РЕЛЕЙ-ТЕЙЛОРОВСКАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ ЗАПЫЛЕННОГО ГАЗА
РЕЛЕЙ-ТЕЙЛОРОВСКАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ ЗАПЫЛЕННОГО ГАЗА
2 ФОТОНИКА И ОПТОИНФОРМАТИКА
УДК 532.22
РЕЛЕЙ-ТЕЙЛОРОВСКАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ ЗАПЫЛЕННОГО ГАЗА
Р.С. Савельев, Н.Н. Розанов, Г.Б. Сочилин, С.А. Чивилихин
Исследована неустойчивость границы раздела в системе «газ+пыль». Получено решение дисперсионного уравнения, связывающего волновые числа возмущений со скоростью их развития во времени. Показано, что уменьшение плотности пыли, как и увеличение размера пылинок, уменьшает скорость развития неустойчивости. Показано, что вязкость газа уменьшает скорость роста возмущений с большими волновыми числами. Ключевые слова: неустойчивость Релея–Тейлора, седиментация, дисперсионное уравнение, вязкость.
Введение
Задача о неустойчивости границы раздела двух жидкостей, имеющих разные плотности, в поле сил тяжести, впервые была рассмотрена Тейлором [1], а позже Беллманом и Пеннингтоном [2], которые учли дополнительно такие факторы, как вязкость и поверхностное натяжение. Неустойчивость возникает в случае, когда жидкость, находящаяся сверху, имеет бóльшую плотность. Помимо гидро- и газодинамики, релей-тейлоровская неустойчивость наблюдается также в широком круге задач астрофизики, физики плазмы, электро- и магнитогидродинамики [3, 4] и наногидродинамики [5].
В настоящей работе исследуется задача о неустойчивости границы раздела в системе «газ + пыль», находящейся в поле силы тяжести. Как показывают некоторые экспериментальные и теоретические данные, в процессе седиментации, на границе раздела «чистой» жидкости (газа) и дисперсной системы, возникает неустойчивость, аналогичная релей-тейлоровской [6–8].
В работе [6] было исследовано развитие во времени границы раздела глицерина и суспензии – частиц песка, распределенных в глицерине. Экспериментальные данные показали наличие в исследуемой системе неустойчивости, подобной релей-тейлоровской. Пространственный Фурье-спектр границы раздела показал ограниченность показателя роста начальных возмущений и существование моды с максимальным показателем роста. Для теоретического описания была применена модель однородной жидкости с плотностью и вязкостью как функций вертикальной координаты. В работах [7, 8] были проведены соответственно двухмерное и трехмерное моделирования вышеуказанного явления. Рассматриваемая система была ограничена сбоку стенками. Конечное количество членов в ряде Фурье дает приближенное решение с точностью до характерного размера сглаживания.
Рис. 1. Схема задачи. Сила тяжести направлена в отрицательном направлении оси y. В области 1 (y < 0) находится газ, его скорость u1, в области 2 – пыль (скорость v) и газ (скорость u2)
В работе будем рассматривать модель не ограниченной в горизонтальном направлении системы двух взаимодействующих сред – газа и пыли. Считаем, что верхнее полупространство занято пылью и газом, нижнее – только газом (рис. 1). Начало координат находится на нижней границе области с пылью. Размеры частиц пыли считаются пренебрежимо малыми, что позволяет рассматривать массу пыли как сплошную среду, описывающуюся уравнениями Эйлера и неразрывности. В такой постановке задача
18 Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета
информационных технологий, механики и оптики, 2011, № 3 (73)
Р.С. Савельев, Н.Н. Розанов, Г.Б. Сочилин, С.А. Чивилихин
становится схожей с задачей о неустойчивости Релея–Тейлора, в которой дестабилизация границы раздела неизбежна. Целью работы будет доказательство возникновения неустойчивости и отыскание дисперсионного уравнения, связывающего волновые числа возмущений со скоростью их развития во времени.
