АНАЛИЗ ПЕРЕКРЕСТНЫХ СВЯЗЕЙ В ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ КЛАССА „ДВУМЕРНЫЙ ВХОД — ВЫХОД“ С ОДНОТИПНЫМИ КАНАЛАМИ
УДК 62.50
Е. Д. ЛИХОЛЕТОВ, А. В. УШАКОВ, А. Ю. ЦВЕНТАРНЫЙ
АНАЛИЗ ПЕРЕКРЕСТНЫХ СВЯЗЕЙ В ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ КЛАССА „ДВУМЕРНЫЙ ВХОД — ВЫХОД“
С ОДНОТИПНЫМИ КАНАЛАМИ
Показывается, что работоспособность динамических систем класса „двумерный вход — выход“ с однотипными каналами и матрицей вращения перекрестных связей сохраняется, если ее аргумент не превышает запаса устойчивости по фазе сепаратного канала системы. Предлагается способ увеличения запаса устойчивости скалярных полиномиальных динамических моделей.
Ключевые слова: динамическая система, перекрестные связи, матрица вращения, запас устойчивости.
Постановка задачи. Рассматривается проблема построения автоматических систем, встраиваемых в измерительные мониторинговые комплексы, использующие принцип следящего преобразования. Такие системы, как правило [1—5], являются двухканальными с однотипным исполнением каналов и характеризуются наличием перекрестных межканальных связей с матрицей типа „матрица вращения“ (МВ). Наличие перекрестных связей при определенных значениях аргумента µ МВ становится причиной потери работоспособности двухка-
нальных систем при устойчивых сепаратных каналах. В настоящей статье рассматривается проблема установления связи аргумента µ МВ с
запасом устойчивости ∆ϕ по фазе сепаратных однотипных каналов, степень различия кото-
рых оказывается важным фактором. Определение связи между предельно допустимым значением аргумента матрицы
вращения и запасом устойчивости сепаратных каналов. Основной результат. Рассмотрим динамическую систему (ДС) класса „двумерный вход — выход“, структур-
ная схема которой приведена на рис. 1. Здесь gi , εi , yi , i =1, 2 , — внешнее воздействие, ошибка слежения и выход i-го сепаратного канала соответственно; µ — аргумент матрицы
межканальных связей (матрицы вращения) T = col{[cos µ sin µ], [− sin µ cos µ]} ; ν1, ν2 —
переменные, образующие двумерный выход матрицы T ; W (s) — передаточная функция
прямой цепи i-го сепаратного канала спроектированной системы, имеющая представление
W (s) = M (s)N −1(s) ,
(1)
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 7
36 Е. Д. Лихолетов, А. В. Ушаков, А. Ю. Цвентарный
где M (s), N (s) — полиномы с вещественными коэффициентами степенью m и n ( m < n ) соответственно, образующие при µ = 0 характеристический полином D(s) каждого сепаратного канала в замкнутом виде в силу соотношения D(s) = N (s)+ M (s) .
–1
ε1 cos µ g1
–sin µ
ν1 W(s)
y1
sin µ
cos µ g2 ε2
W(s) ν2
y2
–1
Рис. 1
Для аналитического описания системы (см. рис. 1) воспользуемся скалярным комплек-
сированным представлением, опирающимся на приведенные в работах [6—9] результаты,
модифицированные применительно к представлению матрицы межканальных связей в виде
матрицы вращения.
Утверждение 1. Двухканальная система (см. рис. 1) с помощью процедуры комплекси-
рования векторных переменных может быть приведена к скалярному представлению с пере-
даточной функцией Wэкв (s) прямой цепи вида
Wэкв (s) = e− jµW (s) .
(2)
Доказательство. Для рассматриваемой схемы справедливы следующие соотношения:
⎡ ⎢ ⎣
y1(s) ⎤ y2 (s)⎥⎦
=
⎡W (s ⎢⎣ 0
)
W0(s)⎥⎦⎤⋅⎣⎢⎡−csoisnµµ
sin cos
µ⎤ µ⎦⎥
⋅⎢⎡⎣εε12
(s) ⎤ (s)⎥⎦
;
(3)
y1(s) =W (s)(cos µ)ε1(s)+W (s)(sin µ)ε2 (s) ,
(4)
y2 (s) = −W (s)(sin µ)ε1(s)+W (s)(cos µ)ε2 (s) .
Введем в рассмотрение комплексированные переменные двухканальной системы: g* = g1 + jg2 , ε* = ε1 + jε2 , y* = y1 + jy2 .
Умножив соотношение (5) на j = −1 , в результате получим
(5) (6)
jy2 (s) = −W (s)( j sin µ)ε1(s)+W (s)(cos µ)( jε2 (s)) .
Просуммируем выражения (4) и (7) и воспользуемся представлениями (6): y* (s) = y1(s)+ jy2 (s) =W (s)(cos µ)ε1(s)+W (s)(sin µ)ε2 (s)− −W (s)( j sin µ)ε1(s)+W (s)(cos µ)( jε2 (s)) =
=W (s)(cos µ)ε1(s)−W (s)( j sin µ)( jε2 (s))−W (s)( j sin µ)ε1(s)+W (s)(cos µ)( jε2 (s)) =
=W (s){cos µ− j sin µ}ε1(s)+W (s){cos µ− j sin µ}( jε2 (s)) =
=W (s)e− jµ (ε1(s)+ jε2 (s)) = e− jµW (s)ε* (s) =Wэкв (s)ε* (s).
