ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЛИНЕЙНОЙ ВЕРСИИ МЕТОДА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОГО КОМПЕНСАТОРА ДЛЯ СТАБИЛИЗАЦИИ СИСТЕМ СО СТЕПЕННЫМИ СТАТИЧЕСКИМИ НЕЛИНЕЙНОСТЯМИ
Использование линейной версии метода последовательного компенсатора
33
УДК 62.50
А. А. БОБЦОВ, Н. А. НИКОЛАЕВ
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЛИНЕЙНОЙ ВЕРСИИ МЕТОДА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОГО КОМПЕНСАТОРА
ДЛЯ СТАБИЛИЗАЦИИ СИСТЕМ СО СТЕПЕННЫМИ СТАТИЧЕСКИМИ НЕЛИНЕЙНОСТЯМИ
Рассматривается задача стабилизации нелинейной параметрически и функционально неопределенной системы, подверженной влиянию внешнего ограниченного возмущения. Предполагается, что измерениям доступны только выходная переменная объекта и управляющий сигнал, а нелинейности являются статическими и имеют степенные ограничения.
Ключевые слова: компенсатор, стабилизация, нелинейная система.
Введение. Постановка задачи. В статье [1] была рассмотрена нелинейная система в форме „вход—состояние—выход“ вида
z = Fz + Lu + Dϕ( y) , y = RzT z ,
(1)
где z(t)∈Rn — вектор переменных состояний; F , L , D и Rz — неизвестные постоянные
матрицы размерностью n×n , n×1 , n×1 и n×1 соответственно; y(t)∈R — выходная перемен-
ная. Неизвестная функция ϕ = ϕ( y, t) такая, что:
ϕ( y,t) ≤ C0 y(t) s для всех y(t) ,
(2)
где число C0 > 0 неизвестно, а целое число s ≥1 известно.
В работе [1] рассматривалась возможность использования алгоритма управления (метода последовательного компенсатора), представленного в [2], для обеспечения полуглобальной асимптотической устойчивости нелинейной системы без секторных ограничений. В настоящей статье с использованием результатов [1] будет доказана работоспособность алгоритма [2] для случая, когда объект управления (1) подвержен влиянию внешнего неизвестного ограниченного возмущающего воздействия.
Рассмотрим нелинейную систему в форме „вход—выход“
y(t)
=
b( a(
p) p)
[u (t ) +
w(t
)]+
c( a(
p) p)
ϕ(
y,
t)
,
(3)
где p = d / dt — оператор дифференцирования; выходная переменная y = y(t) измеряется, но ее
производные
b( p) = bm pm +...+b1 p +b0 ,
c( p) = cr pr +cr−1 pr−1 +...+ c1 p + c0
и
a( p) = pn + an−1 pn−1 +... ...+a1 p+a0 — полиномы с неизвестными коэффициентами, r ≤ n−1;
передаточная функция
b( p) a( p)
имеет относительную степень
ρ = n−m ;
w(t )
— неизвестное ог-
раниченное гладкое возмущающее воздействие; полином b( p) гурвицев bm > 0 . Пусть для стабилизации системы (3) используется управление следующего вида (см. [2]):
u = −a( p)(µ+ κ) yˆ ,
(4)
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 11
34 А. А. Бобцов, Н. А. Николаев
ξ1 = σξ2 , ξ 2 = σξ3 ,
⎫ ⎪ ⎪
...
⎬ ⎪
ξρ−1 = σ(−k1ξ1 −k2ξ2 −...−kρ−1ξρ−1 + k1 y),⎭⎪
yˆ = ξ1,
где число µ и полином a( p) такие, что передаточная функция
(5) (6)
W
(
p)
=
a(
b( p)a( p) p)+µb( p)a(
p)
(7)
является строго вещественно положительной; параметр κ > 0 используется для компенсации
неопределенности ϕ( y,t) (см. ниже доказательство теоремы, условие (П.8)); число σ > µ+ κ
(см. ниже доказательство теоремы, неравенство (П.6)); параметры ki выбираются таким обра-
зом, чтобы система (5) была асимптотически устойчивой при нулевом входе y(t) .
