МОДЕЛЬ ЛАНЧЕСТЕРА И ДИНАМИКА СПИРАЛЬНО-АНИЗОТРОПНЫХ СТЕРЖНЕЙ
П.А. Сергушин
УДК 534.1:53.085.1
МОДЕЛЬ ЛАНЧЕСТЕРА И ДИНАМИКА СПИРАЛЬНО-АНИЗОТРОПНЫХ СТЕРЖНЕЙ
П.А. Сергушин
Рассмотрена модель динамической системы с активным демпфером Ланчестера – составлена схема Simulink, исследованы реакции на стандартные входные воздействия. Предложены альтернативы применения. Ключевые слова: динамика, колебания, демпфер Ланчестера, спиральная анизотропия.
Введение
Исследования колебаний в механических системах актуальны для многих областей науки и промышленности. Одним из наиболее значимых эффектов является свойство возникновения резонанса при воздействии на систему с некоторыми характерными для нее частотами. На практике явление резонанса может иметь негативные последствия – износ деталей механизмов, ослабление резьбовых соединений, появление шумов при работе механизмов и пр. Для гашения колебаний и сдвига резонансных частот применяют демпфирующие элементы [1].
Демпфер Ланчестера (рис. 1) представляет собой устройство, вращающееся вместе с валом как жесткое тело и рассеивающее энергию крутильных колебаний. Известны работы [2], в которых демпфер Ланчестера применяется для гашения линейных перемещений при механическом возбуждении системы в широком частотном диапазоне,
Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, 2010, № 1(65)
63
МОДЕЛЬ ЛАНЧЕСТЕРА И ДИНАМИКА СПИРАЛЬНО-АНИЗОТРОПНЫХ СТЕРЖНЕЙ
при этом прогнозируется наиболее эффективное демпфирование по сравнению с настраиваемыми демпферами.
аб Рис. 1. Демпфер Ланчестера в двигателе внутреннего сгорания:
а – кинематическая схема, б – внешний вид конструкции Математическая модель
Рассмотрим систему с двумя степенями свободы и демпфером Ланчестера (рис. 2). Тело M связано с основанием при помощи демпфера и нелинейной пружины, а тело m прикреплено к M лишь при помощи демпфера. Возбуждение (внешнее воздействие) осуществляется через первое тело.
Рис. 2. Пример демпфера Ланчестера
Уравнения движения системы:
u1 u2
ˆ1u1 ˆ 2u2 u1 (u2 u1) 0,
3u12
u13
F (t );
где ui – перемещения; ˆ i , – коэффициенты демпфирования; i 1, 2 – индекс тела;
– коэффициент нелинейности; F(t) – входное воздействие. Для определения дина-
мики системы при различных параметрах по уравнениям движения составлена схема
(рис. 3) моделирования в программе Simulink, входящей в ППП Matlab [3]. Моделирование будем осуществлять при различных сочетаниях параметров, отве-
чающих за демпфирование и нелинейность системы, воздействуя на нее типовыми единичными сигналами – синусоидальным, ступенчатым и импульсным (рис. 4–6 соответ-
ственно).
