УПРАВЛЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫМ ПАРАМЕТРИЧЕСКИ НЕ ОПРЕДЕЛЕННЫМ ОБЪЕКТОМ С ВХОДНЫМ ЗАПАЗДЫВАНИЕМ
А.А. Бобцов, А.А. Пыркин
1 СОВРЕМЕННЫЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ
ОТ РЕДАКЦИИ
В марте 2013 года исполняется 50 лет проректору НИУ ИТМО, главному редактору журнала «Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики», доктору технических наук, профессору Владимиру Олеговичу Никифорову. Коллеги Владимира Олеговича и редакция журнала поздравляют его с юбилеем и желают дальнейших творческих успехов! В данной рубрике журнала собраны научные работы, любезно предоставленные редакции коллегами и учениками Владимира Олеговича.
УДК 681.5.015
УПРАВЛЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫМ ПАРАМЕТРИЧЕСКИ НЕ ОПРЕДЕЛЕННЫМ ОБЪЕКТОМ С ВХОДНЫМ ЗАПАЗДЫВАНИЕМ 1
А.А. Бобцов, А.А. Пыркин
Рассматривается задача стабилизации неустойчивого нелинейного параметрически не определенного объекта с входным запаздыванием. Предложен подход, позволяющий провести идентификацию параметров объекта и построить алгоритм стабилизации с предиктором переменных состояния. Ключевые слова: управление в условиях запаздывания, нелинейные системы, идентификация, предиктор.
Введение. Постановка задачи
Работа посвящена анализу и синтезу методов управления нелинейными параметрически не опре-
деленными системами, содержащими запаздывание в управляющем сигнале. Данную проблему можно
отнести к фундаментальным задачам теории систем, которые до сих пор не нашли универсальных мето-
дов решения. Большое количество результатов получено на сегодняшний день для различного типа сис-
тем [1–12]. В частности, для линейных устойчивых систем с неизвестными параметрами решена задача
слежения за эталонным сигналом [11]. Найдены изящные решения стабилизации неустойчивых линей-
ных объектов [1], а также получено расширение этой задачи на случай неопределенного синусоидально-
го возмущающего воздействия [12]. Однако, насколько известно авторам, разработка методов управле-
ния для параметрически не определенных нелинейных систем представляет существенные трудности. В
этой работе будем рассматривать нелинейный стационарный объект управления вида
x (t) Ax(t) Bu(t D) ( y) , y(t) Cx(t) ,
(1)
где x Rn – измеряемый вектор переменных состояния; u(t) – скалярная входная переменная; y(t) –
скалярная выходная переменная; D 0 – известное постоянное запаздывание; A , B , C – матрицы со-
ответствующих
размерностей,
содержащие
неизвестные
параметры;
Ψ( y) col{1( y(t 1)), 2 ( y(t 2 )),..., n ( y(t n ))} – известная нелинейная функция; i – положитель-
ные константы, причем i D для всех i 1, n . Здесь и далее будем полагать, что u(t D) 0 при t D . Допуская, что нелинейность Ψ( y) дифференцируема по аргументу y() с соответствующим смещением
по времени хотя бы (n – 1) раз, зададимся вопросом поиска такой функции u(t) , чтобы было выполнено
условие lim y(t) 0 . t
В качестве инструментария для решения указанной задачи будем использовать так называемый предиктор Смита [4] и его расширение на неустойчивые системы, предложенное, в том числе, в [1, 13–15]. В [1] была доказана экспоненциальная устойчивость замкнутой системы с предиктором с помощью аппарата функций Ляпунова, что является крайне полезным при решении поставленной в этой работе задачи.
Предварительные результаты
Из классической теории управления известно, что для системы вида (1) в случае выполнения условий управляемости и при известных параметрах, а также для Ψ( y) 0 и D 0 , можно синтезировать
закон управления вида
1 Работа выполнена при финансовой поддержке ФЦП «Исследования и разработки по приоритетным направлениям развития научно-технологического комплекса России на 2007–2013 годы» (государственный контракт № 11.519.11.4007).
Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики, 2013, № 1 (83)
15
УПРАВЛЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫМ ПАРАМЕТРИЧЕСКИ НЕ ОПРЕДЕЛЕННЫМ …
u(t) Kx(t) ,
(2)
где вектор K таков, что матрица состояния замкнутой системы A BK является гурвицевой, т.е. все ее
собственные числа имеют отрицательную вещественную часть.
Для случая D 0 закон управления (2) можно переписать в виде
u(t) Kx(t D) ,
(3)
где x(t D) – значение вектора x(t) через временной интервал D .
Закон управления вида (3) нереализуем в явном виде, так как вектор x(t D) недоступен для пря-
мого измерения. Однако, следуя [1], вектор x(t D) можно рассчитать следующим образом:
tD
x(t D) eA(tD)x(0) eA(tD)Bu( D)d
0
t tD
t
eADeAt x(0) eAD eA(t)Bu( D)d eA(tD)Bu( D)d eADx(t) eA(t)Bu()d .
0t
tD
Тогда алгоритм управления, обеспечивающий стабилизацию неустойчивых систем с запаздывани-
ем в канале управления, примет вид
t
u(t) KeADx(t) K eA(t)Bu()d .
(4)
tD
Теперь, базируясь на результатах данного раздела, рассмотрим решение задачи стабилизации объ-
екта (1).
Основной результат
Будем полагать, что объект управления (1) записан в виде системы дифференциальных уравнений
x1(t) x2 (t) 1( y(t 1)) 1 y(t),
... xn (t) u(t D) n ( y(t n )) n y(t),
(5)
y(t) x1(t),
где i – неизвестные постоянные параметры. Введем в рассмотрение n линейных фильтров первого порядка для каждой переменной состояния
и один фильтр для запаздывающего сигнала управления: i (t) i (t) xi (t), i 1, n ,
(6)
i ( y(t i )) i ( y(t i )) i ( y(t i )), i 1, n ,
(7)
u (t D) u (t D) u(t D) ,
(8)
где 0 – положительный параметр фильтров.
После прямого и обратного преобразования Лапласа в (5) с учетом (6)–(8) получим следующую
систему уравнений:
1(t) 2 (t) 1( y(t 1)) 11(t) 1(t),
... (9)
n (t) u (t D) n ( y(t n )) n1(t) n (t),
где i (t) – экспоненциально затухающие функции времени.
На основе (9) несложно построить алгоритм идентификации неизвестных параметров:
i (t) ki1(t)
i
(t)
i 1 (t )
i
(t
i
)
i
(t)
1 (t )
,
i 1, n 1 ,
ki
0,
(10)
n (t) kn1(t)
n
(t)
u
(t
D)
n (t
n
)
n
(t)
1 (t )
,
kn
0.
(11)
Утверждение. Алгоритм адаптации (10), (11) обеспечивает сходимость оценок параметров i к
истинным значениям i . Доi казiатеiл.ьство. Рассмотрим ошибки оценивания параметров Дифференцируя i и подставляя уравнения (9)–(11), получим i ki12 i ki1i , i 1, n , ki 0 .
(12)
16 Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики,
2013, № 1 (83)
А.А. Бобцов, А.А. Пыркин
Из (12) нетрудно показать, что все ошибки оценивания
i
стремятся к нулю, что гарантирует схо-
димость оценок i к истинным значениям параметров объекта управления i , что и требовалось дока-
зать.
Замечание 1. Следует отметить, что за счет увеличения коэффициентов 0 и ki 0 можно уве-
личивать скорость параметрической сходимости.
Теперь продифференцируем переменную y(t) x1(t) n раз, последовательно проводя замены пе-
ременных:
y(t) 1(t) 2 (t),
2 (t) 3 (t),
... (13)
n
(t)
u(t
D)
n11( y(t 1)) y(t 1 )n1
y(n1) (t
1 )
... n ( y(t n )) 1 y(n1) (t) ... n y(t). Выберем управление следующим образом:
u(t)
u1 (t )
n11 ( y(t y(t D
D 1)) 1 )n1
y ( n 1)
(t
D
1 )
...
n
(
y(t
D
n
))
.
