Например, Бобцов

РОБАСТНОЕ УПРАВЛЕНИЕ РОБОТОМ-МАНИПУЛЯТОРОМ В ДИСКРЕТНОМ ВРЕМЕНИ

РОБАСТНОЕ УПРАВЛЕНИЕ РОБОТОМ-МАНИПУЛЯТОРОМ …

УДК 62-50
РОБАСТНОЕ УПРАВЛЕНИЕ РОБОТОМ-МАНИПУЛЯТОРОМ В ДИСКРЕТНОМ ВРЕМЕНИ6
С.В. Гусев

Рассматривается проблема управления движением робота-манипулятора в условиях неопределенности относительно его динамических характеристик и при наличии недоступных измерению возмущений. Предложен линейный регулятор для стабилизации программных движений робота-манипулятора, действующий в дискретном времени. Показано, что при уменьшении интервала дискретизации регулятор может обеспечить стабилизацию программного движения с любой наперед заданной точностью. Ключевые слова: робот-манипулятор, робастное управление, линейный регулятор, дискретное время.

Введение

Существует несколько подходов к решению проблемы управления движением роботаманипулятора в условиях неопределенности: адаптивное управление [1–6], робастное управление [7–9], управление с помощью скользящих режимов [10, 11], управление с помощью нейронных сетей [12, 13]. При этом большинство публикаций посвящено управлению в непрерывном времени. В то же время как измерения, так и управление в современных роботах осуществляются с помощью цифровых устройств, действующих в дискретном времени. По этой причине построение регуляторов в дискретном времени представляет очевидный практический интерес.
Существенно меньше публикаций касается управления роботом-манипулятором в дискретном времени [1, 14–17]. В этих работах строятся нелинейные регуляторы. Цель данной работы – предложить линейный робастный регулятор, действующий в дискретном времени и использующий минимум информации о динамике робота.

Постановка задачи

Динамика манипулятора описывается уравнениями Лагранжа A(q)q  b(q ,q) = u  w(t) ,

(1)

где q  Rn – вектор обобщенных координат; q и q – его первая и вторая производные; u  Rn – вектор

обобщенных моментов, развиваемых соответствующими приводами; w  Rn – возмущение; симметричная матрица A(q)  Rnn – матрица кинетической энергии; b(q ,q)  Rn. Относительно возмущения w(t)

предполагается только, что оно ограничено: | w(t) | C .

В частности, w(t) может включать разрывные силы трения. Предположим, что матрица кинетиче-

ской энергии A(q) при всех q удовлетворяет неравенствам

I  A(q)  aI ,

(2)

где , a > 0 ; I – единичная матрица размера n  n . Неравенства (2) понимаются как неравенства для
квадратичных форм. При построении регулятора будет использована только константа  , знание вели-
чин a и C не требуется.

Предполагается, что задано программное движение p(t)  Rn , которое имеет непрерывные и ог-

раниченные первую и вторую производные. Целью управления является отслеживание программного движения с заданной точностью.
Особенностью данной работы является то, что управление и измерения происходят в дискретном
времени. Пусть задано некоторое  > 0, определяющее интервал дискретизации времени. Предполагает-

ся, что в дискретные моменты tk = k, k = 0,1, 2,, измеряются обобщенные координаты qk = q(tk ) и скорости q k = q (tk ) . Вычисление управления u(t), используемого на интервале [tk ,tk1) = [k, (k 1)),

также осуществляется в моменты tk . Управление имеет следующий вид:

u(t)

=

uu12kk

, ,

где где

t t

[k, k [k  

 / 2,

/ 2), (k 1)).

(3)

Здесь

u1k

– управление на первой половине, а

u

2 k

– управление на второй половине интервала

[tk , tk 1 ).

