ДИФФУЗИЯ СВЕТА В СРЕДЕ С НАНОРАЗМЕРНЫМИ НЕОДНОРОДНОСТЯМИ
А.В. Альфимов, Е.М. Арысланова, Д.Н. Вавулин и др.
УДК 535.361.1
ДИФФУЗИЯ СВЕТА В СРЕДЕ С НАНОРАЗМЕРНЫМИ НЕОДНОРОДНОСТЯМИ
А.В. Альфимов, Е.М. Арысланова, Д.Н. Вавулин, О.В. Андреева, Д.Д. Темнова, В.В. Лесничий, В.И. Альмяшев, С.А. Кириллова, С.А. Чивилихин, И.Ю. Пoпoв, В.В. Гусаров
Предложен метод определения характерного размера наночастиц или других наноразмерных неоднородностей, основанный на сравнении экспериментальной и теоретической спектральной зависимости коэффициента ослабления света при его прохождении через неоднородную среду. Одним из возможных применений такого метода является анализ размеров наночастиц, получаемых в процессе гидротермального синтеза. В настоящей работе в качестве модельной среды выбрано пористое стекло с известным средним размером пор. Ключевые слова: рассеяние света, диффузионное приближение, наночастицы, гидротермальный синтез, пористое стекло.
Введение
Описание распространения света в рассеивающих и поглощающих средах привлекает внимание многих исследователей [1–6]. Это связано как с широкой распространенностью такого рода систем, так и с их практической важностью.
Рассеяние света широко используется для определения размеров, морфологии и концентрации взвесей наночастиц в жидкости. Определение размеров и морфологии частиц позволяет, например, создавать современные биомолекулярные сенсоры, устройства контроля окружающей среды и т.д. В настоящей работе предложен метод оценки характерных размеров неоднородностей наноструктурированных сред, апробированный на примере нанопористого стекла.
Диффузия света в рассеивающей и поглощающей среде
Рассмотрим распространение света в случайно-неоднородной поглощающей и рассеивающей среде в предположении, что длина волны света много больше характерного размера неоднородностей [4]. Уравнение переноса излучения в этом случае имеет вид
ΩI
( a
s )I
a 4
Id ,
(1)
где I – интенсивность излучения; Ω – единичный вектор в направлении луча; a и s – коэффициенты
поглощения и рассеяния среды (которые считаются постоянными); d – элемент телесного угла. Вели-
чина (a s )1 представляет собой характерный пространственный масштаб изменения интенсивности
излучения. Будем считать, что эта величина мала по сравнению с характерными размерами рассматри-
ваемой системы. Получим в этом предположении уравнение диффузии изучения. Введем суммарную
интенсивность излучения, падающего на данный элемент среды,
Q Id ,
и применим к (1) преобразование Фурье. Тогда имеем:
(2)
ikΩIk
( a
s )Ik
a 4
Qk
,
где Ik Ieikxd 3x . Отсюда
Ik
a 4
a
Qk s ikΩ
.
(3)
Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, 2011, № 2 (72)
105
ДИФФУЗИЯ СВЕТА В СРЕДЕ С НАНОРАЗМЕРНЫМИ НЕОДНОРОДНОСТЯМИ
Интегрируя (3) по телесному углу и используя (2), получаем
Qk
a 4
Qk
a
d s
ikΩ
,
или
1
s k
arctg
a
k s
Qk
0,
(4)
где k k . Выражение (4) представляет собой Фурье-представление псевдодифференциального уравне-
ния [7] для величины Q . В коротковолновом приближении k 1 это уравнение приобретает вид a s
1
k 2s
3a a s 2
Qk
0.
(5)
Ограничимся рассмотрением сред, в которых коэффициент рассеяния s существенно превышает
коэффициент поглощения a . Тогда, переводя (5) в координатное представление, получаем уравнение
диффузии излучения [4]
3a s Q 0 .
