АЛГОРИТМ УПРАВЛЕНИЯ ПО ВЫХОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ДЛЯ ЛИНЕЙНОГО ОБЪЕКТА С НЕИЗВЕСТНЫМИ ПАРАМЕТРАМИ И ДИНАМИЧЕСКОЙ РАЗМЕРНОСТЬЮ
КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ
УДК 681.51.015 АЛГОРИТМ УПРАВЛЕНИЯ ПО ВЫХОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ДЛЯ ЛИНЕЙНОГО
ОБЪЕКТА С НЕИЗВЕСТНЫМИ ПАРАМЕТРАМИ И ДИНАМИЧЕСКОЙ РАЗМЕРНОСТЬЮ А.А. Бобцов, А.А. Пыркин
Обсуждается подход к управлению по выходу линейными объектами с неизвестными параметрами и динамической размерностью математической модели. Предлагается новый закон управления в неопределенных условиях для более широкого класса допущений на объект по сравнению с аналогами. Ключевые слова: управление по выходу, параметрическая неопределенность, неизвестная динамическая размерность.
В современной научной литературе в области автоматического регулирования большое внимание уделяется разработке алгоритмов управления по выходу (т.е. без измерения переменных состояния или производных выходного сигнала) линейными объектами с неизвестными параметрами и динамической размерностью. Иными словами, рассматриваются объекты, представленные в виде обыкновенных дифференциальных уравнений вида
a( p) y(t) b( p)u(t) ,
(1)
где измеряются только сигналы y(t) и u(t) , p d / dt обозначает оператор дифференцирования; поли-
номы a( p) pn an1pn1 an2 pn2 ... a0 и b( p) bm pm bm1pm1 bm2 pm2 ... b0 имеют не
только неизвестные параметры an1, an2, ..., a0 , bm, bm1, ..., b0 , но и неопределенные размерности n и
m . Как правило, решается задача поиска такого управляющего сигнала u(t) , чтобы замкнутая система
была устойчива, а выходная переменная y(t) вела себя некоторым специально заданным образом,
например, стремилась к нулю при t . Существует ряд подходов [1, 2], полученных совсем недавно и независимо разными авторами,
позволяющих решать данную задачу. Однако, на взгляд авторов данной работы, подходы [1, 2] могут быть развиты за счет формулирования более сильного допущения относительно неопределенности параметров и динамической размерности. В отличие от [1, 2], будем полагать, что параметры an1, an2, ..., a0 , bm, bm1, ..., b0 априорно неопределенны, а известно только число max – максимально возможная относительная степень математической модели объекта (1), в то время как число n m , представляющее собой реальную относительную степень, неизвестно. В частности, в [1] до-
пускается, что определена область изменения параметров и для полинома
a( p) pn an1pn1 an2 pn2 ... a0 известно число n такое, что n n . В [2] известны минимальное и максимальное значения относительной степени. Предлагаемый в этой работе подход будет базироваться на результате [2], но, в отличие от [2], будем полагать, что минимальная относительная степень неизвестна. Будем решать задачу поиска управляющего воздействия, обеспечивающего стремление выходной переменной y(t) к нулю при t . Выберем закон управления в виде
u(t)
k
(Tp
( p) 1)max
1
1(t)
,
(2)
..12.
2, 3,
1 (k11 k22 ... k11 k1y),
(3)
где число k 0 и полином ( p) степени (max 1) выбираются так, чтобы передаточная функция
H ( p)
( p)b( p) a( p)(Tp 1) k( p)b( p)
была строго вещественно положительной;
max 0 ; постоянная
времени T апериодического звена должна быть достаточно малой величиной; число T 1 k , а ко-
эффициенты ki рассчитываются из требований асимптотической устойчивости системы (3) при нулевом входе y(t) .
Чтобы следующие далее рассуждения были понятны и имели логический смысл, авторы адресуют читателя к разделу 3 (заключение) статьи [2], где обсуждаются достаточно близкие идеи. Итак, рассмотрим два случая.
1. Пусть max , тогда закон управления (2) примет вид
u(t)
k( p)v(t) ,
v(t)
1 (Tp 1)max 1
1(t) ,
158
Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, 2011, № 4 (74)
КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ
где вторая система представляет собой неучтенную асимптотически устойчивую динамику, обсуждае-
мую в [2]. Как было показано в [2], существуют такие числа T 1 k , что lim y(t) 0 .
t
2. Пусть max , тогда закон управления (2) примет вид
u(t) k
( p) (Tp 1)
v(t) ,
v(t)
(Tp
1 1)1
1(t)
,
где вторая система, также как и в первом случае, представляет собой неучтенную динамику, анализируе-
мую в [2]. Также как и в первом случае, согласно [2], найдутся такие числа T 1 k , что lim y(t) 0 .