64 Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета
информационных технологий, механики и оптики, 2010, № 1(65)
П.А. Сергушин
Без демпфирования
Clock
t To Workspace
alpha Constant 3
3 Constant 9
Math Function
u2
Product 5
Product 6 Constant 10
key
Sine Wave Step 1 Discrete Impulse 1
Multiport Switch
gamma Constant
Add
Product
du /dt Derivative
1 xos Integrator 1 u2_0 Constant 6
ddu 2 To Workspace6
du 2 To Workspace5
u2 To Workspace 2
Product 1
Product 2
mu 1cap Constant 5
Add 1
Add 2
1 xos Integrator 3
du 1_0 Constant 8
mu 2cap Constant 4
1 xos Integrator 2
u1_0 Constant 7
u1 To Workspace 1
du 1 To Workspace3
ddu 1 To Workspace4
Рис. 3. Схема Simulink для модели демпфера Ланчестера
input
sin
mu1cap= 0 mu2cap= 0 gamma= 0
alpha= 0
du1-0= u1-0= u2-0=
0 0 0
u1', [-]
u1, [-]
u1', [-]
u1'', [-]
Линейная модель
50
0
-50 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t, [-]
50
0
-50 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t, [-]
50
0
-50 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t, [-]
50
0
-50 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 u1, [-]
u2', [-]
u2, [-]
u2', [-]
u2'', [-]
1
0
-1 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t, [-]
1
0
-1 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t, [-]
1
0
-1 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t, [-]
1
0
-1 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 u2, [-]
1
input
sin
mu1cap= 0 mu2cap= 0 gamma= 0
alpha= 1.2
du1-0= u1-0= u2-0=
0 0 0
u1', [-]
u1, [-]
u1', [-]
u1'', [-]
Нелинейная модель
40 20
0 -20
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t, [-]
5
0
-5 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t, [-]
2 0 -2 -4
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t, [-]
5
0
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 u1, [-]
u2', [-]
u2, [-]
u2', [-]
u2'', [-]
1
0
-1 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t, [-]
1
0
-1 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t, [-]
1
0
-1 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t, [-]
1
0
-1 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 u2, [-]
1
input
sin
mu1cap= 0.2 mu2cap= 0.2 gamma= 1.3
alpha= 0
du1-0= u1-0= u2-0=
0 0 0
u1', [-]
u1, [-]
u1', [-]
u1'', [-]
20
0
-20 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t, [-]
10
0
-10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t, [-]
10
0
-10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t, [-]
10
0
-10 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 u1, [-]
u2', [-]
u2, [-]
u2', [-]
u2'', [-]
10
0
-10 0
10
10 20 30 40 50 60 t, [-]
70 80 90 100
0
-10 0
10
10 20 30 40 50 60 t, [-]
70 80 90 100
0
-10 0
10
10 20 30 40 50 60 t, [-]
70 80 90 100
0
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 u2, [-]
input
sin
mu1cap= 0.2 mu2cap= 0.2 gamma= 1.3
alpha= 1.2
du1-0= u1-0= u2-0=
0 0 0
u1', [-]
u1, [-]
u1', [-]
u1'', [-]
20 10
0 -10
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t, [-]
5
0
-5 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t, [-]
2 0 -2 -4
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t, [-]
5
0
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 u1, [-]
u2', [-]
u2, [-]
u2', [-]
u2'', [-]
10
5
0
-5 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t, [-]
2
0
-2
-4 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t, [-]
2
0
-2
-4 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t, [-]
2
0
-2
-4 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 u2, [-]
Рис. 4. Реакция на единичное синусоидальное воздействие
Здесь и далее в каждом блоке графиков сверху вниз представлены соответственно ускорение, скорость, перемещение и фазовый портрет (в левой колонке – для первого тела, в правой – для второго). В блоках графиков слева представлены реакции на стандартные воздействия линейной модели, справа – нелинейной. В блоках первой строки демпфирование отсутствовало, во второй – действовало.
Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, 2010, № 1(65)
65
С демпфированием
Без демпфирования
С демпфированием
Без демпфирования
МОДЕЛЬ ЛАНЧЕСТЕРА И ДИНАМИКА СПИРАЛЬНО-АНИЗОТРОПНЫХ СТЕРЖНЕЙ
input
step
mu1cap= 0 mu2cap= 0 gamma= 0
alpha= 0
du1-0= u1-0= u2-0=
0 0 0
u1', [-]
u1, [-]
u1', [-]
u1'', [-]
Линейная модель
1
0
-1 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t, [-]
1
0
-1 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t, [-]
2
1
0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t, [-]
1
0
-1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 u1, [-]
u2', [-]
u2, [-]
u2', [-]
u2'', [-]
1
0
-1 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t, [-]
1
0
-1 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t, [-]
1
0
-1 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t, [-]
1
0
-1 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 u2, [-]
1
input
step
mu1cap= 0 mu2cap= 0 gamma= 0
alpha= 1.2
du1-0= u1-0= u2-0=
0 0 0
u1', [-]
u1, [-]
u1', [-]
u1'', [-]
Нелинейная модель
1 0 -1 -2
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t, [-]
1
0
-1 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t, [-]
1
0.5
0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t, [-]
1
0
-1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 u1, [-]
u2', [-]
u2, [-]
u2', [-]
u2'', [-]
1
0
-1 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t, [-]
1
0
-1 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t, [-]
1
0
-1 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t, [-]
1
0
-1 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 u2, [-]
1
input
step
mu1cap= 0.2 mu2cap= 0.2 gamma= 1.3
alpha= 0
du1-0= u1-0= u2-0=
0 0 0
u1', [-]
u1, [-]
u1', [-]
u1'', [-]
1
0
-1 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t, [-]
1
0
-1 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t, [-]
2
1
0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t, [-]
1
0
-1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 u1, [-]
u2', [-]
u2, [-]
u2', [-]
u2'', [-]
1
0
-1 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t, [-]
1
0
-1 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t, [-]
2
1
0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t, [-]
1
0
-1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 u2, [-]
input
step
mu1cap= 0.2 mu2cap= 0.2 gamma= 1.3
alpha= 1.2
du1-0= u1-0= u2-0=
0 0 0
u1', [-]
u1, [-]
u1', [-]
u1'', [-]
1 0 -1 -2
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t, [-]
1
0
-1 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t, [-]
1
0.5
0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t, [-]
1
0
-1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 u1, [-]
u2', [-]
u2, [-]
u2', [-]
u2'', [-]
1
0
-1 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t, [-]
0.5
0
-0.5 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t, [-]
1
0.5
0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t, [-]
0.5
0
-0.5 0
0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 u2, [-]
Рис. 5 – Реакция на единичное ступенчатое воздействие
Линейная модель
input
impulse
mu1cap= 0 mu2cap= 0 gamma= 0
alpha= 0
du1-0= u1-0= u2-0=
0 0 0
u1'', [-]
1
0
-1 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t, [-]
1
u1', [-]
0
-1 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t, [-]
1
u1, [-]
0
-1 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t, [-]
1
u1', [-]
0
-1 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 u1, [-]
1
u2', [-]
u2, [-]
u2', [-]
u2'', [-]
1
0
-1 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t, [-]
1
0
-1 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t, [-]
1
0
-1 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t, [-]
1
0
-1 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 u2, [-]
1
Нелинейная модель
input
impulse
mu1cap= 0 mu2cap= 0 gamma= 0
alpha= 1.2
du1-0= u1-0= u2-0=
0 0 0
u1'', [-]
20
10
0
-10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t, [-]
5
u1', [-]
0
u1, [-]
-5 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t, [-]
2
0
-2
-4 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t, [-]
5
u1', [-]
0
-5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 u1, [-]
u2', [-]
u2, [-]
u2', [-]
u2'', [-]
1
0
-1 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t, [-]
1
0
-1 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t, [-]
1
0
-1 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t, [-]
1
0
-1 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 u2, [-]
1
input
impulse
mu1cap= 0.2 mu2cap= 0.2 gamma= 1.3
alpha= 0
du1-0= u1-0= u2-0=
0 0 0
u1'', [-]
1
0
-1 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t, [-]
1
u1', [-]
0
-1 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t, [-]
1
u1, [-]
0
-1 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t, [-]
1
u1', [-]
0
-1 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 u1, [-]
1
u2', [-]
u2, [-]
u2', [-]
u2'', [-]
1
0
-1 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t, [-]
1
0
-1 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t, [-]
1
0
-1 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t, [-]
1
0
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2
0 0.2 0.4 0.6 0.8
u2, [-]
input
impulse
mu1cap= 0.2 mu2cap= 0.2 gamma= 1.3
alpha= 1.2
du1-0= u1-0= u2-0=
0 0 0
u1'', [-]
20
10
0
-10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t, [-]
5
u1', [-]
0
u1, [-]
-5 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t, [-]
2
0
-2
-4 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t, [-]
5
u1', [-]
0
-5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 u1, [-]
u2', [-]
u2, [-]
u2', [-]
u2'', [-]
4
2
0
-2 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t, [-]
1
0
-1
-2 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t, [-]
2
0
-2
-4 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t, [-]
1
0
-1
-2 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 u2, [-]
Рис. 6. Реакция на единичное импульсное воздействие
Из рис. 4–6 видно, что в случае как линейной, так и нелинейной модели введение демпфера позволяет изменить параметры колебаний (вид, амплитуду, фазу, затухание), что достигается подбором параметров демпфера. В связи с этим представляется перспективным использование демпфера Ланчестера: для демпфирования колебаний чувствительного элемента магнитометра, представ-
ляющего собой магнит, совершающий угловые колебания на бифилярном подвесе [4] (рис. 7, а);
С демпфированием
66 Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета
информационных технологий, механики и оптики, 2010, № 1(65)
П.А. Сергушин
для гашения колебаний скважинных приборов, спуск которых осуществляется на геофизическом кабеле, имеющем спиральную анизотропию, где вследствие ступенчатого характера осевой нагрузки при подъеме и спуске таких приборов, а также наличия инерции и неравномерности свойств подвеса возникают паразитные крутильные и осевые колебания системы (рис. 7, б).