(7) (8) ■
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 7
Анализ перекрестных связей в динамических системах класса „двумерный вход — выход“ 37
Доказанное утверждение делает справедливыми положения утверждения 2. Утверждение 2. Двухканальная система (см. рис. 1) с симметричными каналами, описываемая передаточной функцией (2) относительно комплексированных переменных ε*(s) , y*(s) , оказывается на границе устойчивости, если аргумент µ матрицы T удовлетворяет условию
µ = ∆ϕ ,
(9)
и становится неустойчивой при
µ > ∆ϕ .
(10)
Доказательство. В силу критерия устойчивости Найквиста если выполняется условие (9), то передаточная функция (2) характеризуется нулевым запасом устойчивости, при этом ее
частотный годограф проходит через критическую точку (−1; 0) , а при выполнении условия
(10) он охватывает эту точку.
■
П р и м е ч а н и е . Если аргумент µ оказывается интервальной величиной [µ]= ⎡⎣µ,µ⎦⎤ со-
{ }гласно работам [9, 10], то в неравенстве (10) следует положить µ = max µ , µ .
Максимизация запаса устойчивости сепаратных каналов в стандартных полиномиальных динамических моделях (ПДМ) на основе модальных представлений. Решение этой задачи осуществляется в соответствии со следующей логикой. Вычленим из структуры двухканальной системы (см. рис. 1) сепаратный канал с передаточной функцией (1), которую представим в виде
W (s) =
M (s) D(s)−M (s)
=
1 s
νn
∑sn−1 + n−1νi sn−1−i
.
i=1
(11)
В замкнутом виде уравнение (11) формирует передаточную функцию „вход — выход“:
Φ(s) =
yi gi
(s) (s)
=
W (s) 1+W (s)
=
M (s) D(s)
=
sn
νn
+
n
∑
νi
sn−i
.
i=1
(12)
Оценка запаса устойчивости сепаратного канала (12) осуществляется согласно следующей процедуре.
1. Задать ПДМ с характеристическим полиномом D(s) , имеющим известные (Баттер-
ворта, Ньютона) распределения мод или их модификации. 2. На основе выбранного в п. 1 представления ПДМ вычислить передаточную функцию
разомкнутой системы вида (11). 3. Оценить запас устойчивости по фазе с помощью критерия устойчивости Найквиста,
примененного к передаточной функции (11), с использованием процедуры „BODE“ в программе MatLab Simulink.
При модификации распределения мод Баттерворта (МРМБ) изменяемым параметром
является величина ψ∈[π / 2; 0] их локализации в левой полуплоскости на единичной окруж-
ности в секторе раскрывом 2ψ .
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 7
38 Е. Д. Лихолетов, А. В. Ушаков, А. Ю. Цвентарный
На рис. 2 приведен график зависимости ∆ϕ(ψ) для МРМБ с первого порядка по пятый
( n =1, 5 ). Для всех порядков ПДМ обнаруживается общая тенденция увеличения запаса устойчивости с уменьшением параметра ψ раскрыва сектора.
∆ϕ, …°
90
80
70
60
50 — n=1 40 — n=2 30 20 — n=3
— n=4 10 — n=5
0 10 20 30 40 50 60 70 ψ, …°
Рис. 2
В табл. 1 приведены значения ∆ϕ для ПДМ с биномиальным распределением мод Нью-
тона (БРМН) при n =1, 5 , здесь в аналитическом представлении полинома D(s, ω0 ) ω0 — характеристическая частота БРМН. Сравнение величин ∆ϕ , представленных на рис. 2 и в
табл. 1, показывает, что запас устойчивости по фазе с БРМН превышает запасы устойчивости с МРМБ для равных порядков ПДМ при ψ ≠ 0 , а при ψ = 0 эти величины совпадают. Таким
образом, основное направление дальнейших модификаций распределений мод ПДМ будем связывать с возможностями модифицируемости БРМН.
Таблица 1
n Аналитическое представление полинома D(s, ω0 )
∆φ, …°
1 s + ω0
90
2 ( s + ω0 )2
76,34
3 ( s +ω0 )3
71,25
4 ( s + ω0 )4
68,58
5 ( s +ω0 )5
66,93
В качестве модифицируемой версии распределения мод используется версия биноми-
ального распределения, параметризованная коэффициентом ν , записываемая в виде
n−1
D(λ) = D(λ, ω0 , ν) = ∏ (λ+ω0 (1+iν)) , i=0
(13)
где λ — корень характеристического полинома.
Очевидно, что при ν = 0 модифицированное биномиальное распределение принимает
вид канонического биномиального.
При построении модифицированного БРМН в виде (13) учитывается доминирование
одной моды над остальными, в соответствии с которым обеспечивается выбор параметра ν .
Следует ожидать, что при ν ≥10 система с характеристическим полиномом вида (13) будет
максимально приближена к апериодическому звену 1-го порядка.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 7
Анализ перекрестных связей в динамических системах класса „двумерный вход — выход“ 39 На рис. 3 приведен график зависимости ∆ϕ(ν) для ПДМ с первого порядка по пятый ( n =1, 5 ). Для всех порядков ПДМ обнаруживается общая тенденция увеличения запаса устойчивости с увеличением параметра ν .
