Например, Бобцов

ДИФРАКЦИЯ ОДНОПЕРИОДНЫХ ТЕРАГЕРЦОВЫХ ВОЛН С ГАУССОВЫМ ПОПЕРЕЧНЫМ РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ

ДИФРАКЦИЯ ОДНОПЕРИОДНЫХ ТЕРАГЕРЦОВЫХ ВОЛН...

2 ФОТОНИКА И ОПТОИНФОРМАТИКА

УДК 535.4
ДИФРАКЦИЯ ОДНОПЕРИОДНЫХ ТЕРАГЕРЦОВЫХ ВОЛН С ГАУССОВЫМ ПОПЕРЕЧНЫМ РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ
А.А. Езерская, Д.В. Иванов, В.Г. Беспалов, С.А. Козлов

Получены аналитические выражения для пространственного распределения временных спектров терагерцовых волн из всего одного полного колебания на эмиттере электромагнитного поля в областях дифракций Френеля и Фраунгофера и для пространственно-временного распределения их поля в области дифракции Фраунгофера. Показано, что для терагерцовой волны с гауссовым поперечным распределением в дальней зоне дифракции происходят изменения не только пространственной, но и временной структуры излучения: из однопериодной в дальней зоне дифракции вблизи оси волна становится полуторапериодной, а ее спектр смещается в область высоких частот. Приведены оценки расстояний до характерных областей дифракции. Ключевые слова: терагерцовое излучение, параксиальный, дифракция Френеля, дифракция Фраунгофера.

Введение

Терагерцовое электромагнитное излучение является пограничным между радиоволнами и оптическим излучением. Для радиофизиков это субмиллиметровые радиоволны, для оптиков – излучение дальнего инфракрасного диапазона спектра.
Исследования техники и физики терагерцового излучения начались давно [1], но с появлением новых высокоэффективных систем генерации и детектирования такого излучения [2, 3], а также в связи с проясняющимися перспективами его широкого применения [4, 5] интерес к этим исследованиям в последние два десятилетия резко вырос.
Были найдены возможности получать терагерцовое излучение оптическими методами, например, с помощью фемтосекундных лазеров, используя явление фотопроводимости полупроводников [6]. Излучение при этом имеет вид всплеска электромагнитного поля, представляющего собой лишь одно его полное колебание (рис. 1). Такие импульсы часто называют однопериодными. В настоящей работе рассмотрены особенности дифракции таких предельно коротких по числу колебаний терагерцовых волн для частного, но важного на практике случая, – их параксиального распространения в однородных изотропных прозрачных диэлектрических средах.

Динамика полей и спектров однопериодных терагерцовых волн в диэлектрических средах

Параксиальная дифракция однопериодного терагерцового излучения изучалась и ранее [7, 8]. В значительном числе работ анализ динамики поля широкополосного излучения проводился методами численного моделирования. Обычно рассчитывался интеграл Френеля–Кирхгофа или его модификации [7]. В работе [8] для гауссовых волновых пакетов получены аналитические выражения для поля волны на оси пучка. В данной работе получены аналитические выражения для общего пространственного распределения временных спектров однопериодных в плоскости источников волн в областях дифракции Френеля и Фраунгофера и для пространственно-временного распределения их поля в области дифракции Фраунгофера.
Дифракционная динамика декартовых компонент пространственно-временного спектра



        gx,y,z kx ,ky , ,z 

Ex,y,z  x, y,t, z  exp i kx x  ky y  t xdydt

(1)

  

с пространственной и временной частотами k x , ky и  проекций на декартовы оси вектора Ex,z,y элек-

трического поля E оптической волны, распространяющейся вдоль оси z (выделенность этого направле-

ния в области пространства, где анализируется эволюция поля электромагнитного излучения, формали-

зуется асимптотическими требованиями

Ex, y,z x

0,

Ex, y,z y

0,

Ex,y,z  0

при

x, y   ) в однород-

ной, изотропной диэлектрической среде с дисперсией показателя преломления n  , описывается соот-

ношениями [9]


     

g

x, y

kx , ky , , z

 Cx,y

kx , ky ,  exp i

k2



k

2 x



k

2 y



z



   
   gz


kx , ky , , z

 kxCx

kx ,ky ,  kyCy kx, ky ,

k2



k

2 x



k

2 y

 exp i

k2



kx2



k

2 y



z

,

(2)