(6)
В тех же предположениях может быть получено граничное условие к уравнению (6)
Q
1 2 s
Q n
2Qe ,
(7)
где
n
– производная вдоль внешней нормали к границе области; Qe
– суммарная интенсивность излу-
чения, падающая снаружи на границу области.
Нанопористые стекла
В качестве модельного объекта для экспериментальных исследований был взят образец пористого стекла НПС-17 в виде полированного диска диаметром 15 мм и толщиной 1 мм со средним размером пор 17 нм и относительным объемом пор 58%.
Перед проведением измерений поры были заполнены водой. Для этого образец был погружен на сутки в дистиллированную воду. Измерения проводились на стандартном спектрофотометре Evolution300. Результаты измерения зависимости коэффициента пропускания образца от длины волны падающего света приведены на рисунке.
Нанопористые матрицы на основе силикатного стекла представляют собой совершенно особый, в своем роде уникальный, инструмент исследования физико-химических процессов в ограниченном объеме, соизмеримом с масштабом протекания процессов и размерами изучаемых объектов: ограниченность пространства и эффективный контакт со стенками пор обусловливают существенные особенности состояния вещества-наполнителя по сравнению со случаем его нахождения в свободном объеме.
Применение нанопористых стекол в настоящее время, главным образом, связано с прозрачностью таких стекол в видимой области спектра и возможностью получения образцов оптического качества [8, 9]. Оптическая плотность образцов в ближней УФ области спектра обусловлена рассеянием на структуре и поглощением материала. При рассмотрении оптических свойств пористых стекол в видимой области спектра и ближнем ИК-диапазоне поглощением в образцах можно пренебречь ввиду малости этой величины, а эффективные оптические постоянные образцов определяются только ослаблением излучения за счет рассеяния на пористой структуре и ее неоднородностях.
Уменьшение интенсивности света при его прохождении через нанопористое стекло и определение среднего размера неоднородностей
Рассмотрим плоскопараллельную пластину нанопористого стекла толщины h . Согласно (6)–(7),
уравнение диффузии излучения и граничные условия к нему имеют вид
d 2Q dx 2
3a sQ
0
;
(8)
Q
1 2 s
dQ
dx
x0
2Qe ,
Q
1 2 s
dQ dx
xh
.
Интегрируя (8) с использованием (9), получаем
(9)
106
Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, 2011, № 2 (72)
А.В. Альфимов, Е.М. Арысланова, Д.Н. Вавулин и др.
Q Achx Bshx,
(10)
где
A
1
sh 2
ch sh 2ch
2Qe
,
B
1
ch 2
sh
sh 2ch
2Qe
,
h
3a s ,
0,5 s .
Зная величину Q , можно определить интенсивность излучения, распространяющегося под углом ,
I
1 4
Q
cos
s
dQ dx
(11)
и суммарную интенсивность излучения, распространяющегося в положительном направлении вдоль оси x ,
/2
Q 2 I sind .
0
Используя
(10)–(11),
рассчитаем коэффициент пропускания
T
Q h Q 0
пластины нанопористого стекла:
T 1 .
sh h 3as
s 3a
ch
h
3 a s
(12)
Поскольку характерный размер D неоднородности рассматриваемой среды мал по сравнению с длиной волны падающего света, предполагаем, что рассеяние имеет релеевский характер, а коэффициент
рассеяния обратно пропорционален четвертой
степени длины
волны
падающего света,
s
A 4
. Коэф-
фициент A и спектральная зависимость коэффициента поглощения a подобраны так, чтобы обеспе-
чить наилучшее согласование между теоретической и экспериментальной зависимостями коэффициента пропускания от длины волны света (рисунок). Полученное при этом значение коэффициента A позволя-
ет приближенно оценить характерный размер неоднородности среды D ~ A1/ 3 . Расчетное значение D 13,5 нм близко к среднему размеру пор (17 нм) нанопористого стекла.
