ЗАКОНОМЕРНОСТИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ВСТРЕЧНЫХ СВЕТОВЫХ ВОЛН ИЗ МАЛОГО ЧИСЛА КОЛЕБАНИЙ В НЕЛИНЕЙНЫХ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СРЕДАХ
Е.М. Буяновская, С.А. Козлов
2 ФОТОНИКА И ОПТОИНФОРМАТИКА
УДК 535.1
ЗАКОНОМЕРНОСТИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ВСТРЕЧНЫХ СВЕТОВЫХ ВОЛН ИЗ МАЛОГО ЧИСЛА КОЛЕБАНИЙ В НЕЛИНЕЙНЫХ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СРЕДАХ
Е.М. Буяновская, С.А. Козлов
Теоретически рассмотрены закономерности взаимодействия встречных световых волн из малого числа колебаний в нелинейных диэлектрических средах. Получено аналитическое решение уравнений динамики поля встречных световых волн из малого числа колебаний, взаимодействующих в диэлектрической среде с безынерционной кубичной по полю нелинейностью. Приведены изменения временной и спектральной структуры светового импульса при его взаимодействии со встречным импульсом. Показано, что эффективность этих явлений определяется энергией встречного импульса и не зависит от его длительности и спектральной структуры. Ключевые слова: импульсы из малого числа колебаний, взаимодействие встречных волн, нелинейные диэлектрические среды.
Введение
Оптика импульсов из малого числа колебаний светового поля интересна как с фундаментальной, так и с практической точки зрения. Для таких импульсов теряет свое физическое содержание понятие огибающей, поэтому при теоретическом изучении особенностей их распространения в различных оптических средах обычно анализируют динамику непосредственно поля излучения [1–3].
К настоящему времени изучены многие явления нелинейной оптики таких предельно коротких (по числу колебаний) импульсов: их временное и спектральное уширение и сжатие, самофокусировка, нелинейное отражение, взаимодействие при попутном распространении [4–10]. В работе [11], по-видимому, впервые были выведены уравнения динамики поля световых импульсов из малого числа колебаний при их встречном распространении в нелинейной среде. В настоящей работе приведены аналитические интегральные решения этих уравнений. На их основе рассмотрены основные закономерности взаимодействия в нелинейных диэлектрических средах встречных оптических импульсов, содержащих лишь несколько колебаний светового поля.
Уравнения динамики поля плоских встречных световых волн из малого числа колебаний и их решения
В работе [11] нами были выведены уравнения, описывающие динамику полей
встречных плоских световых волн из малого числа колебаний при их взаимодействии в диэлектрических средах с безынерционной кубической нелинейностью вида
⎧
∫ ( )⎪
⎪
∂E+ ∂z
⎨ ⎪
∂E−
∫ ( )⎩⎪ ∂z
+ −
N0 c
N0 c
∂E+ ∂t
∂E− ∂t
−a +a
∂ 3 E+ ∂t 3
∂ 3 E− ∂t 3
t
+ b E+dt′ +
−∞
t
− b E−dt′ −
−∞
cg 2N0
cg 2N0
∂ ∂t
∂ ∂t
E+3 + 3E+2 E− + 3E+ E−2 E−3 + 3E−2 E+ + 3E− E+2
= 0, = 0,
(1)
где E+ ( z,t ) – поле волны, распространяющейся в положительном направлении оси z ,
E− ( z,t ) – поле волны, распространяющейся ей навстречу; t – время, c – скорость света в
Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, 2010, № 2(66)
23
ЗАКОНОМЕРНОСТИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ВСТРЕЧНЫХ СВЕТОВЫХ ВОЛН ИЗ МАЛОГО...
вакууме; N0 , a,b – параметры, характеризующие типичную нерезонансную зависимость
показателя преломления диэлектрической среды в диапазоне ее прозрачности [12],
n
=
N0
+ caω2
−c
b ω2
,
(2)
от частоты ω,
g
=
4πχ c2
описывает нелинейность ее поляризационного отклика
Рнл = χE3 [1, 9], χ – нелинейная восприимчивость среды.
Для получения решений уравнений (1) их удобно нормировать, вводя новые без-
размерные
переменные
E′ =
E E+0
,
z′ =
z λ+с
,
t′
=
t T+ c
,
где
E+0
–
максимальное
значение
на
границе нелинейной среды поля излучения, например, прямой волны E+ ; T+c – ее цен-
тральный
период
колебаний
на
той
же
границе,
λ+с
=
cT+c N0
– центральная длина волны.
В новых переменных уравнения (1) запишутся как
⎧
∫ ( )⎪
⎪
∂E+ ∂z
⎨ ⎪
∂E−
∫ ( )⎩⎪ ∂z
+
∂E+ ∂t
−
A
∂ 3 E+ ∂t 3
+
∞
B E+dt′ +G
−∞
∂ ∂t
−
∂E− ∂t
+
A
∂ 3 E+ ∂t 3
−
∞
B
−∞
E+dt′ − G
∂ ∂t
E+3 + 3E+2 E− + 3E+ E−2 E−3 + 3E−2 E+ + 3E− E+2
= 0, = 0,
(3)
где безразмерные коэффициенты
A
=
ac
N
T2
0 +c
,
B
=
bcT+2c N0
,
G
=
c2 gE+20 2 N 02
=
2πχE+20 N02
.