t
Чтобы рассматриваемый в данной работе результат был более конструктивным, авторы предла-
гают адаптивную схему настройки параметров k , T 1 и , которая близка к подобному подходу, опубликованному в [2]. Будем настраивать коэффициент k по линейному закону до тех пор, пока переменная
y(t) не попадет в некоторую малую область, заданную разработчиком системы. Параметры T 1 и
можно рассчитывать следующим образом: T 1 k 2 и (T 1)2max . При таком расчете коэффициен-
тов регулятора обеспечивается сходимость выходной переменной y(t) в некоторую малую область, за-
данную разработчиком системы. В заключение следует отметить, что, используя результаты, опубликованные в [2–5], представлен-
ный подход без труда может быть распространен на параметрически и функционально неопределенные нелинейные системы, функционирующие в условиях внешних возмущений, запаздывания и неучтенной динамики. Также на базе [6] представляет интерес распространение предлагаемого результата для доказательства экспоненциальной устойчивости на случай систем с запаздыванием.
Работа поддержана Российским фондом фундаментальных исследований (грант № 09-08-00139-а).
1. Фуртат И.Б., Цыкунов А.М. Адаптивное управление объектами с неизвестной относительной степенью // Автоматика и телемеханика. – 2010. – № 6. – С. 109–118.
2. Бобцов А.А., Шаветов С.В. Управление по выходу линейным параметрически неопределенным объектом в условиях возмущающих воздействий и неучтенной динамики // Научно-технический вестник СПбГУ ИТМО. – 2011. – № 1. – C. 32–38.
3. Бобцов А.А., Николаев Н.А. Управление по выходу линейными системами с неучтенной паразитной динамикой // Автоматика и телемеханика. – 2009. – № 6. – С. 115–122.
4. Бобцов А.А., Капитонов А.А., Николаев Н.А. Управление по выходу нелинейными системами с неучтенной динамикой // Автоматика и телемеханика. – 2010. – № 12. – С. 3–10.
5. Бобцов А.А., Фаронов М.В. Управление по выходу нелинейными системами с запаздыванием в условиях неучтенной динамики // Известия РАН. ТиСУ. – 2011. – № 3. – С. 68–76.
6. Бобцов А.А., Пыркин А.А. Новый функционал Ляпунова–Красовского для доказательства экспоненциальной устойчивости нелинейной системы с запаздыванием // Научно-технический вестник СПбГУ ИТМО. – 2011. – № 2. – C. 169.
Бобцов Алексей Алексеевич – Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, доктор технических наук, профессор, декан, bobtsov@mail.ifmo.ru Пыркин Антон Александрович – Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, кандидат технических наук, ассистент, a.pyrkin@gmail.com
Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, 2011, № 4 (74)
159
УДК 681.51.015 АЛГОРИТМ УПРАВЛЕНИЯ ПО ВЫХОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ДЛЯ ЛИНЕЙНОГО
ОБЪЕКТА С НЕИЗВЕСТНЫМИ ПАРАМЕТРАМИ И ДИНАМИЧЕСКОЙ РАЗМЕРНОСТЬЮ А.А. Бобцов, А.А. Пыркин
Обсуждается подход к управлению по выходу линейными объектами с неизвестными параметрами и динамической размерностью математической модели. Предлагается новый закон управления в неопределенных условиях для более широкого класса допущений на объект по сравнению с аналогами. Ключевые слова: управление по выходу, параметрическая неопределенность, неизвестная динамическая размерность.
В современной научной литературе в области автоматического регулирования большое внимание уделяется разработке алгоритмов управления по выходу (т.е. без измерения переменных состояния или производных выходного сигнала) линейными объектами с неизвестными параметрами и динамической размерностью. Иными словами, рассматриваются объекты, представленные в виде обыкновенных дифференциальных уравнений вида
a( p) y(t) b( p)u(t) ,
(1)
где измеряются только сигналы y(t) и u(t) , p d / dt обозначает оператор дифференцирования; поли-
номы a( p) pn an1pn1 an2 pn2 ... a0 и b( p) bm pm bm1pm1 bm2 pm2 ... b0 имеют не
только неизвестные параметры an1, an2, ..., a0 , bm, bm1, ..., b0 , но и неопределенные размерности n и
m . Как правило, решается задача поиска такого управляющего сигнала u(t) , чтобы замкнутая система
была устойчива, а выходная переменная y(t) вела себя некоторым специально заданным образом,
например, стремилась к нулю при t . Существует ряд подходов [1, 2], полученных совсем недавно и независимо разными авторами,
позволяющих решать данную задачу. Однако, на взгляд авторов данной работы, подходы [1, 2] могут быть развиты за счет формулирования более сильного допущения относительно неопределенности параметров и динамической размерности. В отличие от [1, 2], будем полагать, что параметры an1, an2, ..., a0 , bm, bm1, ..., b0 априорно неопределенны, а известно только число max – максимально возможная относительная степень математической модели объекта (1), в то время как число n m , представляющее собой реальную относительную степень, неизвестно. В частности, в [1] до-
пускается, что определена область изменения параметров и для полинома
a( p) pn an1pn1 an2 pn2 ... a0 известно число n такое, что n n . В [2] известны минимальное и максимальное значения относительной степени. Предлагаемый в этой работе подход будет базироваться на результате [2], но, в отличие от [2], будем полагать, что минимальная относительная степень неизвестна. Будем решать задачу поиска управляющего воздействия, обеспечивающего стремление выходной переменной y(t) к нулю при t . Выберем закон управления в виде
u(t)
k
(Tp
( p) 1)max
1
1(t)
,
(2)
..12.