∆ϕ, …°
90
85
80 — n=1
75 — n=2 — n=3
70 — n=4
— n=5 65
0 1 2 3 4ν
Рис. 3
Для обеспечения работоспособности двухканальной динамической системы с перекрестными связями путем повышения запаса устойчивости сепаратных каналов необходимо ре-
шить проблему степени свободы назначения параметров ω0 и ν . Для решения этой проблемы будут полезны положения следующего утверждения.
Утверждение 3. Если ПДМ сепаратного канала системы имеет характеристический по-
лином вида (13), то добротность Di = gi εi уст (где εi уст — установившаяся ошибка в i-м се-
паратном канале) канала по скорости определяется в соотношением
Di
=
⎧⎪ 1
⎨ ⎩⎪
ω0
+
1
(1+ ν )
ω0
+
1
(1+2ν) ω0
+"+
(1+(
1
n −1)
ν)
ω0
⎪⎫−1 ⎬ ⎭⎪
.
(14)
Доказательство строится на использовании аналитического представления добротно-
сти по скорости сепаратного канала на основе выражения (11) в виде Di = νn (ω0 ) νn−1 (ω0 ) .
Если с помощью соотношения (13) сформировать вид коэффициентов νn−1(ω0 ) и νn (ω0 ) , то
их отношение приводит к уравнению (14).
■
Построение банка моделей ПДМ с динамическими показателями, параметризо-
ванными характеристической частотой ω0 и аргументом µ МВ. Полученные результаты по выбору полиномиальной модели с максимальным запасом устойчивости по фазе следует
{ }дополнить таблицей показателей β j , j =1, p качества процессов в переходном и установив-
шемся режимах сепаратного канала, вмонтированного в структуру двухканальной системы с перекрестными связями, характеризующимися аргументом µ . Таким образом, таблица пока-
зателей будет содержать их значения β j (ν, ω0 , µ) . В качестве примера в табл. 2 приведены значения показателей β j (ν, ω0 , µ) для ПДМ
третьего порядка (n = 3) с модифицированным БРМН при ν = 5, ν =10, ν = 20 и µ∈[0, 60°] ∀ω0 ;
в таблице: σ — перерегулирование; tσ — момент достижения переходной характеристикой ее максимального значения; t1 — время первого, после tσ , пересечения переходной характеристикой границы допустимой ошибки ∆=5 %; t2 — время последнего пересечения
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 7
40 Е. Д. Лихолетов, А. В. Ушаков, А. Ю. Цвентарный
переходной характеристикой границы допустимой ошибки ∆=5 %. Длительность переходно-
го процесса tпр определяется выражением tпр = max{t1, t2} .
Таблица 2
ν=5
ν =10
ν = 20
µ, …° σ, % tσ
t1 , c
t2 , c
Di ω0
σ, %
tσ
t1 , c t2 , c
Di ω0
σ, %
tσ
t1 , c t2 , c
Di ω0
0 0 — — — 0,769 0 — — — 0,87 0 — — — 0,930
6 0 — — — 0,774 0 — — — 0,874 0 — — — 0,935
12 0 — — — 0,786 0 — — — 0,889 0 — — — 0,951
18 0 — — — 0,809 0 — — — 0,914 0 — — — 0,978
3, 54
24 1
— — 0,842 0
— — — 0,952 0 — — — 1,018
ω0
3, 07
30 1,5
—
ω0
3, 03 3, 06
— 0,888 1,06
— — 1,004 0,7
— — 1,074
ω0 ω0
2, 78
36 3,8
—
ω0
2, 65 2, 64
— 0,951 2,7
— — 1,075 2
— — 1,15
ω0 ω0
2, 58 3, 35
2, 4 3,17 5, 28
2, 36
42 7,7
— 1,035 5,6
1,17 4,2
— — 1,252
ω0 ω0
ω0 ω0 ω0
ω0
2, 45 3, 24
2, 23 3, 03 5, 98
2,15 2, 92 5, 52
48 13,6
— 1,149 10,28
1,3 8
1,39
ω0 ω0
ω0 ω0 ω0
ω0 ω0 ω0
2, 36 3,16
2,11 2, 93 6, 25
2, 01 2, 79 5, 86
54 22,4
— 1,307 17,4
1,479 13,8
1,583
ω0 ω0
ω0 ω0 ω0
ω0 ω0 ω0
2, 31 3,11 10, 28
2, 03 2, 85 9,1
1, 9 2, 7 5, 96
60 37,6
1,539 27,8
1,739 22,4
1,861
ω0 ω0 ω0
ω0 ω0 ω0
ω0 ω0 ω0
Использование данных табл. 2 позволяет предложить следующую оформленную в виде алгоритма процедуру поканального синтеза систем класса „двумерный вход — выход“, основанную на использовании возможностей модального управления.
Алгоритм. 1. Сформулировать требования к значениям показателей качества проектируемой системы в переходном и установившемся режимах. 2. Произвести оценку возможного диапазона вариаций параметра µ — аргумента мат-
рицы T — с последующим его представлением в виде интервального числа [µ] = ⎣⎡µ, µ⎤⎦ .