Основные уравнения
Основными уравнениями, описывающими движение жидкости (газа) являются уравнение Навье–
Стокса и уравнение неразрывности [9]. Пыль, «падающая» в газе, рассматривается как сжимаемая
сплошная среда, для которой выполняются уравнения Эйлера и неразрывности [9]. Будем полагать, что
газ несжимаем, а частицы пыли не взаимодействуют между собой (их концентрация невелика). Если счи-
тать частицы пыли одинаковыми шарами, имеющими малые, но конечные размеры, а скорость пыли от-
носительно газа достаточно малой, то сила трения, действующая на «элемент объема» пыли, равна
F 1u2 v ,
(1)
где 1 плотность пылинок (концентрация пылинок, умноженная на массу одной пылинки);
9 2
r 2d
параметр;
r радиус
пылинки;
вязкость
жидкости;
d
плотность
вещества
пыли.
Эта
сила действует также со стороны частиц пыли на газ и поэтому должна быть добавлена в соответствую-
щие уравнения для газа и для пыли. Уравнения, описывающие данную систему, выглядят тогда следую-
щим образом:
v t
vv
1
1g
1u
2
v,
1 t
1v
0;
u 2 t
u 2 u 2
g
1v
u2 p2
u2 ,
(2)
u1 t
u1u1
g
p1
u1,
u2 0, u1 0,
где плотность газа; p1 давление газа в области без пыли и p2 давление газа в области с пылью; g ускорение свободного падения.
Стационарное движение
Начнем с рассмотрения стационарного движения (падение пылинок и газа с постоянной скоро-
стью). Полагая равными нулю все производные всех фигурирующих в (2) величин по времени (частные
производные скорости пыли по координатам также равны нулю), находим однородные решения для ско-
рости и плотности пыли:
v
u2
g
,
1v 1 v v1 1 u2 v1 v1 0.
Из последнего соотношения следует, что плотность пыли постоянна во всей области, 1 const .
Перейдем в систему отсчета, в которой v 0 . Стационарные решения тогда выглядят следующим образом:
u1
u2
g
,
p2 1gy p0 ,
(3)
p1 gy p0 ,
p0 p1 y0 p2 y0.
Основной задачей работы является линейный анализ устойчивости этого решения.
Линеаризация уравнений
Исследуем устойчивость стационарного решения (3) по отношению к малым возмущениям. Невозмущенные величины будем помечать нижним индексом 0, а малые возмущения – штрихами. Возму-
щения границы раздела зададим функцией hx,t , значения которой также малы. Пренебрегая величина-
ми второго порядка малости, получим следующую систему линейных дифференциальных уравнений:
Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, 2011, № 3 (73)
19
РЕЛЕЙ-ТЕЙЛОРОВСКАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ ЗАПЫЛЕННОГО ГАЗА
v t
u2
v,
1 t
1v
0;
u2 t
g
u2 y
1v u2 p2
u2 ,
(4)
u1 t
g
u1 y
p1
u1 ,
u2 0, u1 0.
Из-за малости функции hx,t , можно пренебречь изменениями переменных на границе раздела
как величинами второго порядка малости. Учитывая также, что
p2 p1 yhx,t p2 p1 yhx,t 1ghx,t ,
условия на границе раздела можно записать в следующем виде:
u1 y0 u2 y0 ,
vy
y0
hx,t ,
t
p1
2
u1 y y
y0
p2
2
u2 y y
y0
1ghx,t,
(5)
u1 y y
u1x y
y0
u2 y
y
u2 x y
.
y0
Решение линеаризированной системы
Общее решение системы (4) может быть представлено в виде суммы частных решений, экспонен-
циально зависящих от времени (~ eit , где i комплексные инкременты). Решая систему из первых двух уравнений для пыли, получаем:
v
u2
,
1
const
.
Ввиду однородности задачи по координате x переменные, характеризующие газ, можно представить в виде интеграла Фурье:
f x, y fk yeikxdk,
где k – волновое число возмущения. Далее будем рассматривать только случай неустойчивых решений
( Re 0 ). Тогда, применяя к решениям системы (4) граничные условия (5) и учитывая ограниченность
возмущений по оси y, можно записать дисперсионное уравнение, связывающее комплексный инкремент
с волновым числом возмущения k , в виде определителя четвертого порядка, приравненного нулю:
11
1 1
k1 k
k k2
1g
k 2 k12
k
g
1g
0
k
k
1
g
0
0 0, k22 k 2
(6)
где
k1
g 2
g 2
2
k2
,
k2
g 2
g 2
2
k
2
1
.
