Например, Бобцов

КОЛЛИМАЦИЯ И ФОКУСИРОВКА ПАРАКСИАЛЬНОГО ВОЛНОВОГО ПАКЕТА, ПОЛУЧАЕМОГО ПРИ ДИФРАКЦИИ В ДАЛЬНЕЙ ЗОНЕ ИСХОДНО ОДНОПЕРИОДНОЙ ВОЛНЫ

КОЛЛИМАЦИЯ И ФОКУСИРОВКА ПАРАКСИАЛЬНОГО ВОЛНОВОГО …
УДК 535.3, 535.42
КОЛЛИМАЦИЯ И ФОКУСИРОВКА ПАРАКСИАЛЬНОГО ВОЛНОВОГО ПАКЕТА, ПОЛУЧАЕМОГО ПРИ ДИФРАКЦИИ В ДАЛЬНЕЙ ЗОНЕ ИСХОДНО
ОДНОПЕРИОДНОЙ ВОЛНЫ
А.А. Дроздов, С.А. Козлов
Показано, что при коллимации параксиального волнового пакета, получаемого при дифракции в дальней зоне исходно однопериодной волны, формируется «Ж-образная» полуторапериодная пространственно-временная структура, длительность которой пропорциональна расстоянию от оси пучка, а центральная ее часть движется быстрее периферийной. С увеличением пройденного коллимированным излучением расстояния от коллимирующего до фокусирующего зеркала волновой пакет в фокусе последнего меняется от полуторапериодной волны до однопериодной и снова до полуторапериодной, максимум спектра которой на оси пучка смещается сначала в область высоких частот, а затем обратно в область низких частот. Однопериодная волна в фокусе зеркала получается идентичной исходной для коллимирующего и фокусирующего зеркал с равными фокусными расстояниями при удвоенном фокусном расстоянии между ними. Ключевые слова: однопериодные волны, параксиальные волновые пакеты, дальняя зона дифракции, коллимация и фокусировка излучения.
Введение С развитием фемтосекундной лазерной техники и микроэлектроники стало возможным получать предельно короткие по числу колебаний однопериодные электромагнитные волны со спектром в диапазоне 0,1–10 ТГц [1]. Такое терагерцовое излучение находит широкое применение в системах обнаружения наркотических и взрывчатых веществ, других скрываемых объектов за преградами, непрозрачными, например, в оптическом спектральном диапазоне, для медицинской диагностики и в других приложениях [2]. Важной задачей является оптимизация систем испускающих, коллимирующих и фокусирующих подобные однопериодные электромагнитные волны. Закономерности дифракции волн, испущенных источниками однопериодного излучения, к настоящему времени уже хорошо изучены (см. [3] и обзор в ней). В дальней зоне они становятся полуторапериодными. Однако работ по целенаправленному теоретическому изучению особенностей их дальнейшей динамики после коллимирования и последующей фокусировки не было. В настоящей работе теоретически изучены особенности коллимации и фокусировки сложной пространственно-временной полевой структуры, которая получается при дифракции в дальней зоне (зоне дифракции Фраунгофера) параксиального волнового пакета, испущенного исходно однопериодным источником. Показано, что коллимированное излучение имеет «Ж-образную» полуторапериодную структуру, центральная часть которой движется быстрее периферийной. Показано, что фокусирующее зеркало, поставленное сразу за коллимирующим, в своем фокусе полуторапериодное поле излучения не меняет. С увеличением пройденного коллимированным излучением расстояния от коллимирующего до фокусирующего зеркала волновой пакет в фокусе последнего меняется от полуторапериодной волны до однопериодной и снова до полуторапериодной, максимум спектра которой на оси пучка смещается сначала в область высоких частот, а затем обратно в область низких частот. При равных фокусных расстояниях коллимирующего и фокусирующего зеркал однопериодная волна в фокусе последнего получается иден-
46 Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики,
2013, № 3 (85)

А.А. Дроздов, С.А. Козлов

тичной исходной однопериодной волне (которая испускается источником, а затем трансформируется при дифракции, коллимации и фокусировке) с точностью до фазового сдвига в π при расстоянии между зеркалами, равном их удвоенному фокусному расстоянию.