Замечание. В силу следствия 3 из работы [2] существуют число µ > µ0 > 0 и любой гурвицев полином a( p) степени ρ−1 такие, что передаточная функция (7) является строго веще-
ственно положительной. Цель настоящей статьи заключается в том, чтобы доказать правомочность использова-
ния управления вида (4)—(6) (алгоритма последовательного компенсатора [2]) для обеспечения ограниченности выходной переменной y(t) для любого ограниченного гладкого возму-
щающего воздействия w(t) .
Модельные преобразования и основной результат. Подставив (4) в уравнение (3),
получим
y
=
b( a(
p) p)
[−a(
p)(µ
+
κ)
yˆ
+
w]+
c( a(
p) p)
ϕ(
y,
t)
=
=
b( a(
p) p)
[−a(
p)(µ+
κ)
y
+
a(
p)(µ +
κ)ε
+
w]
+
c( a(
p) p)
ϕ(
y,
t)
.
(8)
После простых преобразований для модели (8) имеем
a( p) y +µa( p)b( p) y = b( p)a( p)[(µ+ κ)ε−κy + w] +c( p)ϕ( y)
и
y
=
a(
b( p)a( p) p)+µb( p)a(
p)
[−κy
+ (µ
+
κ)ε
+
w]+
c( p) a( p)+µb( p)a( p)
ϕ( y,t)
,
где передаточная функция (7) является строго вещественно положительной, а функция
ε = y − yˆ .
Представим модель „вход—выход“ (9) в форме „вход—состояние—выход“
x = Ax+b(−κy +(µ+ κ)ε+ w)+ qϕ( y,t) ,
(9) (10)
y = cT x ,
(11)
где x∈Rn — вектор переменных состояния системы (10), (11); A , b , q и c — соответст-
вующие матрицы перехода от модели (9) к модели (10), (11). Так как передаточная функция W ( p) строго вещественно положительная, то, в соответ-
ствии с известной леммой Якубовича—Калмана (см., например, обзор [3] или монографию
[4]), существует симметрическая положительно определенная матрица P = PT , удовлетво-
ряющая двум матричным соотношениям
AT P + PA = −Q1, Pb = c ,
(12)
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 11
Использование линейной версии метода последовательного компенсатора
35
где Q1 = Q1T — положительно определенная матрица и параметры матрицы Q1 зависят от µ и
не зависят от κ . Перепишем модель (5), (6) в форме
ξ = σ(Γξ+dk1 y) , yˆ = hT ξ , где
⎡ 0 1 0 ... 0 ⎤ ⎡0⎤ ⎡1⎤
⎢ ⎢
0
0
1 ...
0
⎥ ⎥
⎢⎢0⎥⎥
⎢⎢0⎥⎥
Γ = ⎢ 0 0 0 ... 0 ⎥ , d = ⎢0⎥ , h = ⎢0⎥ .
⎢ ⎢
#
#
#%
#
⎥ ⎥
⎢⎢ #
⎥ ⎥
⎢ ⎢
#
⎥ ⎥
⎢⎣−k1 −k2 −k3 ... −kρ−1 ⎦⎥ ⎣⎢1⎦⎥ ⎢⎣0⎥⎦
Введем в рассмотрение вектор
η= hy−ξ ,
(13)
который связан с функцией ε следующим образом:
ε = y − yˆ = hT hy −hT ξ = hT (hy −ξ) = hT η .
Продифференцировав уравнение (13), получим η = hy −σ(Γ(hy −η)+ dk1 y) = hy +σΓη− σ(dk1 +Γh) y .
Так как dk1 = −Γh (может быть проверено подстановкой), то
η = hy +σΓη , ε = hT η,
(14)
где матрица Γ является гурвицевой в соответствии с параметром ki системы (5) и
ΓT N + N Γ = −Q2 ,
(15)
где N = N T > 0 и Q2 = Q2T > 0 .
Теперь сформулируем теорему, в которой будут представлены условия ограниченности всех траекторий системы (10), (11), (14).