В
уравне-
ниях (3) и ниже значок «΄» для краткости не пишем.
Хотя интенсивность встречных световых волн, при которой не будет наблюдаться
разрушение вещества, из-за их предельно коротких длительностей может быть весьма
велика [13], но результаты их столкновения все-таки очень сильными быть не могут из-
за скоротечности взаимодействия. Поэтому естественным методом решения уравнений
(3) является метод последовательных приближений Пикара [14], в котором малым па-
раметром является G .
Далее для простоты, но без ограничения общности, будем рассматривать среду
без дисперсии линейного показателя преломления. Во-первых, это приближение вы-
полняется при G >> A, B , а, во-вторых, из-за малости нерезонансной дисперсии показа-
теля преломления диэлектриков (2) ее, при необходимости, в первом приближении не-
сложно учитывать, включая в итерационное решение уравнений (3) аддитивно к нели-
нейным слагаемым.
В соответствии с техникой последовательных приближений [14] будем искать
решение уравнений (3) в виде
⎪⎧ ⎨ ⎪⎩
E+ E−
= =
E+(0) E−(0)
+ GE+(1) + GE−(1)
+ G2 E+(2) + G2 E−(2)
+ ..., + ...,
(4а) (4б)
в котором в данной работе и в (4а), и в (4б) ограничимся первыми двумя слагаемыми.
Тогда в представлении (4) система уравнений (3) при A = B = 0 примет вид
⎧ ⎪⎪
∂E+(0) ∂z
+
∂E+(0) ∂t
= 0,
⎨ ⎪
∂E−(0)
⎩⎪ ∂z
−
∂E−(0) ∂t
=
0,
(5)
24 Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета
информационных технологий, механики и оптики, 2010, № 2(66)
Е.М. Буяновская, С.А. Козлов
⎧
( )⎪⎪
∂E+(1) ∂z
+
∂E+(1) ∂t
+
∂ ∂t
E+(0)3 + 3E+(0)2 E−(0) + 3E+(0) E_(0)2
⎨ ⎪
∂E−(1)
( )⎪⎩ ∂z
−
∂E−(1) ∂t
−
∂ ∂t
E−(0)3 + 3E_(0)2 E+(0) + 3E−(0) E+(0)2
(6а) (6б)
Решение системы (5) имеет вид [11, 15]:
⎧⎪E+(0) ( z, t ) = E+(0) (t − z ) ,
⎨ ⎩⎪
E_(0)
(
z,
t
)
=
E_(0)
(t
+
z
)
(7)
и определяется граничными условиями.
Каждое из уравнений системы (6) также несложно решить в квадратурах. Напри-
мер, первое уравнение этой системы (6а) можно, как это сделано в [11], переписать в
новых переменных z′ = z, τ = t − z . Тогда его решение примет вид:
∫ ( ) ∫ (( ) )( ) ( )E+(1)
z′, τ
z′
=−
∂
z0′ ∂τ
E+(0)
τ
3
dz′′
−
z′
3
z0′
∂ ∂τ
E+(0) (τ) 2 E−(0) (τ + 2z′′) dz′′ −
(8)
( ( ) )∫z′
−3
z0′
∂ ∂τ
E+(0) (τ)
E−(0) (τ + 2z′′) 2
dz′′,
где первое слагаемое в правой части соотношения характеризует самовоздействие све-
тового импульса, распространяющегося от границы нелинейной среды z0′ в положи-
тельном направлении оси z′ , а второе и третье – взаимодействие встречных импульсов
в нелинейной среде. Отметим, что соотношение (8) содержит как частный случай ре-
шение задачи о столкновении высоко- и низкоинтенсивной ( E−(0) >> E+(0) ) встречных волн, рассмотренной в [11].
Решение (8) можно привести к более удобному для дальнейшего анализа виду:
( ) ( ) ∫E+(1)
(
z′,
τ
)
=
−
⎡ ⎢⎣
∂ ∂τ
E+(0) (τ)
3
⎤ ⎥⎦
(
z′
−
z0′
)
−
3
∂ ∂τ
⎡ ⎢ ⎢⎣
E+(0) (τ)
2
z′
E−(0)
(
τ
+
2
z
′′
⎤
)dz′′⎥
−
z0′ ⎦⎥
(9)
( ) ∫ ( )−3
∂
⎡ ⎢
∂τ ⎣⎢
E+(0) (τ)
z′ z0′
E−(0) (τ + 2z′′) 2dz′′⎥⎤ .
⎦⎥
Несложно показать, что аналогичным (8) и (9) будет выглядеть и решение урав-
нения (6б), но его следует решать в переменных z′ = z, ξ = t + z .