6 Работа выполнена при финансовой поддержке ФЦП «Исследования и разработки по приоритетным направлениям развития научно-технологического комплекса России на 2007–2013 годы» (государственный контракт № 11.519.11.4007).
38 Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики,
2013, № 1 (83)

С.В. Гусев

Рассмотрим

векторы

Xk

=

  

q (tk q(tk

) )

  

,

Zk

=

  

p (tk p(tk

) )

  

,

k = 0,1, 2,,

определяющие значения реального

и программного фазового вектора системы в момент tk . Роль нового управления в системе, функциони-

рующей в дискретном времени, будет играть вектор

Uk

=

  

u1k

u

2 k

. 

При

построении стабилизирующего

управления рассмотрим два случая: управление при отсутствии и при наличии начального рассогласова-

ния между программным и реальным движением.

Управление при отсутствии начального рассогласования

Закон управления определим соотношением Uk = G()(Xk  Zk ) ,

(4)

где  > 0,

G

()

=

  

31I 1I

Теорема 1. Пусть

 < 2 .

42I 

42I

 

– матрица размера

2n  2n.

(5)

Найдутся такие константы  > 0 и K > 0, что для любого начального состояния X0 и для всех    неравенства

| q(t)  p(t) | K2 , | q (t)  p (t) | K , | u(t) | K ,

выполнены на решениях замкнутой системы управления (1), (3), (4) при всех t  0, при условии, что ре-

альное состояние совпадает с программным в начальный момент, т.е.

X0 = Z0.

(6)

В принципе условие (6) не является ограничительным, так как всегда можно построить удовлетво-

ряющее ему программное движение. Однако обычно программное движение задано заранее, и средства

для его изменения не предусмотрены в системе управления. Исходя из этого, представляет интерес по-

строить управление, обеспечивающее стабилизацию программного движения без предположения (6).

Управление при наличии начального рассогласования

Пусть вектор r(t)  Rn есть решение устойчивого линейного дифференциального уравнения

r(t)  d1r(t)  d0r(t) = 0
с начальными данными r(0) = q(0)  p(0), r(0) = q (0)  p (0) .

(7) (8)

Вектор r(t) представляет собой желаемую невязку между реальным и программным движением в

переходном процессе. В силу устойчивости уравнения (7) r(t)  0 при t  .

Пусть

Yk

=

  

r (tk r(tk

) )

  

.

Из (7) следует,

что

Yk = TYk 1, k = 1, 2,,

(9)

где

T

=

exp

  



  

d1I I

d0I 0

  

  

.

Начальное

условие

(8)

принимает

вид

Y0 = X0  Z0 . Определим закон управления соотношением

(10)

Uk = G()(Xk  Zk  Yk ), k = 0,1, 2,,

(11)

где векторы Yk вычисляются рекуррентно в силу (9), (10) . Теорема 2. Пусть выполнено неравенство (5). Найдутся такие константы  > 0 и K > 0, что

для любого начального состояния X0 и для всех    неравенства | q(t)  p(t)  r(t) | K2 , | q (t)  p (t)  r(t) | K, | u(t) | K ,

выполнены на решениях замкнутой системы управления (1), (3), (9)–(11) при всех t  0. Меняя коэффициенты d0 , d1 уравнения (7), можно задавать желаемый (например, неколебатель-
ный) характер переходного процесса в замкнутой системе. В частности, за счет роста перерегулирования

Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики, 2013, № 1 (83)

39

РОБАСТНОЕ УПРАВЛЕНИЕ РОБОТОМ-МАНИПУЛЯТОРОМ …

можно сделать время переходного процесса сколь угодно малым, и, наоборот, за счет увеличения времени переходного процесса можно уменьшить перерегулирование.