Т е о р е м а . Рассмотрим нелинейную систему (10), (11), (14) с допущениями на нели-
нейную функцию ϕ = ϕ( y, t) вида (2). Пусть положительные числа κ и σ удовлетворяют сле-
дующим условиям:
−σQ2 + δ−1(µ+ κ)hhT + (µ+ κ)NhcT bbT chT N +
+(µ+ κ)hhT +δ−1NhcT AAT chT N + κNhcT bbT chT N +
+κNhcT qqT chT N +δ−1κNhcT bbT chT N ≤ −Q
и
κ ≥ ψ0C04 (κ−1 +δ−1)2 ,
где Q = QT — положительно определенная матрица, числа 0 < δ ≤ 0, 25 и ψ0 > 0 такие, что
−Q1 +δ I +(δµ+2δκ−0,5κ)PbbT P +δPqqT P ≤ −Q < 0 ,
ψ0 > λ0−1λ1(V (t0 ))2s−2 ,
V (t0 ) = xT (t0 )Px(t0 )+ηT (t0 )N η(t0 ) .
Тогда все траектории системы (10), (11), (14) ограничены. Доказательство теоремы приведено в Приложении.
Выводы. Из теоремы следует, что для каждого множества начальных условий функции
V (t0 ) найдутся положительные числа κ , ψ0 и σ , для которых нелинейная система (10), (11),
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 11
36 А. А. Бобцов, Н. А. Николаев
(14) будет устойчива. Однако изменение начальных условий функции V (t0 ) в сторону их увеличения при фиксированных значениях κ , ψ0 и σ может привести к нарушению условия (П.10), а следовательно, к невыполнимости неравенства (П.11). Таким образом, при фиксиро-
ванных значениях κ , ψ0 и σ можно говорить лишь о полуглобальной устойчивости нелинейной системы (10), (11), (14), и следовательно, о полуглобальной устойчивости положения
равновесия y = 0 . Также заметим, что из неравенства (П.11) следует, что увеличение коэффи-
циента κ закона управления (4) приводит к уменьшению функции V (t) и, как следствие —
уменьшению значений y(t) . В предельном случае для κ → ∞ имеем lim y(t) = 0 .
t→∞
ПРИЛОЖЕНИЕ Д о к а з а т е л ь с т в о т е о р е м ы . Рассмотрим функцию Ляпунова вида
V = xT Px+ηT Nη .
(П.1)
Продифференцировав (П.1) в соответствии с уравнениями (10), (11) и (14), получим
V = xT ( AT P+ PA)x+2(µ+ κ)xT PbhT η+
+2xT Pqϕ( y, t)−2κxT Pby +ηT σ(ΓT N + N Γ)η+ 2xT Pbw+
+2ηT NhcT Ax +2(µ+ κ)ηT NhcT bhT η+ 2ηT NhcT bw+
+2ηT NhcT qϕ( y,t) −2κηT NhcT by .
(П.2)
Подставив в (П.2) уравнения (12), (15) и принимая во внимание неравенства
2xT PbhT η≤ δ xT PbbT Px+δ−1ηT hhT η ,
2xT Pqϕ( y, t) ≤ δ xT PqqT Px+δ−1[ϕ( y,t)]2 ,
2xT
Pbw ≤
κ 2
y2
+
2 κ
w2
,
2ηT NhcT bhT η≤ ηT NhcT bbT chT N η+ηT hhT η ,
2ηT NhcT Ax ≤ δ−1ηT NhcT AAT chT N η+δ xT x ,
2ηT NhcT qϕ( y,t) ≤ κηT NhcT qqT chT Nη +κ−1[ϕ( y,t)]2 ,
−2κηT NhcT by ≤ δ−1κηT NhcT bbT chT N η +δκxT PbbT Px ,
получим
2ηT NhcT bw ≤ κ(ηT NhcT b)2 + 1 w2 , κ
V
≤
−
xT
Q1x
−σηT
Q2η−
1 2
κxT
PbbT
Px
−
κ
y
2
+
+δ (µ+ κ)xT PbbT Px+δ−1(µ+ κ)ηT hhT η+
+δ xT PqqT Px +δ−1[ϕ( y, t)]2 +(µ+ κ)ηT NhcT bbT chT N η+
+(µ+ κ)ηT hhT η+δ−1ηT NhcT AAT chT N η +δ xT x+
+κηT NhcT qqT chT N η+ κ(ηT NhcT b)2 + 3 w2 + κ
+κ−1[ϕ( y,t)]2 +δ−1κηT NhcT bbT chT Nη +δκxT PbbT Px ,
(П.3)
где число 0< δ ≤ 0, 25 такое, что
−Q1 +δ I +(δµ+2δκ−0,5κ)PbbT P +δPqqT P ≤ −Q < 0 . Подставив неравенство (П.4) в (П.3), имеем
(П.4)
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 11
Использование линейной версии метода последовательного компенсатора
37
V ≤ −xT Qx−σηT Q2η −κ y2 +δ−1(µ+ κ)ηT hhT η+
+δ−1[ϕ( y,t)]2 +(µ+ κ)ηT NhcT bbT chT N η+
+(µ+ κ)ηT hhT η +δ−1ηT NhcT AAT chT N η+
+κηT NhcT qqT chT N η +κ−1[ϕ( y, t)]2 + κ(ηT NhcT b)2 + 3 w2 + κ
+δ−1κηT NhcT bbT chT Nη .