аб Рис. 7. Перспектива применения демпфера Ланчестера
Заключение
Рассмотрена модель системы с демпфером Ланчестера, составлена схема Simulink, исследованы реакции на стандартные входные воздействия. Предложены альтернативы применения рассматриваемого демпфера.
Литература
1. Бидерман В.Л. Теория механических колебаний: Учебник для вузов. – М.: Высш. школа, 1980.
2. Асфар К.Р., Найфе А.Х., Барраш К.А. Нелинейный осциллятор с демпфером Ланчестера // Труды американского общества инженеров-механиков. Конструирование и технологии машиностроения, № 3. – М.: Мир, 1988.
3. Дьяконов В.П. MATLAB 6.5 SP1 + Simulink 5 и MATLAB 7 + Simulink 6 в математике и математическом моделировании. – M.: СОЛОН-Пресс, 2005.
4. Сергушин П.А. Магнитовариометр как средство измерения магнитных полей // Научно-технический вестник СПбГУ ИТМО. – 2006. – № 28. – С. 173–176.
Сергушин Павел Анатольевич
– Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, аспирант,
pavel.sergushin@gmail.com
Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, 2010, № 1(65)
67
УДК 534.1:53.085.1
МОДЕЛЬ ЛАНЧЕСТЕРА И ДИНАМИКА СПИРАЛЬНО-АНИЗОТРОПНЫХ СТЕРЖНЕЙ
П.А. Сергушин
Рассмотрена модель динамической системы с активным демпфером Ланчестера – составлена схема Simulink, исследованы реакции на стандартные входные воздействия. Предложены альтернативы применения. Ключевые слова: динамика, колебания, демпфер Ланчестера, спиральная анизотропия.
Введение
Исследования колебаний в механических системах актуальны для многих областей науки и промышленности. Одним из наиболее значимых эффектов является свойство возникновения резонанса при воздействии на систему с некоторыми характерными для нее частотами. На практике явление резонанса может иметь негативные последствия – износ деталей механизмов, ослабление резьбовых соединений, появление шумов при работе механизмов и пр. Для гашения колебаний и сдвига резонансных частот применяют демпфирующие элементы [1].
Демпфер Ланчестера (рис. 1) представляет собой устройство, вращающееся вместе с валом как жесткое тело и рассеивающее энергию крутильных колебаний. Известны работы [2], в которых демпфер Ланчестера применяется для гашения линейных перемещений при механическом возбуждении системы в широком частотном диапазоне,
Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, 2010, № 1(65)
63
МОДЕЛЬ ЛАНЧЕСТЕРА И ДИНАМИКА СПИРАЛЬНО-АНИЗОТРОПНЫХ СТЕРЖНЕЙ
при этом прогнозируется наиболее эффективное демпфирование по сравнению с настраиваемыми демпферами.
аб Рис. 1. Демпфер Ланчестера в двигателе внутреннего сгорания:
а – кинематическая схема, б – внешний вид конструкции Математическая модель
Рассмотрим систему с двумя степенями свободы и демпфером Ланчестера (рис. 2). Тело M связано с основанием при помощи демпфера и нелинейной пружины, а тело m прикреплено к M лишь при помощи демпфера. Возбуждение (внешнее воздействие) осуществляется через первое тело.