Подставляя (14) в уравнение (13), получаем
1(t) 2 (t), 2 (t) 3 (t), ...
(14) (15)
n (t) u1(t D) 1 y(n1) (t) ... n y(t).
Таким образом, получаем линейную стационарную систему. Теперь перепишем (15) в матричном виде:
(t) G(t) qu1(t D) ,
y(t) hT (t) ,
1(t)
0 1 ... 0
0
1
где
ς(t)
2
(t
)
,
G
0
0
...
0
,
q
0
,
hT
0
.
n
(t
)
n
n 1
...
1
1
0
Закон управления u1(t) построим на основе алгоритма (4)
u1
(t)
K
(t
)eGˆ
(t
)
Dς(t
)
K(t)
t
eGˆ (t)(t)qu()d ,
(16)
где вектор-строка
K (t )
tD
определяется из условия гурвицевости матрицы
F
Gˆ (t
)
qK (t
)
в каждый мо-
мент времени. Поскольку оценки
i
сходятся к истинным значениям, то для матрицы
Gˆ (t)
справедливо
lim(G Gˆ (t)) 0 ; следовательно, закон управления (16) обеспечивает стабилизацию системы (13) и дос-
t
тижение цели lim y(t) 0 . Таким образом, получен алгоритм стабилизирующего управления (6)–(8), t
(14), (16) для параметрически не определенного нелинейного объекта управления (1) с постоянным
входным запаздыванием.
матрицЗыамFечаGнˆиеq2K.
Для понимания процедуры настройки вектора K , , рассмотрим следующий частный случай. Пусть
обеспечивающего гурвицевость динамический порядок объекта
управления равен трем, тогда вектор-строка
ном
Q( p)
матрицы
F
Gˆ
qK
K K1
K2
K3 . Рассмотрим характеристический поли-
Q( p)
det
pI
(Gˆ
qK
)
1
p
det
0
0
0 p 0
0 0
0
0
p 3 K1
1 0 2 K2
0
1
1
K3
Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики, 2013, № 1 (83)
17
УПРАВЛЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫМ ПАРАМЕТРИЧЕСКИ НЕ ОПРЕДЕЛЕННЫМ …
p3
(1
K3
)
p
2
(2
K2 ) p (3
K1) ,
где p – комплексная переменная.
Назначим желаемый характеристический полином вида
Q * ( p) p3 3 p2 32 p 3 ,
где 0 – положительный параметр, который определяет быстродействие системы. Тогда параметры закона управления K K1 K2 K3 найдем, приравняв коэффициенты поли-
номов Q( p) и Q *( p) :
K3
(3 1) ,
K2
(32
2 ) ,
K1
(3
3
)
.
Очевидно, что подобную процедуру без труда можно проделать для любого динамического по-
рядка объекта управления.
Заключение
В работе рассмотрено решение задачи управления в условиях постоянного запаздывания в управляющем сигнале для класса параметрически не определенных нелинейных систем, описываемых дифференциальными уравнениями вида (1), (5). Получен алгоритм управления вида (6)–(8), (14), (16), позволяющий достигать целевого условия lim y(t) 0 . Развитие данного подхода видится как расширение для
t
случая управления исключительно по выходной переменной y(t) , а также для парирования возмущаю-
щих воздействий.
Литература
1. Krstic M. Delay compensation for nonlinear, adaptive, and PDE systems. – Birkhauser, 2009. – 466 p. 2. Резван В. Абсолютная устойчивость автоматических систем с запаздыванием. – М.: Наука, 1997. –
216 с. 3. Цыкунов А.М. Адаптивное управление объектами с последействием. – М.: Наука, 1984. – 245 с. 4. Smith O.J.M. A controller to overcome dead time // ISA. – 1959. – V. 6. – P. 28–33. 5. Niculescu S.I., Annaswamy A.M. An adaptive Smith-controller for time-delay systems with relative degree
n 2 // Systems & Control Letters. – 2003. – V. 49. – P. 347–358. 6. Цыпкин Я.З. Устойчивость систем с запаздывающей обратной связью // Автоматика и телемеханика.