Закономерности взаимодействия плоских встречных световых волн из малого числа колебаний
На рис. 1 приведена иллюстрация решения (7), которое получено в первой итера-
ции метода Пикара для импульса вида:
E(0) +
(τ)
=
exp(−
τ2 τ+2
)
sin(2πτ)
,
и встречной ему волны вида
(10)
E−(0)
(
z′,
τ)
=
γ
exp(−
(
τ
+ 2z′)2
τ2−
)
sin
(
2πδ
(
τ
+
2z′))
(11)
Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, 2010, № 2(66)
25
ЗАКОНОМЕРНОСТИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ВСТРЕЧНЫХ СВЕТОВЫХ ВОЛН ИЗ МАЛОГО...
где
γ=
E−0 E+0
,
E+0 , и
E−0
– исходные амплитуды взаимодействующих импульсов;
δ
=
T+ c T−c
,
T+c ,T−c
–
их
центральные
периоды
колебаний,
τ+
=
τ+0 T+c
,
τ−
=
τ−0 T+c
,
τ+0 , τ−0
–
исходные
длительности импульсов.
Распространение встречных волн (10) и (11) представлено в системе координат z′
и τ , сопровождающей импульс (10), т.е. в той же системе, в которой получено и реше-
ние (9) в следующей второй итерации. Динамика полей встречных импульсов дана для
случая γ = 1, δ = 2, τ+ = 0.5, τ− = 1 . Из рис. 1 видно, что форма импульсов, полученная при расчете в первой итерации, при их распространении и столкновении не изменяется.
Оптическая среда, как следует из уравнений (5), в этом приближении для встречных
волн линейна.
Рис. 1. Распространение встречных световых импульсов из малого числа колебаний в линейной оптической среде
На рис. 2, 3 приведены поправки (9) к решению (7), которые получены во второй итерации, учитывающей нелинейность среды. На них также дано общее решение (4а) исходной системы (3), описывающее самовоздействие импульса (10) и его взаимодействие с волной (11) в нелинейной среде.
На рис. 2 проиллюстрированы результаты самовоздействия импульса (10), описываемые первым слагаемым в правой части выведенного выражения (9). На рис. 2, а, представлена рассчитанная во второй итерации поправка к полю E+(1) , а на рис. 2, б – к
26 Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета
информационных технологий, механики и оптики, 2010, № 2(66)
Е.М. Буяновская, С.А. Козлов
∫модулю спектра
g+(1) (ω) =
∞
( )E+(1) τ eiωτd τ
при
G
(
z′
−
z0′
)
=
1 3
.
Как
видно
из
рис.
2,
а,
и
2,
−∞
б, решение (9) описывает уширение спектра импульса и генерацию излучения на утро-
енных частотах. Отметим заметное смещение максимума уширяемого спектра импуль-
са и излучения на утроенных частотах в высокочастотную область.
б)
а)
в)
Рис. 2. Изменение временной структуры светового импульса из малого числа колебаний из-за его самовоздействия в нелинейной оптической среде:
итерационная добавка к полю E+(1) (а) и спектру g+(1) (б), результирующее поле (в). Пунктиром показана временная структура поля до самовоздействия импульса
На рис. 2, в, приведена сумма E+(0) и первого слагаемого в выражении GE+(1) , которая описывает результат самовоздействия импульса (10) в нелинейной среде, при
G ( z′ − z0′ )
=
1 3
.
Пунктиром
даны
формы
поля
исходного
импульса.
Из
рисунка
видно,
что основные максимум и минимум «однопериодного» светового импульса из-за само-
воздействия излучения в нелинейной среде во времени τ начинают запаздывать. При
сохранении положения нулей поля это приводит к искажению временной структуры
импульса и описанному выше изменению его спектра.
На рис. 3 проиллюстрированы результаты воздействия на импульс (10) встречной
волны (11), описываемые вторым и третьим слагаемым в правой части выражения (9).
На рис. 3, а, приведена добавка к полю импульса E+(1) , полученная в результате взаимо-
действия. На рис. 3, б, представлен ее спектр
g
(1)
+
.
На
рис.
3,
в,
приведена
временная
структура электрического поля E+ = E+(0) + GE+(1) импульса до и после воздействия на него встречного импульса.
Из рис. 3 видно, что временная структура поля импульса из-за взаимодействия со
встречным импульсом изменяется так, что больше всего смещаются во времени «нули»
поля и не смещаются его экстремумы. «Центр тяжести» спектральной плотности при
этом смещается в коротковолновую область. Важно, что эффективность этих явлений
определяется энергией встречного импульса и не зависит от его длительности и спек-
тральной структуры. Последнее утверждение несложно обосновать, анализируя выра-
Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, 2010, № 2(66)
27
ЗАКОНОМЕРНОСТИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ВСТРЕЧНЫХ СВЕТОВЫХ ВОЛН ИЗ МАЛОГО...
жение (9). При z′ ≥ 1 (см. рис. 1), т.е. по окончании взаимодействия встречных импульсов, интеграл во втором слагаемом соотношения (9) для оптических импульсов становится равным нулю [1, 11], а интеграл в третьем слагаемом принимает смысл энергии встречного импульса. Генерации комбинационных частот в таких условиях не происходит. Но при этом отметим, что, если вторая граница нелинейной среды окажется при z ≤ 1, т.е., когда взаимодействие еще не заканчивается, то генерация на комбинационных и кратных частотах из-за взаимодействия встречных импульсов возможна [11].