В частном случае отсутствия вязкости газа (но при сохранении трения между пылинками и газом)
дисперсионное уравнение будет выглядеть следующим образом:
3
2 1
1 2
kg
k
g
1
k g 2
0.
(7)
20 Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета
информационных технологий, механики и оптики, 2011, № 3 (73)
Р.С. Савельев, Н.Н. Розанов, Г.Б. Сочилин, С.А. Чивилихин
Анализ дисперсионного уравнения
Пренебрегая малыми членами в (12), можно найти асимптотические решения:
при
k
1g 4
1g 4k
,
при
k
g 2
для больших
и
k
2
2
2g
1
для малых
k 1g
2 1
.
(8)
Дисперсионное соотношение γ(k) в (8) совпадает с соотношением для классической неустойчиво-
сти Рэлея-Тейлора с жидкостями с плотностями и 1 .
Из асимптотических решений следует, что при некотором волновом числе возмущения k сущест-
вует максимум. Иначе говоря, при определенных параметрах на границе раздела будет образовываться
периодическая структура с периодом, обратно пропорциональным k .
Численное решение уравнения (6) показывает, что при каждом k существует только одно решение,
вещественная часть которого положительна. При этом значение является действительным, так что
временное развитие возмущений апериодическое. Анализ уравнения (7) показывает, что и в случае невязкого газа существует единственное действительное положительное решение. Асимптотическое решение для малых k совпадает с (8), а для больших выглядит следующим образом:
при
k
2 2 1
2g
2
1
21
1 .
Рис. 2. Графики зависимости инкремента возмущений от волнового числа k при 1кг/м3, 1 0,1 кг/м3 ,
2 105 кг / м с, d 1000 кг/м3 : 1 – при r 106 м ; 2 – при r 3105 м ; 3 – при r 5 106 м
Рис. 3. Графики зависимости инкремента роста возмущений от волнового числа k при 1кг/м3,
r 3105 м, 2 105 кг / м с , d 1000 кг/м3 ; в случае вязкого газа: 1 – при 1 0,2 кг/м3 ;
2 – при 1 0,1 кг/м3 ; 3 – при 1 0,05 кг/м3 ; в случае невязкого газа: 4 – при 1 0,1 кг/м3
Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, 2011, № 3 (73)
21
НИЗКОТЕМПЕРАТУРНЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ АП-КОНВЕРСИОННОЙ ЛЮМИНЕСЦЕНЦИИ …
На рис. 2 и 3 представлены графики зависимости инкремента возмущений от волнового числа
k для различных значений радиусов пылинок и плотности пыли соответственно. На кривой 4 (рис. 3) также показана зависимость от k при отсутствии вязкости у газа. В случае как вязкого, так и невязко-
го газа возрастающие возмущения имеются для любых частот, но с учетом вязкости показатель роста возмущений спадает к нулю при k . Таким образом, вязкость оказывает некоторый стабилизи-
рующий эффект. При увеличении радиуса пылинок r , также как и при уменьшении плотности пыли 1 , сила тре-
ния, действующая на «элемент объема», согласно (1), уменьшается. Соответственно, наличие пыли в газе оказывает все меньшее влияние на неустойчивость системы, что видно из рис. 2 и 3.
Заключение
Исследование устойчивости рассматриваемой двухфазной системы по отношению к малым возмущениям выявило наличие неустойчивости границы между запыленным и чистым газом. Анализ дисперсионного соотношения (6) показал, что инкремент роста возмущений при некотором волновом
числе k достигает максимума. Помимо этого, было показано, что вязкость газа уменьшает скорость роста возмущений с большими волновыми числами, т.е. 0 при k , тогда как в приближение невяз-
кого газа принимает некоторое положительное значение при k .
Работа выполнена при поддержке гранта Минобрнауки РФ РНП 2.1.1/9824.
