АЛГОРИТМ УЛУЧШЕНИЯ ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ СХОДИМОСТИ НЕИЗВЕСТНОЙ ЧАСТОТЫ СИНУСОИДАЛЬНОГО СИГНАЛА С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ КАСКАДНОЙ РЕДУКЦИИ
КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ
КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ
УДК 681.51.015 АЛГОРИТМ УЛУЧШЕНИЯ ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ СХОДИМОСТИ НЕИЗВЕСТНОЙ ЧАСТОТЫ СИНУСОИДАЛЬНОГО СИГНАЛА С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ КАСКАДНОЙ РЕДУКЦИИ1 С.В. Арановский, А.А. Бобцов, А.А. Ведяков, С.А. Колюбин, А.А. Пыркин
Рассматривается задача идентификации неизвестной частоты синусоидального сигнала в условиях возмущающего воздействия в измерениях. На базе метода каскадной редукции, предложен алгоритм улучшения параметрической сходимости оценки неизвестной частоты синусоидального сигнала к истинному значению. Ключевые слова: синусоидальный сигнал, редукция, идентификация, возмущения.
Рассмотрим измеряемый сигнал вида (например, [1, 2]) y(t) = (t) (t) ,
(1)
где (t) Asin(t ) – неизмеряемый синусоидальный сигнал, A 0, 0, – неизвестные постоян-
ные параметры; (t) – неизмеряемое возмущение. Ставится задача синтеза алгоритма идентификации
неизвестного параметра – частоты синусоидального сигнала (t) .
Базируясь на [1, 2], осуществим параметризацию модели (1) следующим образом: p2 y(t) = (t) p2(t) ,
(2)
2 p2 ( p )2
y(t)
=
(
p
2 )2
(t)
2 p2 ( p )2
(t)
(
p
2 )2
y(t)
2 p2 2 ( p )2
(t) ,
(3)
где p d / dt , 0 – некоторый выбираемый при синтезе коэффициент, а 2 – неизвестный
параметр, подлежащий идентификации. Введем новые обозначения:
z(t)
(
2 p2 p )2
y(t),
(t)
(
2 p )2
y(t),
(t)
2 (
p2 2 p )2
(t)
,
тогда, используя преобразования (2), (3), для модели (1) имеем z(t) = (t) (t) ,
(4)
где (t) (t) (t) , (t) – экспоненциально затухающее слагаемое, обусловленное ненулевыми началь-
ными условиями. Аналогично работам [1, 2] можно воспользоваться алгоритмом идентификации вида
ˆ(t) = kˆ 2 (t) k(t)z(t) ,
(5)
где ˆ(t) – оценка параметра , а k 0 – некоторый коэффициент, либо задаваемый при синтезе, либо
настраиваемый в процессе работы. Однако такой подход не обеспечивает парирования возмущения (t) .
Рассмотрим новую схему идентификации, развивающую алгоритм (5). Для этого проанализируем поведение разности параметра и его оценки ˆ(t) , т.е.
(t) = ˆ (t) .
(6)
Дифференцируя (6), с учетом (4) и (5) получаем (t) = ˆ(t) kˆ 2 (t) k(t)z(t) kˆ2 (t) k(t)((t) (t))
k2 (t)( ˆ(t)) k(t)(t) k2 (t)(t) k(t)(t) .
(7)
Легко показать, что при (t) 0 дифференциальное уравнение (7) асимптотически устойчиво и (t) 0 при t . Если же система подвержена действию возмущения, то, в общем случае,
lim ˆ (t) . Тогда идеальный алгоритм идентификации может иметь вид
t
ˆ * (t) = kˆ * 2 (t) k(t)z(t) k(t)(t) .
Тогда
1 Работа выполнена при поддержке ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009–2013 годы (государственный контракт № 16.740.11.0553).
Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики, 2012, № 4 (80)
149
КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ
* (t) = ˆ * (t) kˆ * 2 (t) k(t)z(t) k(t)(t) kˆ * 2 (t) k(t)((t) (t)) k(t)(t)
kˆ * 2 (t) k2 (t) k * (t)2 (t) ,
откуда следует, что при выполнении условия предельной интегральной неворжденности сигнала 2 (t)
обеспечивается lim * (t) 0 . Отметим, что в силу гармонической природы сигнала (t) это условие t
выполняется за исключением вырожденных случаев (например, (t) (t) ). Предложенная схема не
может быть реализована в явном виде, так как сигнал (t)(t) не измеряется. Предлагается следующая
реальная схема идентификации, парирующая неопределенность (t)(t) :
ˆ r (t) = kˆ r2 (t) k2 (t)1(t) / 2 (t) ,
tt
где 1(t) z()()d и 2 (t) 2 ()d . Обоснованием использования такой схемы является метод 00
каскадной редукции [3]. Преобразуем (4), следуя данному методу. Для этого последовательно умножим (4) на (t) и проинтегрируем полученное уравнение, т.е.
t tt
z(t)(t) = 2 (t) (t)(t) , z()()d = 2 ()d ()()d .
0 00
t tt
Введем обозначения 1(t) z()()d , 2 (t) 2 ()d и 3 (t) ()()d и последовательно
0 00
сначала разделим на 2 (t) , а затем продифференцируем последнее соотношение. Тогда получаем
121 1 222 321 3 222 или 3 3 221 1 1 221 .
Так как 1 z(t)(t) , 2 2 (t) и 3 (t)(t) , то (t)(t) z(t)(t) 3221 1221 . Будем полагать, что слагаемое 1 221 при t влияет на точность оценки параметра больше, чем компонента 3 221 . Тогда для парирования неопределенности (t)(t) будем использовать выражение
(t)(t) z(t)(t) 1221 ,
откуда следует алгоритм идентификации вида
ˆ r (t) = kˆ r2 (t) k2 (t) kˆ r2 (t) k(t)(z(t) (t)) kˆ r2 (t) k(t)z(t) k(t)(t)
= kˆ r2 (t) k2 (t)1(t) / 2 (t) .
(8)
Для иллюстрации работоспособности предлагаемой схемы идентификации вида (8) и для
сравнения ее со стандартным подходом (5) приведем результаты компьютерного моделирования
(рисунок).
y(t) ˆ (t)
аб Рисунок. Результаты численного моделирования алгоритма оценивания частоты зашумленного сигнала:
сигнал y(t) 2 sin(2t) (t) (а); оценка частоты при 10 , k 10 (б): A – алгоритм (5), B – алгоритм (8)
1. Aranovskiy S., Bobtsov A., Kremlev A., Nikolaev N., Slita O. Identification of frequency of biased harmonic signal // European Journal of Control. – 2010. – № 2. – P. 129–139.
2. Бобцов А.А., Ефимов Д.В., Пыркин А.А., Золгадри А. Алгоритм адаптивного оценивания частоты смещенного синусоидального сигнала с аддитивной нерегулярной составляющей // Мехатроника, автоматизация, управление. – 2012. – № 2. – C. 16–21.
150
Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики, 2012, № 4 (80)
КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ
3. Арановский С.В., Бобцов А.А., Пыркин А.А. Каскадная редукция в задачах идентификации // Научнотехнический вестник информационных технологий, механики и оптики. – 2012. – № 3. – C. 149–150.