10 Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета
информационных технологий, механики и оптики, 2011, № 1 (71)

А.А. Езерская, Д.В. Иванов, В.Г. Беспалов, С.А. Козлов

где

k



 c

n





,

c

– скорость света в вакууме. В (2)

Cx

и

Cy

− компоненты пространственно-временного

спектра излучения в плоскости z  0 , которые предполагаются известными. Отметим, что в однородных

изотропных диэлектриках электрическое поле оптической волны характеризуется нулевой дивергенцией

E  0 , и граничное условие для z -компоненты спектра, как видно из (2), не произвольно, а связано с

Cx и Cy .

Динамика электрического поля оптической волны по известному решению для спектра (2) опреде-

ляется преобразованием Фурье

          Ex,y,z

x, y,t, z



1 2

3


gx, y,z
  

kx , ky , , z

exp i kx x  ky y  t

dkxdky d .

(3)

Соотношения (1)(3) описывают дифракционно-дисперсионную эволюцию в диэлектрических средах пространственно-временных спектров и полей оптических волн, у которых как пространствен-

ный, так и временной спектры могут быть сверхуширенными, т.е. волн, поперечные размеры которых

сопоставимы с центральной длиной волны, а длительность – с центральным периодом колебаний.

Далее в работе ограничимся анализом распространения излучения с широким только временным

спектром. Будем рассматривать параксиальное излучение, т.е. волны, пространственный спектр которых

узок:

     k

2 x

,

k

2 y



2 c2

n2  .

(4)

     В неравенстве (4)

k

2 x

,

k

2 y

,

2

 значения квадратов пространственных и временных частот

области пространственно-временного спектра, в которой находится практически вся энергия волнового пакета.
Тогда, как следует из (2), наличием продольной компоненты поля волнового пакета можно пренебречь, а выражения для спектров поперечных компонент его поля записать в более простом виде:

   gx,y

kx , ky , , z

 Cx,y

kx , ky , 

exp

 

ikz

 1



k

2 x



k

2 y

2k 2

 

 

.

(5)

Рассмотрение особенностей дифракционной динамики полей и спектров параксиальных волн из

малого числа колебаний в диэлектрических средах в настоящей работе проведем для гауссова гранично-
го (при z = 0) поперечного пространственного распределения ее поля. Такие условия близки, например,

полю эмиттеров терагерцового излучения в виде фотопроводников, поверхности которых облучаются

импульсами мощных фемтосекундных лазеров инфракрасного диапазона спектра [5, 6].
Пусть излучение линейно поляризовано вдоль оси x, и его спектр при z = 0 имеет вид

   Cx

kx,ky ,



2

exp

 



2



kx2



k

2 y

4



 

G0





.

(6)

Другими словами, поле осесимметрично и представляется на поверхности эмиттера соотношением

Ex

 x,

y, t 



exp

 





x2  2

y2

  

F0

t

,

(7)

где  − поперечный размер распределения поля волны; F0 t  – ее временной профиль, который пока не

конкретизируется; G0  − преобразование Фурье от F0 t  .
Тогда в соответствии с (5) пространственно-временной спектр волны на произвольном расстоянии
z описывается соотношением

   g

kx , ky , , z



2

exp

 



2



K

2 x



k

2 y

4



1



i

2

2cz
n  



 

  



exp

  

i

n




c

z

  



G0





,

(8)

а рассчитываемое по формуле (3) с учетом соотношения (8) дифракционно-дисперсионное расплывание

ее поля может быть представлено в виде

E



x,

y,

t,

z





1 2





G



x,

y,

,

z



exp it



d

,

где пространственная зависимость временного спектра излучения имеет вид

(9)

Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, 2011, № 1 (71)

11

ДИФРАКЦИЯ ОДНОПЕРИОДНЫХ ТЕРАГЕРЦОВЫХ ВОЛН...

G



x,

y, ,

z



1

1



 

i

2

2cz
n  



2cz 2
2n   





exp

 









x2  2

y2

1



1



 

i

2

2cz
n  



2cz 2
2n   





 

exp

 

i







n   z
c

 

G0





.

(10)

В соотношениях (8)(10) и далее индекс x , означающий, что рассматривается излучение, линейно поляризованное вдоль оси x , для упрощения записи опускается.

