УПРАВЛЕНИЕ ПО ВЫХОДУ ЛИНЕЙНЫМ ПАРАМЕТРИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛЕННЫМ ОБЪЕКТОМ В УСЛОВИЯХ ВОЗМУЩАЮЩИХ ВОЗДЕЙСТВИЙ И НЕУЧТЕННОЙ ДИНАМИКИ
А.А. Бобцов, С.В. Шаветов
УДК 681.51.015
УПРАВЛЕНИЕ ПО ВЫХОДУ ЛИНЕЙНЫМ ПАРАМЕТРИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛЕННЫМ ОБЪЕКТОМ В УСЛОВИЯХ ВОЗМУЩАЮЩИХ
ВОЗДЕЙСТВИЙ И НЕУЧТЕННОЙ ДИНАМИКИ
А.А. Бобцов, С.В. Шаветов
Статья является развитием исследования, опубликованного в [1]. В [1] был проведен анализ работоспособности метода последовательного компенсатора для стабилизации по выходу линейного параметрически неопределенного объекта, функционирующего в условиях неучтенной динамики. В этой работе рассматривается возможность использования метода последовательного компенсатора для компенсации возмущающего воздействия для линейного параметрически неопределенного объекта, функционирующего в условиях неучтенной динамики. Ключевые слова: управление по выходу, неучтенная динамика, компенсация возмущающих воздействий, параметрическая неопределенность.
Введение. Постановка задачи
Проблема анализа систем с неучтенной динамикой или сингулярными возмущениями является актуальной задачей современной теории автоматического управления. Например, описание объекта управления может содержать малоинерционные звенья, слабым влиянием которых на динамику основного процесса пренебрегают на этапе синтеза регулятора. Однако такого рода пренебрежение может пагубно сказаться на устойчивой работе системы управления. Данная статья является развитием результата, опубликованного в [1]. В [1] был проведен анализ работоспособности метода последовательного компенсатора (подробнее см., например, [2–4]) для стабилизации линейного объекта в условиях неучтенной асимптотически устойчивой динамики.
Были найдены условия, для которых алгоритм управления, построенный на базе метода последовательного компенсатора, переводит выходную переменную объекта в нулевое положение для любых начальных условий. Заметим, что задача анализа систем с неучтенной динамикой или сингулярными возмущениями не является новой, и ей посвящено достаточно большое число работ как российских, так и зарубежных ученых (см., например, [5 – 11]). Например, в обзоре [5] представлены основные результаты, полученные при исследованиях сингулярно возмущенных задач управления, начиная с 1982 г. В [5]
Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, 2011, № 1 (71)
33
УПРАВЛЕНИЕ ПО ВЫХОДУ ЛИНЕЙНЫМ ПАРАМЕТРИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛЕННЫМ...
достаточно кратко были проанализированы методы оптимального и H управления, подходы управле-
ния распределенными системами, итеративные процедуры, а также интересующие нас в большей мере
алгоритмы управления в условиях неопределенности и т.д. Также анализ и синтез методов адаптивного
управления в условиях неучтенной динамики был проведен в монографии [6]. Однако, насколько извест-
но авторам данной статьи, исследования методов адаптивного и робастного управления по выходу пара-
метрически неопределенными объектами с компенсацией возмущающих воздействий и в условиях неуч-
тенной динамики ранее не проводились.
В этой работе, в развитие [1], проводится анализ работоспособности метода последовательного
компенсатора для стабилизации по выходу линейного параметрически неопределенного объекта с ком-
пенсацией ограниченных возмущений. Рассмотрим линейный объект управления вида
1(t) A1(t) b (v(t) w(t)),
y(t)
cT
1
(t),
(1)
2 (t) F2 (t) qu(t), v(t) lT2 (t),
(2)
где 1(t) Rn – вектор переменных состояния системы (1); 2 (t) Rr – вектор переменных состояния системы (2); y(t) R – измеряемая выходная переменная объекта; функция v(t) R – не измеряется;
u(t) R – сигнал управления; A , F , b , c , q и l – матрицы и векторы соответствующей размерно-
сти с неизвестными коэффициентами; как и в [1, 6] будем полагать, что Fl q ; уравнение (2) представляет асимптотически устойчивую динамику (т.е. матрица F гурвицева), которая не учитывается при синтезе закона управления; число 0 определяет быстродействие системы (2); w(t) – ограниченное
возмущающее воздействие. Целью данной работы является синтез управляющего воздействия с использованием метода по-
следовательного компенсатора, парирующего влияние внешнего ограниченного возмущающего воздей-
ствия w(t) . Или иными словами, требуется найти функцию u(t) , для которой выходная переменная y(t)
сойдется в некоторую малую область и останется в ней.
Основной результат
Следуя [1], перепишем систему (1), (2) в форме вход–выход: a( p) y(t) b( p)(v(t) w(t)) ,
(3)
d ( p)v(t) c( p)u(t) ,
(4)
где p d / dt – оператор дифференцирования; измеряется выходная переменная y y(t) (но не ее про-
изводные); b( p) bm pm ... b1 p b0 , a( p) pn an1 pn1 ... a1 p a0 , d( p) dr pr dr1 pr1 ... d1 p d0 ,
c( p) d (0)
– полиномы с неизвестными параметрами;
m n 1 ; передаточная функция
b( p) a( p)
имеет
относительную степень n m ; полином b( p) гурвицев, коэффициент bm 0 .