{ }3. В силу доказанных утверждений принять µ = max µ , µ .
4. Произвести оценку порядка n исходной динамической модели сепаратного канала на основе модельных представлений образующих его функциональных компонентов и выбрать значение параметра ν .
5. Построить векторно-матричное ( A, B, C )-представление исходной динамической мо-
дели сепаратного канала, рассматриваемого в процедуре синтеза как объект управления.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 7
Анализ перекрестных связей в динамических системах класса „двумерный вход — выход“ 41
6. Осуществить выбор типа ПДМ (параметризованной коэффициентом ν , характери-
стической частотой ω0 и аргументом µ ), доставляющей системе в условиях наличия перекрестных связей динамические показатели, сформированные в п. 1.
7. Построить модальную модель на основе векторно-матричного ( Г , H )-представления
ПДМ, выбранной при выполнении п. 6.
8. Осуществить канонический синтез [4—9, 10] сепаратных каналов двухканальной сис-
темы с использованием возможностей модельного управления.
9. Провести комплексное экспериментальное исследование в программе Matlab Simulink
динамических показателей спроектированной двухканальной ДС.
Результаты компьютерного эксперимента. Для иллюстрации полученных результа-
тов проведено исследование двух версий двухканальной динамической системы (см. рис. 1),
каналы которых построены с использованием ПДМ третьего порядка с модифицируемым би-
номиальным распределением для значений ν =1 и ν =10 при ω0 =10 c−1 и µ = 0 , 30 и 75°. Графики процессов в пространстве выходов двумерной системы при входном вектор-
ном скачкообразном единичном воздействии приведены на рис. 4, а—е.
а) y2
ν=1, µ=0
б) y2
ν=10, µ=0
1,5 1,5
11
0,5 0,5
00
–0,5
в) y2 1,5 1 0,5
0
0 0,5 1 1,5 y1 ν=1, µ=30°
–0,5
г) y2 1,5 1 0,5
0
0 0,5 1 1,5 y1 ν=10, µ=30°
–0,5
д) y2 2 1 0
0 0,5 1 1,5 y1 ν=1, µ=75°
–0,5
е) y2 1,5 1 0,5 0
0 0,5 1 1,5 y1 ν=10, µ=75°
–1
01
2 y1
–0,5 0 0,5 1 1,5 y1
Рис. 4
ПДМ третьего порядка с модифицированным БРМН при ν =1 обладает запасом устой-
чивости ∆ϕ = 73, 277° , а при ν =10 — ∆ϕ =83, 711° . Как и следовало ожидать, при µ = 75° и
ν =1 (см. рис. 4, д) система оказывается неработоспособной, в то время как при µ = 75° и
ν =10 (см. рис. 4, е) система остается работоспособной.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 7
42 Е. Д. Лихолетов, А. В. Ушаков, А. Ю. Цвентарный
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Акунов Т. А., Сударчиков С. А., Ушаков А. В. Синтез фотоэлектрической следящей системы на основе интервальных модельных представлений. Часть I. Построение интервальной модели компонентов системы // Изв. вузов. Приборостроение. 2004. Т. 47, № 1.
2. Акунов Т. А., Сударчиков С. А., Ушаков А. В. Синтез фотоэлектрической следящей системы на основе интервальных модельных представлений. Часть II. Синтез управления, обеспечивающего стабильные эллипсоидные показатели качества системы // Там же. 2004. Т. 47, № 2.
3. Квакернаак Х., Сиван Р. Линейные оптимальные системы управления: Пер с англ. М: Мир, 1977.
4. Синтез дискретных регуляторов при помощи ЭВМ / В. В. Григорьев, В. Н. Дроздов, В. В. Лаврентьев, А. В. Ушаков. Л.: Машиностроение, 1983.
5. Николаев П. В., Сабинин Ю. А. Фотоэлектрические следящие системы. Л.: Энергия, 1969.
6. Мирошник И. В. Теория автоматического управления: Линейные системы. СПб.: Питер, 2005.
7. Бесекерский В. А., Попов Е. П. Теория систем автоматического регулирования. СПб.: Профессия, 2003.
8. Ушаков А. В. Обобщенное модальное управление // Изв. вузов. Приборостроение. 2000. Т. 43, № 3.
9. Никифоров В. О., Ушаков А. В. Управление в условиях неопределенности: чувствительность, адаптация, робастность. СПб.: СПбГИТМО (ТУ), 2002.
10. Дударенко Н. А., Слита О. В., Ушаков А. В. Математические основы современной теории управления: аппарат метода пространства состояний: Учеб. пособие / Под ред. А. В. Ушакова. СПб.: СПбГУ ИТМО, 2008.