Рисунок. Экспериментальная и расчетная зависимости коэффициента пропускания, а также коэффициента поглощения нанопористого стекла от длины волны света: ■■■ коэффициент пропускания
(эксперимент); ▬▬ коэффициент пропускания (теория); −−− коэффициент поглощения
Заключение
В работе предложен простой метод оценки среднего размера малых неоднородностей поглощающих и рассеивающих сред. Метод основан на сравнении экспериментальной и теоретической зависимостей коэффициента пропускания среды от длины волны. Метод опробован на образце нанопористого стекла и дал удовлетворительные результаты.
Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, 2011, № 2 (72)
107
ДИФФУЗИЯ СВЕТА В СРЕДЕ С НАНОРАЗМЕРНЫМИ НЕОДНОРОДНОСТЯМИ
Литература
1. Ван де Хюлст. Рассеяние света малыми частицами. – М.: Издательство иностранной литературы, 1961.
2. Чандрасекар С. Перенос лучистой энергии. – М.: Издательство иностранной литературы, 1953. 3. Шифрин К.С. Рассеяние света в мутной среде. – М. –Л: ГИТТЛ, 1951. 4. Исимару А. Распространение и рассеяние волн в случайно-неоднородных средах. – М.: Мир, 1981. –
Т. 1. 5. Зельдович Я.Б., Райзер Ю.П. Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических яв-
лений. – М.: Наука, 1966. 6. Schartl W. Light scattering from polymer solutions and nanoparticle dispersions. – Springer Laboratory,
2007. – 191 р. 7. Маслов В.П. Операторные методы. – M.: Наука, 1973. 8. Андреева О.В., Обыкновенная Е.И. Нанопористые матрицы – основа композитов различного назна-
чения для оптических экспериментов // Труды Научно-исследовательского центра фотоники и оптоинформатики: сборник статей / Под редакцией И.П. Гурова и С.А. Козлова. – СПб: СПбГУ ИТМО, 2009. – С. 303–322. 9. Андреева О.В., Обыкновенная И.Е. Нанопористые матрицы НПС-7 и НПС-17 – возможность использования в оптическом эксперименте. Наносистемы: физика, химия, математика. – 2010. – Т. 1. – № 1. – С. 37–53.
Альфимов Антон Владимирович
– Санкт-Петербургский государственный университет информационных
технологий, механики и оптики, студент, Alfimov.anton@gmail.com
Арысланова Елизавета Михайловна – Санкт-Петербургский государственный университет информационных
технологий, механики и оптики, студент, Elizabeth.aryslanova@gmail.com
Вавулин Дмитрий Николаевич
– Санкт-Петербургский государственный университет информационных
технологий, механики и оптики, студент, dima-vavulin@mail.ru
Андреева Ольга Владимировна
– Санкт-Петербургский государственный университет информационных
технологий, механики и оптики, кандидат физ.-мат. наук, старший науч-
ный сотрудник, olga_andreeva@mail.ru
Темнова Дарья Дмитриевна
– Санкт-Петербургский государственный университет информационных
технологий, механики и оптики, студент, daren-ok@bk.ru
Лесничий Василий Валерьевич
– Санкт-Петербургский государственный университет информационных
технологий, механики и оптики, студент, kpnk@yandex.ru
Альмяшев Вячеслав Исхакович
– Санкт-Петербургский государственный технологический институт (тех-
нический университет), ассистент, vac@mail.ru
Кириллова Светлана Анатольевна – Санкт-Петербургский государственный технологический институт (тех-
нический университет), ассистент, refractory-sveta@mail.ru
Чивилихин Сергей Анатольевич
– Санкт-Петербургский государственный университет информационных
технологий, механики и оптики, кандидат физ.-мат. наук, доцент, ser-
gey.chivilikhin@gmail.com
Попов Игорь Юрьевич
– Санкт-Петербургский государственный университет информационных
технологий, механики и оптики, доктор физ.-мат. наук, профессор, зав.