Выберем закон управления следующим образом:
u (k )( p)1 ,
(5)
...12
2 , 3 ,
1 (k11 k22 ... k 1 1 k1 y),
(6)
где число k 0 и полином ( p) степени 1 выбираются так, чтобы передаточная функция
H
(
p)
a(
( p)
p)b( p) k( p)b(
p)
была строго вещественно положительной, положительный параметр
служит
для компенсации возмущающего воздействия w(t) , число k , а коэффициенты ki рассчитываются из требований асимптотической устойчивости системы (6) при нулевом входе y(t) . В отличие от [1], в
управление вида (5) добавлен дополнительный параметр .
34 Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета
информационных технологий, механики и оптики, 2011, № 1 (71)
А.А. Бобцов, С.В. Шаветов
Замечание 1. На практике расчет коэффициента k 0 , обеспечивающего выполнение условий
строгой вещественной положительности передаточной функции
H(
p)
a(
( p)
p)b( p) k( p)b(
p)
,
может быть
осуществлен в случае известных границ на коэффициенты полиномов a( p) и b( p) .
Как было доказано в [2], технически реализуемый алгоритм (5), (6) обеспечивает асимптотическую сходимость к нулю переменной y(t) в отсутствии возмущений и в случае 0 (т.е. при отсутст-
вии неучтенной динамики). При 0 и w(t) 0 в [1] были найдены аналитические условия примени-
мости закона управления (5), (6) для стабилизации объекта (1), (2). Однако случай компенсации возмущений для системы (1), (2) при 0 рассматривается впервые. Иными словами, требуется найти огра-
ничения на числа и , при которых для системы (1) – (6) выполнено целевое условие
y(t) при t t1 ,
где – некоторое, в общем случае малое, число.
Проведем ряд преобразований. Подставляя (5) в (4), получаем:
v
c( p) d( p)
((k
)(
p)1 )
(k
)(
p)
c( p) d( p)
1
(k
)(
p) yˆ
(k
)( p)( y
1 )
,
(7)
где
yˆ
c( p) d ( p) 1
и
1
y yˆ . Тогда для (3) имеем:
y
b( p) a( p)
(v
w)
(k
)
( p)b( p) a( p)
(y
1)
b( p) a( p)
w
(k
)
( p)b( p) a( p) k( p)b( p)
1
( p)b( p) a( p) k( p)b( p)
(t)
a(
( p)b( p) p) k( p)b( p)
y
,
(8)
где
(t)
1 ( p)
w(t)
.
Теперь представим модель вход–выход (8) в виде модели вход–состояние–выход x Ax (k )b1 b( y) ,
y cT x ,
(9) (10)
где x Rn – вектор переменных состояния модели (9); A , b , g и c – матрицы перехода от модели
вход–выход к модели вход–состояние–выход, причем в силу известной леммы Якубовича–Калмана
(см., например, [6, 7]) можно указать симметрическую положительно определенную матрицу P ,
удовлетворяющую двум следующим матричным уравнениям:
AT P PA Q1 , Pb c ,
(11)
где Q1 Q1T – некоторая положительно определенная матрица.
Перепишем (6) и (7) в векторно-матричной форме: ( dk1 y) , 1 hT ,
(12)
z Fz q1 , yˆ lT z ,
(13)
где R1 и z Rr – векторы переменных состояния моделей (12) и (13) соответственно; матрица
0 1 0 ... 0
0
0
0
1 ...
0
0
0
0
0 ...
0
– гурвицева в силу расчета коэффициентов
ki
модели (6),
d 0 ,
k1 k2 k3 ... k1
1
1
0
h 0 ; F , q и l – матрицы перехода от модели вход–выход к модели вход–состояние–выход, причем,
0
как уже допускалось ранее, следуя [1, 5], будем полагать, что Fl q .
Введем в рассмотрение векторы отклонений
Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, 2011, № 1 (71)
35
УПРАВЛЕНИЕ ПО ВЫХОДУ ЛИНЕЙНЫМ ПАРАМЕТРИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛЕННЫМ...
1 ly z ,
(14)
2 hy . Дифференцируя уравнения (14) и (15), получаем
(15)
1 ly 1Fz 1q1 ly 1F (ly 1) 1q( y 2 ) ly 1F1 1q2 ,
(16)
1 y yˆ lT1 , 2 hy ((hy 2 ) dk1 y) hy 2 (dk1 h) y hy 2 ,
(17) (18)
2 y 1 hT2 ,
(19)
где dk1 h и Fl q . Таким образом, имеем систему дифференциальных уравнений
x Ax (k )b1 b( y) , y cT x ,
(20)
1 ly 1F1 1q2 , 1 lT1 ,
(21)
2 hy 2 , 2 hT2 .
(22)
Положительно определенные матрицы R RT и N N T удовлетворяют уравнениям Ляпунова:
F T R RF Q2 ,
(23)
T N N Q3 ,
(24)
где Q2 Q2T и Q3 Q3T – положительно определенные матрицы. Условия работоспособности закона управления (5), (6) для стабилизации системы (1), (2),
(20)–(22) приведены в следующей теореме.
Теорема. Пусть для стабилизации системы (1), (2) используется закон управления (5), (6). Пусть
число k обеспечивает строгую вещественную положительность передаточной функ-
ции H ( p)
( p)b( p) a( p) k( p)b( p)
.