– 1947. – Т. 7. – № 2, 3. – С. 107–129. 7. Цыкунов А.М. Управление объектами с последействием. – Фрунзе: Илим, 1985. – 108 с. 8. Цыкунов А.М. Адаптивное и робастное управление динамическими объектами по выходу. – М.:
ФИЗМАТЛИТ, 2009. – 268 с. 9. Солодовников В.В., Филимонов А.Б. Конструирование регуляторов для объектов с запаздыванием //
Техническая кибернетика. – 1979. – № 1. – С. 168–177. 10. Солодовников В.В., Филимонов А.Б. Упреждающее управление линейными стационарными объекта-
ми с запаздыванием // Автоматика и телемеханика. – 1982. – № 11. – С. 57–60. 11. Паршева Е.А., Цыкунов А.М. Адаптивное управление объектом с запаздывающим управлением со
скалярным входом-выходом // Автоматика и телемеханика. – 2001. – № 1. – С. 142–149. 12. Anton Pyrkin, Andrey Smyshlyaev, Nikolaos Bekiaris-Liberis, Miroslav Krstic, Rejection of Sinusoidal Dis-
turbance of Unknown Frequency for Linear System with Input Delay // American Control Conference. – Baltimore, 2010. – P. 5688–5693. 13. Manitius A.Z., Olbrot A.W. Finite spectrum assignment for systems with delays // IEEE Trans. Autom. Control. – 1979. – V. 24. – P. 541–553. 14. Kwon W.H., Pearson A.E. Feedback stabilization of linear systems with delayed control // IEEE Trans. Autom. Control. – 1980. – V. 25. – P. 266–269. 15. Arstein Z. Linear systems with delayed controls: A reduction // IEEE Trans. Autom. Control. – 1982. – V. 27. – P. 869–879.
Бобцов Алексей Алексеевич Пыркин Антон Александрович
– Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, доктор технических наук, профессор, зав. кафедрой, bobtsov@mail.ifmo.ru
– Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, кандидат технических наук, доцент, a.pyrkin@gmail.com
18 Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики,
2013, № 1 (83)
1 СОВРЕМЕННЫЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ
ОТ РЕДАКЦИИ
В марте 2013 года исполняется 50 лет проректору НИУ ИТМО, главному редактору журнала «Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики», доктору технических наук, профессору Владимиру Олеговичу Никифорову. Коллеги Владимира Олеговича и редакция журнала поздравляют его с юбилеем и желают дальнейших творческих успехов! В данной рубрике журнала собраны научные работы, любезно предоставленные редакции коллегами и учениками Владимира Олеговича.
УДК 681.5.015
УПРАВЛЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫМ ПАРАМЕТРИЧЕСКИ НЕ ОПРЕДЕЛЕННЫМ ОБЪЕКТОМ С ВХОДНЫМ ЗАПАЗДЫВАНИЕМ 1
А.А. Бобцов, А.А. Пыркин
Рассматривается задача стабилизации неустойчивого нелинейного параметрически не определенного объекта с входным запаздыванием. Предложен подход, позволяющий провести идентификацию параметров объекта и построить алгоритм стабилизации с предиктором переменных состояния. Ключевые слова: управление в условиях запаздывания, нелинейные системы, идентификация, предиктор.