б)
а)
в)
Рис. 3. Изменение временной структуры светового импульса из малого числа колебаний из-за воздействия встречного импульса в нелинейной оптической среде: итерационная добавка к полю E+(1) (а) и спектру g+(1) (б), результирующее поле (в).
Пунктиром показана временная структура поля до взаимодействия импульсов
Заключение В работе теоретически исследованы закономерности взаимодействия встречных световых волн из малого числа колебаний в нелинейных диэлектрических средах. В результате проведенных исследований получено аналитическое решение уравнений динамики поля встречных световых волн из малого числа колебаний, взаимодействующих в диэлектрической среде с безынерционной кубичной по полю нелинейностью. Показано, что временная структура поля импульса из-за взаимодействия со встречным импульсом изменяется так, что больше всего смещаются во времени «нули» поля и не смещаются его экстремумы. «Центр тяжести» спектральной плотности при этом смещается в коротковолновую область, генерации комбинационных частот в таких условиях не происходит. Эффективность этих явлений определяется энергией встречного импульса и не зависит от его длительности и спектральной структуры. Работа поддержана грантами РНП 2.1.1/4923 и РФФИ 08-02-00902-а.
Литература 1. Козлов С.А., Сазонов С.В. Нелинейное распространение импульсов длительностью
в несколько колебаний светового поля в диэлектрических средах // ЖЭТФ. – 1997. – Т. 111. – В. 2. – С. 404–418.
28 Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета
информационных технологий, механики и оптики, 2010, № 2(66)
Е.М. Буяновская, С.А. Козлов
2. Nazarkin A., Korn G. Raman self-conversion of femtosecond laser pulses and generation of single-cycle radiation // Phys. Rev. A. –1998. – V. 58. – № 1. –P. R61–R64.
3. Маймистов А.И. Некоторые модели распространения предельно коротких электромагнитных импульсов в нелинейной среде // Квантовая электроника. – 2000. – Т. 30. – № 4. – С. 287–304.
4. Казанцева Е.В., Маймистов А.И. Распространение предельно коротких импульсов в нерезонансной квадратично-нелинейной среде // Квантовая электроника. – 2000. – Т. 30. – № 7. – С. 623–628.
5. Shpolyanskiy Y.A., Belov D.L., Bakhtin M.A., Kozlov S.A. Analytic study of continuum spectrum pulse dynamics in optical waveguides // Applied Physics B. – 2003. – V. 77. – № 2–3. – Р. 349–356.
6. Сазонов С.В., Халяпин В.А. О влиянии дифракции на нелинейное распространение оптических импульсов длительностью в несколько колебаний // Квантовая электроника. – 2004. – Т. 34. – № 11. – С.1057–1063.
7. Ястребова Н.В., Шполянский Ю.А., Козлов С.А. Нелинейное отражение импульсов из малого числа колебаний светового поля от просветленной границы раздела сред // Оптический журнал. – 2004. – Т. 71. – № 6. – С. 78–83.
8. Белов Д.Л., Козлов С.А., Шполянский Ю.А. О самосжатии спектрального суперконтинуума // Известия РАН, серия физическая. – 2005. – Т. 69. – № 8. – С. 1128– 1130.
9. Berkovsky A.N., Kozlov S.A., Shpolyanskiy Y.A. Self-focusing of few cycle light pulses in dielectric media // Physical. Review A72. – 2005. – 043821 (9 pages).
10. Бахтин М.А., Козлов С.А. Формирование последовательности сверхкоротких сигналов при столкновении импульсов из малого числа колебаний светового поля в нелинейных оптических средах // Оптика и спектроскопия. – 2005. – Т. 98. – № 3. – С. 425–430.
11. Буяновская Е.М., Козлов С.А. Динамика полей встречных световых импульсов из малого числа колебаний в нелинейных диэлектрических средах // Письма в ЖЭТФ. – 2007. – Т. 86. – В. 5–6. – С. 349–353.
12. Борн М., Вольф Э. Основы оптики. – М.: Наука, 1973. – 720 с. 13. Brabec Th., Krausz F. Intense few-cycle laser fields: Frontiers of nonlinear optics // Rev.
Mod. Phys. – 2000. – V. 72. – № 2. – P. 545–591. 14. Корн Г., Корн Т, Справочник по математике. – М.: Наука, 1977. – 831 с. 15. Буяновская Е.М, Козлов С.А. Взаимодействие встречных световых импульсов из
малого числа колебаний в нелинейных диэлектрических средах // Научнотехнический вестник СПбГУ ИТМО. – 2006. – № 30. – С. 97–101. 16. Фарлоу С. Уравнения с частными производными для научных работников и инженеров. – М.: Мир, 1985. – 384 с.