(П.5)
Пусть число σ такое, что
−σQ2 + δ−1(µ+ κ)hhT + (µ+ κ)NhcT bbT chT N +
+(µ+ κ)hhT +δ−1NhcT AAT chT N + κNhcT bbT chT N +
+κNhcT qqT chT N +δ−1κNhcT bbT chT N ≤ −Q .
(П.6)
Подставив выражение (П.6) в неравенство (П.5), получим
V ≤ −xT Qx−ηT Qη −κ y2 +(δ−1 + κ−1)[ϕ( y,t)]2 + 3 w2 ≤ κ
≤
−λ0V
−
κy2
+
(κ−1
+
δ−1
)C02
y2
s−1
y
+
3 κ
w2
≤
≤
−λ0V
− κy 2
+ ψ0 C04
(κ−1
+ δ−1 )2
y2
+ ψ0−1
y4s−2
+
3 κ
w2
,
где в силу условия (2) [ϕ( y, t)]2 ≤ C02 y(t) 2s , а λ0 > 0 и ψ0 > 0 .
(П.7)
Пусть число κ такое, что
κ ≥ ψ0C04 (κ−1 +δ−1)2 ,
тогда
V
≤
−λ0V
+
ψ0−1
y4s−2
+
3 κ
w2
≤
−λ0V
+
ψ
0−1λ1
(xT
Px)2s−1
+
3 κ
w2
≤
≤
−λ0V
+ ψ0−1λ1V
2s−1
+
3 κ
w2
=
−V
(λ0
−ψ0−1λ1V
2s−2
)+
3 κ
w2
,
где число λ1 > 0 такое, что
(П.8) (П.9)
Выбирая число
λ1 (xT Px)2s−1 ≥ (cT x)4s−2 = y4s−2 .
для неравенства (П.9) получаем
ψ0 > λ0−1λ1(V (t0 ))2s−2 ,
(П.10)
V
< −λ0V
⎛ ⎝⎜⎜1−
(V (t))2s−2 (V (t0 ))2s−2
⎞ ⎟⎟⎠
+
3 κ
C1
<
0
для
любого
t ≥ t0
.
(П.11)
Из последнего выражения следует ограниченность всех траекторий системы (10), (11),
(14), что и требовалось доказать.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 09-08-00139-а).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Бобцов А. А., Николаев Н. А. Управление по выходу некоторой нелинейной системой с неизвестными параметрами и нелинейностью // АиТ. 2007. № 6. С. 150—156.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 11
38 Д. С. Бирюков, О. В. Слита, А. В. Ушаков
2. Бобцов А. А., Николаев Н. А. Синтез управления нелинейными системами с функциональными и параметрическими неопределенностями на основе теоремы Фрадкова // АиТ. 2005. № 1. С. 118—129.
3. Барабанов Н. Е., Гелиг А. Х., Леонов Г. А. и др. Частотная теорема (лемма Якубовича — Калмана) в теории управления // АиТ. 1996. № 10. С. 3—40.
4. Мирошник И. В., Никифоров В. О., Фрадков А. Л. Нелинейное и адаптивное управление сложными динамическими системами. СПб: Наука, 2000.