Отметим, что в выражениях (8) и (10) показатель преломления n  может быть комплексным

n   n   i  , поэтому эти соотношения описывают дифракционную динамику спектров излуче-

ния не только в прозрачных средах с дисперсией показателя преломления, но и в поглощающих средах с
дисперсией коэффициента поглощения   . В данной работе ниже среды будем полагать прозрачными

с   0 .

Из (8) и (9) ясна важность оценки характерных расстояний

 z1



2 2c

n   min ,

(11)

 z2



2 2c

n   max .

(12)

Здесь

  n   min max



минимальное

и

максимальное

значения

величины

n   

из

диапазона

час-

тот, в котором находится практическая часть энергии излучения. При

zz1 (13)

соотношения (8)(9) принимают вид

   g

kx , ky , , z



2

exp

 

2



kx2



k

2 y

4

  



exp

  

i

n




c

z

  



G0





,

(14)

E



x,

y,t,

z



exp

 





x2  2

y2

 





1 2


G0






exp

 

i 

t



n  
c

z



 



d.

(15)

Неравенство (13) обычно называется приближением тени [10]. Оно соответствует расстояниям
вблизи поверхности эмиттера излучения. Как видно из (14)(15), при малых z изменения поперечного

распределения поля еще не происходит, но следует учитывать изменение фазы волны (и ее поглощение)

на пройденном волновым пакетом расстоянии. При

z z2

(16)

соотношение (10) принимает вид







G



x,

y,

,

z





i

2 n  
2cz





exp

     



 

x2  y2
2cz
n  

2 

     

exp

    



 

x2  y2
2cz
n   

 

    

exp

  

i

n


c

z

  

 G0



.

(17)

Неравенство (16) определяет область дифракции Фраунгофера для всех спектральных компонент

излучения. Выражение (17) для каждой из этих компонент описывает хорошо известную из учебных

курсов [11] динамику гауссовых лазерных пучков в дальней зоне.

Приступим к анализу изменения временного профиля волнового пакета при его дифракционном

расплывании. Ограничимся при этом случаем диэлектрических сред, дисперсией которых можно пре-

небречь, и будем полагать n  n0  const . Для таких сред выражение для динамики спектра (17) мо-

жет быть переписано в виде

G(x,

y, ,

z)



iT



z







exp

 



T

2



z  2



x2  2

y2

  



exp

 

i

n0 c

  

z



x2  y2 2z



 



 G0



,

где

T

z



2 n0 2c



1 z

,

а

его

преобразование

Фурье

(9)

представлено

как

соотношение

(18)

12 Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета
информационных технологий, механики и оптики, 2011, № 1 (71)

А.А. Езерская, Д.В. Иванов, В.Г. Беспалов, С.А. Козлов

E



x,

y, t ,

z



1 2


T




z



exp

 

T



2



z  2



x2  2

y2

 



iG0



 exp itd

,

где «запаздывающее» вследствие кривизны сферического волнового фронта время

(19)

t



t



n0 c

  

z



x2  y2 2z

  

.

(20)

Из соотношения (19) следует, что временной спектр поля излучения в новых переменных
x, y,t, z имеет вид

G  x,

y, ,

z



T



z



exp

 

T



2



z  2



x2  2

y2

 



iG0





.

(21)

На оси волнового пакета при x  0 , y  0 выражение для спектра (21) принимает простой вид

G 0, 0, , z  T  z iG0  ,

(22)

из которого следует, что временная структура поля на оси пучка при любой форме импульса на границе

среды E0 t   0 в дальней зоне дифракции определяется ее производной [12]

E



0,

0,

t

,

z





T



z



E0 t
t 



(23)

Как видно из (21) и (22), временной спектр поля излучения в области дифракции Фраунгофера при

малых x и y смещен по сравнению со спектром на входе в среду G0  в высокочастотную область;

при больших x и y – в низкочастотную область. Закон сохранения общей энергии излучения

 

 

G(x, y, , z) 2 dxdyd 

 

 

G(x, y, , 0) 2 dxdyd

(24)

 

 

для зависимости (21) при этом, как легко проверить, соблюдается (интеграл (24) от координаты z не

зависит).