Арановский Станислав Владимирович – Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, кандидат технических наук, старший научный сотрудник, s.aranovskiy@gmail.com Бобцов Алексей Алексеевич – Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, доктор технических наук, профессор, декан, bobtsov@mail.ifmo.ru Ведяков Алексей Алексеевич – Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, магистрант, vedyakov@gmail.com Колюбин Сергей Алексеевич – Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, аспирант, s.kolyubin@gmail.com Пыркин Антон Александрович – Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, кандидат технических наук, доцент, ppaannddaa@mail.ru
Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики, 2012, № 4 (80)
151
КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ
УДК 681.51.015 АЛГОРИТМ УЛУЧШЕНИЯ ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ СХОДИМОСТИ НЕИЗВЕСТНОЙ ЧАСТОТЫ СИНУСОИДАЛЬНОГО СИГНАЛА С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ КАСКАДНОЙ РЕДУКЦИИ1 С.В. Арановский, А.А. Бобцов, А.А. Ведяков, С.А. Колюбин, А.А. Пыркин
Рассматривается задача идентификации неизвестной частоты синусоидального сигнала в условиях возмущающего воздействия в измерениях. На базе метода каскадной редукции, предложен алгоритм улучшения параметрической сходимости оценки неизвестной частоты синусоидального сигнала к истинному значению. Ключевые слова: синусоидальный сигнал, редукция, идентификация, возмущения.
Рассмотрим измеряемый сигнал вида (например, [1, 2]) y(t) = (t) (t) ,
(1)
где (t) Asin(t ) – неизмеряемый синусоидальный сигнал, A 0, 0, – неизвестные постоян-
ные параметры; (t) – неизмеряемое возмущение. Ставится задача синтеза алгоритма идентификации
неизвестного параметра – частоты синусоидального сигнала (t) .
Базируясь на [1, 2], осуществим параметризацию модели (1) следующим образом: p2 y(t) = (t) p2(t) ,
(2)
2 p2 ( p )2
y(t)
=
(
p
2 )2
(t)
2 p2 ( p )2
(t)
(
p
2 )2
y(t)
2 p2 2 ( p )2
(t) ,
(3)
где p d / dt , 0 – некоторый выбираемый при синтезе коэффициент, а 2 – неизвестный
параметр, подлежащий идентификации. Введем новые обозначения:
z(t)
(
2 p2 p )2
y(t),
(t)
(
2 p )2
y(t),
(t)
2 (
p2 2 p )2
(t)
,
тогда, используя преобразования (2), (3), для модели (1) имеем z(t) = (t) (t) ,
(4)
где (t) (t) (t) , (t) – экспоненциально затухающее слагаемое, обусловленное ненулевыми началь-
ными условиями. Аналогично работам [1, 2] можно воспользоваться алгоритмом идентификации вида
ˆ(t) = kˆ 2 (t) k(t)z(t) ,
(5)
где ˆ(t) – оценка параметра , а k 0 – некоторый коэффициент, либо задаваемый при синтезе, либо
настраиваемый в процессе работы. Однако такой подход не обеспечивает парирования возмущения (t) .
Рассмотрим новую схему идентификации, развивающую алгоритм (5). Для этого проанализируем поведение разности параметра и его оценки ˆ(t) , т.е.
(t) = ˆ (t) .
(6)
Дифференцируя (6), с учетом (4) и (5) получаем (t) = ˆ(t) kˆ 2 (t) k(t)z(t) kˆ2 (t) k(t)((t) (t))
k2 (t)( ˆ(t)) k(t)(t) k2 (t)(t) k(t)(t) .
(7)
Легко показать, что при (t) 0 дифференциальное уравнение (7) асимптотически устойчиво и (t) 0 при t . Если же система подвержена действию возмущения, то, в общем случае,
lim ˆ (t) . Тогда идеальный алгоритм идентификации может иметь вид
t
ˆ * (t) = kˆ * 2 (t) k(t)z(t) k(t)(t) .
Тогда
1 Работа выполнена при поддержке ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009–2013 годы (государственный контракт № 16.740.11.0553).
Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики, 2012, № 4 (80)
149
КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ
* (t) = ˆ * (t) kˆ * 2 (t) k(t)z(t) k(t)(t) kˆ * 2 (t) k(t)((t) (t)) k(t)(t)
kˆ * 2 (t) k2 (t) k * (t)2 (t) ,
откуда следует, что при выполнении условия предельной интегральной неворжденности сигнала 2 (t)
обеспечивается lim * (t) 0 . Отметим, что в силу гармонической природы сигнала (t) это условие t
выполняется за исключением вырожденных случаев (например, (t) (t) ). Предложенная схема не
может быть реализована в явном виде, так как сигнал (t)(t) не измеряется. Предлагается следующая
реальная схема идентификации, парирующая неопределенность (t)(t) :
ˆ r (t) = kˆ r2 (t) k2 (t)1(t) / 2 (t) ,
tt
где 1(t) z()()d и 2 (t) 2 ()d . Обоснованием использования такой схемы является метод 00
каскадной редукции [3]. Преобразуем (4), следуя данному методу. Для этого последовательно умножим (4) на (t) и проинтегрируем полученное уравнение, т.е.
t tt
z(t)(t) = 2 (t) (t)(t) , z()()d = 2 ()d ()()d .
0 00
t tt
Введем обозначения 1(t) z()()d , 2 (t) 2 ()d и 3 (t) ()()d и последовательно
0 00
сначала разделим на 2 (t) , а затем продифференцируем последнее соотношение. Тогда получаем
121 1 222 321 3 222 или 3 3 221 1 1 221 .
Так как 1 z(t)(t) , 2 2 (t) и 3 (t)(t) , то (t)(t) z(t)(t) 3221 1221 . Будем полагать, что слагаемое 1 221 при t влияет на точность оценки параметра больше, чем компонента 3 221 . Тогда для парирования неопределенности (t)(t) будем использовать выражение
(t)(t) z(t)(t) 1221 ,
откуда следует алгоритм идентификации вида
ˆ r (t) = kˆ r2 (t) k2 (t) kˆ r2 (t) k(t)(z(t) (t)) kˆ r2 (t) k(t)z(t) k(t)(t)
= kˆ r2 (t) k2 (t)1(t) / 2 (t) .
(8)
Для иллюстрации работоспособности предлагаемой схемы идентификации вида (8) и для
сравнения ее со стандартным подходом (5) приведем результаты компьютерного моделирования
(рисунок).
y(t) ˆ (t)
аб Рисунок. Результаты численного моделирования алгоритма оценивания частоты зашумленного сигнала:
сигнал y(t) 2 sin(2t) (t) (а); оценка частоты при 10 , k 10 (б): A – алгоритм (5), B – алгоритм (8)
1. Aranovskiy S., Bobtsov A., Kremlev A., Nikolaev N., Slita O. Identification of frequency of biased harmonic signal // European Journal of Control. – 2010. – № 2. – P. 129–139.
2. Бобцов А.А., Ефимов Д.В., Пыркин А.А., Золгадри А. Алгоритм адаптивного оценивания частоты смещенного синусоидального сигнала с аддитивной нерегулярной составляющей // Мехатроника, автоматизация, управление. – 2012. – № 2. – C. 16–21.
150
Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики, 2012, № 4 (80)
КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ
3. Арановский С.В., Бобцов А.А., Пыркин А.А. Каскадная редукция в задачах идентификации // Научнотехнический вестник информационных технологий, механики и оптики. – 2012. – № 3. – C. 149–150.
Арановский Станислав Владимирович – Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, кандидат технических наук, старший научный сотрудник, s.aranovskiy@gmail.com Бобцов Алексей Алексеевич – Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, доктор технических наук, профессор, декан, bobtsov@mail.ifmo.ru Ведяков Алексей Алексеевич – Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, магистрант, vedyakov@gmail.com Колюбин Сергей Алексеевич – Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, аспирант, s.kolyubin@gmail.com Пыркин Антон Александрович – Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, кандидат технических наук, доцент, ppaannddaa@mail.ru
Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики, 2012, № 4 (80)
151