Рис. 2. Пример демпфера Ланчестера
Уравнения движения системы:
u1 u2
ˆ1u1 ˆ 2u2 u1 (u2 u1) 0,
3u12
u13
F (t );
где ui – перемещения; ˆ i , – коэффициенты демпфирования; i 1, 2 – индекс тела;
– коэффициент нелинейности; F(t) – входное воздействие. Для определения дина-
мики системы при различных параметрах по уравнениям движения составлена схема
(рис. 3) моделирования в программе Simulink, входящей в ППП Matlab [3]. Моделирование будем осуществлять при различных сочетаниях параметров, отве-
чающих за демпфирование и нелинейность системы, воздействуя на нее типовыми единичными сигналами – синусоидальным, ступенчатым и импульсным (рис. 4–6 соответ-
ственно).
64 Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета
информационных технологий, механики и оптики, 2010, № 1(65)
П.А. Сергушин
Без демпфирования
Clock
t To Workspace
alpha Constant 3
3 Constant 9
Math Function
u2
Product 5
Product 6 Constant 10
key
Sine Wave Step 1 Discrete Impulse 1
Multiport Switch
gamma Constant
Add
Product
du /dt Derivative
1 xos Integrator 1 u2_0 Constant 6
ddu 2 To Workspace6
du 2 To Workspace5
u2 To Workspace 2
Product 1
Product 2
mu 1cap Constant 5
Add 1
Add 2
1 xos Integrator 3
du 1_0 Constant 8
mu 2cap Constant 4
1 xos Integrator 2
u1_0 Constant 7
u1 To Workspace 1
du 1 To Workspace3
ddu 1 To Workspace4
Рис. 3. Схема Simulink для модели демпфера Ланчестера
input
sin
mu1cap= 0 mu2cap= 0 gamma= 0
alpha= 0
du1-0= u1-0= u2-0=
0 0 0
u1', [-]
u1, [-]
u1', [-]
u1'', [-]
Линейная модель
50
0
-50 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t, [-]
50
0
-50 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t, [-]
50
0
-50 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t, [-]
50
0
-50 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 u1, [-]
u2', [-]
u2, [-]
u2', [-]
u2'', [-]
1
0
-1 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t, [-]
1
0
-1 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t, [-]
1
0
-1 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t, [-]
1
0
-1 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 u2, [-]
1
input
sin
mu1cap= 0 mu2cap= 0 gamma= 0
alpha= 1.2
du1-0= u1-0= u2-0=
0 0 0
u1', [-]
u1, [-]
u1', [-]
u1'', [-]
Нелинейная модель
40 20
0 -20
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t, [-]
5
0
-5 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t, [-]
2 0 -2 -4
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t, [-]
5
0
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 u1, [-]
u2', [-]
u2, [-]
u2', [-]
u2'', [-]
1
0
-1 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t, [-]
1
0
-1 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t, [-]
1
0
-1 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t, [-]
1
0
-1 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 u2, [-]
1
input
sin
mu1cap= 0.2 mu2cap= 0.2 gamma= 1.3
alpha= 0
du1-0= u1-0= u2-0=
0 0 0
u1', [-]
u1, [-]
u1', [-]
u1'', [-]
20
0
-20 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t, [-]
10
0
-10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t, [-]
10
0
-10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t, [-]
10
0
-10 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 u1, [-]
u2', [-]
u2, [-]
u2', [-]
u2'', [-]
10
0
-10 0
10
10 20 30 40 50 60 t, [-]
70 80 90 100
0
-10 0
10
10 20 30 40 50 60 t, [-]
70 80 90 100
0
-10 0
10
10 20 30 40 50 60 t, [-]
70 80 90 100
0
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 u2, [-]
input
sin
mu1cap= 0.2 mu2cap= 0.2 gamma= 1.3
alpha= 1.2
du1-0= u1-0= u2-0=
0 0 0
u1', [-]
u1, [-]
u1', [-]
u1'', [-]
20 10
0 -10
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t, [-]
5
0
-5 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t, [-]
2 0 -2 -4
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t, [-]
5
0
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 u1, [-]
u2', [-]
u2, [-]
u2', [-]
u2'', [-]
10
5
0
-5 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t, [-]
2
0
-2
-4 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t, [-]
2
0
-2
-4 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t, [-]
2
0
-2
-4 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 u2, [-]
Рис. 4. Реакция на единичное синусоидальное воздействие
Здесь и далее в каждом блоке графиков сверху вниз представлены соответственно ускорение, скорость, перемещение и фазовый портрет (в левой колонке – для первого тела, в правой – для второго). В блоках графиков слева представлены реакции на стандартные воздействия линейной модели, справа – нелинейной. В блоках первой строки демпфирование отсутствовало, во второй – действовало.
Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, 2010, № 1(65)
65
С демпфированием
Без демпфирования
С демпфированием
Без демпфирования
МОДЕЛЬ ЛАНЧЕСТЕРА И ДИНАМИКА СПИРАЛЬНО-АНИЗОТРОПНЫХ СТЕРЖНЕЙ
input
step
mu1cap= 0 mu2cap= 0 gamma= 0
alpha= 0
du1-0= u1-0= u2-0=
0 0 0
u1', [-]
u1, [-]
u1', [-]
u1'', [-]
Линейная модель
1
0
-1 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t, [-]
1
0
-1 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t, [-]
2
1
0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t, [-]
1
0
-1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 u1, [-]
u2', [-]
u2, [-]
u2', [-]
u2'', [-]
1
0
-1 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t, [-]
1
0
-1 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t, [-]
1
0
-1 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t, [-]
1
0
-1 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 u2, [-]
1
input
step
mu1cap= 0 mu2cap= 0 gamma= 0
alpha= 1.2
du1-0= u1-0= u2-0=
0 0 0
u1', [-]
u1, [-]
u1', [-]
u1'', [-]
Нелинейная модель
1 0 -1 -2
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t, [-]
1
0
-1 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t, [-]
1
0.5
0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t, [-]
1
0
-1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 u1, [-]
u2', [-]
u2, [-]
u2', [-]
u2'', [-]
1
0
-1 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t, [-]
1
0
-1 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t, [-]
1
0
-1 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t, [-]
1
0
-1 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 u2, [-]
1
input
step
mu1cap= 0.2 mu2cap= 0.2 gamma= 1.3
alpha= 0
du1-0= u1-0= u2-0=
0 0 0
u1', [-]
u1, [-]
u1', [-]
u1'', [-]
1
0
-1 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t, [-]
1
0
-1 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t, [-]
2
1
0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t, [-]
1
0
-1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 u1, [-]
u2', [-]
u2, [-]
u2', [-]
u2'', [-]
1
0
-1 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t, [-]
1
0
-1 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t, [-]
2
1
0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t, [-]
1
0
-1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 u2, [-]
input
step
mu1cap= 0.2 mu2cap= 0.2 gamma= 1.3
alpha= 1.2
du1-0= u1-0= u2-0=
0 0 0
u1', [-]
u1, [-]
u1', [-]
u1'', [-]
1 0 -1 -2
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t, [-]
1
0
-1 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t, [-]
1
0.5
0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t, [-]
1
0
-1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 u1, [-]
u2', [-]
u2, [-]
u2', [-]
u2'', [-]
1
0
-1 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t, [-]
0.5
0
-0.5 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t, [-]
1
0.5
0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t, [-]
0.5
0
-0.5 0
0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 u2, [-]
Рис. 5 – Реакция на единичное ступенчатое воздействие
Линейная модель
input
impulse
mu1cap= 0 mu2cap= 0 gamma= 0
alpha= 0
du1-0= u1-0= u2-0=
0 0 0
u1'', [-]
1
0
-1 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t, [-]
1
u1', [-]
0
-1 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t, [-]
1
u1, [-]
0
-1 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t, [-]
1
u1', [-]
0
-1 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 u1, [-]
1
u2', [-]
u2, [-]
u2', [-]
u2'', [-]
1
0
-1 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t, [-]
1
0
-1 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t, [-]
1
0
-1 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t, [-]
1
0
-1 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 u2, [-]
1
Нелинейная модель
input
impulse
mu1cap= 0 mu2cap= 0 gamma= 0
alpha= 1.2
du1-0= u1-0= u2-0=
0 0 0
u1'', [-]
20
10
0
-10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t, [-]
5
u1', [-]
0
u1, [-]