Евгений Дмитриевич Лихолетов Анатолий Владимирович Ушаков Артем Юрьевич Цвентарный
Сведения об авторах — студент; Санкт-Петербургский государственный университет ин-
формационных технологий, механики и оптики, кафедра систем управления и информатики; E-mail: bsboris@gmail.com — д-р. техн. наук, профессор; Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра систем управления и информатики; E-mail: ushakov-AVG@yandex.ru — аспирант; Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра систем управления и информатики; E-mail: Taifyn@nm.ru
Рекомендована кафедрой систем управления и информатики
Поступила в редакцию 25.12.08 г.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 7
Е. Д. ЛИХОЛЕТОВ, А. В. УШАКОВ, А. Ю. ЦВЕНТАРНЫЙ
АНАЛИЗ ПЕРЕКРЕСТНЫХ СВЯЗЕЙ В ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ КЛАССА „ДВУМЕРНЫЙ ВХОД — ВЫХОД“
С ОДНОТИПНЫМИ КАНАЛАМИ
Показывается, что работоспособность динамических систем класса „двумерный вход — выход“ с однотипными каналами и матрицей вращения перекрестных связей сохраняется, если ее аргумент не превышает запаса устойчивости по фазе сепаратного канала системы. Предлагается способ увеличения запаса устойчивости скалярных полиномиальных динамических моделей.
Ключевые слова: динамическая система, перекрестные связи, матрица вращения, запас устойчивости.
Постановка задачи. Рассматривается проблема построения автоматических систем, встраиваемых в измерительные мониторинговые комплексы, использующие принцип следящего преобразования. Такие системы, как правило [1—5], являются двухканальными с однотипным исполнением каналов и характеризуются наличием перекрестных межканальных связей с матрицей типа „матрица вращения“ (МВ). Наличие перекрестных связей при определенных значениях аргумента µ МВ становится причиной потери работоспособности двухка-
нальных систем при устойчивых сепаратных каналах. В настоящей статье рассматривается проблема установления связи аргумента µ МВ с
запасом устойчивости ∆ϕ по фазе сепаратных однотипных каналов, степень различия кото-
рых оказывается важным фактором. Определение связи между предельно допустимым значением аргумента матрицы
вращения и запасом устойчивости сепаратных каналов. Основной результат. Рассмотрим динамическую систему (ДС) класса „двумерный вход — выход“, структур-
ная схема которой приведена на рис. 1. Здесь gi , εi , yi , i =1, 2 , — внешнее воздействие, ошибка слежения и выход i-го сепаратного канала соответственно; µ — аргумент матрицы
межканальных связей (матрицы вращения) T = col{[cos µ sin µ], [− sin µ cos µ]} ; ν1, ν2 —
переменные, образующие двумерный выход матрицы T ; W (s) — передаточная функция
прямой цепи i-го сепаратного канала спроектированной системы, имеющая представление
W (s) = M (s)N −1(s) ,
(1)
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 7
36 Е. Д. Лихолетов, А. В. Ушаков, А. Ю. Цвентарный
где M (s), N (s) — полиномы с вещественными коэффициентами степенью m и n ( m < n ) соответственно, образующие при µ = 0 характеристический полином D(s) каждого сепаратного канала в замкнутом виде в силу соотношения D(s) = N (s)+ M (s) .
–1
ε1 cos µ g1
–sin µ
ν1 W(s)
y1
sin µ
cos µ g2 ε2
W(s) ν2
y2
–1
Рис. 1
Для аналитического описания системы (см. рис. 1) воспользуемся скалярным комплек-
сированным представлением, опирающимся на приведенные в работах [6—9] результаты,
модифицированные применительно к представлению матрицы межканальных связей в виде
матрицы вращения.
Утверждение 1. Двухканальная система (см. рис. 1) с помощью процедуры комплекси-
рования векторных переменных может быть приведена к скалярному представлению с пере-
даточной функцией Wэкв (s) прямой цепи вида
Wэкв (s) = e− jµW (s) .
(2)
Доказательство. Для рассматриваемой схемы справедливы следующие соотношения:
⎡ ⎢ ⎣
y1(s) ⎤ y2 (s)⎥⎦
=
⎡W (s ⎢⎣ 0
)
W0(s)⎥⎦⎤⋅⎣⎢⎡−csoisnµµ
sin cos
µ⎤ µ⎦⎥
⋅⎢⎡⎣εε12
(s) ⎤ (s)⎥⎦
;
(3)
y1(s) =W (s)(cos µ)ε1(s)+W (s)(sin µ)ε2 (s) ,
(4)
y2 (s) = −W (s)(sin µ)ε1(s)+W (s)(cos µ)ε2 (s) .
Введем в рассмотрение комплексированные переменные двухканальной системы: g* = g1 + jg2 , ε* = ε1 + jε2 , y* = y1 + jy2 .
Умножив соотношение (5) на j = −1 , в результате получим
(5) (6)
jy2 (s) = −W (s)( j sin µ)ε1(s)+W (s)(cos µ)( jε2 (s)) .
Просуммируем выражения (4) и (7) и воспользуемся представлениями (6): y* (s) = y1(s)+ jy2 (s) =W (s)(cos µ)ε1(s)+W (s)(sin µ)ε2 (s)− −W (s)( j sin µ)ε1(s)+W (s)(cos µ)( jε2 (s)) =
=W (s)(cos µ)ε1(s)−W (s)( j sin µ)( jε2 (s))−W (s)( j sin µ)ε1(s)+W (s)(cos µ)( jε2 (s)) =
=W (s){cos µ− j sin µ}ε1(s)+W (s){cos µ− j sin µ}( jε2 (s)) =
=W (s)e− jµ (ε1(s)+ jε2 (s)) = e− jµW (s)ε* (s) =Wэкв (s)ε* (s).