Математическая модель дифракционной динамики поля

Будем рассматривать электрическое поле, испускаемое источником, в виде однопериодной волны с гауссовым поперечным распределением вида [3]

Е

 x,

y, t 



E0

exp

 





x2  2

y2

  

t 

exp

 





t2 2

  

,

(1)

где E0 – амплитуда входного поля, а  и  – исходные поперечный размер волнового пакета и его дли-
тельность. Поле (1) проиллюстрировано на рис. 1, а. Светло-серым участкам плоскостных изображений соответствуют максимальные положительные значения поля, а темно-серым – максимальные отрица-

тельные. На иллюстрации  0  10 , где 0  2с [4] – длина волны излучения, соответствующая
максимуму спектра исходного волнового пакета; c – скорость света в вакууме. Параксиальная однонаправленная динамика электрического поля Е в прозрачной оптической сре-
де, дисперсией которой можно пренебречь (например, в воздухе), может быть описана уравнением [5, 6]

E
z



N0 c



E t



c 2N0

t
 Edt ,


(2)

где z – направление, вдоль которого распространяется волновой пакет; N0 – линейный показатель пре-

ломления

среды;





2 x2



2 y 2

– поперечный лапласиан; t – время.

/0, отн. ед. /0, отн. ед.

10
0
–10 –1 0 1 t , отн. ед. 

10 0 –10

–1

0

1

t , отн. ед. 

аб

Рис. 1. Пространственно-временная структура распределения электрического поля на входе в среду (1) (а), а также ее структура в дальней зоне дифракции [3] (б)

В дальней зоне дифракции (при

z



2 N0
min

, где

min

– минимальная длина волны из диапазона

длин волн, в котором находится практическая часть энергии исходного излучения [3]), пространственно-

временное распределение поля из исходного (1) принимает вид [3]

E

t,

x,

y,

z





E0

A3



x,

y,

z



T

z




1 



2

 

A

x,

y,

z



t 

2 

  

exp

 



 

A



x,

y,

z



t 

2 

 

,

(3)

где

A x,

y, z



 1 

  

2T  z 2



 

x2  y2 2





1 2





,

T



z



2 N0 2cz

и «запаздывающее», в том числе вследствие кри-

визны

волнового

фронта,

время

t  t 

N0 с

 

z





x2  y2 2z

 

.



Поле

(3)

иллюстрировано

на

рис. 1, б.

Полагали

z



z0



2

2 N0 0

.

Исходя

из

этого,

например,

при

характерных

для

терагерцовых

импульсов

начальных

параметрах   3 мм и 0  0,3 мм, поле на рис. 1, б, иллюстрировано для расстояния от источника

Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики, 2013, № 3 (85)

47

КОЛЛИМАЦИЯ И ФОКУСИРОВКА ПАРАКСИАЛЬНОГО ВОЛНОВОГО …

z0  20 см. Как видно из рисунка, волна исходного вида (1) в дальней зоне дифракции становится полу-
торапериодной по всему волновому пакету. Длинноволновая часть излучения на периферии пучка распространяется медленнее, чем коротковолновая на оси пучка.
Рассмотрим теперь, как волновой пакет (3), получаемый при дифракции в дальней зоне исходно однопериодной волны (1), будет эволюционировать после коллимирующего зеркала с фокусным рас-
стоянием fкол. .

Динамика коллимированного параксиального волнового пакета

Поставим в дальней зоне дифракции излучения на расстоянии z0 от источника коллимирующее
   зеркало с фокусным расстоянием fкол.  z0 и функцией отражения R(x, y)  exp ik x2  y2 2 fкол. [7],

где k  N0 / c . Тогда поле волнового пакета сразу за коллимирующим зеркалом примет вид

 Eкол. t, x, y, z0



N02 2cz0

E0

2 3
кол.

1 



2

t 2 2
кол.