Литература
1. Taylor G.I. The instability of liquid surfaces when accelerated in a direction perpendicular to their planes // Proc. Roy. Soc. A. – 1950. – V. 201. – P. 192–196.
2. Bellman R., Pennington R. Effects of surface tension and viscosity on Taylor instability // Quart. Appl. Math. – 1954. – V. 12. – P. 151–162.
3. Chandrasekhar S. Hydrodynamic and Hydromagnetic Stability. – NY.: Dover, 1981. – 652 p. 4. Sharp D.H. An overview of Rayleigh–Taylor instability // Physica D. – 1984. – V. 12. – P. 3–18. 5. Kadau K. et. al. Nanohydrodynamics Simulations: An Atomic View of the Rayleigh-Taylor Instability //
Proc. Nat. Acad. Sci. – 2004. – V. 101 (16). – P. 5851–5855. 6. Völtz C., Pesch W. and I. Rehberg. Rayleigh-Taylor instability in a sedimenting suspension // Phys. Rev. E. –
2001. – V. 65. – P. 1–7. 7. Glowinski R., Pan T.W. and Joseph D.D. Modelling Rayleigh-Taylor instability of a sedimenting suspension
of several thousand circular particles in direct numerical simulation // J. Fluid Mech. – 2001. – V. 434. – P. 23–37. 8. Guda S., Bukharina S., Mucha P.J. Rayleigh-Taylor Instability in Sedimentation [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://rtg.amath.unc.edu/Guda-ChaCha06.pdf, своб. 9. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. – М.: Наука, 1988. – Т. VI. – 736 с.
Савельев Роман Сергеевич Розанов Николай Николаевич Сочилин Георгий Борисович Чивилихин Сергей Анатольевич
– Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, студент, savelyev.r.s@gmail.com
– НПК «ГОИ им. С.И. Вавилова», доктор физ.-мат. наук, начальник отдела, nrosanov@yahoo.com
– НПК «ГОИ им. С.И. Вавилова», кандидат физ.-мат. наук, ведущий научный сотрудник, goga.ilph@yahoo.com
– Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, кандидат физ.-мат. наук, доцент, sergey.chivilikhin@gmail.com
22 Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета
информационных технологий, механики и оптики, 2011, № 3 (73)
2 ФОТОНИКА И ОПТОИНФОРМАТИКА
УДК 532.22
РЕЛЕЙ-ТЕЙЛОРОВСКАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ ЗАПЫЛЕННОГО ГАЗА
Р.С. Савельев, Н.Н. Розанов, Г.Б. Сочилин, С.А. Чивилихин
Исследована неустойчивость границы раздела в системе «газ+пыль». Получено решение дисперсионного уравнения, связывающего волновые числа возмущений со скоростью их развития во времени. Показано, что уменьшение плотности пыли, как и увеличение размера пылинок, уменьшает скорость развития неустойчивости. Показано, что вязкость газа уменьшает скорость роста возмущений с большими волновыми числами. Ключевые слова: неустойчивость Релея–Тейлора, седиментация, дисперсионное уравнение, вязкость.
Введение
Задача о неустойчивости границы раздела двух жидкостей, имеющих разные плотности, в поле сил тяжести, впервые была рассмотрена Тейлором [1], а позже Беллманом и Пеннингтоном [2], которые учли дополнительно такие факторы, как вязкость и поверхностное натяжение. Неустойчивость возникает в случае, когда жидкость, находящаяся сверху, имеет бóльшую плотность. Помимо гидро- и газодинамики, релей-тейлоровская неустойчивость наблюдается также в широком круге задач астрофизики, физики плазмы, электро- и магнитогидродинамики [3, 4] и наногидродинамики [5].
В настоящей работе исследуется задача о неустойчивости границы раздела в системе «газ + пыль», находящейся в поле силы тяжести. Как показывают некоторые экспериментальные и теоретические данные, в процессе седиментации, на границе раздела «чистой» жидкости (газа) и дисперсной системы, возникает неустойчивость, аналогичная релей-тейлоровской [6–8].