кафедрой, popov@mail.ifmo.ru
Гусаров Виктор Владимирович
– Санкт-Петербургский государственный технологический институт (тех-
нический университет), доктор химических наук, профессор, член-
корреспондент РАН, зав. кафедрой, victor.v.gusarov@gmail.com
108
Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, 2011, № 2 (72)
УДК 535.361.1
ДИФФУЗИЯ СВЕТА В СРЕДЕ С НАНОРАЗМЕРНЫМИ НЕОДНОРОДНОСТЯМИ
А.В. Альфимов, Е.М. Арысланова, Д.Н. Вавулин, О.В. Андреева, Д.Д. Темнова, В.В. Лесничий, В.И. Альмяшев, С.А. Кириллова, С.А. Чивилихин, И.Ю. Пoпoв, В.В. Гусаров
Предложен метод определения характерного размера наночастиц или других наноразмерных неоднородностей, основанный на сравнении экспериментальной и теоретической спектральной зависимости коэффициента ослабления света при его прохождении через неоднородную среду. Одним из возможных применений такого метода является анализ размеров наночастиц, получаемых в процессе гидротермального синтеза. В настоящей работе в качестве модельной среды выбрано пористое стекло с известным средним размером пор. Ключевые слова: рассеяние света, диффузионное приближение, наночастицы, гидротермальный синтез, пористое стекло.
Введение
Описание распространения света в рассеивающих и поглощающих средах привлекает внимание многих исследователей [1–6]. Это связано как с широкой распространенностью такого рода систем, так и с их практической важностью.
Рассеяние света широко используется для определения размеров, морфологии и концентрации взвесей наночастиц в жидкости. Определение размеров и морфологии частиц позволяет, например, создавать современные биомолекулярные сенсоры, устройства контроля окружающей среды и т.д. В настоящей работе предложен метод оценки характерных размеров неоднородностей наноструктурированных сред, апробированный на примере нанопористого стекла.
Диффузия света в рассеивающей и поглощающей среде
Рассмотрим распространение света в случайно-неоднородной поглощающей и рассеивающей среде в предположении, что длина волны света много больше характерного размера неоднородностей [4]. Уравнение переноса излучения в этом случае имеет вид
ΩI
( a
s )I
a 4
Id ,
(1)
где I – интенсивность излучения; Ω – единичный вектор в направлении луча; a и s – коэффициенты
поглощения и рассеяния среды (которые считаются постоянными); d – элемент телесного угла. Вели-
чина (a s )1 представляет собой характерный пространственный масштаб изменения интенсивности
излучения. Будем считать, что эта величина мала по сравнению с характерными размерами рассматри-
ваемой системы. Получим в этом предположении уравнение диффузии изучения. Введем суммарную
интенсивность излучения, падающего на данный элемент среды,
Q Id ,
и применим к (1) преобразование Фурье. Тогда имеем:
(2)
ikΩIk
( a
s )Ik
a 4
Qk
,
где Ik Ieikxd 3x . Отсюда
Ik
a 4
a
Qk s ikΩ
.
(3)
Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, 2011, № 2 (72)
105
ДИФФУЗИЯ СВЕТА В СРЕДЕ С НАНОРАЗМЕРНЫМИ НЕОДНОРОДНОСТЯМИ
Интегрируя (3) по телесному углу и используя (2), получаем
Qk
a 4
Qk
a
d s
ikΩ
,
или
1
s k
arctg
a
k s
Qk
0,
(4)
где k k . Выражение (4) представляет собой Фурье-представление псевдодифференциального уравне-
ния [7] для величины Q . В коротковолновом приближении k 1 это уравнение приобретает вид a s
1
k 2s
3a a s 2
Qk
0.
(5)
Ограничимся рассмотрением сред, в которых коэффициент рассеяния s существенно превышает
коэффициент поглощения a . Тогда, переводя (5) в координатное представление, получаем уравнение
диффузии излучения [4]
3a s Q 0 .
(6)
В тех же предположениях может быть получено граничное условие к уравнению (6)
Q
1 2 s
Q n
2Qe ,
(7)
где
n
– производная вдоль внешней нормали к границе области; Qe
– суммарная интенсивность излу-
чения, падающая снаружи на границу области.