Заключение

Предложен регулятор для стабилизации программных движений робота-манипулятора, учитывающий специфику современных цифровых систем управления, – регулятор, действующий в дискретном времени. Регулятор является линейным, он использует дискретизованные по времени значения обобщенных координат и скоростей робота и строит кусочно-постоянное управление. Для расчета регулятора необходимо знать единственный параметр робота-манипулятора – нижнюю оценку собственных чисел матрицы кинетической энергии. Это обеспечивает робастность регулятора к изменениям параметров робота, что важно во многих практических задачах. В дальнейшем представляет интерес рассмотреть возможность построения аналогичного регулятора, использующего только измерения обобщенных координат робота.

Литература

1. Гусев С.В., Якубович В.А. Алгоритм адаптивного управления роботом-манипулятором // Автоматика и телемеханика. – 1980. – № 9. – С. 101–111.
2. Craig J., Hsu P., Sastry S. Adaptive control of mechanical manipulators // Proceedings of the IEEE International Conference on Robotics and Automation. – 1986. – V. 3. – P. 190–195.
3. Slotine J.-J.E., Li W. On the Adaptive Control of Robot Manipulators // The International Journal of Robotics Research. – 1987. – V. 6. – P. 49–59.
4. Midleton P., Goodwin G.C. Adaptive computed torque control for rigid link manipulations // System and Control Letters. – 1988. – V. 10. – P. 9–16.
5. Cheah C.C., Liu C., Slotine J.-J.E. Adaptive Tracking Control for Robots with Unknown Kinematic and Dynamic Properties // The International Journal of Robotics Research. – 2006 – V. 25. – P. 283–296.
6. Huang A.C., Chien M.C. Adaptive Control of Robot Manipulators: A Unified Regressor-Free Approach. – World Scientific. – 2010. – 262 p.
7. Gusev S.V. Linear stabilization of nonlinear system program motion // Systems and Control Letters. – 1988. – V. 11. – P. 409–412.
8. Qu Z., Dorsey J. Robust PID control for robots // International Journal of Robotics and Automation. – 1991. – V. 6. – P. 228–235.
9. Herman P., Franelak D. Robust tracking controller with constraints using generalized velocity components for manipulators // Transactions of the Institute of Measurement and Control. – 2008. – V. 30. – P. 101–113.
10. Пятницкий Е.С., Дунская Н.В. Стабилизация управляемых механических и электромеханических систем // Автоматика и телемеханика. – 1988. – № 12. – С. 40–51.
11. Garcнa-Rodrнguez R., Parra-Vega V. Cartesian sliding PID control schemes for tracking robots with uncertain Jacobian // Transactions of the Institute of Measurement and Control. – 2012. – V. 34. – P. 448– 462.
12. Barambones O., Etxebarria V. Robust neural control for robotic manipulators // Automatica. – 2002. – V. 38. – P. 235–242.
13. Jiang Z.-H., Ishita T. A Neural Network Controller for Trajectory Control of Industrial Robot Manipulators // Journal of Computers. – 2008. – V. 3. – № 8. – P. 1–8.
14. Middleton R.H. Adaptive control for robot manipulators using discrete time identification // IEEE Transactions on Automatic Control. – 1990. – V. 35. – P. 633–637.
15. Yang S.-P., Woo P.-Y., Wang R. Discrete-Time Model Reference Adaptive Controller Designs for Robotic Manipulators // Proceedings of the American Control Conference. – 1993. – P. 1145–1149.
16. Sun F.C., Sun Z.Q., Zhang R.J., Chen Y.B. Discrete-time tracking control of robotic manipulators based on dynamic inversion using dynamic neural networks // Proceedings of the IEEE International Symposium on Intelligent Control. – 2000. – P. 333–338.
17. Corradinia M.L., Fossib V., Giantomassib A., Ippolitib G., Longhib S., Orlandob G. Discrete time sliding mode control of robotic manipulators: Development and experimental validation // Control Engineering Practice. – 2012. – V. 20. – P. 816–822.

Гусев Сергей Владимирович

– Санкт-Петербургский государственный университет, кандидат физ.-мат. наук, ст. научный сотрудник, доцент, gusev@ieee.org

40 Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики,
2013, № 1 (83)