В работе [6] было исследовано развитие во времени границы раздела глицерина и суспензии – частиц песка, распределенных в глицерине. Экспериментальные данные показали наличие в исследуемой системе неустойчивости, подобной релей-тейлоровской. Пространственный Фурье-спектр границы раздела показал ограниченность показателя роста начальных возмущений и существование моды с максимальным показателем роста. Для теоретического описания была применена модель однородной жидкости с плотностью и вязкостью как функций вертикальной координаты. В работах [7, 8] были проведены соответственно двухмерное и трехмерное моделирования вышеуказанного явления. Рассматриваемая система была ограничена сбоку стенками. Конечное количество членов в ряде Фурье дает приближенное решение с точностью до характерного размера сглаживания.
Рис. 1. Схема задачи. Сила тяжести направлена в отрицательном направлении оси y. В области 1 (y < 0) находится газ, его скорость u1, в области 2 – пыль (скорость v) и газ (скорость u2)
В работе будем рассматривать модель не ограниченной в горизонтальном направлении системы двух взаимодействующих сред – газа и пыли. Считаем, что верхнее полупространство занято пылью и газом, нижнее – только газом (рис. 1). Начало координат находится на нижней границе области с пылью. Размеры частиц пыли считаются пренебрежимо малыми, что позволяет рассматривать массу пыли как сплошную среду, описывающуюся уравнениями Эйлера и неразрывности. В такой постановке задача
18 Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета
информационных технологий, механики и оптики, 2011, № 3 (73)
Р.С. Савельев, Н.Н. Розанов, Г.Б. Сочилин, С.А. Чивилихин
становится схожей с задачей о неустойчивости Релея–Тейлора, в которой дестабилизация границы раздела неизбежна. Целью работы будет доказательство возникновения неустойчивости и отыскание дисперсионного уравнения, связывающего волновые числа возмущений со скоростью их развития во времени.
Основные уравнения
Основными уравнениями, описывающими движение жидкости (газа) являются уравнение Навье–
Стокса и уравнение неразрывности [9]. Пыль, «падающая» в газе, рассматривается как сжимаемая
сплошная среда, для которой выполняются уравнения Эйлера и неразрывности [9]. Будем полагать, что
газ несжимаем, а частицы пыли не взаимодействуют между собой (их концентрация невелика). Если счи-
тать частицы пыли одинаковыми шарами, имеющими малые, но конечные размеры, а скорость пыли от-
носительно газа достаточно малой, то сила трения, действующая на «элемент объема» пыли, равна
F 1u2 v ,
(1)
где 1 плотность пылинок (концентрация пылинок, умноженная на массу одной пылинки);
9 2
r 2d
параметр;
r радиус
пылинки;
вязкость
жидкости;
d
плотность
вещества
пыли.
Эта
сила действует также со стороны частиц пыли на газ и поэтому должна быть добавлена в соответствую-
щие уравнения для газа и для пыли. Уравнения, описывающие данную систему, выглядят тогда следую-
щим образом:
v t
vv
1
1g
1u
2
v,
1 t
1v
0;
u 2 t
u 2 u 2
g
1v
u2 p2
u2 ,
(2)
u1 t
u1u1
g
p1
u1,
u2 0, u1 0,
где плотность газа; p1 давление газа в области без пыли и p2 давление газа в области с пылью; g ускорение свободного падения.
Стационарное движение
Начнем с рассмотрения стационарного движения (падение пылинок и газа с постоянной скоро-
стью). Полагая равными нулю все производные всех фигурирующих в (2) величин по времени (частные
производные скорости пыли по координатам также равны нулю), находим однородные решения для ско-
рости и плотности пыли:
v
u2
g
,
1v 1 v v1 1 u2 v1 v1 0.
Из последнего соотношения следует, что плотность пыли постоянна во всей области, 1 const .
Перейдем в систему отсчета, в которой v 0 . Стационарные решения тогда выглядят следующим образом:
u1
u2
g
,
p2 1gy p0 ,
(3)
p1 gy p0 ,
p0 p1 y0 p2 y0.
Основной задачей работы является линейный анализ устойчивости этого решения.