Буяновская Елизавета Михайловна – Санкт-Петербургский государственный университет ин-
формационных технологий, механики и оптики, аспирант,
lee.buyanovskaya@gmail.com
Козлов Сергей Аркадьевич
– Санкт-Петербургский государственный университет ин-
формационных технологий, механики и оптики, доктор
физ.-мат. наук, профессор, декан
Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, 2010, № 2(66)
29
2 ФОТОНИКА И ОПТОИНФОРМАТИКА
УДК 535.1
ЗАКОНОМЕРНОСТИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ВСТРЕЧНЫХ СВЕТОВЫХ ВОЛН ИЗ МАЛОГО ЧИСЛА КОЛЕБАНИЙ В НЕЛИНЕЙНЫХ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СРЕДАХ
Е.М. Буяновская, С.А. Козлов
Теоретически рассмотрены закономерности взаимодействия встречных световых волн из малого числа колебаний в нелинейных диэлектрических средах. Получено аналитическое решение уравнений динамики поля встречных световых волн из малого числа колебаний, взаимодействующих в диэлектрической среде с безынерционной кубичной по полю нелинейностью. Приведены изменения временной и спектральной структуры светового импульса при его взаимодействии со встречным импульсом. Показано, что эффективность этих явлений определяется энергией встречного импульса и не зависит от его длительности и спектральной структуры. Ключевые слова: импульсы из малого числа колебаний, взаимодействие встречных волн, нелинейные диэлектрические среды.
Введение
Оптика импульсов из малого числа колебаний светового поля интересна как с фундаментальной, так и с практической точки зрения. Для таких импульсов теряет свое физическое содержание понятие огибающей, поэтому при теоретическом изучении особенностей их распространения в различных оптических средах обычно анализируют динамику непосредственно поля излучения [1–3].
К настоящему времени изучены многие явления нелинейной оптики таких предельно коротких (по числу колебаний) импульсов: их временное и спектральное уширение и сжатие, самофокусировка, нелинейное отражение, взаимодействие при попутном распространении [4–10]. В работе [11], по-видимому, впервые были выведены уравнения динамики поля световых импульсов из малого числа колебаний при их встречном распространении в нелинейной среде. В настоящей работе приведены аналитические интегральные решения этих уравнений. На их основе рассмотрены основные закономерности взаимодействия в нелинейных диэлектрических средах встречных оптических импульсов, содержащих лишь несколько колебаний светового поля.
Уравнения динамики поля плоских встречных световых волн из малого числа колебаний и их решения
В работе [11] нами были выведены уравнения, описывающие динамику полей
встречных плоских световых волн из малого числа колебаний при их взаимодействии в диэлектрических средах с безынерционной кубической нелинейностью вида
⎧
∫ ( )⎪
⎪
∂E+ ∂z
⎨ ⎪
∂E−
∫ ( )⎩⎪ ∂z
+ −
N0 c
N0 c
∂E+ ∂t
∂E− ∂t
−a +a
∂ 3 E+ ∂t 3
∂ 3 E− ∂t 3
t
+ b E+dt′ +
−∞
t
− b E−dt′ −
−∞
cg 2N0
cg 2N0
∂ ∂t
∂ ∂t
E+3 + 3E+2 E− + 3E+ E−2 E−3 + 3E−2 E+ + 3E− E+2
= 0, = 0,
(1)
где E+ ( z,t ) – поле волны, распространяющейся в положительном направлении оси z ,
E− ( z,t ) – поле волны, распространяющейся ей навстречу; t – время, c – скорость света в
Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, 2010, № 2(66)
23
ЗАКОНОМЕРНОСТИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ВСТРЕЧНЫХ СВЕТОВЫХ ВОЛН ИЗ МАЛОГО...
вакууме; N0 , a,b – параметры, характеризующие типичную нерезонансную зависимость
показателя преломления диэлектрической среды в диапазоне ее прозрачности [12],
n
=
N0
+ caω2
−c
b ω2
,
(2)
от частоты ω,
g
=
4πχ c2
описывает нелинейность ее поляризационного отклика
Рнл = χE3 [1, 9], χ – нелинейная восприимчивость среды.
Для получения решений уравнений (1) их удобно нормировать, вводя новые без-
размерные
переменные
E′ =
E E+0
,
z′ =
z λ+с
,
t′
=
t T+ c
,
где
E+0
–
максимальное
значение
на
границе нелинейной среды поля излучения, например, прямой волны E+ ; T+c – ее цен-
тральный
период
колебаний
на
той
же
границе,
λ+с
=
cT+c N0
– центральная длина волны.
В новых переменных уравнения (1) запишутся как
⎧
∫ ( )⎪
⎪
∂E+ ∂z
⎨ ⎪
∂E−
∫ ( )⎩⎪ ∂z
+
∂E+ ∂t
−
A
∂ 3 E+ ∂t 3
+
∞
B E+dt′ +G
−∞
∂ ∂t
−
∂E− ∂t
+
A
∂ 3 E+ ∂t 3
−
∞
B
−∞
E+dt′ − G
∂ ∂t
E+3 + 3E+2 E− + 3E+ E−2 E−3 + 3E−2 E+ + 3E− E+2
= 0, = 0,
(3)
где безразмерные коэффициенты
A
=
ac
N
T2
0 +c
,
B
=
bcT+2c N0
,
G
=
c2 gE+20 2 N 02
=
2πχE+20 N02
.
