Например, Бобцов

ИССЛЕДОВАНИЕ КОЛЕБАТЕЛЬНОСТИ ПРОЦЕССОВ В АПЕРИОДИЧЕСКИХ НЕПРЕРЫВНЫХ СИСТЕМАХ, ПОРОЖДАЕМОЙ ФАКТОРОМ КРАТНОСТИ СОБСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ

Т.А. Акунов, Н.А. Дударенко, Н.А. Полинова, А.В. Ушаков

УДК 62.50: 681.5.01
ИССЛЕДОВАНИЕ КОЛЕБАТЕЛЬНОСТИ ПРОЦЕССОВ В АПЕРИОДИЧЕСКИХ НЕПРЕРЫВНЫХ СИСТЕМАХ, ПОРОЖДАЕМОЙ ФАКТОРОМ КРАТНОСТИ СОБСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ
Т.А. Акунов, Н.А. Дударенко, Н.А. Полинова, А.В. Ушаков

Рассматривается устойчивая апериодическая непрерывная система, матрица состояния которой обладает вещественным спектром кратных собственных чисел, кратность которых равна размерности ее вектора состояния. Показывается, что если модуль собственного числа меньше единицы, то в свободном движении системы по норме вектора состояния обнаруживается колебательность, проявляющаяся в наличии начального выброса, сменяющегося монотонным движением к состоянию покоя. Установлено, что величина выброса тем больше, чем меньше по модулю собственное число и больше его кратность. Ключевые слова: вещественные собственные числа, кратность, свободное движение, норма, выброс.

Введение. Постановка задачи

Ставится задача исследования свободного движения устойчивой линейной непрерывной многомерной динамической системы по норме вектора ее состояния с целью изучения влияния на это поведение кратности собственных чисел ее матрицы состояния и значения их модуля. В настоящей работе поставленная задача решается для случая вещественных кратных собственных чисел. Более того, предполагается, что кратность собственного числа равна размерности вектора состояния. Как будет показано, приходится констатировать системное явление, состоящее в том, что в апериодической системе (системе с вещественными собственными числами) при кратности собственных чисел больше единицы и значениях модуля собственных чисел меньших единицы возникает возможность появления заметных выбросов нормы вектора состояния в свободном движении. Обнаруживается, что величина выброса растет с уменьшением модуля собственных чисел и с увеличением их кратности. Более того, появляется возможность «обменивать» модуль собственных чисел на их кратность в классе систем с фиксированным значением выброса. Первоначально задача решается для случая представления матрицы состояния в канонической жордановой форме [1], затем исследования переносятся на произвольный случай.

Аналитическое исследование свободного движения непрерывной многомерной апериодической системы для случая кратных вещественных собственных значений ее матрицы состояния

Рассмотрим линейную гурвицеву непрерывную многомерную динамическую систему, задаваемую [2, 3] в векторно-матричной форме

x t   Fx t , x t  t0  x 0 ,

(1)

где x 0, x t  – вектора соответственно начального и текущего состояний системы; F – ее матрица со-

стояния; x 0, x t   Rn ;F  Rnn . Матрица системы F , заданная в произвольном базисе, такова, что ее

характеристический полином D  имеет представление

D λ



det λI



F



 



 n



n



n

1 i Cni ini ;  : Jm   0 .

 i1



(2)

Такая ситуация может возникнуть, когда при синтезе методами модального управления [3] матри-

ца состояния F системы задается во фробениусовой форме, сопровождающей характеристический по-

Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики, 2013, № 3 (85)

55

ИССЛЕДОВАНИЕ КОЛЕБАТЕЛЬНОСТИ ПРОЦЕССОВ В АПЕРИОДИЧЕСКИХ …

лином D  , в котором Cni – число сочетаний из n по i . Дополним условие (2) наличия в алгебраиче-
 ском спектре собственных чисел F  i  arg det λI  F  0 : i  ;i  1, n матрицы F единст-

венного вещественного элемента кратности   n  dim  x условием, накладываемым на дефект харак-

теристической матрицы (λI  F) [1] матрицы F , который должен принимать единичное значение.

Тогда [1] каноническая форма матрицы, построенная на спектре F собственных чисел матри-

цы F , будет представлять собой n  n -клетку Жордана J  вида

 1 0  0

 

0



1



0

 

J         .

 

0

0

0



1

 

 0 0 0  

(3)

Следует заметить, что матрица в форме Жордана J  порождает автономную динамическую

систему вида (1), задаваемую в жордановом каноническом базисе,

x t   J  x t , x t  t0  x 0,

(4)

в которой вектор x и матрица J  состояния связаны с вектором x и соответственно с матрицей F

состояния исходной системы (1) векторно-матричными соотношениями

x  Sx, SJ   FS .