(7) (8) ■
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 7
Анализ перекрестных связей в динамических системах класса „двумерный вход — выход“ 37
Доказанное утверждение делает справедливыми положения утверждения 2. Утверждение 2. Двухканальная система (см. рис. 1) с симметричными каналами, описываемая передаточной функцией (2) относительно комплексированных переменных ε*(s) , y*(s) , оказывается на границе устойчивости, если аргумент µ матрицы T удовлетворяет условию
µ = ∆ϕ ,
(9)
и становится неустойчивой при
µ > ∆ϕ .
(10)
Доказательство. В силу критерия устойчивости Найквиста если выполняется условие (9), то передаточная функция (2) характеризуется нулевым запасом устойчивости, при этом ее
частотный годограф проходит через критическую точку (−1; 0) , а при выполнении условия
(10) он охватывает эту точку.
■
П р и м е ч а н и е . Если аргумент µ оказывается интервальной величиной [µ]= ⎡⎣µ,µ⎦⎤ со-
{ }гласно работам [9, 10], то в неравенстве (10) следует положить µ = max µ , µ .
Максимизация запаса устойчивости сепаратных каналов в стандартных полиномиальных динамических моделях (ПДМ) на основе модальных представлений. Решение этой задачи осуществляется в соответствии со следующей логикой. Вычленим из структуры двухканальной системы (см. рис. 1) сепаратный канал с передаточной функцией (1), которую представим в виде
W (s) =
M (s) D(s)−M (s)
=
1 s
νn
∑sn−1 + n−1νi sn−1−i
.
i=1
(11)
В замкнутом виде уравнение (11) формирует передаточную функцию „вход — выход“:
Φ(s) =
yi gi
(s) (s)
=
W (s) 1+W (s)
=
M (s) D(s)
=
sn
νn
+
n
∑
νi
sn−i
.
i=1
(12)
Оценка запаса устойчивости сепаратного канала (12) осуществляется согласно следующей процедуре.
1. Задать ПДМ с характеристическим полиномом D(s) , имеющим известные (Баттер-
ворта, Ньютона) распределения мод или их модификации. 2. На основе выбранного в п. 1 представления ПДМ вычислить передаточную функцию
разомкнутой системы вида (11). 3. Оценить запас устойчивости по фазе с помощью критерия устойчивости Найквиста,
примененного к передаточной функции (11), с использованием процедуры „BODE“ в программе MatLab Simulink.
При модификации распределения мод Баттерворта (МРМБ) изменяемым параметром
является величина ψ∈[π / 2; 0] их локализации в левой полуплоскости на единичной окруж-
ности в секторе раскрывом 2ψ .
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 7
38 Е. Д. Лихолетов, А. В. Ушаков, А. Ю. Цвентарный
На рис. 2 приведен график зависимости ∆ϕ(ψ) для МРМБ с первого порядка по пятый
( n =1, 5 ). Для всех порядков ПДМ обнаруживается общая тенденция увеличения запаса устойчивости с уменьшением параметра ψ раскрыва сектора.
∆ϕ, …°
90
80
70
60
50 — n=1 40 — n=2 30 20 — n=3
— n=4 10 — n=5
0 10 20 30 40 50 60 70 ψ, …°
Рис. 2
В табл. 1 приведены значения ∆ϕ для ПДМ с биномиальным распределением мод Нью-
тона (БРМН) при n =1, 5 , здесь в аналитическом представлении полинома D(s, ω0 ) ω0 — характеристическая частота БРМН. Сравнение величин ∆ϕ , представленных на рис. 2 и в
табл. 1, показывает, что запас устойчивости по фазе с БРМН превышает запасы устойчивости с МРМБ для равных порядков ПДМ при ψ ≠ 0 , а при ψ = 0 эти величины совпадают. Таким
образом, основное направление дальнейших модификаций распределений мод ПДМ будем связывать с возможностями модифицируемости БРМН.
Таблица 1
n Аналитическое представление полинома D(s, ω0 )
∆φ, …°
1 s + ω0
90
2 ( s + ω0 )2
76,34
3 ( s +ω0 )3
71,25
4 ( s + ω0 )4
68,58
5 ( s +ω0 )5
66,93
В качестве модифицируемой версии распределения мод используется версия биноми-
ального распределения, параметризованная коэффициентом ν , записываемая в виде
n−1
D(λ) = D(λ, ω0 , ν) = ∏ (λ+ω0 (1+iν)) , i=0
(13)
где λ — корень характеристического полинома.
Очевидно, что при ν = 0 модифицированное биномиальное распределение принимает
вид канонического биномиального.
При построении модифицированного БРМН в виде (13) учитывается доминирование
одной моды над остальными, в соответствии с которым обеспечивается выбор параметра ν .
Следует ожидать, что при ν ≥10 система с характеристическим полиномом вида (13) будет
максимально приближена к апериодическому звену 1-го порядка.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 7
Анализ перекрестных связей в динамических системах класса „двумерный вход — выход“ 39 На рис. 3 приведен график зависимости ∆ϕ(ν) для ПДМ с первого порядка по пятый ( n =1, 5 ). Для всех порядков ПДМ обнаруживается общая тенденция увеличения запаса устойчивости с увеличением параметра ν .