-5 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t, [-]
2
0
-2
-4 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t, [-]
5
u1', [-]
0
-5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 u1, [-]
u2', [-]
u2, [-]
u2', [-]
u2'', [-]
1
0
-1 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t, [-]
1
0
-1 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t, [-]
1
0
-1 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t, [-]
1
0
-1 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 u2, [-]
1
input
impulse
mu1cap= 0.2 mu2cap= 0.2 gamma= 1.3
alpha= 0
du1-0= u1-0= u2-0=
0 0 0
u1'', [-]
1
0
-1 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t, [-]
1
u1', [-]
0
-1 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t, [-]
1
u1, [-]
0
-1 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t, [-]
1
u1', [-]
0
-1 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 u1, [-]
1
u2', [-]
u2, [-]
u2', [-]
u2'', [-]
1
0
-1 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t, [-]
1
0
-1 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t, [-]
1
0
-1 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t, [-]
1
0
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2
0 0.2 0.4 0.6 0.8
u2, [-]
input
impulse
mu1cap= 0.2 mu2cap= 0.2 gamma= 1.3
alpha= 1.2
du1-0= u1-0= u2-0=
0 0 0
u1'', [-]
20
10
0
-10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t, [-]
5
u1', [-]
0
u1, [-]
-5 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t, [-]
2
0
-2
-4 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t, [-]
5
u1', [-]
0
-5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 u1, [-]
u2', [-]
u2, [-]
u2', [-]
u2'', [-]
4
2
0
-2 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t, [-]
1
0
-1
-2 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t, [-]
2
0
-2
-4 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t, [-]
1
0
-1
-2 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 u2, [-]
Рис. 6. Реакция на единичное импульсное воздействие
Из рис. 4–6 видно, что в случае как линейной, так и нелинейной модели введение демпфера позволяет изменить параметры колебаний (вид, амплитуду, фазу, затухание), что достигается подбором параметров демпфера. В связи с этим представляется перспективным использование демпфера Ланчестера: для демпфирования колебаний чувствительного элемента магнитометра, представ-
ляющего собой магнит, совершающий угловые колебания на бифилярном подвесе [4] (рис. 7, а);
С демпфированием
66 Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета
информационных технологий, механики и оптики, 2010, № 1(65)
П.А. Сергушин
для гашения колебаний скважинных приборов, спуск которых осуществляется на геофизическом кабеле, имеющем спиральную анизотропию, где вследствие ступенчатого характера осевой нагрузки при подъеме и спуске таких приборов, а также наличия инерции и неравномерности свойств подвеса возникают паразитные крутильные и осевые колебания системы (рис. 7, б).
аб Рис. 7. Перспектива применения демпфера Ланчестера
Заключение
Рассмотрена модель системы с демпфером Ланчестера, составлена схема Simulink, исследованы реакции на стандартные входные воздействия. Предложены альтернативы применения рассматриваемого демпфера.
Литература
1. Бидерман В.Л. Теория механических колебаний: Учебник для вузов. – М.: Высш. школа, 1980.
2. Асфар К.Р., Найфе А.Х., Барраш К.А. Нелинейный осциллятор с демпфером Ланчестера // Труды американского общества инженеров-механиков. Конструирование и технологии машиностроения, № 3. – М.: Мир, 1988.
3. Дьяконов В.П. MATLAB 6.5 SP1 + Simulink 5 и MATLAB 7 + Simulink 6 в математике и математическом моделировании. – M.: СОЛОН-Пресс, 2005.
4. Сергушин П.А. Магнитовариометр как средство измерения магнитных полей // Научно-технический вестник СПбГУ ИТМО. – 2006. – № 28. – С. 173–176.
Сергушин Павел Анатольевич
– Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, аспирант,
pavel.sergushin@gmail.com
Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, 2010, № 1(65)
67