Алексей Алексеевич Бобцов Николай Анатольевич Николаев
Сведения об авторах — д-р техн. наук, профессор; Санкт-Петербургский государственный
университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра систем управления и информатики; E-mail: bobtsov @mail.ru — канд. техн. наук; Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики; кафедра систем управления и информатики
Рекомендована кафедрой систем управления и информатики
Поступила в редакцию 01.07.09 г.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 11
33
УДК 62.50
А. А. БОБЦОВ, Н. А. НИКОЛАЕВ
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЛИНЕЙНОЙ ВЕРСИИ МЕТОДА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОГО КОМПЕНСАТОРА
ДЛЯ СТАБИЛИЗАЦИИ СИСТЕМ СО СТЕПЕННЫМИ СТАТИЧЕСКИМИ НЕЛИНЕЙНОСТЯМИ
Рассматривается задача стабилизации нелинейной параметрически и функционально неопределенной системы, подверженной влиянию внешнего ограниченного возмущения. Предполагается, что измерениям доступны только выходная переменная объекта и управляющий сигнал, а нелинейности являются статическими и имеют степенные ограничения.
Ключевые слова: компенсатор, стабилизация, нелинейная система.
Введение. Постановка задачи. В статье [1] была рассмотрена нелинейная система в форме „вход—состояние—выход“ вида
z = Fz + Lu + Dϕ( y) , y = RzT z ,
(1)
где z(t)∈Rn — вектор переменных состояний; F , L , D и Rz — неизвестные постоянные
матрицы размерностью n×n , n×1 , n×1 и n×1 соответственно; y(t)∈R — выходная перемен-
ная. Неизвестная функция ϕ = ϕ( y, t) такая, что:
ϕ( y,t) ≤ C0 y(t) s для всех y(t) ,
(2)
где число C0 > 0 неизвестно, а целое число s ≥1 известно.
В работе [1] рассматривалась возможность использования алгоритма управления (метода последовательного компенсатора), представленного в [2], для обеспечения полуглобальной асимптотической устойчивости нелинейной системы без секторных ограничений. В настоящей статье с использованием результатов [1] будет доказана работоспособность алгоритма [2] для случая, когда объект управления (1) подвержен влиянию внешнего неизвестного ограниченного возмущающего воздействия.
Рассмотрим нелинейную систему в форме „вход—выход“
y(t)
=
b( a(
p) p)
[u (t ) +
w(t
)]+
c( a(
p) p)
ϕ(
y,
t)
,
(3)
где p = d / dt — оператор дифференцирования; выходная переменная y = y(t) измеряется, но ее
производные
b( p) = bm pm +...+b1 p +b0 ,
c( p) = cr pr +cr−1 pr−1 +...+ c1 p + c0
и
a( p) = pn + an−1 pn−1 +... ...+a1 p+a0 — полиномы с неизвестными коэффициентами, r ≤ n−1;
передаточная функция
b( p) a( p)
имеет относительную степень
ρ = n−m ;
w(t )
— неизвестное ог-
раниченное гладкое возмущающее воздействие; полином b( p) гурвицев bm > 0 . Пусть для стабилизации системы (3) используется управление следующего вида (см. [2]):
u = −a( p)(µ+ κ) yˆ ,
(4)
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 11
34 А. А. Бобцов, Н. А. Николаев
ξ1 = σξ2 , ξ 2 = σξ3 ,
⎫ ⎪ ⎪
...
⎬ ⎪
ξρ−1 = σ(−k1ξ1 −k2ξ2 −...−kρ−1ξρ−1 + k1 y),⎭⎪
yˆ = ξ1,
где число µ и полином a( p) такие, что передаточная функция
(5) (6)
W
(
p)
=
a(
b( p)a( p) p)+µb( p)a(
p)
(7)
является строго вещественно положительной; параметр κ > 0 используется для компенсации
неопределенности ϕ( y,t) (см. ниже доказательство теоремы, условие (П.8)); число σ > µ+ κ
(см. ниже доказательство теоремы, неравенство (П.6)); параметры ki выбираются таким обра-
зом, чтобы система (5) была асимптотически устойчивой при нулевом входе y(t) .
Замечание. В силу следствия 3 из работы [2] существуют число µ > µ0 > 0 и любой гурвицев полином a( p) степени ρ−1 такие, что передаточная функция (7) является строго веще-
ственно положительной. Цель настоящей статьи заключается в том, чтобы доказать правомочность использова-
ния управления вида (4)—(6) (алгоритма последовательного компенсатора [2]) для обеспечения ограниченности выходной переменной y(t) для любого ограниченного гладкого возму-
щающего воздействия w(t) .