Введение. Постановка задачи
Работа посвящена анализу и синтезу методов управления нелинейными параметрически не опре-
деленными системами, содержащими запаздывание в управляющем сигнале. Данную проблему можно
отнести к фундаментальным задачам теории систем, которые до сих пор не нашли универсальных мето-
дов решения. Большое количество результатов получено на сегодняшний день для различного типа сис-
тем [1–12]. В частности, для линейных устойчивых систем с неизвестными параметрами решена задача
слежения за эталонным сигналом [11]. Найдены изящные решения стабилизации неустойчивых линей-
ных объектов [1], а также получено расширение этой задачи на случай неопределенного синусоидально-
го возмущающего воздействия [12]. Однако, насколько известно авторам, разработка методов управле-
ния для параметрически не определенных нелинейных систем представляет существенные трудности. В
этой работе будем рассматривать нелинейный стационарный объект управления вида
x (t) Ax(t) Bu(t D) ( y) , y(t) Cx(t) ,
(1)
где x Rn – измеряемый вектор переменных состояния; u(t) – скалярная входная переменная; y(t) –
скалярная выходная переменная; D 0 – известное постоянное запаздывание; A , B , C – матрицы со-
ответствующих
размерностей,
содержащие
неизвестные
параметры;
Ψ( y) col{1( y(t 1)), 2 ( y(t 2 )),..., n ( y(t n ))} – известная нелинейная функция; i – положитель-
ные константы, причем i D для всех i 1, n . Здесь и далее будем полагать, что u(t D) 0 при t D . Допуская, что нелинейность Ψ( y) дифференцируема по аргументу y() с соответствующим смещением
по времени хотя бы (n – 1) раз, зададимся вопросом поиска такой функции u(t) , чтобы было выполнено
условие lim y(t) 0 . t
В качестве инструментария для решения указанной задачи будем использовать так называемый предиктор Смита [4] и его расширение на неустойчивые системы, предложенное, в том числе, в [1, 13–15]. В [1] была доказана экспоненциальная устойчивость замкнутой системы с предиктором с помощью аппарата функций Ляпунова, что является крайне полезным при решении поставленной в этой работе задачи.
Предварительные результаты
Из классической теории управления известно, что для системы вида (1) в случае выполнения условий управляемости и при известных параметрах, а также для Ψ( y) 0 и D 0 , можно синтезировать
закон управления вида
1 Работа выполнена при финансовой поддержке ФЦП «Исследования и разработки по приоритетным направлениям развития научно-технологического комплекса России на 2007–2013 годы» (государственный контракт № 11.519.11.4007).
Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики, 2013, № 1 (83)
15
УПРАВЛЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫМ ПАРАМЕТРИЧЕСКИ НЕ ОПРЕДЕЛЕННЫМ …
u(t) Kx(t) ,
(2)
где вектор K таков, что матрица состояния замкнутой системы A BK является гурвицевой, т.е. все ее
собственные числа имеют отрицательную вещественную часть.
Для случая D 0 закон управления (2) можно переписать в виде
u(t) Kx(t D) ,
(3)
где x(t D) – значение вектора x(t) через временной интервал D .
Закон управления вида (3) нереализуем в явном виде, так как вектор x(t D) недоступен для пря-
мого измерения. Однако, следуя [1], вектор x(t D) можно рассчитать следующим образом:
tD
x(t D) eA(tD)x(0) eA(tD)Bu( D)d
0
t tD
t
eADeAt x(0) eAD eA(t)Bu( D)d eA(tD)Bu( D)d eADx(t) eA(t)Bu()d .
0t
tD
Тогда алгоритм управления, обеспечивающий стабилизацию неустойчивых систем с запаздывани-
ем в канале управления, примет вид
t
u(t) KeADx(t) K eA(t)Bu()d .
(4)
tD
Теперь, базируясь на результатах данного раздела, рассмотрим решение задачи стабилизации объ-
екта (1).
Основной результат
Будем полагать, что объект управления (1) записан в виде системы дифференциальных уравнений
x1(t) x2 (t) 1( y(t 1)) 1 y(t),
... xn (t) u(t D) n ( y(t n )) n y(t),
(5)
y(t) x1(t),
где i – неизвестные постоянные параметры. Введем в рассмотрение n линейных фильтров первого порядка для каждой переменной состояния
и один фильтр для запаздывающего сигнала управления: i (t) i (t) xi (t), i 1, n ,
(6)
i ( y(t i )) i ( y(t i )) i ( y(t i )), i 1, n ,
(7)
u (t D) u (t D) u(t D) ,
(8)
где 0 – положительный параметр фильтров.