Временную эволюцию поля волнового пакета в дальней зоне дифракции проиллюстрируем для

однопериодной на границе волны вида (рис. 1, а)

E t 



E0

t 

exp

 





t2 2

  

,

(25)

которая хорошо аппроксимирует терагерцовое излучение фотопроводящих полупроводниковых эмиттеров, облучаемых импульсами фемтосекундных лазеров [7, 13]. Волна (25) имеет спектр (рис. 1, б)

G0   

 2

2 E0iexp

 



 

 2

2 

 

.

(26)

пс
а) б)
Рис. 1. Нормированные зависимости электрического поля E от времени t (а) и модуля спектра G от нормированной частоты  0 (б) на эмиттере терагерцовой электромагнитной волны
Преобразование Фурье (9) от (21) с учетом конкретного вида спектра излучения эмиттера (26) выполняется в элементарных функциях, и

Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, 2011, № 1 (71)

13

ДИФРАКЦИЯ ОДНОПЕРИОДНЫХ ТЕРАГЕРЦОВЫХ ВОЛН...

E



x,

y, t,

z





E0



A3



x,

y,

z

T

z




1 



2

 

A

x,

y,

z



t 

2 

  



exp

  



 

A



x,

y,

z

t 

 

  

,

(27)

где A x, y, z 

1

1



  

2T 


z



2  



x2

 2

y2

,

T z 

n02 2cz

, а «запаздывающее» время

t

определяется соотно-

шением (20). Вблизи оси пучка при

x2



y2



2 4T 2

2
z





2 z2

,

(28)

где





c n0

,

выражение для поля (27) упрощается и принимает вид

(29)

E

t,

z



E0

T

z




1  

2

 

t 

2 

  

exp

 



 

t 

2 

 

,

(30)

которое, как отмечено выше, есть умноженная на T  z  производная поля на эмиттере излучения E0 t  .

Оценки расстояний до характерных областей дифракции и изменений пространственно-временных параметров однопериодной терагерцовой волны

Проведем оценку характерных дифракционных расстояний для однопериодной на эмиттере терагерцовой волны (27) с гауссовым поперечным распределением (7), полагая длительность волнового пакета   0, 2 пс , а его поперечные размеры –   3 мм . Временной профиль такой волны и ее спектр при-

ведены на рис. 1. Из рисунка видно, что основная часть энергии излучения лежит в интервале частот от νmin = 0,1 ТГц до νmax = 3,5 ТГц.
На расстоянии, в несколько раз меньшем z1  10 мм (11), для рассматриваемого волнового пакета
выполняется приближение тени (13) и изменение его пространственно-временной структуры еще не
происходит. На расстоянии, в несколько раз большем z2  35 см (12), реализуется дифракция Фраунго-
фера и терагерцовое излучение принимает вид сферической волны (27). Поперечный размер светового

пятна в этой зоне дифракции увеличивается в

 2T

раз и, например, на расстоянии в 1 м становится рав-

ным 10 см. В углах, в несколько раз меньших  = 0,1 (29), зависимостью поля от поперечной координа-

ты можно пренебречь и его временной профиль принимает вид (30). На рис. 2 приведены этот временной

профиль (а) и его спектр (б), пунктиром даны временной профиль и спектр на эмиттере при z  0 . Из

рисунка видно, что из однопериодной в дальней зоне дифракции вблизи оси волна становится полутора-

периодной, а ее спектр смещается в область высоких частот.

пс
а) б)
Рис. 2. Нормированные зависимости электрического поля E от времени t (а) и модуля спектра G от нормированной частоты  0 терагерцовой волны (б) в зоне дифракции Фраунгофера вблизи оси
волнового пакета. Пунктиром показаны эти зависимости на эмиттере
14 Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета
информационных технологий, механики и оптики, 2011, № 1 (71)

А.А. Езерская, Д.В. Иванов, В.Г. Беспалов, С.А. Козлов
Иллюстрации пространственно-временной структуры дифрагировавшей терагерцовой волны
На рис. 3 продемонстрированы плоскостные изображения поля волнового пакета с гауссовым в плоскости источника поперечным распределением в ближней и дальней зоне дифракции. Светло-серым участкам изображения соответствуют максимальные положительные значения поля, темно-серым – максимальные отрицательные значения. Как видно из рисунка, в дальней зоне однопериодная волна превращается в полуторапериодную, вблизи оптической оси максимум частоты сдвигается в область высоких частот, однако по мере удаления от оптической оси наблюдается обратная динамика – сдвиг спектра в область низких частот. Волновой фронт пучка в дальней зоне уширяется и становится сферическим.