Линеаризация уравнений
Исследуем устойчивость стационарного решения (3) по отношению к малым возмущениям. Невозмущенные величины будем помечать нижним индексом 0, а малые возмущения – штрихами. Возму-
щения границы раздела зададим функцией hx,t , значения которой также малы. Пренебрегая величина-
ми второго порядка малости, получим следующую систему линейных дифференциальных уравнений:
Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, 2011, № 3 (73)
19
РЕЛЕЙ-ТЕЙЛОРОВСКАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ ЗАПЫЛЕННОГО ГАЗА
v t
u2
v,
1 t
1v
0;
u2 t
g
u2 y
1v u2 p2
u2 ,
(4)
u1 t
g
u1 y
p1
u1 ,
u2 0, u1 0.
Из-за малости функции hx,t , можно пренебречь изменениями переменных на границе раздела
как величинами второго порядка малости. Учитывая также, что
p2 p1 yhx,t p2 p1 yhx,t 1ghx,t ,
условия на границе раздела можно записать в следующем виде:
u1 y0 u2 y0 ,
vy
y0
hx,t ,
t
p1
2
u1 y y
y0
p2
2
u2 y y
y0
1ghx,t,
(5)
u1 y y
u1x y
y0
u2 y
y
u2 x y
.
y0
Решение линеаризированной системы
Общее решение системы (4) может быть представлено в виде суммы частных решений, экспонен-
циально зависящих от времени (~ eit , где i комплексные инкременты). Решая систему из первых двух уравнений для пыли, получаем:
v
u2
,
1
const
.
Ввиду однородности задачи по координате x переменные, характеризующие газ, можно представить в виде интеграла Фурье:
f x, y fk yeikxdk,
где k – волновое число возмущения. Далее будем рассматривать только случай неустойчивых решений
( Re 0 ). Тогда, применяя к решениям системы (4) граничные условия (5) и учитывая ограниченность
возмущений по оси y, можно записать дисперсионное уравнение, связывающее комплексный инкремент
с волновым числом возмущения k , в виде определителя четвертого порядка, приравненного нулю:
11
1 1
k1 k
k k2
1g
k 2 k12
k
g
1g
0
k
k
1
g
0
0 0, k22 k 2
(6)
где
k1
g 2
g 2
2
k2
,
k2
g 2
g 2
2
k
2
1
.
В частном случае отсутствия вязкости газа (но при сохранении трения между пылинками и газом)
дисперсионное уравнение будет выглядеть следующим образом:
3
2 1
1 2
kg
k
g
1
k g 2
0.
(7)
20 Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета
информационных технологий, механики и оптики, 2011, № 3 (73)
Р.С. Савельев, Н.Н. Розанов, Г.Б. Сочилин, С.А. Чивилихин
Анализ дисперсионного уравнения
Пренебрегая малыми членами в (12), можно найти асимптотические решения:
при
k
1g 4
1g 4k
,
при
k
g 2
для больших
и
k
2
2
2g
1
для малых
k 1g
2 1
.
(8)
Дисперсионное соотношение γ(k) в (8) совпадает с соотношением для классической неустойчиво-
сти Рэлея-Тейлора с жидкостями с плотностями и 1 .
Из асимптотических решений следует, что при некотором волновом числе возмущения k сущест-
вует максимум. Иначе говоря, при определенных параметрах на границе раздела будет образовываться
периодическая структура с периодом, обратно пропорциональным k .
Численное решение уравнения (6) показывает, что при каждом k существует только одно решение,
вещественная часть которого положительна. При этом значение является действительным, так что
временное развитие возмущений апериодическое. Анализ уравнения (7) показывает, что и в случае невязкого газа существует единственное действительное положительное решение. Асимптотическое решение для малых k совпадает с (8), а для больших выглядит следующим образом:
при
k
2 2 1
2g
2
1
21
1 .