В
уравне-
ниях (3) и ниже значок «΄» для краткости не пишем.
Хотя интенсивность встречных световых волн, при которой не будет наблюдаться
разрушение вещества, из-за их предельно коротких длительностей может быть весьма
велика [13], но результаты их столкновения все-таки очень сильными быть не могут из-
за скоротечности взаимодействия. Поэтому естественным методом решения уравнений
(3) является метод последовательных приближений Пикара [14], в котором малым па-
раметром является G .
Далее для простоты, но без ограничения общности, будем рассматривать среду
без дисперсии линейного показателя преломления. Во-первых, это приближение вы-
полняется при G >> A, B , а, во-вторых, из-за малости нерезонансной дисперсии показа-
теля преломления диэлектриков (2) ее, при необходимости, в первом приближении не-
сложно учитывать, включая в итерационное решение уравнений (3) аддитивно к нели-
нейным слагаемым.
В соответствии с техникой последовательных приближений [14] будем искать
решение уравнений (3) в виде
⎪⎧ ⎨ ⎪⎩
E+ E−
= =
E+(0) E−(0)
+ GE+(1) + GE−(1)
+ G2 E+(2) + G2 E−(2)
+ ..., + ...,
(4а) (4б)
в котором в данной работе и в (4а), и в (4б) ограничимся первыми двумя слагаемыми.
Тогда в представлении (4) система уравнений (3) при A = B = 0 примет вид
⎧ ⎪⎪
∂E+(0) ∂z
+
∂E+(0) ∂t
= 0,
⎨ ⎪
∂E−(0)
⎩⎪ ∂z
−
∂E−(0) ∂t
=
0,
(5)
24 Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета
информационных технологий, механики и оптики, 2010, № 2(66)
Е.М. Буяновская, С.А. Козлов
⎧
( )⎪⎪
∂E+(1) ∂z
+
∂E+(1) ∂t
+
∂ ∂t
E+(0)3 + 3E+(0)2 E−(0) + 3E+(0) E_(0)2
⎨ ⎪
∂E−(1)
( )⎪⎩ ∂z
−
∂E−(1) ∂t
−
∂ ∂t
E−(0)3 + 3E_(0)2 E+(0) + 3E−(0) E+(0)2
(6а) (6б)
Решение системы (5) имеет вид [11, 15]:
⎧⎪E+(0) ( z, t ) = E+(0) (t − z ) ,
⎨ ⎩⎪
E_(0)
(
z,
t
)
=
E_(0)
(t
+
z
)
(7)
и определяется граничными условиями.
Каждое из уравнений системы (6) также несложно решить в квадратурах. Напри-
мер, первое уравнение этой системы (6а) можно, как это сделано в [11], переписать в
новых переменных z′ = z, τ = t − z . Тогда его решение примет вид:
∫ ( ) ∫ (( ) )( ) ( )E+(1)
z′, τ
z′
=−
∂
z0′ ∂τ
E+(0)
τ
3
dz′′
−
z′
3
z0′
∂ ∂τ
E+(0) (τ) 2 E−(0) (τ + 2z′′) dz′′ −
(8)
( ( ) )∫z′
−3
z0′
∂ ∂τ
E+(0) (τ)
E−(0) (τ + 2z′′) 2
dz′′,
где первое слагаемое в правой части соотношения характеризует самовоздействие све-
тового импульса, распространяющегося от границы нелинейной среды z0′ в положи-
тельном направлении оси z′ , а второе и третье – взаимодействие встречных импульсов
в нелинейной среде. Отметим, что соотношение (8) содержит как частный случай ре-
шение задачи о столкновении высоко- и низкоинтенсивной ( E−(0) >> E+(0) ) встречных волн, рассмотренной в [11].
Решение (8) можно привести к более удобному для дальнейшего анализа виду:
( ) ( ) ∫E+(1)
(
z′,
τ
)
=
−
⎡ ⎢⎣
∂ ∂τ
E+(0) (τ)
3
⎤ ⎥⎦
(
z′
−
z0′
)
−
3
∂ ∂τ
⎡ ⎢ ⎢⎣
E+(0) (τ)
2
z′
E−(0)
(
τ
+
2
z
′′
⎤
)dz′′⎥
−
z0′ ⎦⎥
(9)
( ) ∫ ( )−3
∂
⎡ ⎢
∂τ ⎣⎢
E+(0) (τ)
z′ z0′
E−(0) (τ + 2z′′) 2dz′′⎥⎤ .
⎦⎥
Несложно показать, что аналогичным (8) и (9) будет выглядеть и решение урав-
нения (6б), но его следует решать в переменных z′ = z, ξ = t + z .
Закономерности взаимодействия плоских встречных световых волн из малого числа колебаний
На рис. 1 приведена иллюстрация решения (7), которое получено в первой итера-
ции метода Пикара для импульса вида:
E(0) +
(τ)
=
exp(−
τ2 τ+2
)
sin(2πτ)
,
и встречной ему волны вида
(10)
E−(0)
(
z′,
τ)
=
γ
exp(−
(
τ
+ 2z′)2
τ2−
)
sin
(
2πδ
(
τ
+
2z′))
(11)
Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, 2010, № 2(66)
25
ЗАКОНОМЕРНОСТИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ВСТРЕЧНЫХ СВЕТОВЫХ ВОЛН ИЗ МАЛОГО...