(5)

В (5) S – n  n -матрица неособого преобразования подобия, допускающая представление мат-

рицы F в форме

F  SJ S1 .

(6)

В свою очередь, жорданова матрица J  в силу (3) может быть представлена в аддитивно де-

композированном виде

 J   diag i  ;i  1, n  J 0  I  J 0 ,

(7)

где J 0 – нильпотентная матрица [1] индекса ν  n .
Теперь поставим задачу исследования свободного движения системы (4) по вектору ее состояния в
скаляризованной форме. Решение системы (4) x t   x t, x 0 имеет [1–3] вид

x t   x t, x 0  expJ tx 0 .

(8)

Скаляризацию векторного процесса (8) осуществим на основе использования согласованных [1]

векторных и матричных норм, в результате чего на основе (7) получим цепочку соотношений

x t   expJ tx 0  expJ t  x 0  et expJ 0t  x 0 .

(9)

В (9) компонент expJ 0 t мультипликативной цепи элементов имеет [1–3] при μ  n представ-

ление

0
expJ 0t = exp 0
00

1 0  0 0

0 1  0 0

    

0 0  1 0

t

      



1  0  0 0

t
1  0 0

21 t 2
t  0 0


   

μ



1! 1

t

μ 1

 



μ



2

!


1

t

μ

2

  

.

t

 

1 

(10)

Из (10) видно, что столбцовая норма expJ 0t , определяемая последним столбцом матричной 1

экспоненты expJ 0t , ее строчная норма expJ 0t , определяемая первой строкой экспоненты, и 

оценка спектральной нормы expJ 0t , задаваемая [4] мажорирующим неравенством 2

 expJ 0t  expJ 0t  expJ 0t

12
,

2 1

совпадают и определяются выражением

56 Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики,
2013, № 3 (85)

Т.А. Акунов, Н.А. Дударенко, Н.А. Полинова, А.В. Ушаков

μ 1

expJ 0t

p

 1 t

 1

2t2

 1

μ

1! tμ1



 1
k 0

k !tk ,

p

 1, 2, .

Таким образом, норма матричной экспоненты expJ t удовлетворяет соотношению

μ 1
expJ t  et 1 k !tk .

(11)

k 0

 Для дальнейших исследований выделим такое x 0  arg x 0  1 , для которого выполняется

точное равенство

μ 1

   x t  exp J t

    x 0

x 0 1

 et
k 0

1

k!

tk.

(12)

Теперь при фиксированной кратности   n собственного числа    поставим задачу оценки зна-

ка скорости изменения нормы x t  в момент t  0 как синдрома характера развития процессов в системе

в функции от областей значений    . Дифференцированием по времени выражения (12) получим:

d
            dt

x

t



d dt

et 

μ 1 k 0

1

k!

t

k

 

 et μ1 1

 t0 

k 0

k!

μ2
tk  et 1
k 0

k!

t

k

 

  1.

 t0

(13)

Соотношение (13) позволяет сепарировать процессы по их качеству в системе (4) с матрицей со-

стояния в виде жордановой клетки полной размерности по норме вектора состояния в функции от значе-

ния кратного собственного числа    . Ясно, что при любом отрицательном значении    и при лю-

бой его кратности процессы в системе (4) являются сходящимися, потому что мультипликативный член

et в выражении (12) для x t  имеет бесконечное число элементов разложения по степеням t , в то

μ 1
время как член 1 k !tk – конечное. Следовательно, всегда найдется такой момент времени t  t , с k 0
которого начинает проявляться доминирование экспоненциального сомножителя et . Теперь рассмотрим

следующие ситуации.

Ситуация

1.





0,



1,

d

 

dt

x

t

 

 0 , процесс

 t0

x t 

сходится к нулю и мажорируется экс-

понентой в форме x t   e1t x 0 .

Ситуация 2.







  

d dt

x t



 

 0 , начальная скорость нулевая, но при

 t0

t  0 в силу (13) уста-

навливается отрицательная скорость, определяемая выражением

d
            dt

x

t

 et μ1 1

k!