Рис. 2. Графики зависимости инкремента возмущений от волнового числа k при 1кг/м3, 1 0,1 кг/м3 ,
2 105 кг / м с, d 1000 кг/м3 : 1 – при r 106 м ; 2 – при r 3105 м ; 3 – при r 5 106 м
Рис. 3. Графики зависимости инкремента роста возмущений от волнового числа k при 1кг/м3,
r 3105 м, 2 105 кг / м с , d 1000 кг/м3 ; в случае вязкого газа: 1 – при 1 0,2 кг/м3 ;
2 – при 1 0,1 кг/м3 ; 3 – при 1 0,05 кг/м3 ; в случае невязкого газа: 4 – при 1 0,1 кг/м3
Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, 2011, № 3 (73)
21
НИЗКОТЕМПЕРАТУРНЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ АП-КОНВЕРСИОННОЙ ЛЮМИНЕСЦЕНЦИИ …
На рис. 2 и 3 представлены графики зависимости инкремента возмущений от волнового числа
k для различных значений радиусов пылинок и плотности пыли соответственно. На кривой 4 (рис. 3) также показана зависимость от k при отсутствии вязкости у газа. В случае как вязкого, так и невязко-
го газа возрастающие возмущения имеются для любых частот, но с учетом вязкости показатель роста возмущений спадает к нулю при k . Таким образом, вязкость оказывает некоторый стабилизи-
рующий эффект. При увеличении радиуса пылинок r , также как и при уменьшении плотности пыли 1 , сила тре-
ния, действующая на «элемент объема», согласно (1), уменьшается. Соответственно, наличие пыли в газе оказывает все меньшее влияние на неустойчивость системы, что видно из рис. 2 и 3.
Заключение
Исследование устойчивости рассматриваемой двухфазной системы по отношению к малым возмущениям выявило наличие неустойчивости границы между запыленным и чистым газом. Анализ дисперсионного соотношения (6) показал, что инкремент роста возмущений при некотором волновом
числе k достигает максимума. Помимо этого, было показано, что вязкость газа уменьшает скорость роста возмущений с большими волновыми числами, т.е. 0 при k , тогда как в приближение невяз-
кого газа принимает некоторое положительное значение при k .
Работа выполнена при поддержке гранта Минобрнауки РФ РНП 2.1.1/9824.
Литература
1. Taylor G.I. The instability of liquid surfaces when accelerated in a direction perpendicular to their planes // Proc. Roy. Soc. A. – 1950. – V. 201. – P. 192–196.
2. Bellman R., Pennington R. Effects of surface tension and viscosity on Taylor instability // Quart. Appl. Math. – 1954. – V. 12. – P. 151–162.
3. Chandrasekhar S. Hydrodynamic and Hydromagnetic Stability. – NY.: Dover, 1981. – 652 p. 4. Sharp D.H. An overview of Rayleigh–Taylor instability // Physica D. – 1984. – V. 12. – P. 3–18. 5. Kadau K. et. al. Nanohydrodynamics Simulations: An Atomic View of the Rayleigh-Taylor Instability //
Proc. Nat. Acad. Sci. – 2004. – V. 101 (16). – P. 5851–5855. 6. Völtz C., Pesch W. and I. Rehberg. Rayleigh-Taylor instability in a sedimenting suspension // Phys. Rev. E. –
2001. – V. 65. – P. 1–7. 7. Glowinski R., Pan T.W. and Joseph D.D. Modelling Rayleigh-Taylor instability of a sedimenting suspension
of several thousand circular particles in direct numerical simulation // J. Fluid Mech. – 2001. – V. 434. – P. 23–37. 8. Guda S., Bukharina S., Mucha P.J. Rayleigh-Taylor Instability in Sedimentation [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://rtg.amath.unc.edu/Guda-ChaCha06.pdf, своб. 9. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. – М.: Наука, 1988. – Т. VI. – 736 с.
Савельев Роман Сергеевич Розанов Николай Николаевич Сочилин Георгий Борисович Чивилихин Сергей Анатольевич
– Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, студент, savelyev.r.s@gmail.com
– НПК «ГОИ им. С.И. Вавилова», доктор физ.-мат. наук, начальник отдела, nrosanov@yahoo.com
– НПК «ГОИ им. С.И. Вавилова», кандидат физ.-мат. наук, ведущий научный сотрудник, goga.ilph@yahoo.com
– Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, кандидат физ.-мат. наук, доцент, sergey.chivilikhin@gmail.com
22 Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета
информационных технологий, механики и оптики, 2011, № 3 (73)