где
γ=
E−0 E+0
,
E+0 , и
E−0
– исходные амплитуды взаимодействующих импульсов;
δ
=
T+ c T−c
,
T+c ,T−c
–
их
центральные
периоды
колебаний,
τ+
=
τ+0 T+c
,
τ−
=
τ−0 T+c
,
τ+0 , τ−0
–
исходные
длительности импульсов.
Распространение встречных волн (10) и (11) представлено в системе координат z′
и τ , сопровождающей импульс (10), т.е. в той же системе, в которой получено и реше-
ние (9) в следующей второй итерации. Динамика полей встречных импульсов дана для
случая γ = 1, δ = 2, τ+ = 0.5, τ− = 1 . Из рис. 1 видно, что форма импульсов, полученная при расчете в первой итерации, при их распространении и столкновении не изменяется.
Оптическая среда, как следует из уравнений (5), в этом приближении для встречных
волн линейна.
Рис. 1. Распространение встречных световых импульсов из малого числа колебаний в линейной оптической среде
На рис. 2, 3 приведены поправки (9) к решению (7), которые получены во второй итерации, учитывающей нелинейность среды. На них также дано общее решение (4а) исходной системы (3), описывающее самовоздействие импульса (10) и его взаимодействие с волной (11) в нелинейной среде.
На рис. 2 проиллюстрированы результаты самовоздействия импульса (10), описываемые первым слагаемым в правой части выведенного выражения (9). На рис. 2, а, представлена рассчитанная во второй итерации поправка к полю E+(1) , а на рис. 2, б – к
26 Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета
информационных технологий, механики и оптики, 2010, № 2(66)
Е.М. Буяновская, С.А. Козлов
∫модулю спектра
g+(1) (ω) =
∞
( )E+(1) τ eiωτd τ
при
G
(
z′
−
z0′
)
=
1 3
.
Как
видно
из
рис.
2,
а,
и
2,
−∞
б, решение (9) описывает уширение спектра импульса и генерацию излучения на утро-
енных частотах. Отметим заметное смещение максимума уширяемого спектра импуль-
са и излучения на утроенных частотах в высокочастотную область.
б)
а)
в)
Рис. 2. Изменение временной структуры светового импульса из малого числа колебаний из-за его самовоздействия в нелинейной оптической среде:
итерационная добавка к полю E+(1) (а) и спектру g+(1) (б), результирующее поле (в). Пунктиром показана временная структура поля до самовоздействия импульса
На рис. 2, в, приведена сумма E+(0) и первого слагаемого в выражении GE+(1) , которая описывает результат самовоздействия импульса (10) в нелинейной среде, при
G ( z′ − z0′ )
=
1 3
.
Пунктиром
даны
формы
поля
исходного
импульса.
Из
рисунка
видно,
что основные максимум и минимум «однопериодного» светового импульса из-за само-
воздействия излучения в нелинейной среде во времени τ начинают запаздывать. При
сохранении положения нулей поля это приводит к искажению временной структуры
импульса и описанному выше изменению его спектра.
На рис. 3 проиллюстрированы результаты воздействия на импульс (10) встречной
волны (11), описываемые вторым и третьим слагаемым в правой части выражения (9).
На рис. 3, а, приведена добавка к полю импульса E+(1) , полученная в результате взаимо-
действия. На рис. 3, б, представлен ее спектр
g
(1)
+
.
На
рис.
3,
в,
приведена
временная
структура электрического поля E+ = E+(0) + GE+(1) импульса до и после воздействия на него встречного импульса.
Из рис. 3 видно, что временная структура поля импульса из-за взаимодействия со
встречным импульсом изменяется так, что больше всего смещаются во времени «нули»
поля и не смещаются его экстремумы. «Центр тяжести» спектральной плотности при
этом смещается в коротковолновую область. Важно, что эффективность этих явлений
определяется энергией встречного импульса и не зависит от его длительности и спек-
тральной структуры. Последнее утверждение несложно обосновать, анализируя выра-
Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, 2010, № 2(66)
27
ЗАКОНОМЕРНОСТИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ВСТРЕЧНЫХ СВЕТОВЫХ ВОЛН ИЗ МАЛОГО...
жение (9). При z′ ≥ 1 (см. рис. 1), т.е. по окончании взаимодействия встречных импульсов, интеграл во втором слагаемом соотношения (9) для оптических импульсов становится равным нулю [1, 11], а интеграл в третьем слагаемом принимает смысл энергии встречного импульса. Генерации комбинационных частот в таких условиях не происходит. Но при этом отметим, что, если вторая граница нелинейной среды окажется при z ≤ 1, т.е., когда взаимодействие еще не заканчивается, то генерация на комбинационных и кратных частотах из-за взаимодействия встречных импульсов возможна [11].