Пусть положительные числа
,
,
и
0
1
удовлетворяют
условиям
11TQ21 1k 2 (lT1 )2 (1T Rq)2 1 (1T Rl)2 (k )(1T RlcTb)2 (k )(lT1)2 (lT1)2 +
1(1T RlcTb)2 (1T RlcTb)2 1TQ1 0 ,
(25)
xTQ1x xT PbbT Px 2(cT Ax)2 xTQx 0 , ()
(26)
для всех x 0 и 1 0 .
Тогда для всех , удовлетворяющих неравенству
T2 Q32 2 (hT2 )2 1 (T2 Nh)2 (T2 NhcTb)2 1 (k )2 (T2 NhcTb)2 T2 Q2 0 , (27)
при 2 0 выполнено целевое условие y(t) при t t1 .
Доказательство теоремы приведено в Приложении.
Заключение
Рассмотрена задача компенсации внешнего ограниченного возмущающего воздействия с исполь-
зованием закона управления (5), (6) для линейной системы (1), (2). Показано, что алгоритм управления,
опубликованный в [2–4] при выполнении условий (25)–(27) может быть успешно применен для компен-
сации ограниченного возмущения для линейного параметрически неопределенного объекта функциони-
рующего в условиях неучтенной динамики. Очевидно, что условия (25) и (26) трудно проверить на прак-
тике. Однако авторы полагают, что данный результат может быть использован при решении конкретной
прикладной задачи, когда известны области изменения параметров. В этом случае неравенства (25)–(27)
будет проверить проще. Авторы также рассматривают данный результат как вспомогательный для реше-
ния задачи управления по выходу линейным объектом с неизвестными параметрами и относительной
степенью. Для иллюстрации этого предположения рассмотрим линейный объект управления вида
a( p) y(t) b( p)u(t) ,
(28)
где относительная степень min max неизвестна, но известны числа min и max . Целью управления
является стабилизация системы (28). Выберем закон управления вида (5), (6)
u k( p)1 ,
(29)
где 0 и 1 рассчитывается в соответствии с выражением (6), а полином ( p) имеет размерность
min . Если min , то регулятор вида (29), (6) не может гарантировать устойчивость замкнутой системы
(28), (29), (6). Добавим в закон управления (29) слагаемое
36 Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета
информационных технологий, механики и оптики, 2011, № 1 (71)
А.А. Бобцов, С.В. Шаветов
u
k(
p)
(T2 (T1
p p
1) 1)
1
,
(30)
где max min . Тогда при min обеспечивается устойчивость замкнутой системы (28), (29), (6) в
силу результатов, опубликованных в [2 – 4]. При max имеем
y(t)
b(
p)(T2 p 1) a( p)
v(t)
,
(31)
v(t)
(T1
1 p 1)
u(t)
,
(32)
где уравнение (32) представляет собой неучтенную динамику и управление можно выбирать в соответ-
ствии с уравнением (29).
При min max получаем
y(t)
b( p)(T2 p 1) a( p)(T1 p 1)1
v(t)
,
(33)
v(t)
(T1 p
1 1)1
u(t)
,
(34)
где 1 min , и уравнение (34) снова представляет собой неучтенную динамику. Легко видеть, что системы (31), (32) и (33), (34) аналогичны объекту (3), (4) при w(t) 0 . Также
легко видеть, что уравнение (4) можно рассматривать как некоторый аналог обобщенного апериодиче-
ского звена r -го порядка, а число является эквивалентом постоянной времени T1 апериодического
звена. Теперь вновь обратим внимание на неравенства (25)–(27). Очевидно, что в случае, когда параметры и можно варьировать, что, в свою очередь, для регулятора (30), (6) вполне реально, можно дать
следующие рекомендации:
а) параметр 1 , а, следовательно, T11 должен быть больше коэффициента k ;
б) параметр должен быть больше 1 , а, следовательно, и много больше T11 .
На практике, как показано в [2–4], можно настраивать коэффициент k по линейному закону до тех
пор, пока переменная y(t) не попадет в некоторую малую область, заданную разработчиком системы.
Параметры T11 и можно рассчитывать следующим образом: T11 k 2 и (T11)2 . Очевидно, что при таком расчете коэффициентов регулятора система может быть неустойчивой, но данная схема обеспечивает сходимость выходной переменной y(t) в некоторую малую область, заданную разработчиком сис-
темы. Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 09-08-00139).
Приложение. Доказательство теоремы
Рассмотрим функцию Ляпунова V xT Px 1T R1 T2 N 2 . Дифференцируя (П.1) по времени с учетом уравнений (20)–(22), получаем V xT ( AT P PA)x 2(k )xT PblT1 2xT Pby 2xT Pb
11T (F T R RF )1 211T RqhT2 21T RlcT Ax 2(k )1T RlcTblT1
21T RlcTb 21T RlcTby T2 (T N N )2 2T2 NhcT Ax 2(k )T2 NhcTblT1
+ 2T2 NhcTb 2T2 NhcTby , где вместо составляющей y было использовано слагаемое
y cT ( Ax (k )blT1 b( y) . Подставляя в (П.2) уравнения (11), (23) и (24), а также принимая во внимание соотношения
2xT Pb
1 2
(xT Pb)2
2 12
1 2
(xT Pb)2
2
1 2 0
,
2(k )xT PblT1 xT PbbT Px 1(k )2 (lT1)2 ,
211T RqhT2 (1T Rq)2 2 (hT2 )2 ,
21T RlcT Ax 1(1T Rl)2 (cT Ax)2 ,
(П.1) (П.2)
Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, 2011, № 1 (71)
37
УПРАВЛЕНИЕ ПО ВЫХОДУ ЛИНЕЙНЫМ ПАРАМЕТРИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛЕННЫМ...