пс а

пс б

пс в

пс г

пс д

пс е

пс ж

Рис. 3. Пространственно-временная эволюция электрического поля терагерцового излучения с гауссовым
поперечным распределением и входными пространственно-временными параметрами 0  0, 3 мм,
  100 ,   0, 2 пс по мере распространения в воздухе на расстояниях: а) 0; б) 40 мм; в) 75 мм; г) 125 мм;
д) 200 мм; е) 300 мм; ж) 400 мм

Заключение

В работе показано, что по мере дифракционного распространения параксиального терагерцового волнового пакета происходят изменения не только пространственной, но и временной структуры излучения: для любой временной зависимости электрического поля вблизи оптической оси на эмиттере электрическое поле вблизи оси в дальней зоне дифракции определяется ее производной. В частности, однопериодная терагерцовая волна в зоне дифракции Фраунгофера превращается в полуторапериодную, а ее спектр вблизи оптической оси смещается в область высоких частот, в то время как по мере удаления от оси наблюдается смещение в противоположном направлении – в область частот ниже исходной центральной частоты импульса в плоскости источника.
Работа поддержана грантами НШ-5707.2010.2, РНП 2.1.1/4923, ФЦП «Научные и научнопедагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы ГК № П872.

Литература

1. Волков А.А., Горшунов Б.П., Козлов Г.В. Динамические свойства проводящих материалов // Труды ИОФАН. – М.: Наука, 1990. – Т. 25. – С. 112–161.
2. Беспалов В.Г. Сверхширокополосное импульсное излучение в терагерцовой области спектра: получение и применение // Оптический журнал. – 2006. – Т. 73. – № 11. – С. 28–37.

Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, 2011, № 1 (71)

15

О ДВИЖЕНИИ ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ И ДИСПЕРСИОННОМ РАСПЛЫВАНИИ...

3. Lee Y.-S. Principles of Terahertz Science and Technology. Corvalis: Springer Science+Business Media, 2009. – 347 p.
4. Fitzgerald A. J., Cole B. E., Taday P. F. Nondestructive analysis of tablet coating thicknesses using terahertz pulsed imaging. J. Pharm. Sci. – 2006. – V. 94. – № 1. – Р. 177–183.
5. Zhang X.-C., Xu J. Introduction to THz wave photonics.−N.Y.: Springer Science+Business Media, 2010. – 246 p.
6. Крюков П.Г. Фемтосекундные импульсы. Введение в новую область лазерной физики. – М.: Физматлит, 2008. – 208 с.
7. Gürtler A., Winnewisser C., Helm H., Jepsen P.U. Terahertz pulse propagation in the near field and the far field // JOSA A. – 2000. – V. 17 – № 1. – P. 74–83.
8. Kaplan A.E. Diffraction-induced transformation of near-cycle and subcycle pulses // JOSA B. – 1998. – V.15 – № 3. – P. 951–956.
9. Козлов С.А., Самарцев В.В. Основы фемтосекундной оптики. – М.: Физматлит, 2009. – 292 с. 10. Литвиненко О.Н. Основы радиофизики. – Киев: Техника, 1974. – 208 с. 11. Бутиков Е.И. Оптика. – М.: Высш. шк., 1986. –512 с. 12. Гудмен Дж. Введение в Фурье-оптику. – М.: Мир, 1970. – 346 с. 13. Greene B.I., Saeta P.N., Douglas R.D., Schmitt-Rink S., Chuang S.L. Far-infrared light generation at semi-
conductor surfaces and its spectroscopic applications // IEEE J. Quant. Electron. – 1992. – V.28. – № 10. – P. 2302–2312.

Езерская Анна Александровна Иванов Дмитрий Владимирович Беспалов Виктор Георгиевич
Козлов Сергей Аркадьевич

– Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, студент, a.a.ezerskaya@gmail.com
– Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, студент, dmitry.haxpeha@gmail.com
– Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, доктор физ.-мат. наук, профессор, victorbespaloff@gmail.com
– Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, доктор физ.-мат. наук, профессор, декан, kozlov@mail.ifmo.ru

16 Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета
информационных технологий, механики и оптики, 2011, № 1 (71)