μ2
t k  et 1

k!

t

k

 

  1 μ 1 ! ettμ1 .

 k0

k 0 1

(14)

Скорость изменения нормы x t  на траекториях системы характеризуется экстремумом, наблю-

даемым в момент tm , определяемым в силу (14) соотношениями

 tm



arg

  

d2 dt 2

x t 



0 



arg

  

d dt

et tμ1

 0  μ 1 , 

при этом скорость изменения нормы x t  , будучи отрицательной, равна величине

max

 

d dt

x t 

 





μ 1μ1 μ 1!

eμ1 .

t

Процесс x t  сходится к нулю в силу представления (12). Процесс мажорируется экспоненци-

альной функцией, т.е. выполняется неравенство
x t   eγt x 0 ,

в котором параметры ,  определяются из условия

 ,  = arg mρ,iγn

x t 

 ρeγt

x 0

&

 

d dt

ρeγt

x 0

 

t μ1



μ 1μ1  μ 1!

e μ 1



 1 

.

Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики, 2013, № 3 (85)

57

ИССЛЕДОВАНИЕ КОЛЕБАТЕЛЬНОСТИ ПРОЦЕССОВ В АПЕРИОДИЧЕСКИХ …

Ситуация 3

(предмет статьи).

  0, 

1,

d

 

dt

x

t



 

 0 . Процесс

 t0

x t 

на начальном от-

резке времени расходится, достигая максимума в момент tM , определяемый соотношениями

  tM



arg

  

d dt

x t 



0



arg

1 

μ2
 1

k ! tk







k 0

1 μ 1! tμ1  0 ,


(15)

а далее сходится к нулю. Таким образом, процесс x t  на траекториях свободного движения апериоди-

ческой системы обнаруживает выброс, численно определяемый величиной   0,   1 кратного

собственного числа и значением μ его кратности. Очевидно свойство процесса x t  : чем меньше ве-

личина   1 и чем больше его кратность μ , тем больше величина его выброса над уровнем x t  . Для

иллюстрации этого результата произведем вычисление момента tM с помощью (15) и выброса в кривой
x t  апериодической системы для момента t  tM в силу соотношения (12) для различных значений
:  0,   1 и кратностей μ . Результаты вычислений приведены в табл. 1, 2.

μ

–0,2 –0,02

2
4 49

3 4 5 10
tM 8,9 13,9 18,8 43,8 99 149 199 449

Таблица 1. Значения моментов выброса в кривой x t 

μ 
–0,2 –0,02

2
2,25 18,8

3
8,35 690,4

4

 max t

x t 

 x tM 

34,7

2,86 104

5
151,6 1,25 106

10
3,32 105 2,72 1014

 Таблица 2. Значения выбросов max t

x t 

 x tM 

кривой

x t 

Вернемся теперь к исходной системе (1) с матрицей состояния F , заданной в произвольном бази-

се. По аналогии с (8) с использованием (6) можно записать:

x t   x t, x 0  expFtx 0  S expJ tS1x 0 .

(16)

Если в (16) перейти к скаляризованным векторным процессам по норме вектора состояния системы (1), то получим, с использованием (11), цепочку соотношений

μ 1
xt   S expJ tS1x 0  S  expJt  S1  x 0  cSet 1 k !tk x 0 , k 0
где сS  S  S1 – число обусловленности матрицы S , удовлетворяющее [4] условию 1  сS   .

Значения x t  будут в cS раз превышать значения x t  , сохраняя ту же зависимость от модуля 

собственного числа    и его кратности μ .

Компьютерное исследование свободного движения непрерывной многомерной апериодической системы для случая кратных вещественных собственных чисел ее матрицы состояния

Компьютерное исследование процессов по норме x t  как функции собственного числа    и
его кратности   n проводилось в соответствии с соотношением
x t   expJ tx 0  expJ t  x 0 по его мажорирующей части в модельной среде пакета
MATLAB. Результаты моделирования процессов в форме x t  для единого набора кратностей
μ  n  2; 3; 5 и 10 и значений     2;  0,2 и  0,02 представлены на рисунках.

58 Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики,
2013, № 3 (85)

Т.А. Акунов, Н.А. Дударенко, Н.А. Полинова, А.В. Ушаков

На рис. 1 приведены кривые для случая     2 . Процессы x t  сходятся монотонно без вы-

бросов (см. ситуацию 1). Кривая 1 соответствует случаю μ  n  2 , а кривая 4 – μ  n 10.

x (t) 0,8

0,15 2

4

0,1 1 3

0,6

0,05 1,8 2 2,2 2,4

0,4

0,2

0

1234

5 t, с

Рис. 1. Кривые процессов x t  при     2; и μ  n  2; 3; 5;10 (кривые 1–4 соответственно)

На рис. 2 приведены 4 кривые для случая     0, 2 . Процессы x t  обнаруживают выбросы,

нарастающие с увеличением   n (см. ситуацию 3).

x (t) x (t)