2(k )1T RlcTblT1 (k )(1T RlcTb)2 (k )(lT1)2 ,
2T2 NhcT Ax (cT Ax)2 1 (T2 Nh)2 ,
2(k )T2 NhcTblT1 1 (k )2 (T2 NhcTb)2 (lT1 )2 ,
2T2
NhcTb
(T2 NhcTb)2
1 2 0
,
2 T2
NhcTby
2(T2
NhcTb)2
1 2
y2
,
21T RlcTb 1 (1T RlcTb)2 102 ,
21T RlcTby (1T RlcTb)2 y2 ,
где числа 0 и 0 0 таковы, что (t) 0 , для производной от функции Ляпунова (П.1) полу-
чаем V xTQ1x 11TQ21 T2 Q32 xT PbbT Px 1k 2 (lT1 )2 (1T Rq)2 2 (hT2 )2
1 (1T Rl)2 (cT Ax)2 (k )(1T RlcTb)2 (k )(lT1)2 (cT Ax)2 1(T2 Nh)2
1 (k )2 (T2 NhcTb)2 (lT1)2 + 1(1T RlcTb)2 2(T2 NhcTb)2 (T2 NhcTb)2
(31 1)02 ,
(П.3)
где 0 – некоторое число.
Пусть () и 0 1, тогда для некоторых малого 0 и большого найдется поло-
жительно определенная матрица Q QT такая, что
xTQ1x xT PbbT Px 2(cT Ax)2 xTQx 0 . Выберем число таким образом, чтобы было выполнено соотношение
T2 Q32 2 (hT2 )2 1 (T2 Nh)2 (T2 NhcTb)2
1 (k )2 (T2 NhcTb)2 T2 Q2 0 . Тогда для неравенства (П.3) получаем
V xTQx 11TQ21 T2 Q2 1k 2 (lT1 )2 (1T Rq)2 1 (1T Rl)2
(k )(1T RlcTb)2 (k )(lT1)2 (lT1)2 + 1(1T RlcTb)2 (1T RlcTb)2 (31 1)02 . Пусть числа 0 и 0 такие, что
(П.4) (П.5) (П.6)
11TQ21 1k 2 (l T1 )2 (1T Rq)2 1 (1T Rl)2
(k )(1T RlcTb)2 (k )(lT1)2 (lT1)2 +
1(1T RlcTb)2 (1T RlcTb)2 1TQ1 0 .
(П.7)
Тогда неравенство (П.6) примет вид
V xTQx 1TQ1 T2 Q2 (31 1)02 .
(П.8)
Из (П.8) следует сходимость переменных x(t) , 1(t) и 2 (t) в некоторую область, которая зависит от
значений 0 , а, следовательно, от амплитуды возмущающего воздействия w(t) , а также от коэффициен-
та и параметра . Очевидно, что чем меньше и больше , тем меньше область, в которую попадут
траектории x(t) , 1(t) и 2 (t) . Таким образом, для некоторых и найдутся и t1 такие, что будет выполнено целевое условие y(t) при t t1 , что и требовалось доказать.
Литература
1. Бобцов А.А., Николаев Н.А. Управление по выходу линейными системами с неучтенной паразитной динамикой // АиТ. – 2009. – № 6. – С. 115–122.
2. Бобцов А.А. Робастное управление по выходу линейной системой с неопределенными коэффициентами // АиТ. – 2002 – №11. – С. 108–117.
3. Бобцов А.А. Алгоритм робастного управления неопределенным объектом без измерения производных регулируемой переменной // АиТ. – 2003 – № 8. – С. 82–95.
4. Бобцов А.А., Николаев Н.А. Синтез управления нелинейными системами с функциональными и параметрическими неопределенностями на основе теоремы Фрадкова // АиТ. – 2005. – № 1. – С. 118– 129.
5. Дмитриев М.Г., Курина Г.А. Сингулярные возмущения в задачах управления // АиТ. – 2006 – № 1. – С. 3–51.
38 Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета
информационных технологий, механики и оптики, 2011, № 1 (71)
А.Г. Коробейников, Ю.А. Копытенко, В.С. Исмагилов
6. Мирошник И.В., Никифоров В.О., Фрадков А.Л. Нелинейное и адаптивное управление сложными динамическими системами. – СПб: Наука, 2000.
7. Воронов В.А. Введение в динамику сложных управляемых систем. – М.: Наука, 1985. 8. Фрадков А.Л. Синтез адаптивных систем управления нелинейными сингулярно возмущенными объ-
ектами // АиТ. – 1987 – № 6. – С. 100–110. 9. Фрадков А.Л. Адаптивное управление в сложных системах: беспоисковые методы. – М.: Наука. Гл.
ред. физ.-мат. лит., 1990. 10. Ioannou P.A., Kokotovic P.V. Adaptive systems with reduced models. – Lecture Notes on Control and Inf.
Science. V.47. Heidelberg: Springer-Verlag, 1983. 11. Saksena V.R., O’Reily T., Kokotovic P.V. Singular perturbations and time-scale methods in control theory.
Survey 1976-1983 // Automatica. – 1984. – № 3. – P. 273–294. 12. Гелиг А.Х., Леонов Г.А., Якубович В.А. Устойчивость нелинейных систем с неединственным со-
стоянием равновесия. – М.: Физматгиз, 1978.