После прямого и обратного преобразования Лапласа в (5) с учетом (6)–(8) получим следующую
систему уравнений:
1(t) 2 (t) 1( y(t 1)) 11(t) 1(t),
... (9)
n (t) u (t D) n ( y(t n )) n1(t) n (t),
где i (t) – экспоненциально затухающие функции времени.
На основе (9) несложно построить алгоритм идентификации неизвестных параметров:
i (t) ki1(t)
i
(t)
i 1 (t )
i
(t
i
)
i
(t)
1 (t )
,
i 1, n 1 ,
ki
0,
(10)
n (t) kn1(t)
n
(t)
u
(t
D)
n (t
n
)
n
(t)
1 (t )
,
kn
0.
(11)
Утверждение. Алгоритм адаптации (10), (11) обеспечивает сходимость оценок параметров i к
истинным значениям i . Доi казiатеiл.ьство. Рассмотрим ошибки оценивания параметров Дифференцируя i и подставляя уравнения (9)–(11), получим i ki12 i ki1i , i 1, n , ki 0 .
(12)
16 Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики,
2013, № 1 (83)
А.А. Бобцов, А.А. Пыркин
Из (12) нетрудно показать, что все ошибки оценивания
i
стремятся к нулю, что гарантирует схо-
димость оценок i к истинным значениям параметров объекта управления i , что и требовалось дока-
зать.
Замечание 1. Следует отметить, что за счет увеличения коэффициентов 0 и ki 0 можно уве-
личивать скорость параметрической сходимости.
Теперь продифференцируем переменную y(t) x1(t) n раз, последовательно проводя замены пе-
ременных:
y(t) 1(t) 2 (t),
2 (t) 3 (t),
... (13)
n
(t)
u(t
D)
n11( y(t 1)) y(t 1 )n1
y(n1) (t
1 )
... n ( y(t n )) 1 y(n1) (t) ... n y(t). Выберем управление следующим образом:
u(t)
u1 (t )
n11 ( y(t y(t D
D 1)) 1 )n1
y ( n 1)
(t
D
1 )
...
n
(
y(t
D
n
))
.
Подставляя (14) в уравнение (13), получаем
1(t) 2 (t), 2 (t) 3 (t), ...
(14) (15)
n (t) u1(t D) 1 y(n1) (t) ... n y(t).
Таким образом, получаем линейную стационарную систему. Теперь перепишем (15) в матричном виде:
(t) G(t) qu1(t D) ,
y(t) hT (t) ,
1(t)
0 1 ... 0
0
1
где
ς(t)
2
(t
)
,
G
0
0
...
0
,
q
0
,
hT
0
.
n
(t
)
n
n 1
...
1
1
0
Закон управления u1(t) построим на основе алгоритма (4)
u1
(t)
K
(t
)eGˆ
(t
)
Dς(t
)
K(t)
t
eGˆ (t)(t)qu()d ,
(16)
где вектор-строка
K (t )
tD
определяется из условия гурвицевости матрицы
F
Gˆ (t
)
qK (t
)
в каждый мо-
мент времени. Поскольку оценки
i
сходятся к истинным значениям, то для матрицы
Gˆ (t)
справедливо
lim(G Gˆ (t)) 0 ; следовательно, закон управления (16) обеспечивает стабилизацию системы (13) и дос-
t
тижение цели lim y(t) 0 . Таким образом, получен алгоритм стабилизирующего управления (6)–(8), t
(14), (16) для параметрически не определенного нелинейного объекта управления (1) с постоянным
входным запаздыванием.
матрицЗыамFечаGнˆиеq2K.
Для понимания процедуры настройки вектора K , , рассмотрим следующий частный случай. Пусть
обеспечивающего гурвицевость динамический порядок объекта
управления равен трем, тогда вектор-строка
ном
Q( p)
матрицы
F
Gˆ
qK
K K1
K2
K3 . Рассмотрим характеристический поли-
Q( p)
det
pI
(Gˆ
qK
)
1
p
det
0
0
0 p 0
0 0
0
0
p 3 K1
1 0 2 K2
0
1
1
K3
Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики, 2013, № 1 (83)
17
УПРАВЛЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫМ ПАРАМЕТРИЧЕСКИ НЕ ОПРЕДЕЛЕННЫМ …
p3
(1
K3
)
p
2
(2
K2 ) p (3
K1) ,
где p – комплексная переменная.