2, 3,
1 (k11 k22 ... k11 k1y),
(3)
где число k 0 и полином ( p) степени (max 1) выбираются так, чтобы передаточная функция
H ( p)
( p)b( p) a( p)(Tp 1) k( p)b( p)
была строго вещественно положительной;
max 0 ; постоянная
времени T апериодического звена должна быть достаточно малой величиной; число T 1 k , а ко-
эффициенты ki рассчитываются из требований асимптотической устойчивости системы (3) при нулевом входе y(t) .
Чтобы следующие далее рассуждения были понятны и имели логический смысл, авторы адресуют читателя к разделу 3 (заключение) статьи [2], где обсуждаются достаточно близкие идеи. Итак, рассмотрим два случая.
1. Пусть max , тогда закон управления (2) примет вид
u(t)
k( p)v(t) ,
v(t)
1 (Tp 1)max 1
1(t) ,
158
Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, 2011, № 4 (74)
КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ
где вторая система представляет собой неучтенную асимптотически устойчивую динамику, обсуждае-
мую в [2]. Как было показано в [2], существуют такие числа T 1 k , что lim y(t) 0 .
t
2. Пусть max , тогда закон управления (2) примет вид
u(t) k
( p) (Tp 1)
v(t) ,
v(t)
(Tp
1 1)1
1(t)
,
где вторая система, также как и в первом случае, представляет собой неучтенную динамику, анализируе-
мую в [2]. Также как и в первом случае, согласно [2], найдутся такие числа T 1 k , что lim y(t) 0 .
t
Чтобы рассматриваемый в данной работе результат был более конструктивным, авторы предла-
гают адаптивную схему настройки параметров k , T 1 и , которая близка к подобному подходу, опубликованному в [2]. Будем настраивать коэффициент k по линейному закону до тех пор, пока переменная
y(t) не попадет в некоторую малую область, заданную разработчиком системы. Параметры T 1 и
можно рассчитывать следующим образом: T 1 k 2 и (T 1)2max . При таком расчете коэффициен-
тов регулятора обеспечивается сходимость выходной переменной y(t) в некоторую малую область, за-
данную разработчиком системы. В заключение следует отметить, что, используя результаты, опубликованные в [2–5], представлен-
ный подход без труда может быть распространен на параметрически и функционально неопределенные нелинейные системы, функционирующие в условиях внешних возмущений, запаздывания и неучтенной динамики. Также на базе [6] представляет интерес распространение предлагаемого результата для доказательства экспоненциальной устойчивости на случай систем с запаздыванием.
Работа поддержана Российским фондом фундаментальных исследований (грант № 09-08-00139-а).
1. Фуртат И.Б., Цыкунов А.М. Адаптивное управление объектами с неизвестной относительной степенью // Автоматика и телемеханика. – 2010. – № 6. – С. 109–118.
2. Бобцов А.А., Шаветов С.В. Управление по выходу линейным параметрически неопределенным объектом в условиях возмущающих воздействий и неучтенной динамики // Научно-технический вестник СПбГУ ИТМО. – 2011. – № 1. – C. 32–38.
3. Бобцов А.А., Николаев Н.А. Управление по выходу линейными системами с неучтенной паразитной динамикой // Автоматика и телемеханика. – 2009. – № 6. – С. 115–122.
4. Бобцов А.А., Капитонов А.А., Николаев Н.А. Управление по выходу нелинейными системами с неучтенной динамикой // Автоматика и телемеханика. – 2010. – № 12. – С. 3–10.
5. Бобцов А.А., Фаронов М.В. Управление по выходу нелинейными системами с запаздыванием в условиях неучтенной динамики // Известия РАН. ТиСУ. – 2011. – № 3. – С. 68–76.
6. Бобцов А.А., Пыркин А.А. Новый функционал Ляпунова–Красовского для доказательства экспоненциальной устойчивости нелинейной системы с запаздыванием // Научно-технический вестник СПбГУ ИТМО. – 2011. – № 2. – C. 169.
Бобцов Алексей Алексеевич – Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, доктор технических наук, профессор, декан, bobtsov@mail.ifmo.ru Пыркин Антон Александрович – Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, кандидат технических наук, ассистент, a.pyrkin@gmail.com
Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, 2011, № 4 (74)
159