МОДЕЛЬ ВОЗНИКНОВЕНИЯ 1/f-ШУМА КАК РЕЗУЛЬТАТ ПУАССОНОВСКОГО ПРОЦЕССА
Модель возникновения 1/f-шума как результат пуассоновского процесса
79
УДК 621.382
В. Ю. ХОЛКИН
МОДЕЛЬ ВОЗНИКНОВЕНИЯ 1/f-ШУМА КАК РЕЗУЛЬТАТ ПУАССОНОВСКОГО ПРОЦЕССА
Возникновение 1/f-шума интерпретируется как результат эволюции пуассоновского процесса. Сопоставляются представления спектральной плотности пуассоновского процесса и эквивалентного ему 1/f-шума.
Ключевые слова: 1/f-шум, 1/f-зависимость, низкочастотный шум.
Изучение случайных сигналов с распределением спектральной плотности мощности, обратно пропорциональной частоте (так называемого 1/f-шума), было инициировано развитием теории твердотельных полупроводниковых устройств. Несмотря на то что 1/f-шум, как показано экспериментально, можно наблюдать в различных системах (что обусловливает неоднозначность его названия: фликкер-шум, токовый, контактный, избыточный и т.д.), до настоящего времени нет единого мнения о природе этого явления. Как следствие, это не позволяет построить адекватную математическую модель, необходимую, в частности, для поверочных расчетов и оценки характеристик собственных шумов полупроводниковых приборов на этапе их проектирования.
Предлагаемая в статье [1] барьерная модель возникновения 1/f-шума хорошо согласуется с экспериментальными данными [2] и объясняет возникновение 1/f-участков наличием потенциальных барьеров. Однако эта модель является достаточно грубой в силу того, что она объясняет лишь асимптотическое поведение функции спектральной плотности такого процесса [3]. В настоящей статье рассматривается детализированная модель, которая определяет спектральную плотность зависимостью 1/f y, где пределы степени y изменяются от 0,8 до 1,2.
В качестве механизма генерации 1/f-шума в рамках данной модели используется пуассоновский процесс, который описывается случайной последовательностью точек {tk} вдоль временной оси
∑N (t) = ω(t −tk ); 0 ≤ t1 ≤ t2 ≤… ,
(1)
где ω(t) — единичная функция включения ω(t) = (1+signt ) 2 . Таким образом, случайное зна-
чение N(t) отражает число точек включения между 0 и t. Спектральная плотность такого процесса задается выражением [4]
K xx
(
f
)
=
2λP
( 2πf
(1− P ) )2 +λ2
+
P2δ
(
f
)
,
(2)
где P2δ( f ) — постоянная составляющая при f = 0; P — вероятность появления события
(включений или появления импульса) в единичный интервал времени. Величина P соответствует коэффициенту заполнения процесса, т.е. отношению средней длительности импульса к
среднему периоду процесса. Величина λ характеризует среднюю частоту (интенсивность) процесса, а f — текущую частоту.
Уравнение (2) является обобщением выражения c/f y на весь диапазон частот. При дос-
таточно большом значении λ кривая спектральной плотности не может быть выражена в
форме 1/f. Напротив, при малой частоте (интенсивности) процесса λ
79
УДК 621.382
В. Ю. ХОЛКИН
МОДЕЛЬ ВОЗНИКНОВЕНИЯ 1/f-ШУМА КАК РЕЗУЛЬТАТ ПУАССОНОВСКОГО ПРОЦЕССА
Возникновение 1/f-шума интерпретируется как результат эволюции пуассоновского процесса. Сопоставляются представления спектральной плотности пуассоновского процесса и эквивалентного ему 1/f-шума.
Ключевые слова: 1/f-шум, 1/f-зависимость, низкочастотный шум.
Изучение случайных сигналов с распределением спектральной плотности мощности, обратно пропорциональной частоте (так называемого 1/f-шума), было инициировано развитием теории твердотельных полупроводниковых устройств. Несмотря на то что 1/f-шум, как показано экспериментально, можно наблюдать в различных системах (что обусловливает неоднозначность его названия: фликкер-шум, токовый, контактный, избыточный и т.д.), до настоящего времени нет единого мнения о природе этого явления. Как следствие, это не позволяет построить адекватную математическую модель, необходимую, в частности, для поверочных расчетов и оценки характеристик собственных шумов полупроводниковых приборов на этапе их проектирования.
Предлагаемая в статье [1] барьерная модель возникновения 1/f-шума хорошо согласуется с экспериментальными данными [2] и объясняет возникновение 1/f-участков наличием потенциальных барьеров. Однако эта модель является достаточно грубой в силу того, что она объясняет лишь асимптотическое поведение функции спектральной плотности такого процесса [3]. В настоящей статье рассматривается детализированная модель, которая определяет спектральную плотность зависимостью 1/f y, где пределы степени y изменяются от 0,8 до 1,2.
В качестве механизма генерации 1/f-шума в рамках данной модели используется пуассоновский процесс, который описывается случайной последовательностью точек {tk} вдоль временной оси
∑N (t) = ω(t −tk ); 0 ≤ t1 ≤ t2 ≤… ,
(1)
где ω(t) — единичная функция включения ω(t) = (1+signt ) 2 . Таким образом, случайное зна-
чение N(t) отражает число точек включения между 0 и t. Спектральная плотность такого процесса задается выражением [4]
K xx
(
f
)
=
2λP
( 2πf
(1− P ) )2 +λ2
+
P2δ
(
f
)
,
(2)
где P2δ( f ) — постоянная составляющая при f = 0; P — вероятность появления события
(включений или появления импульса) в единичный интервал времени. Величина P соответствует коэффициенту заполнения процесса, т.е. отношению средней длительности импульса к
среднему периоду процесса. Величина λ характеризует среднюю частоту (интенсивность) процесса, а f — текущую частоту.
Уравнение (2) является обобщением выражения c/f y на весь диапазон частот. При дос-
таточно большом значении λ кривая спектральной плотности не может быть выражена в
форме 1/f. Напротив, при малой частоте (интенсивности) процесса λ