б)
а)
в)
Рис. 3. Изменение временной структуры светового импульса из малого числа колебаний из-за воздействия встречного импульса в нелинейной оптической среде: итерационная добавка к полю E+(1) (а) и спектру g+(1) (б), результирующее поле (в).
Пунктиром показана временная структура поля до взаимодействия импульсов
Заключение В работе теоретически исследованы закономерности взаимодействия встречных световых волн из малого числа колебаний в нелинейных диэлектрических средах. В результате проведенных исследований получено аналитическое решение уравнений динамики поля встречных световых волн из малого числа колебаний, взаимодействующих в диэлектрической среде с безынерционной кубичной по полю нелинейностью. Показано, что временная структура поля импульса из-за взаимодействия со встречным импульсом изменяется так, что больше всего смещаются во времени «нули» поля и не смещаются его экстремумы. «Центр тяжести» спектральной плотности при этом смещается в коротковолновую область, генерации комбинационных частот в таких условиях не происходит. Эффективность этих явлений определяется энергией встречного импульса и не зависит от его длительности и спектральной структуры. Работа поддержана грантами РНП 2.1.1/4923 и РФФИ 08-02-00902-а.
Литература 1. Козлов С.А., Сазонов С.В. Нелинейное распространение импульсов длительностью
в несколько колебаний светового поля в диэлектрических средах // ЖЭТФ. – 1997. – Т. 111. – В. 2. – С. 404–418.
28 Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета
информационных технологий, механики и оптики, 2010, № 2(66)
Е.М. Буяновская, С.А. Козлов
2. Nazarkin A., Korn G. Raman self-conversion of femtosecond laser pulses and generation of single-cycle radiation // Phys. Rev. A. –1998. – V. 58. – № 1. –P. R61–R64.
3. Маймистов А.И. Некоторые модели распространения предельно коротких электромагнитных импульсов в нелинейной среде // Квантовая электроника. – 2000. – Т. 30. – № 4. – С. 287–304.
4. Казанцева Е.В., Маймистов А.И. Распространение предельно коротких импульсов в нерезонансной квадратично-нелинейной среде // Квантовая электроника. – 2000. – Т. 30. – № 7. – С. 623–628.
5. Shpolyanskiy Y.A., Belov D.L., Bakhtin M.A., Kozlov S.A. Analytic study of continuum spectrum pulse dynamics in optical waveguides // Applied Physics B. – 2003. – V. 77. – № 2–3. – Р. 349–356.
6. Сазонов С.В., Халяпин В.А. О влиянии дифракции на нелинейное распространение оптических импульсов длительностью в несколько колебаний // Квантовая электроника. – 2004. – Т. 34. – № 11. – С.1057–1063.
7. Ястребова Н.В., Шполянский Ю.А., Козлов С.А. Нелинейное отражение импульсов из малого числа колебаний светового поля от просветленной границы раздела сред // Оптический журнал. – 2004. – Т. 71. – № 6. – С. 78–83.
8. Белов Д.Л., Козлов С.А., Шполянский Ю.А. О самосжатии спектрального суперконтинуума // Известия РАН, серия физическая. – 2005. – Т. 69. – № 8. – С. 1128– 1130.
9. Berkovsky A.N., Kozlov S.A., Shpolyanskiy Y.A. Self-focusing of few cycle light pulses in dielectric media // Physical. Review A72. – 2005. – 043821 (9 pages).
10. Бахтин М.А., Козлов С.А. Формирование последовательности сверхкоротких сигналов при столкновении импульсов из малого числа колебаний светового поля в нелинейных оптических средах // Оптика и спектроскопия. – 2005. – Т. 98. – № 3. – С. 425–430.
11. Буяновская Е.М., Козлов С.А. Динамика полей встречных световых импульсов из малого числа колебаний в нелинейных диэлектрических средах // Письма в ЖЭТФ. – 2007. – Т. 86. – В. 5–6. – С. 349–353.
12. Борн М., Вольф Э. Основы оптики. – М.: Наука, 1973. – 720 с. 13. Brabec Th., Krausz F. Intense few-cycle laser fields: Frontiers of nonlinear optics // Rev.
Mod. Phys. – 2000. – V. 72. – № 2. – P. 545–591. 14. Корн Г., Корн Т, Справочник по математике. – М.: Наука, 1977. – 831 с. 15. Буяновская Е.М, Козлов С.А. Взаимодействие встречных световых импульсов из
малого числа колебаний в нелинейных диэлектрических средах // Научнотехнический вестник СПбГУ ИТМО. – 2006. – № 30. – С. 97–101. 16. Фарлоу С. Уравнения с частными производными для научных работников и инженеров. – М.: Мир, 1985. – 384 с.
Буяновская Елизавета Михайловна – Санкт-Петербургский государственный университет ин-
формационных технологий, механики и оптики, аспирант,
lee.buyanovskaya@gmail.com
Козлов Сергей Аркадьевич
– Санкт-Петербургский государственный университет ин-
формационных технологий, механики и оптики, доктор
физ.-мат. наук, профессор, декан
Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, 2010, № 2(66)
29