∆ϕ, …°
90
85
80 — n=1
75 — n=2 — n=3
70 — n=4
— n=5 65
0 1 2 3 4ν
Рис. 3
Для обеспечения работоспособности двухканальной динамической системы с перекрестными связями путем повышения запаса устойчивости сепаратных каналов необходимо ре-
шить проблему степени свободы назначения параметров ω0 и ν . Для решения этой проблемы будут полезны положения следующего утверждения.
Утверждение 3. Если ПДМ сепаратного канала системы имеет характеристический по-
лином вида (13), то добротность Di = gi εi уст (где εi уст — установившаяся ошибка в i-м се-
паратном канале) канала по скорости определяется в соотношением
Di
=
⎧⎪ 1
⎨ ⎩⎪
ω0
+
1
(1+ ν )
ω0
+
1
(1+2ν) ω0
+"+
(1+(
1
n −1)
ν)
ω0
⎪⎫−1 ⎬ ⎭⎪
.
(14)
Доказательство строится на использовании аналитического представления добротно-
сти по скорости сепаратного канала на основе выражения (11) в виде Di = νn (ω0 ) νn−1 (ω0 ) .
Если с помощью соотношения (13) сформировать вид коэффициентов νn−1(ω0 ) и νn (ω0 ) , то
их отношение приводит к уравнению (14).
■
Построение банка моделей ПДМ с динамическими показателями, параметризо-
ванными характеристической частотой ω0 и аргументом µ МВ. Полученные результаты по выбору полиномиальной модели с максимальным запасом устойчивости по фазе следует
{ }дополнить таблицей показателей β j , j =1, p качества процессов в переходном и установив-
шемся режимах сепаратного канала, вмонтированного в структуру двухканальной системы с перекрестными связями, характеризующимися аргументом µ . Таким образом, таблица пока-
зателей будет содержать их значения β j (ν, ω0 , µ) . В качестве примера в табл. 2 приведены значения показателей β j (ν, ω0 , µ) для ПДМ
третьего порядка (n = 3) с модифицированным БРМН при ν = 5, ν =10, ν = 20 и µ∈[0, 60°] ∀ω0 ;
в таблице: σ — перерегулирование; tσ — момент достижения переходной характеристикой ее максимального значения; t1 — время первого, после tσ , пересечения переходной характеристикой границы допустимой ошибки ∆=5 %; t2 — время последнего пересечения
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 7
40 Е. Д. Лихолетов, А. В. Ушаков, А. Ю. Цвентарный
переходной характеристикой границы допустимой ошибки ∆=5 %. Длительность переходно-
го процесса tпр определяется выражением tпр = max{t1, t2} .
Таблица 2
ν=5
ν =10
ν = 20
µ, …° σ, % tσ
t1 , c
t2 , c
Di ω0
σ, %
tσ
t1 , c t2 , c
Di ω0
σ, %
tσ
t1 , c t2 , c
Di ω0
0 0 — — — 0,769 0 — — — 0,87 0 — — — 0,930
6 0 — — — 0,774 0 — — — 0,874 0 — — — 0,935
12 0 — — — 0,786 0 — — — 0,889 0 — — — 0,951
18 0 — — — 0,809 0 — — — 0,914 0 — — — 0,978
3, 54
24 1
— — 0,842 0
— — — 0,952 0 — — — 1,018
ω0
3, 07
30 1,5
—
ω0
3, 03 3, 06
— 0,888 1,06
— — 1,004 0,7
— — 1,074
ω0 ω0
2, 78
36 3,8
—
ω0
2, 65 2, 64
— 0,951 2,7
— — 1,075 2
— — 1,15
ω0 ω0
2, 58 3, 35
2, 4 3,17 5, 28
2, 36
42 7,7
— 1,035 5,6
1,17 4,2
— — 1,252
ω0 ω0
ω0 ω0 ω0
ω0
2, 45 3, 24
2, 23 3, 03 5, 98
2,15 2, 92 5, 52
48 13,6
— 1,149 10,28
1,3 8
1,39
ω0 ω0
ω0 ω0 ω0
ω0 ω0 ω0
2, 36 3,16
2,11 2, 93 6, 25
2, 01 2, 79 5, 86
54 22,4
— 1,307 17,4
1,479 13,8
1,583
ω0 ω0
ω0 ω0 ω0
ω0 ω0 ω0
2, 31 3,11 10, 28
2, 03 2, 85 9,1
1, 9 2, 7 5, 96
60 37,6
1,539 27,8
1,739 22,4
1,861
ω0 ω0 ω0
ω0 ω0 ω0
ω0 ω0 ω0
Использование данных табл. 2 позволяет предложить следующую оформленную в виде алгоритма процедуру поканального синтеза систем класса „двумерный вход — выход“, основанную на использовании возможностей модального управления.
Алгоритм. 1. Сформулировать требования к значениям показателей качества проектируемой системы в переходном и установившемся режимах. 2. Произвести оценку возможного диапазона вариаций параметра µ — аргумента мат-
рицы T — с последующим его представлением в виде интервального числа [µ] = ⎣⎡µ, µ⎤⎦ .