Назначим желаемый характеристический полином вида
Q * ( p) p3 3 p2 32 p 3 ,
где 0 – положительный параметр, который определяет быстродействие системы. Тогда параметры закона управления K K1 K2 K3 найдем, приравняв коэффициенты поли-
номов Q( p) и Q *( p) :
K3
(3 1) ,
K2
(32
2 ) ,
K1
(3
3
)
.
Очевидно, что подобную процедуру без труда можно проделать для любого динамического по-
рядка объекта управления.
Заключение
В работе рассмотрено решение задачи управления в условиях постоянного запаздывания в управляющем сигнале для класса параметрически не определенных нелинейных систем, описываемых дифференциальными уравнениями вида (1), (5). Получен алгоритм управления вида (6)–(8), (14), (16), позволяющий достигать целевого условия lim y(t) 0 . Развитие данного подхода видится как расширение для
t
случая управления исключительно по выходной переменной y(t) , а также для парирования возмущаю-
щих воздействий.
Литература
1. Krstic M. Delay compensation for nonlinear, adaptive, and PDE systems. – Birkhauser, 2009. – 466 p. 2. Резван В. Абсолютная устойчивость автоматических систем с запаздыванием. – М.: Наука, 1997. –
216 с. 3. Цыкунов А.М. Адаптивное управление объектами с последействием. – М.: Наука, 1984. – 245 с. 4. Smith O.J.M. A controller to overcome dead time // ISA. – 1959. – V. 6. – P. 28–33. 5. Niculescu S.I., Annaswamy A.M. An adaptive Smith-controller for time-delay systems with relative degree
n 2 // Systems & Control Letters. – 2003. – V. 49. – P. 347–358. 6. Цыпкин Я.З. Устойчивость систем с запаздывающей обратной связью // Автоматика и телемеханика.
– 1947. – Т. 7. – № 2, 3. – С. 107–129. 7. Цыкунов А.М. Управление объектами с последействием. – Фрунзе: Илим, 1985. – 108 с. 8. Цыкунов А.М. Адаптивное и робастное управление динамическими объектами по выходу. – М.:
ФИЗМАТЛИТ, 2009. – 268 с. 9. Солодовников В.В., Филимонов А.Б. Конструирование регуляторов для объектов с запаздыванием //
Техническая кибернетика. – 1979. – № 1. – С. 168–177. 10. Солодовников В.В., Филимонов А.Б. Упреждающее управление линейными стационарными объекта-
ми с запаздыванием // Автоматика и телемеханика. – 1982. – № 11. – С. 57–60. 11. Паршева Е.А., Цыкунов А.М. Адаптивное управление объектом с запаздывающим управлением со
скалярным входом-выходом // Автоматика и телемеханика. – 2001. – № 1. – С. 142–149. 12. Anton Pyrkin, Andrey Smyshlyaev, Nikolaos Bekiaris-Liberis, Miroslav Krstic, Rejection of Sinusoidal Dis-
turbance of Unknown Frequency for Linear System with Input Delay // American Control Conference. – Baltimore, 2010. – P. 5688–5693. 13. Manitius A.Z., Olbrot A.W. Finite spectrum assignment for systems with delays // IEEE Trans. Autom. Control. – 1979. – V. 24. – P. 541–553. 14. Kwon W.H., Pearson A.E. Feedback stabilization of linear systems with delayed control // IEEE Trans. Autom. Control. – 1980. – V. 25. – P. 266–269. 15. Arstein Z. Linear systems with delayed controls: A reduction // IEEE Trans. Autom. Control. – 1982. – V. 27. – P. 869–879.
Бобцов Алексей Алексеевич Пыркин Антон Александрович
– Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, доктор технических наук, профессор, зав. кафедрой, bobtsov@mail.ifmo.ru
– Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, кандидат технических наук, доцент, a.pyrkin@gmail.com
18 Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики,
2013, № 1 (83)