Модельные преобразования и основной результат. Подставив (4) в уравнение (3),
получим
y
=
b( a(
p) p)
[−a(
p)(µ
+
κ)
yˆ
+
w]+
c( a(
p) p)
ϕ(
y,
t)
=
=
b( a(
p) p)
[−a(
p)(µ+
κ)
y
+
a(
p)(µ +
κ)ε
+
w]
+
c( a(
p) p)
ϕ(
y,
t)
.
(8)
После простых преобразований для модели (8) имеем
a( p) y +µa( p)b( p) y = b( p)a( p)[(µ+ κ)ε−κy + w] +c( p)ϕ( y)
и
y
=
a(
b( p)a( p) p)+µb( p)a(
p)
[−κy
+ (µ
+
κ)ε
+
w]+
c( p) a( p)+µb( p)a( p)
ϕ( y,t)
,
где передаточная функция (7) является строго вещественно положительной, а функция
ε = y − yˆ .
Представим модель „вход—выход“ (9) в форме „вход—состояние—выход“
x = Ax+b(−κy +(µ+ κ)ε+ w)+ qϕ( y,t) ,
(9) (10)
y = cT x ,
(11)
где x∈Rn — вектор переменных состояния системы (10), (11); A , b , q и c — соответст-
вующие матрицы перехода от модели (9) к модели (10), (11). Так как передаточная функция W ( p) строго вещественно положительная, то, в соответ-
ствии с известной леммой Якубовича—Калмана (см., например, обзор [3] или монографию
[4]), существует симметрическая положительно определенная матрица P = PT , удовлетво-
ряющая двум матричным соотношениям
AT P + PA = −Q1, Pb = c ,
(12)
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 11
Использование линейной версии метода последовательного компенсатора
35
где Q1 = Q1T — положительно определенная матрица и параметры матрицы Q1 зависят от µ и
не зависят от κ . Перепишем модель (5), (6) в форме
ξ = σ(Γξ+dk1 y) , yˆ = hT ξ , где
⎡ 0 1 0 ... 0 ⎤ ⎡0⎤ ⎡1⎤
⎢ ⎢
0
0
1 ...
0
⎥ ⎥
⎢⎢0⎥⎥
⎢⎢0⎥⎥
Γ = ⎢ 0 0 0 ... 0 ⎥ , d = ⎢0⎥ , h = ⎢0⎥ .
⎢ ⎢
#
#
#%
#
⎥ ⎥
⎢⎢ #
⎥ ⎥
⎢ ⎢
#
⎥ ⎥
⎢⎣−k1 −k2 −k3 ... −kρ−1 ⎦⎥ ⎣⎢1⎦⎥ ⎢⎣0⎥⎦
Введем в рассмотрение вектор
η= hy−ξ ,
(13)
который связан с функцией ε следующим образом:
ε = y − yˆ = hT hy −hT ξ = hT (hy −ξ) = hT η .
Продифференцировав уравнение (13), получим η = hy −σ(Γ(hy −η)+ dk1 y) = hy +σΓη− σ(dk1 +Γh) y .
Так как dk1 = −Γh (может быть проверено подстановкой), то
η = hy +σΓη , ε = hT η,
(14)
где матрица Γ является гурвицевой в соответствии с параметром ki системы (5) и
ΓT N + N Γ = −Q2 ,
(15)
где N = N T > 0 и Q2 = Q2T > 0 .
Теперь сформулируем теорему, в которой будут представлены условия ограниченности всех траекторий системы (10), (11), (14).