Бобцов Алексей Алексеевич Шаветов Сергей Васильевич
– Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, доктор технических наук, профессор, декан, bobtsov@mail.ifmo.ru
– Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, магистрант, r41f.814ck.h4wk@gmail.com
Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, 2011, № 1 (71)
39
УДК 681.51.015
УПРАВЛЕНИЕ ПО ВЫХОДУ ЛИНЕЙНЫМ ПАРАМЕТРИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛЕННЫМ ОБЪЕКТОМ В УСЛОВИЯХ ВОЗМУЩАЮЩИХ
ВОЗДЕЙСТВИЙ И НЕУЧТЕННОЙ ДИНАМИКИ
А.А. Бобцов, С.В. Шаветов
Статья является развитием исследования, опубликованного в [1]. В [1] был проведен анализ работоспособности метода последовательного компенсатора для стабилизации по выходу линейного параметрически неопределенного объекта, функционирующего в условиях неучтенной динамики. В этой работе рассматривается возможность использования метода последовательного компенсатора для компенсации возмущающего воздействия для линейного параметрически неопределенного объекта, функционирующего в условиях неучтенной динамики. Ключевые слова: управление по выходу, неучтенная динамика, компенсация возмущающих воздействий, параметрическая неопределенность.
Введение. Постановка задачи
Проблема анализа систем с неучтенной динамикой или сингулярными возмущениями является актуальной задачей современной теории автоматического управления. Например, описание объекта управления может содержать малоинерционные звенья, слабым влиянием которых на динамику основного процесса пренебрегают на этапе синтеза регулятора. Однако такого рода пренебрежение может пагубно сказаться на устойчивой работе системы управления. Данная статья является развитием результата, опубликованного в [1]. В [1] был проведен анализ работоспособности метода последовательного компенсатора (подробнее см., например, [2–4]) для стабилизации линейного объекта в условиях неучтенной асимптотически устойчивой динамики.
Были найдены условия, для которых алгоритм управления, построенный на базе метода последовательного компенсатора, переводит выходную переменную объекта в нулевое положение для любых начальных условий. Заметим, что задача анализа систем с неучтенной динамикой или сингулярными возмущениями не является новой, и ей посвящено достаточно большое число работ как российских, так и зарубежных ученых (см., например, [5 – 11]). Например, в обзоре [5] представлены основные результаты, полученные при исследованиях сингулярно возмущенных задач управления, начиная с 1982 г. В [5]
Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, 2011, № 1 (71)
33
УПРАВЛЕНИЕ ПО ВЫХОДУ ЛИНЕЙНЫМ ПАРАМЕТРИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛЕННЫМ...
достаточно кратко были проанализированы методы оптимального и H управления, подходы управле-
ния распределенными системами, итеративные процедуры, а также интересующие нас в большей мере
алгоритмы управления в условиях неопределенности и т.д. Также анализ и синтез методов адаптивного
управления в условиях неучтенной динамики был проведен в монографии [6]. Однако, насколько извест-
но авторам данной статьи, исследования методов адаптивного и робастного управления по выходу пара-
метрически неопределенными объектами с компенсацией возмущающих воздействий и в условиях неуч-
тенной динамики ранее не проводились.
В этой работе, в развитие [1], проводится анализ работоспособности метода последовательного
компенсатора для стабилизации по выходу линейного параметрически неопределенного объекта с ком-
пенсацией ограниченных возмущений. Рассмотрим линейный объект управления вида
1(t) A1(t) b (v(t) w(t)),
y(t)
cT
1
(t),
(1)
2 (t) F2 (t) qu(t), v(t) lT2 (t),
(2)
где 1(t) Rn – вектор переменных состояния системы (1); 2 (t) Rr – вектор переменных состояния системы (2); y(t) R – измеряемая выходная переменная объекта; функция v(t) R – не измеряется;
u(t) R – сигнал управления; A , F , b , c , q и l – матрицы и векторы соответствующей размерно-
сти с неизвестными коэффициентами; как и в [1, 6] будем полагать, что Fl q ; уравнение (2) представляет асимптотически устойчивую динамику (т.е. матрица F гурвицева), которая не учитывается при синтезе закона управления; число 0 определяет быстродействие системы (2); w(t) – ограниченное
возмущающее воздействие. Целью данной работы является синтез управляющего воздействия с использованием метода по-
следовательного компенсатора, парирующего влияние внешнего ограниченного возмущающего воздей-
ствия w(t) . Или иными словами, требуется найти функцию u(t) , для которой выходная переменная y(t)
сойдется в некоторую малую область и останется в ней.
Основной результат
Следуя [1], перепишем систему (1), (2) в форме вход–выход: a( p) y(t) b( p)(v(t) w(t)) ,
(3)
d ( p)v(t) c( p)u(t) ,
(4)
где p d / dt – оператор дифференцирования; измеряется выходная переменная y y(t) (но не ее про-
изводные); b( p) bm pm ... b1 p b0 , a( p) pn an1 pn1 ... a1 p a0 , d( p) dr pr dr1 pr1 ... d1 p d0 ,
c( p) d (0)
– полиномы с неизвестными параметрами;
m n 1 ; передаточная функция
b( p) a( p)
имеет
относительную степень n m ; полином b( p) гурвицев, коэффициент bm 0 .