 

exp

 





t 2 2
кол.

  

,

(4)

где

t



t



N0 z0 c

;

2 кол.



2



 

N0 c

2 

x2  y2 z02

. Это

поле

иллюстрировано на рис. 2, а.

Как

следует

из

фор-

мулы (4) и видно из рисунка, сразу за зеркалом формируется «Ж-образная» полуторапериодная про-

странственно-временная полевая структура, длительность которой кол. увеличивается с расстоянием от

оси пучка.

Будем теперь рассматривать выражение (4) как новое граничное условие динамики коллимиро-

ванного поля излучения. На рис. 2, б–д, приведены результаты численного расчета по уравнению (2) с

граничным условием (4) эволюции пространственно-временной полевой структуры волнового пакета на

разных расстояниях от коллимирующего зеркала в оптической среде. Из рисунка видно, что из-за ди-

фракции центральная часть «Ж-образного» волнового пакета движется быстрее периферийной.

/0, отн. ед.

10 0 –10

–1 0

1

t , отн. ед. 

а

бв

г

д

Рис. 2. Пространственно-временная структура распределения электрического поля коллимированной волны (4) на расстоянии z0  0 от коллимирующего зеркала (а) и ее дальнейшая эволюция в оптической
среде на расстояниях: fкол. (б); 2 fкол. (в); 3 fкол. (г); 6 fкол. (д)

Теперь рассмотрим особенности фокусировки коллимированного излучения, представленного на рис. 2, фокусирующим зеркалом с фокусным расстоянием fфок.  fкол. .

Динамика сфокусированного волнового пакета

На рис. 3 представлены пространственно-временные распределения электрического поля излучения в фокусе зеркала в зависимости от пройденного коллимированным волновым пакетом расстояния от коллимирующего до фокусирующего зеркала. Из рис. 3, а, видно, что при фокусировке полуторапериодной «Ж-образной» полевой структуры, полученной сразу за коллимирующим зеркалом, в фокусе зеркала число колебаний полученного волнового пакета не меняется. Из рис. 3, б–д, видно, что с увеличением пройденного коллимированным излучением расстояния от коллимирующего до фокусирующего зеркала волновой пакет в фокусе последнего меняется от полуторапериодной волны до однопериодной и снова до полуторапериодной.

48 Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики,
2013, № 3 (85)

А.А. Дроздов, С.А. Козлов

/0, отн. ед.

10

0

–10

–1 0 а

1 t , отн. ед.  б

в

г

д

Рис. 3. Пространственно-временные структуры распределения электрического поля излучения в фокусе зеркала при фокусировке волнового пакета, полученного сразу за коллимирующим зеркалом (а),
и на расстояниях до него fфок. (б); 2 fфок. (в); 3 fфок. (г); 6 fфок. (д)

2

01

а

–2 0
2
01
–2 0
2

б

Е, отн. ед. |G|2, отн. ед.

01

в

–2 0
2

01
–2 0
2 01

г д

–2

0

–1 0

1

0

12

3

t , отн. ед.

, отн. ед.



Рис. 4. Нормированные профили электрического поля (слева) и квадраты модулей спектральной

плотности (справа) на оси пучка в фокусе (жирные линии) при фокусировке волнового пакета,

полученного сразу за коллимирующим зеркалом (а), и на расстояниях от него: fфок. (б); 2 fфок. (в); 3 fфок.

(г); 6 fфок. (д). Временной профиль электрического поля однопериодной волны источника (1)

и квадрат модуля ее спектра показаны пунктирными линиями

На рис. 4 дополнительно проиллюстрированы временные профили электрических полей (нормированные на максимум напряженности электрического поля источника E0 ) и квадраты модулей спектров
(нормированные на максимум квадрата модуля спектральной плотности источника G0 2 ) в фокусе на оси
волнового пакета. На рисунке частота    max нормирована на частоту max  2  [4, 8], соответствующую максимуму квадрата модуля спектра исходной однопериодной волны источника. Из рисунка видно, что при расстоянии между коллимирующим и фокусирующим зеркалом, равном их двойному фокусному расстоянию, поле с точностью до фазового сдвига в π и его спектр совпадают с полем и спек-

Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики, 2013, № 3 (85)

49

КОЛЛИМАЦИЯ И ФОКУСИРОВКА ПАРАКСИАЛЬНОГО ВОЛНОВОГО …

тром однопериодной волны, исходно испущенной источником излучения. При меньших или больших расстояниях между зеркалами сфокусированная волна становится при малых отклонениях слабо выраженной, а при больших – ярко выраженной полуторапериодной со спектром, смещенным в высокочастотную область. Максимумы поля и спектра при этом растут, что обусловлено более глубокой фокусировкой излучения (см. также рис. 3).
Заключение
В работе теоретически изучены особенности коллимации и фокусировки сложной пространственно-временной полевой структуры, получаемой при дифракции в дальней зоне параксиального исходно однопериодного волнового пакета. Показано, что при коллимации такого пакета формируется «Жобразная» полуторапериодная волна, длительность которой пропорциональна расстоянию от оси пучка, а центральная ее часть движется быстрее периферийной. С увеличением пройденного коллимированным излучением расстояния от коллимирующего до фокусирующего зеркала волновой пакет в фокусе последнего меняется от полуторапериодной волны до однопериодной и снова до полуторапериодной, максимум спектра которой на оси пучка смещается сначала в область высоких частот, а затем обратно в область низких частот.
При равных фокусных расстояниях коллимирующего и фокусирующего зеркал однопериодная волна в фокусе последнего получается идентичной исходной однопериодной волне источника с точностью до фазового сдвига в π при расстоянии между зеркалами, равном их удвоенному фокусному расстоянию.
Работа поддержана грантом РФФИ 11-02-01346-а и ГК № 14.512.11.0020.
Литература
1. Беспалов В.Г., Городецкий А.А., Денисюк И.Ю., Козлов С.А., Крылов В.Н., Лукомский Г.В., Петров Н.В., Путилин С.Э. Методы генерации сверхширокополосных ТГц импульсов фемтосекундными лазерами // Оптический журнал. – 2008. – Т. 75. – № 10. – С. 34–41.
2. Lee Y.S. Principles of Terahertz Science and Technology. – Corvalis: Springer Science+Business Media, 2009. – 347 p.
3. Ezerskaya A.A., Ivanov D.V., Kozlov S.A., Kivshar Yu.S. Spectral Approach in the Analysis of Pulsed Terahertz Radiation // J. Infrared Milli. Terahz. Waves. – 2012. – V. 33. – № 9. – P. 926–942.
4. Drozdov А.А., Kozlov S.А., Sukhorukov A.A., Kivshar Yu.S. Self-phase modulation and frequency generation with few-cycle optical pulses in nonlinear dispersive media // Phys. Rev. A. – 2012. – V. 86. – № 5. – P. 053822–10.
5. Беленов Э.М., Назаркин А.В. О некоторых решениях уравнений нелинейной оптики без приближения медленно меняющихся амплитуд и фаз // Письма в ЖЭТФ. – 1990. – Т. 51. – № 5. – С. 252–255.
6. Козлов С.А., Сазонов С.В. Нелинейное распространение импульсов длительностью в несколько колебаний светового поля в диэлектрических средах // ЖЭТФ. – 1997. – Т. 111. – № 2. – С. 404–418.
7. Папулис А. Теория систем и преобразований в оптике. – М.: Мир, 1971. – 495 с. 8. Дроздов А.А., Козлов С.А. Фазовая самомодуляция однопериодных оптических волн // Научно-
технический вестник СПбГУ ИТМО. – 2011. – № 2 (72). – С. 99–105.

Дроздов Аркадий Анатольевич Козлов Сергей Аркадьевич

– Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, аспирант, arkadiy.drozdov@gmail.com
– Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, доктор физ.-мат. наук, профессор, декан, заведующий кафедрой, kozlov@mail.ifmo.ru

50 Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики,
2013, № 3 (85)