Т е о р е м а . Рассмотрим нелинейную систему (10), (11), (14) с допущениями на нели-
нейную функцию ϕ = ϕ( y, t) вида (2). Пусть положительные числа κ и σ удовлетворяют сле-
дующим условиям:
−σQ2 + δ−1(µ+ κ)hhT + (µ+ κ)NhcT bbT chT N +
+(µ+ κ)hhT +δ−1NhcT AAT chT N + κNhcT bbT chT N +
+κNhcT qqT chT N +δ−1κNhcT bbT chT N ≤ −Q
и
κ ≥ ψ0C04 (κ−1 +δ−1)2 ,
где Q = QT — положительно определенная матрица, числа 0 < δ ≤ 0, 25 и ψ0 > 0 такие, что
−Q1 +δ I +(δµ+2δκ−0,5κ)PbbT P +δPqqT P ≤ −Q < 0 ,
ψ0 > λ0−1λ1(V (t0 ))2s−2 ,
V (t0 ) = xT (t0 )Px(t0 )+ηT (t0 )N η(t0 ) .
Тогда все траектории системы (10), (11), (14) ограничены. Доказательство теоремы приведено в Приложении.
Выводы. Из теоремы следует, что для каждого множества начальных условий функции
V (t0 ) найдутся положительные числа κ , ψ0 и σ , для которых нелинейная система (10), (11),
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 11
36 А. А. Бобцов, Н. А. Николаев
(14) будет устойчива. Однако изменение начальных условий функции V (t0 ) в сторону их увеличения при фиксированных значениях κ , ψ0 и σ может привести к нарушению условия (П.10), а следовательно, к невыполнимости неравенства (П.11). Таким образом, при фиксиро-
ванных значениях κ , ψ0 и σ можно говорить лишь о полуглобальной устойчивости нелинейной системы (10), (11), (14), и следовательно, о полуглобальной устойчивости положения
равновесия y = 0 . Также заметим, что из неравенства (П.11) следует, что увеличение коэффи-
циента κ закона управления (4) приводит к уменьшению функции V (t) и, как следствие —
уменьшению значений y(t) . В предельном случае для κ → ∞ имеем lim y(t) = 0 .
t→∞
ПРИЛОЖЕНИЕ Д о к а з а т е л ь с т в о т е о р е м ы . Рассмотрим функцию Ляпунова вида
V = xT Px+ηT Nη .
(П.1)
Продифференцировав (П.1) в соответствии с уравнениями (10), (11) и (14), получим
V = xT ( AT P+ PA)x+2(µ+ κ)xT PbhT η+
+2xT Pqϕ( y, t)−2κxT Pby +ηT σ(ΓT N + N Γ)η+ 2xT Pbw+
+2ηT NhcT Ax +2(µ+ κ)ηT NhcT bhT η+ 2ηT NhcT bw+
+2ηT NhcT qϕ( y,t) −2κηT NhcT by .
(П.2)
Подставив в (П.2) уравнения (12), (15) и принимая во внимание неравенства
2xT PbhT η≤ δ xT PbbT Px+δ−1ηT hhT η ,
2xT Pqϕ( y, t) ≤ δ xT PqqT Px+δ−1[ϕ( y,t)]2 ,
2xT
Pbw ≤
κ 2
y2
+
2 κ
w2
,
2ηT NhcT bhT η≤ ηT NhcT bbT chT N η+ηT hhT η ,
2ηT NhcT Ax ≤ δ−1ηT NhcT AAT chT N η+δ xT x ,
2ηT NhcT qϕ( y,t) ≤ κηT NhcT qqT chT Nη +κ−1[ϕ( y,t)]2 ,
−2κηT NhcT by ≤ δ−1κηT NhcT bbT chT N η +δκxT PbbT Px ,
получим
2ηT NhcT bw ≤ κ(ηT NhcT b)2 + 1 w2 , κ
V
≤
−
xT
Q1x
−σηT
Q2η−
1 2
κxT
PbbT
Px
−
κ
y
2
+
+δ (µ+ κ)xT PbbT Px+δ−1(µ+ κ)ηT hhT η+
+δ xT PqqT Px +δ−1[ϕ( y, t)]2 +(µ+ κ)ηT NhcT bbT chT N η+
+(µ+ κ)ηT hhT η+δ−1ηT NhcT AAT chT N η +δ xT x+
+κηT NhcT qqT chT N η+ κ(ηT NhcT b)2 + 3 w2 + κ
+κ−1[ϕ( y,t)]2 +δ−1κηT NhcT bbT chT Nη +δκxT PbbT Px ,
(П.3)
где число 0< δ ≤ 0, 25 такое, что
−Q1 +δ I +(δµ+2δκ−0,5κ)PbbT P +δPqqT P ≤ −Q < 0 . Подставив неравенство (П.4) в (П.3), имеем
(П.4)
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 11
Использование линейной версии метода последовательного компенсатора
37
V ≤ −xT Qx−σηT Q2η −κ y2 +δ−1(µ+ κ)ηT hhT η+
+δ−1[ϕ( y,t)]2 +(µ+ κ)ηT NhcT bbT chT N η+
+(µ+ κ)ηT hhT η +δ−1ηT NhcT AAT chT N η+
+κηT NhcT qqT chT N η +κ−1[ϕ( y, t)]2 + κ(ηT NhcT b)2 + 3 w2 + κ
+δ−1κηT NhcT bbT chT Nη .