Выберем закон управления следующим образом:
u (k )( p)1 ,
(5)
...12
2 , 3 ,
1 (k11 k22 ... k 1 1 k1 y),
(6)
где число k 0 и полином ( p) степени 1 выбираются так, чтобы передаточная функция
H
(
p)
a(
( p)
p)b( p) k( p)b(
p)
была строго вещественно положительной, положительный параметр
служит
для компенсации возмущающего воздействия w(t) , число k , а коэффициенты ki рассчитываются из требований асимптотической устойчивости системы (6) при нулевом входе y(t) . В отличие от [1], в
управление вида (5) добавлен дополнительный параметр .
34 Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета
информационных технологий, механики и оптики, 2011, № 1 (71)
А.А. Бобцов, С.В. Шаветов
Замечание 1. На практике расчет коэффициента k 0 , обеспечивающего выполнение условий
строгой вещественной положительности передаточной функции
H(
p)
a(
( p)
p)b( p) k( p)b(
p)
,
может быть
осуществлен в случае известных границ на коэффициенты полиномов a( p) и b( p) .
Как было доказано в [2], технически реализуемый алгоритм (5), (6) обеспечивает асимптотическую сходимость к нулю переменной y(t) в отсутствии возмущений и в случае 0 (т.е. при отсутст-
вии неучтенной динамики). При 0 и w(t) 0 в [1] были найдены аналитические условия примени-
мости закона управления (5), (6) для стабилизации объекта (1), (2). Однако случай компенсации возмущений для системы (1), (2) при 0 рассматривается впервые. Иными словами, требуется найти огра-
ничения на числа и , при которых для системы (1) – (6) выполнено целевое условие
y(t) при t t1 ,
где – некоторое, в общем случае малое, число.
Проведем ряд преобразований. Подставляя (5) в (4), получаем:
v
c( p) d( p)
((k
)(
p)1 )
(k
)(
p)
c( p) d( p)
1
(k
)(
p) yˆ
(k
)( p)( y
1 )
,
(7)
где
yˆ
c( p) d ( p) 1
и
1
y yˆ . Тогда для (3) имеем:
y
b( p) a( p)
(v
w)
(k
)
( p)b( p) a( p)
(y
1)
b( p) a( p)
w
(k
)
( p)b( p) a( p) k( p)b( p)
1
( p)b( p) a( p) k( p)b( p)
(t)
a(
( p)b( p) p) k( p)b( p)
y
,
(8)
где
(t)
1 ( p)
w(t)
.
Теперь представим модель вход–выход (8) в виде модели вход–состояние–выход x Ax (k )b1 b( y) ,
y cT x ,
(9) (10)
где x Rn – вектор переменных состояния модели (9); A , b , g и c – матрицы перехода от модели
вход–выход к модели вход–состояние–выход, причем в силу известной леммы Якубовича–Калмана
(см., например, [6, 7]) можно указать симметрическую положительно определенную матрицу P ,
удовлетворяющую двум следующим матричным уравнениям:
AT P PA Q1 , Pb c ,
(11)
где Q1 Q1T – некоторая положительно определенная матрица.
Перепишем (6) и (7) в векторно-матричной форме: ( dk1 y) , 1 hT ,
(12)
z Fz q1 , yˆ lT z ,
(13)
где R1 и z Rr – векторы переменных состояния моделей (12) и (13) соответственно; матрица
0 1 0 ... 0
0
0
0
1 ...
0
0
0
0
0 ...
0
– гурвицева в силу расчета коэффициентов
ki
модели (6),
d 0 ,
k1 k2 k3 ... k1
1
1
0
h 0 ; F , q и l – матрицы перехода от модели вход–выход к модели вход–состояние–выход, причем,
0
как уже допускалось ранее, следуя [1, 5], будем полагать, что Fl q .
Введем в рассмотрение векторы отклонений
Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, 2011, № 1 (71)
35
УПРАВЛЕНИЕ ПО ВЫХОДУ ЛИНЕЙНЫМ ПАРАМЕТРИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛЕННЫМ...
1 ly z ,
(14)
2 hy . Дифференцируя уравнения (14) и (15), получаем
(15)
1 ly 1Fz 1q1 ly 1F (ly 1) 1q( y 2 ) ly 1F1 1q2 ,
(16)
1 y yˆ lT1 , 2 hy ((hy 2 ) dk1 y) hy 2 (dk1 h) y hy 2 ,
(17) (18)
2 y 1 hT2 ,
(19)
где dk1 h и Fl q . Таким образом, имеем систему дифференциальных уравнений
x Ax (k )b1 b( y) , y cT x ,
(20)
1 ly 1F1 1q2 , 1 lT1 ,
(21)
2 hy 2 , 2 hT2 .
(22)
Положительно определенные матрицы R RT и N N T удовлетворяют уравнениям Ляпунова:
F T R RF Q2 ,
(23)
T N N Q3 ,
(24)
где Q2 Q2T и Q3 Q3T – положительно определенные матрицы. Условия работоспособности закона управления (5), (6) для стабилизации системы (1), (2),
(20)–(22) приведены в следующей теореме.
Теорема. Пусть для стабилизации системы (1), (2) используется закон управления (5), (6). Пусть
число k обеспечивает строгую вещественную положительность передаточной функ-
ции H ( p)
( p)b( p) a( p) k( p)b( p)
.
Пусть положительные числа
,
,
и
0
1
удовлетворяют
условиям
11TQ21 1k 2 (lT1 )2 (1T Rq)2 1 (1T Rl)2 (k )(1T RlcTb)2 (k )(lT1)2 (lT1)2 +
1(1T RlcTb)2 (1T RlcTb)2 1TQ1 0 ,
(25)
xTQ1x xT PbbT Px 2(cT Ax)2 xTQx 0 , ()
(26)
для всех x 0 и 1 0 .