Нанопористые стекла
В качестве модельного объекта для экспериментальных исследований был взят образец пористого стекла НПС-17 в виде полированного диска диаметром 15 мм и толщиной 1 мм со средним размером пор 17 нм и относительным объемом пор 58%.
Перед проведением измерений поры были заполнены водой. Для этого образец был погружен на сутки в дистиллированную воду. Измерения проводились на стандартном спектрофотометре Evolution300. Результаты измерения зависимости коэффициента пропускания образца от длины волны падающего света приведены на рисунке.
Нанопористые матрицы на основе силикатного стекла представляют собой совершенно особый, в своем роде уникальный, инструмент исследования физико-химических процессов в ограниченном объеме, соизмеримом с масштабом протекания процессов и размерами изучаемых объектов: ограниченность пространства и эффективный контакт со стенками пор обусловливают существенные особенности состояния вещества-наполнителя по сравнению со случаем его нахождения в свободном объеме.
Применение нанопористых стекол в настоящее время, главным образом, связано с прозрачностью таких стекол в видимой области спектра и возможностью получения образцов оптического качества [8, 9]. Оптическая плотность образцов в ближней УФ области спектра обусловлена рассеянием на структуре и поглощением материала. При рассмотрении оптических свойств пористых стекол в видимой области спектра и ближнем ИК-диапазоне поглощением в образцах можно пренебречь ввиду малости этой величины, а эффективные оптические постоянные образцов определяются только ослаблением излучения за счет рассеяния на пористой структуре и ее неоднородностях.
Уменьшение интенсивности света при его прохождении через нанопористое стекло и определение среднего размера неоднородностей
Рассмотрим плоскопараллельную пластину нанопористого стекла толщины h . Согласно (6)–(7),
уравнение диффузии излучения и граничные условия к нему имеют вид
d 2Q dx 2
3a sQ
0
;
(8)
Q
1 2 s
dQ
dx
x0
2Qe ,
Q
1 2 s
dQ dx
xh
.
Интегрируя (8) с использованием (9), получаем
(9)
106
Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, 2011, № 2 (72)
А.В. Альфимов, Е.М. Арысланова, Д.Н. Вавулин и др.
Q Achx Bshx,
(10)
где
A
1
sh 2
ch sh 2ch
2Qe
,
B
1
ch 2
sh
sh 2ch
2Qe
,
h
3a s ,
0,5 s .
Зная величину Q , можно определить интенсивность излучения, распространяющегося под углом ,
I
1 4
Q
cos
s
dQ dx
(11)
и суммарную интенсивность излучения, распространяющегося в положительном направлении вдоль оси x ,
/2
Q 2 I sind .
0
Используя
(10)–(11),
рассчитаем коэффициент пропускания
T
Q h Q 0
пластины нанопористого стекла:
T 1 .
sh h 3as
s 3a
ch
h
3 a s
(12)
Поскольку характерный размер D неоднородности рассматриваемой среды мал по сравнению с длиной волны падающего света, предполагаем, что рассеяние имеет релеевский характер, а коэффициент
рассеяния обратно пропорционален четвертой
степени длины
волны
падающего света,
s
A 4
. Коэф-
фициент A и спектральная зависимость коэффициента поглощения a подобраны так, чтобы обеспе-
чить наилучшее согласование между теоретической и экспериментальной зависимостями коэффициента пропускания от длины волны света (рисунок). Полученное при этом значение коэффициента A позволя-
ет приближенно оценить характерный размер неоднородности среды D ~ A1/ 3 . Расчетное значение D 13,5 нм близко к среднему размеру пор (17 нм) нанопористого стекла.
Рисунок. Экспериментальная и расчетная зависимости коэффициента пропускания, а также коэффициента поглощения нанопористого стекла от длины волны света: ■■■ коэффициент пропускания
(эксперимент); ▬▬ коэффициент пропускания (теория); −−− коэффициент поглощения
Заключение
В работе предложен простой метод оценки среднего размера малых неоднородностей поглощающих и рассеивающих сред. Метод основан на сравнении экспериментальной и теоретической зависимостей коэффициента пропускания среды от длины волны. Метод опробован на образце нанопористого стекла и дал удовлетворительные результаты.
Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, 2011, № 2 (72)
107
ДИФФУЗИЯ СВЕТА В СРЕДЕ С НАНОРАЗМЕРНЫМИ НЕОДНОРОДНОСТЯМИ
Литература
1. Ван де Хюлст. Рассеяние света малыми частицами. – М.: Издательство иностранной литературы, 1961.
2. Чандрасекар С. Перенос лучистой энергии. – М.: Издательство иностранной литературы, 1953. 3. Шифрин К.С. Рассеяние света в мутной среде. – М. –Л: ГИТТЛ, 1951. 4. Исимару А. Распространение и рассеяние волн в случайно-неоднородных средах. – М.: Мир, 1981. –
Т. 1. 5. Зельдович Я.Б., Райзер Ю.П. Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических яв-
лений. – М.: Наука, 1966. 6. Schartl W. Light scattering from polymer solutions and nanoparticle dispersions. – Springer Laboratory,
2007. – 191 р. 7. Маслов В.П. Операторные методы. – M.: Наука, 1973. 8. Андреева О.В., Обыкновенная Е.И. Нанопористые матрицы – основа композитов различного назна-
чения для оптических экспериментов // Труды Научно-исследовательского центра фотоники и оптоинформатики: сборник статей / Под редакцией И.П. Гурова и С.А. Козлова. – СПб: СПбГУ ИТМО, 2009. – С. 303–322. 9. Андреева О.В., Обыкновенная И.Е. Нанопористые матрицы НПС-7 и НПС-17 – возможность использования в оптическом эксперименте. Наносистемы: физика, химия, математика. – 2010. – Т. 1. – № 1. – С. 37–53.
Альфимов Антон Владимирович
– Санкт-Петербургский государственный университет информационных
технологий, механики и оптики, студент, Alfimov.anton@gmail.com
Арысланова Елизавета Михайловна – Санкт-Петербургский государственный университет информационных
технологий, механики и оптики, студент, Elizabeth.aryslanova@gmail.com
Вавулин Дмитрий Николаевич
– Санкт-Петербургский государственный университет информационных
технологий, механики и оптики, студент, dima-vavulin@mail.ru
Андреева Ольга Владимировна
– Санкт-Петербургский государственный университет информационных
технологий, механики и оптики, кандидат физ.-мат. наук, старший науч-
ный сотрудник, olga_andreeva@mail.ru
Темнова Дарья Дмитриевна
– Санкт-Петербургский государственный университет информационных
технологий, механики и оптики, студент, daren-ok@bk.ru
Лесничий Василий Валерьевич
– Санкт-Петербургский государственный университет информационных
технологий, механики и оптики, студент, kpnk@yandex.ru
Альмяшев Вячеслав Исхакович
– Санкт-Петербургский государственный технологический институт (тех-
нический университет), ассистент, vac@mail.ru
Кириллова Светлана Анатольевна – Санкт-Петербургский государственный технологический институт (тех-
нический университет), ассистент, refractory-sveta@mail.ru
Чивилихин Сергей Анатольевич
– Санкт-Петербургский государственный университет информационных
технологий, механики и оптики, кандидат физ.-мат. наук, доцент, ser-
gey.chivilikhin@gmail.com
Попов Игорь Юрьевич
– Санкт-Петербургский государственный университет информационных
технологий, механики и оптики, доктор физ.-мат. наук, профессор, зав.
кафедрой, popov@mail.ifmo.ru
Гусаров Виктор Владимирович
– Санкт-Петербургский государственный технологический институт (тех-
нический университет), доктор химических наук, профессор, член-
корреспондент РАН, зав. кафедрой, victor.v.gusarov@gmail.com
108
Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, 2011, № 2 (72)