественно разных поведения εeff(p) [3]. При частотах, когда –2εd < εAg < 0,
существует
концентрация
p
=
−
1 2
(εεAAgg+−2εεdd),
на
которой εeff обращается в нуль. На меньших частотах, когда εAg < –2εd < 0,
поведение εeff(p) качественно меняется. Теперь
уже величина ε–ef1f(p) принимает значение, рав-
ное
нулю,
при
p
=
εAg + 2εd εAg − εd
,
а
сама
εeff(p)
имеет
полюс [4–5]). Как следствие εeff(p) ни при каких концентрациях в нуль не обращается. В этом
случае при учете потерь полюс превращается
в резонансную кривую (pис. 1), а точка, где
Reεeff(p) = 0 есть, но потери там очень велики. Иными словами, искомого решения нет.
εeff
60
2
40
20
1
0 0,2 0,4 0,6 0,8 –20
1p
Рис. 1. Действительная (1) и мнимая (2) части эффективной диэлектрической проницаемости
как функции объемной концентрации серебря-
ных включений в диэлектрической матрице с εm = 1 на длине волны λ = 500 нм, соответствует εi = –9,8 + 1,5i.
“Оптический журнал”, 77, 9, 2010
11
Для уменьшения потерь имеет смысл умень-
шить концентрацию металла. Для этого можно
использовать включение в виде диэлектриче-
ского шара (core) в металлической оболочке (shell) с отношениями радиусов q = r3core/r3shell. Оценим εeff(p) такого композита среды по формуле Гарнетта, заменив включения однородными
шариками, имеющими ту же поляризацию [6]
αeff.i
=
3 4π
1−
q
εcore − εshell εcore + 2εshell
εm + 2εshell εm − εshell
εshell + 2εm εshell − εm
+ 2q
εcore − εshell εcore + 2εshell
,
как составное включение. Иными словами, шар в оболочке рассматривается как однородный шар с диэлектрической проницаемостью
εeff.i
=
3 + 8παeff.i 3− 4παeff.i
εm.
Тогда эффективная диэлектрическая прони-
цаемость композита (где εm – диэлектрическая проницаемость металла) определится как
εeff
=
εm
1
+
2
p
εeff.i − εm 2εm + εeff.i
1−
p
εeff.i − εm 2εm + εeff.i
.
В первую очередь мы должны найти функ-
цию p0(q), которая дает решение p0 уравнения Reεeff(p, q) = 0 при заданном q. Следующим шагом минимизируем Imεeff(p0(q), q) с ограничениями 0 ≤ q ≤ 1, 0 ≤ p0(q) ≤ 1. Оказывается, что процедура поиска минимума всегда дает p0 = 1.
Итак, при εAg < –2εd < 0 композит есть диэлектрическая матрица, наполненная метал-
лическими включениями с концентрацией q.
Второй композит представляет собой серебря-
ную пену с диэлектрическими пузырями с кон-
центрацией q (концентрация серебра 1 – q).
В первом случае композит с низкими потеря-
ми может быть сделан, если –2εm < ReεAg < 0, что соответствует некоему интервалу длин волн
{λ0, λ–2εm}, где ReεAg(λ0) = 0 и ReεAg(λ–2εm) = –2εm. К сожалению, приближаясь к λ–2εm, мы наблюдаем увеличение потерь. Резкое увеличение по-
терь появляется после λ–2εm, где возникает полюс эффективной диэлектрической проница-
емости.
Imεeff
0,8 1
0,6
0,4
2
0,2
0
350 400 450 , нм
Рис. 2. Зависимости потерь композита от длины волны в случае металлических шариков (1) и пены (2).
Если оболочка сделана из серебра, то плазмонный резонанс на полости достигается при ReεAg(λ–0,5εm) = –0,5εm. В интервале {λ0, λ–0,5εm} наблюдается увеличение потерь. Для длин волн больше λ–0,5εm наблюдается уменьшение потерь. В итоге приходим к случаю, когда потери композита просто пропорциональны концентрации серебра (рис. 2).
ЛИТЕРАТУРА
1. Silverinha M., Engheta N. Design of matched zeroindex metamaterials using nonmagnetic inclusions in epsilon-near-zero media // Physical Review. 2007. V. 75. Р. 075119.
2. Виноградов А.П. Электродинамика композитов. М.: УРСС, 2001. 176 с.
3. Виноградов А.П., Дорофеенко А.В., Зухди С. К вопросу об эффективных параметрах метаматериалов // УФН. 2008. Т. 178. С. 511.
4. Milton G.W. The theory of composites. Cambridge University Press, 2001. 749 p.
5. Bergman D.A. The dielectric constant of a composite material–a problem in classical physics // Physics Rep. 1978. V. 43. P. 377–407.
6. Hashin Z., Strikman S. A variational approach to the theory of the elastic behavior of multiphase materials // J. Mech. Phys. Solid. 1963. V. 11. P. 127–140.
12 “Оптический журнал”, 77, 9, 2010