{ }3. В силу доказанных утверждений принять µ = max µ , µ .
4. Произвести оценку порядка n исходной динамической модели сепаратного канала на основе модельных представлений образующих его функциональных компонентов и выбрать значение параметра ν .
5. Построить векторно-матричное ( A, B, C )-представление исходной динамической мо-
дели сепаратного канала, рассматриваемого в процедуре синтеза как объект управления.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 7
Анализ перекрестных связей в динамических системах класса „двумерный вход — выход“ 41
6. Осуществить выбор типа ПДМ (параметризованной коэффициентом ν , характери-
стической частотой ω0 и аргументом µ ), доставляющей системе в условиях наличия перекрестных связей динамические показатели, сформированные в п. 1.
7. Построить модальную модель на основе векторно-матричного ( Г , H )-представления
ПДМ, выбранной при выполнении п. 6.
8. Осуществить канонический синтез [4—9, 10] сепаратных каналов двухканальной сис-
темы с использованием возможностей модельного управления.
9. Провести комплексное экспериментальное исследование в программе Matlab Simulink
динамических показателей спроектированной двухканальной ДС.
Результаты компьютерного эксперимента. Для иллюстрации полученных результа-
тов проведено исследование двух версий двухканальной динамической системы (см. рис. 1),
каналы которых построены с использованием ПДМ третьего порядка с модифицируемым би-
номиальным распределением для значений ν =1 и ν =10 при ω0 =10 c−1 и µ = 0 , 30 и 75°. Графики процессов в пространстве выходов двумерной системы при входном вектор-
ном скачкообразном единичном воздействии приведены на рис. 4, а—е.
а) y2
ν=1, µ=0
б) y2
ν=10, µ=0
1,5 1,5
11
0,5 0,5
00
–0,5
в) y2 1,5 1 0,5
0
0 0,5 1 1,5 y1 ν=1, µ=30°
–0,5
г) y2 1,5 1 0,5
0
0 0,5 1 1,5 y1 ν=10, µ=30°
–0,5
д) y2 2 1 0
0 0,5 1 1,5 y1 ν=1, µ=75°
–0,5
е) y2 1,5 1 0,5 0
0 0,5 1 1,5 y1 ν=10, µ=75°
–1
01
2 y1
–0,5 0 0,5 1 1,5 y1
Рис. 4
ПДМ третьего порядка с модифицированным БРМН при ν =1 обладает запасом устой-
чивости ∆ϕ = 73, 277° , а при ν =10 — ∆ϕ =83, 711° . Как и следовало ожидать, при µ = 75° и
ν =1 (см. рис. 4, д) система оказывается неработоспособной, в то время как при µ = 75° и
ν =10 (см. рис. 4, е) система остается работоспособной.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 7
42 Е. Д. Лихолетов, А. В. Ушаков, А. Ю. Цвентарный
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Акунов Т. А., Сударчиков С. А., Ушаков А. В. Синтез фотоэлектрической следящей системы на основе интервальных модельных представлений. Часть I. Построение интервальной модели компонентов системы // Изв. вузов. Приборостроение. 2004. Т. 47, № 1.
2. Акунов Т. А., Сударчиков С. А., Ушаков А. В. Синтез фотоэлектрической следящей системы на основе интервальных модельных представлений. Часть II. Синтез управления, обеспечивающего стабильные эллипсоидные показатели качества системы // Там же. 2004. Т. 47, № 2.
3. Квакернаак Х., Сиван Р. Линейные оптимальные системы управления: Пер с англ. М: Мир, 1977.
4. Синтез дискретных регуляторов при помощи ЭВМ / В. В. Григорьев, В. Н. Дроздов, В. В. Лаврентьев, А. В. Ушаков. Л.: Машиностроение, 1983.
5. Николаев П. В., Сабинин Ю. А. Фотоэлектрические следящие системы. Л.: Энергия, 1969.
6. Мирошник И. В. Теория автоматического управления: Линейные системы. СПб.: Питер, 2005.
7. Бесекерский В. А., Попов Е. П. Теория систем автоматического регулирования. СПб.: Профессия, 2003.
8. Ушаков А. В. Обобщенное модальное управление // Изв. вузов. Приборостроение. 2000. Т. 43, № 3.
9. Никифоров В. О., Ушаков А. В. Управление в условиях неопределенности: чувствительность, адаптация, робастность. СПб.: СПбГИТМО (ТУ), 2002.
10. Дударенко Н. А., Слита О. В., Ушаков А. В. Математические основы современной теории управления: аппарат метода пространства состояний: Учеб. пособие / Под ред. А. В. Ушакова. СПб.: СПбГУ ИТМО, 2008.
Евгений Дмитриевич Лихолетов Анатолий Владимирович Ушаков Артем Юрьевич Цвентарный
Сведения об авторах — студент; Санкт-Петербургский государственный университет ин-
формационных технологий, механики и оптики, кафедра систем управления и информатики; E-mail: bsboris@gmail.com — д-р. техн. наук, профессор; Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра систем управления и информатики; E-mail: ushakov-AVG@yandex.ru — аспирант; Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра систем управления и информатики; E-mail: Taifyn@nm.ru
Рекомендована кафедрой систем управления и информатики
Поступила в редакцию 25.12.08 г.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 7