(П.5)
Пусть число σ такое, что
−σQ2 + δ−1(µ+ κ)hhT + (µ+ κ)NhcT bbT chT N +
+(µ+ κ)hhT +δ−1NhcT AAT chT N + κNhcT bbT chT N +
+κNhcT qqT chT N +δ−1κNhcT bbT chT N ≤ −Q .
(П.6)
Подставив выражение (П.6) в неравенство (П.5), получим
V ≤ −xT Qx−ηT Qη −κ y2 +(δ−1 + κ−1)[ϕ( y,t)]2 + 3 w2 ≤ κ
≤
−λ0V
−
κy2
+
(κ−1
+
δ−1
)C02
y2
s−1
y
+
3 κ
w2
≤
≤
−λ0V
− κy 2
+ ψ0 C04
(κ−1
+ δ−1 )2
y2
+ ψ0−1
y4s−2
+
3 κ
w2
,
где в силу условия (2) [ϕ( y, t)]2 ≤ C02 y(t) 2s , а λ0 > 0 и ψ0 > 0 .
(П.7)
Пусть число κ такое, что
κ ≥ ψ0C04 (κ−1 +δ−1)2 ,
тогда
V
≤
−λ0V
+
ψ0−1
y4s−2
+
3 κ
w2
≤
−λ0V
+
ψ
0−1λ1
(xT
Px)2s−1
+
3 κ
w2
≤
≤
−λ0V
+ ψ0−1λ1V
2s−1
+
3 κ
w2
=
−V
(λ0
−ψ0−1λ1V
2s−2
)+
3 κ
w2
,
где число λ1 > 0 такое, что
(П.8) (П.9)
Выбирая число
λ1 (xT Px)2s−1 ≥ (cT x)4s−2 = y4s−2 .
для неравенства (П.9) получаем
ψ0 > λ0−1λ1(V (t0 ))2s−2 ,
(П.10)
V
< −λ0V
⎛ ⎝⎜⎜1−
(V (t))2s−2 (V (t0 ))2s−2
⎞ ⎟⎟⎠
+
3 κ
C1
<
0
для
любого
t ≥ t0
.
(П.11)
Из последнего выражения следует ограниченность всех траекторий системы (10), (11),
(14), что и требовалось доказать.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 09-08-00139-а).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Бобцов А. А., Николаев Н. А. Управление по выходу некоторой нелинейной системой с неизвестными параметрами и нелинейностью // АиТ. 2007. № 6. С. 150—156.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 11
38 Д. С. Бирюков, О. В. Слита, А. В. Ушаков
2. Бобцов А. А., Николаев Н. А. Синтез управления нелинейными системами с функциональными и параметрическими неопределенностями на основе теоремы Фрадкова // АиТ. 2005. № 1. С. 118—129.
3. Барабанов Н. Е., Гелиг А. Х., Леонов Г. А. и др. Частотная теорема (лемма Якубовича — Калмана) в теории управления // АиТ. 1996. № 10. С. 3—40.
4. Мирошник И. В., Никифоров В. О., Фрадков А. Л. Нелинейное и адаптивное управление сложными динамическими системами. СПб: Наука, 2000.
Алексей Алексеевич Бобцов Николай Анатольевич Николаев
Сведения об авторах — д-р техн. наук, профессор; Санкт-Петербургский государственный
университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра систем управления и информатики; E-mail: bobtsov @mail.ru — канд. техн. наук; Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики; кафедра систем управления и информатики
Рекомендована кафедрой систем управления и информатики
Поступила в редакцию 01.07.09 г.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 11