Тогда для всех , удовлетворяющих неравенству
T2 Q32 2 (hT2 )2 1 (T2 Nh)2 (T2 NhcTb)2 1 (k )2 (T2 NhcTb)2 T2 Q2 0 , (27)
при 2 0 выполнено целевое условие y(t) при t t1 .
Доказательство теоремы приведено в Приложении.
Заключение
Рассмотрена задача компенсации внешнего ограниченного возмущающего воздействия с исполь-
зованием закона управления (5), (6) для линейной системы (1), (2). Показано, что алгоритм управления,
опубликованный в [2–4] при выполнении условий (25)–(27) может быть успешно применен для компен-
сации ограниченного возмущения для линейного параметрически неопределенного объекта функциони-
рующего в условиях неучтенной динамики. Очевидно, что условия (25) и (26) трудно проверить на прак-
тике. Однако авторы полагают, что данный результат может быть использован при решении конкретной
прикладной задачи, когда известны области изменения параметров. В этом случае неравенства (25)–(27)
будет проверить проще. Авторы также рассматривают данный результат как вспомогательный для реше-
ния задачи управления по выходу линейным объектом с неизвестными параметрами и относительной
степенью. Для иллюстрации этого предположения рассмотрим линейный объект управления вида
a( p) y(t) b( p)u(t) ,
(28)
где относительная степень min max неизвестна, но известны числа min и max . Целью управления
является стабилизация системы (28). Выберем закон управления вида (5), (6)
u k( p)1 ,
(29)
где 0 и 1 рассчитывается в соответствии с выражением (6), а полином ( p) имеет размерность
min . Если min , то регулятор вида (29), (6) не может гарантировать устойчивость замкнутой системы
(28), (29), (6). Добавим в закон управления (29) слагаемое
36 Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета
информационных технологий, механики и оптики, 2011, № 1 (71)
А.А. Бобцов, С.В. Шаветов
u
k(
p)
(T2 (T1
p p
1) 1)
1
,
(30)
где max min . Тогда при min обеспечивается устойчивость замкнутой системы (28), (29), (6) в
силу результатов, опубликованных в [2 – 4]. При max имеем
y(t)
b(
p)(T2 p 1) a( p)
v(t)
,
(31)
v(t)
(T1
1 p 1)
u(t)
,
(32)
где уравнение (32) представляет собой неучтенную динамику и управление можно выбирать в соответ-
ствии с уравнением (29).
При min max получаем
y(t)
b( p)(T2 p 1) a( p)(T1 p 1)1
v(t)
,
(33)
v(t)
(T1 p
1 1)1
u(t)
,
(34)
где 1 min , и уравнение (34) снова представляет собой неучтенную динамику. Легко видеть, что системы (31), (32) и (33), (34) аналогичны объекту (3), (4) при w(t) 0 . Также
легко видеть, что уравнение (4) можно рассматривать как некоторый аналог обобщенного апериодиче-
ского звена r -го порядка, а число является эквивалентом постоянной времени T1 апериодического
звена. Теперь вновь обратим внимание на неравенства (25)–(27). Очевидно, что в случае, когда параметры и можно варьировать, что, в свою очередь, для регулятора (30), (6) вполне реально, можно дать
следующие рекомендации:
а) параметр 1 , а, следовательно, T11 должен быть больше коэффициента k ;
б) параметр должен быть больше 1 , а, следовательно, и много больше T11 .
На практике, как показано в [2–4], можно настраивать коэффициент k по линейному закону до тех
пор, пока переменная y(t) не попадет в некоторую малую область, заданную разработчиком системы.
Параметры T11 и можно рассчитывать следующим образом: T11 k 2 и (T11)2 . Очевидно, что при таком расчете коэффициентов регулятора система может быть неустойчивой, но данная схема обеспечивает сходимость выходной переменной y(t) в некоторую малую область, заданную разработчиком сис-
темы. Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 09-08-00139).
Приложение. Доказательство теоремы
Рассмотрим функцию Ляпунова V xT Px 1T R1 T2 N 2 . Дифференцируя (П.1) по времени с учетом уравнений (20)–(22), получаем V xT ( AT P PA)x 2(k )xT PblT1 2xT Pby 2xT Pb
11T (F T R RF )1 211T RqhT2 21T RlcT Ax 2(k )1T RlcTblT1
21T RlcTb 21T RlcTby T2 (T N N )2 2T2 NhcT Ax 2(k )T2 NhcTblT1
+ 2T2 NhcTb 2T2 NhcTby , где вместо составляющей y было использовано слагаемое
y cT ( Ax (k )blT1 b( y) . Подставляя в (П.2) уравнения (11), (23) и (24), а также принимая во внимание соотношения
2xT Pb
1 2
(xT Pb)2
2 12
1 2
(xT Pb)2
2
1 2 0
,
2(k )xT PblT1 xT PbbT Px 1(k )2 (lT1)2 ,
211T RqhT2 (1T Rq)2 2 (hT2 )2 ,
21T RlcT Ax 1(1T Rl)2 (cT Ax)2 ,
(П.1) (П.2)
Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, 2011, № 1 (71)
37
УПРАВЛЕНИЕ ПО ВЫХОДУ ЛИНЕЙНЫМ ПАРАМЕТРИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛЕННЫМ...