2

8 6

14 2

0 20 40 60 80 t, с а
x (t)
150 100
50

0 20
105
x (t)
3

40 60 б

80 t, с

2 1

0 20 40 60 80 t, с 0 50 100 150 t, с вг
Рис. 2. Кривые процессов x t  при     0, 2 и μ  n  2 (а); 3(б); 5(в) и 10 (г)

x (t)
15

x (t)
600

10 400

5 200

0 200 400 600 t, с

105

а

x (t)

10

5

0 200 400 600 t, с б
1014
x (t)
2
1

0 200 400 600 t, с в

0

500 1000 t, с г

Рис. 3. Кривые процессов x t  при     0, 02 и μ  n  2 (а); 3(б); 5(в) и 10 (г)

Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики, 2013, № 3 (85)

59

ИССЛЕДОВАНИЕ КОЛЕБАТЕЛЬНОСТИ ПРОЦЕССОВ В АПЕРИОДИЧЕСКИХ …

0 1 2 3 4

–0,1 200 %

400 %

–0,2 150 % 100 %

600 % 1000 %

–0,3

–0,4 50 %

–0,5 20 % –0,6
10 % –0,7

–0,8

–0,9



 Рис. 4. Кривые постоянных значений max t

x t 

 x tM   const

На рис. 3 приведены 4 кривые для случая     0, 02 . Процессы x t  имеют заметные выбро-

сы, нарастающие с увеличением   n (см. ситуацию 3).

 На рис. 4 приведены кривые постоянных значений

max t

x t 

 x tM   const на плоскости

« μ  λ », иллюстрирующие возможность «обмена» кратности на значение кратного собственного числа в

решаемой задаче.

На рис. 5 приведены кривые при     0, 2 для случая системы (1), в которой матрица F зада-

на в сопровождающей строчной форме, и системы (4). Процессы x t  имеют характер кривых x t  ,

но в каждый момент в cS раз превышают их значения.

Завершая рассмотрение влияния фактора кратности собственных чисел на качество процессов в апериодических системах, следует отметить, что если спектр собственных чисел матрицы F имеет не-

сколько кратных чисел

F



 i



j

:i

 1,μ j ;

j

 1, q;

q

μj



n

 

,

то

каноническое

представление

F

в

 j1 

 жордановой форме будет содержать q жордановых клеток размерности μ j  μ j каждая. Для такого

случая соотношение (9) принимает вид

      x t   diag exp J  j t ; j  1, q x 0  et exp Jμμ 0t  x 0 ,

   где   max j

j :j

0& j

 1; j  1, q

; μ  max j

μ j ; j  1, q .

x(t) , x (t)

2

160 1

140

120

100

80

60

40

20

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 t, с
Рис. 5. Кривые процессов x t  (кривая 1) и x t  (кривая 2) при     0, 2 и μ  n  5

60 Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики,
2013, № 3 (85)

А.Ю. Гришенцев, А.Г. Коробейников

Заключение

Установлено, что кратность собственных чисел матриц состояния устойчивых апериодических непрерывных систем, как и структура их собственных векторов [5], оказывается важным системным фактором, наделяющим динамические процессы в системе весьма специфическими свойствами, которые могут приводить к нежелательным последствиям разрушительного характера. Чтобы не допустить обнаруженного эффекта кратности собственных чисел при синтезе методами модального управления [3], матрицу состояния F системы следует наделить спектром собственных чисел, не содержащих кратные элементы.
Работа подготовлена при поддержке проекта 14.B37.21.0406 «Разработка многофункционального малогабаритного мультиротационного летательного аппарата».

Литература

1. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. – М.: Наука, 1973. – 575 с. 2. Андреев Ю.Н. Управление конечномерными линейными объектами. – М.: Наука, 1976. – 424 с. 3. Дударенко Н.А., Слита О.В., Ушаков А.В. Математические основы современной теории управления:
аппарат метода пространства состояний: Учебное пособие / Под ред. А.В. Ушакова – СПб: СПбГУ ИТМО, 2008. – 323 с. 4. Голуб Дж., Ван Лоун Ч. Матричные вычисления: Пер. с англ. – М.: Мир, 1999. – 548 с. 5. Дударенко Н.А., Ушаков А.В. Структура собственных векторов матриц состояния многоканальных систем как вырождающий фактор // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. – 2012. – № 5 (81). – С. 52–58.

Акунов Таалайбек Абакирович Дударенко Наталия Александровна Полинова Нина Александровна Ушаков Анатолий Владимирович

– Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, докторант, takunov@mail.ru
– Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, кандидат технических наук, доцент, dudarenko@yandex.ru
– Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, студент, polinova_nina@mail.ru
– Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, доктор технических наук, профессор, ushakov-AVG@yandex.ru

Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики, 2013, № 3 (85)

61