2(k )1T RlcTblT1 (k )(1T RlcTb)2 (k )(lT1)2 ,
2T2 NhcT Ax (cT Ax)2 1 (T2 Nh)2 ,
2(k )T2 NhcTblT1 1 (k )2 (T2 NhcTb)2 (lT1 )2 ,
2T2
NhcTb
(T2 NhcTb)2
1 2 0
,
2 T2
NhcTby
2(T2
NhcTb)2
1 2
y2
,
21T RlcTb 1 (1T RlcTb)2 102 ,
21T RlcTby (1T RlcTb)2 y2 ,
где числа 0 и 0 0 таковы, что (t) 0 , для производной от функции Ляпунова (П.1) полу-
чаем V xTQ1x 11TQ21 T2 Q32 xT PbbT Px 1k 2 (lT1 )2 (1T Rq)2 2 (hT2 )2
1 (1T Rl)2 (cT Ax)2 (k )(1T RlcTb)2 (k )(lT1)2 (cT Ax)2 1(T2 Nh)2
1 (k )2 (T2 NhcTb)2 (lT1)2 + 1(1T RlcTb)2 2(T2 NhcTb)2 (T2 NhcTb)2
(31 1)02 ,
(П.3)
где 0 – некоторое число.
Пусть () и 0 1, тогда для некоторых малого 0 и большого найдется поло-
жительно определенная матрица Q QT такая, что
xTQ1x xT PbbT Px 2(cT Ax)2 xTQx 0 . Выберем число таким образом, чтобы было выполнено соотношение
T2 Q32 2 (hT2 )2 1 (T2 Nh)2 (T2 NhcTb)2
1 (k )2 (T2 NhcTb)2 T2 Q2 0 . Тогда для неравенства (П.3) получаем
V xTQx 11TQ21 T2 Q2 1k 2 (lT1 )2 (1T Rq)2 1 (1T Rl)2
(k )(1T RlcTb)2 (k )(lT1)2 (lT1)2 + 1(1T RlcTb)2 (1T RlcTb)2 (31 1)02 . Пусть числа 0 и 0 такие, что
(П.4) (П.5) (П.6)
11TQ21 1k 2 (l T1 )2 (1T Rq)2 1 (1T Rl)2
(k )(1T RlcTb)2 (k )(lT1)2 (lT1)2 +
1(1T RlcTb)2 (1T RlcTb)2 1TQ1 0 .
(П.7)
Тогда неравенство (П.6) примет вид
V xTQx 1TQ1 T2 Q2 (31 1)02 .
(П.8)
Из (П.8) следует сходимость переменных x(t) , 1(t) и 2 (t) в некоторую область, которая зависит от
значений 0 , а, следовательно, от амплитуды возмущающего воздействия w(t) , а также от коэффициен-
та и параметра . Очевидно, что чем меньше и больше , тем меньше область, в которую попадут
траектории x(t) , 1(t) и 2 (t) . Таким образом, для некоторых и найдутся и t1 такие, что будет выполнено целевое условие y(t) при t t1 , что и требовалось доказать.
Литература
1. Бобцов А.А., Николаев Н.А. Управление по выходу линейными системами с неучтенной паразитной динамикой // АиТ. – 2009. – № 6. – С. 115–122.
2. Бобцов А.А. Робастное управление по выходу линейной системой с неопределенными коэффициентами // АиТ. – 2002 – №11. – С. 108–117.
3. Бобцов А.А. Алгоритм робастного управления неопределенным объектом без измерения производных регулируемой переменной // АиТ. – 2003 – № 8. – С. 82–95.
4. Бобцов А.А., Николаев Н.А. Синтез управления нелинейными системами с функциональными и параметрическими неопределенностями на основе теоремы Фрадкова // АиТ. – 2005. – № 1. – С. 118– 129.
5. Дмитриев М.Г., Курина Г.А. Сингулярные возмущения в задачах управления // АиТ. – 2006 – № 1. – С. 3–51.
38 Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета
информационных технологий, механики и оптики, 2011, № 1 (71)
А.Г. Коробейников, Ю.А. Копытенко, В.С. Исмагилов
6. Мирошник И.В., Никифоров В.О., Фрадков А.Л. Нелинейное и адаптивное управление сложными динамическими системами. – СПб: Наука, 2000.
7. Воронов В.А. Введение в динамику сложных управляемых систем. – М.: Наука, 1985. 8. Фрадков А.Л. Синтез адаптивных систем управления нелинейными сингулярно возмущенными объ-
ектами // АиТ. – 1987 – № 6. – С. 100–110. 9. Фрадков А.Л. Адаптивное управление в сложных системах: беспоисковые методы. – М.: Наука. Гл.
ред. физ.-мат. лит., 1990. 10. Ioannou P.A., Kokotovic P.V. Adaptive systems with reduced models. – Lecture Notes on Control and Inf.
Science. V.47. Heidelberg: Springer-Verlag, 1983. 11. Saksena V.R., O’Reily T., Kokotovic P.V. Singular perturbations and time-scale methods in control theory.
Survey 1976-1983 // Automatica. – 1984. – № 3. – P. 273–294. 12. Гелиг А.Х., Леонов Г.А., Якубович В.А. Устойчивость нелинейных систем с неединственным со-
стоянием равновесия. – М.: Физматгиз, 1978.
Бобцов Алексей Алексеевич Шаветов Сергей Васильевич
– Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, доктор технических наук, профессор, декан, bobtsov@mail.ifmo.ru
– Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, магистрант, r41f.814ck.h4wk@gmail.com
Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, 2011, № 1 (71)
39