ПАРАМЕТРЫ СФЕРОКОНЦЕНТРИЧЕСКОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПОКАЗАТЕЛЯ ПРЕЛОМЛЕНИЯ В СФЕРИЧЕСКОЙ И ПРЯМОУГОЛЬНОЙ СИСТЕМАХ КООРДИНАТ
ОПТИЧЕСКИЕ И ОПТИКО-ЭЛЕКТРОННЫЕ ПРИБОРЫ И СИСТЕМЫ
УДК 535.317
А. Л. СУШКОВ
ПАРАМЕТРЫ СФЕРОКОНЦЕНТРИЧЕСКОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПОКАЗАТЕЛЯ ПРЕЛОМЛЕНИЯ
В СФЕРИЧЕСКОЙ И ПРЯМОУГОЛЬНОЙ СИСТЕМАХ КООРДИНАТ
Приведено описание сфероконцентрического распределения показателя преломления в сферической и прямоугольной системах координат. Показана возможность преобразования полинома распределения показателя преломления из сферической системы координат в прямоугольную, что позволяет производить расчет коэффициентов аберраций, а также проводить компьютерное моделирование оптических элементов со сфероконцентрическим градиентом показателя преломления.
Ключевые слова: сферическая система координат, прямоугольная система координат, показатель преломления, сфероконцентрический градиент показателя преломления, коэффициенты аберраций.
Сфероконцентрическое распределение показателя преломления (РПП) (определяемое терминами „сферический градиент показателя преломления“, „сферический градиент“) соответствует изменению показателя преломления вдоль радиуса сферы с центром на оптической оси градиентного оптического элемента. Такое распределение можно получить, например, методами ионной диффузии исходной заготовки оптического элемента (ОЭ) со сферической поверхностью или химического послойного осаждения на сферическую поверхность; пример такой градиентной линзы на кристалле Ge / Si приведен в работе [1].
Аберрационный анализ линзы со сфероконцентрическим РПП в области первичных аберраций возможен при переходе из сферической системы координат в прямоугольную.
Впервые сфероконцентрическое РПП было изучено Мэрчандом (Marchand) [2], а основные принципы расчета первичных аберраций при наличии ОЭ со сферическим градиентом показателя преломления сформулированы в работе [3]. Однако некоторые вопросы требуют пояснения, и, кроме того, в расчетах присутствуют неточности, которые необходимо исправить.
До настоящего времени работа по определению эффективности применения неоднородного показателя преломления концентрировалась вокруг двух видов РПП — радиального и осевого, которые являются частными случаями более общего полинома, описывающего показатель преломления для осесимметричных систем:
n(z, ξ) = n00 + n01z + n02 z2 +...+ n10ξ+ n11ξz + n12ξz2 +...+ n20ξ2 + n21ξ2 z + n22ξ2 z2 +... , (1) где ξ=x2+y2; nij — коэффициенты; i, j — индексы по ξ и z.
Сфероконцентрическое РПП обычно задается полиномами показателя преломления в сферической системе координат.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 12
Параметры сфероконцентрического распределения показателя преломления
55
Геометрическое представление сферического градиента показано на рисунке. Поверх-
ности с одинаковым показателем преломления — сферы с текущим радиусом ρ с центром в точке Сg с координатами (0, 0, Rg) в прямоугольной системе координат XOYZ. Плоскость YOX является полярной касательной плоскостью к этой поверхности, ось OZ — оптическая ось.
Y
Rg ρ
Cg O
Z
Полином показателя преломления в сферической системе координат с центром в точке
Сg имеет вид
n(Rg −ρ) = nρ0 + nρ1(Rg −ρ)+ nρ2 (Rg −ρ)2 + nρ3 (Rg −ρ)3 + nρ4 (Rg −ρ)4 +...,
(2)
где Rg — радиус технологической сферы градиентной поверхности линзы; ρ — текущее значение Rg; при n(ρ) образуется эквирефракционная сферическая поверхность; для упрощения записи обозначим Rg = R .
При переходе в прямоугольную систему координат уравнение (2) преобразуется к виду
(R
−ρ)
=
R
−
⎣⎡(R
−
z
)2
+
y
2
+
x2
⎤1/ ⎦
2
,
(R−ρ) = R−(R2 −2Rz + z2 +ξ)1/ 2 .
(3)
Если зависимость (3) записать как
R
−ρ
=
R
⎡ ⎢1− ⎢ ⎣
⎜⎛⎝⎜1+
z
2
+ξ− R2
2Rz
⎞1/ ⎟⎟⎠
2
⎤ ⎥ ⎥ ⎦
,
то ее можно представить в виде ряда [4]
( )R
−ρ
=
−
z
2
+ξ− 2R
2Rz
+
z2 +ξ−2Rz 8R3
2
+...
(4)
Полученное разложение в ряд является бесконечно длинным и для практического ис-
пользования должно быть ограничено.
В качестве критерия точности при переходе от сферической системы координат к пря-
моугольной принята волновая аберрация, возникающая из-за смены системы координат. Она
обозначается как OPD и носит название волновой аберрации преобразования:
OPD = Rn(R – ρ) – Rn(z, ξ)=R∆n,
где ∆n — разность значений показателя преломления, обусловленная сменой системы координат .
Для уточнения параметров поверхности линзы в работе [3] введено понятие относительного отверстия поверхности S=R/2yсв (где 2yсв = Dсв — световой диаметр поверхности).
С учетом того, что обозначение ξ= x2 + y2 в меридиональной плоскости преобразуется в ξ = y2, получаем выражение для S через R и ξ:
S= R , 2ξ
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 12
56 А. Л. Сушков
откуда
ξ
=
R2
(2S )2
.
(5)
При подстановке выражения (5) в член пятого порядка ряда (4) получим
−
7 256
ξ5 R9
=−
7R 262144S10
.
Величина волновой аберрации преобразования луча, идущего в направлении градиента,
определяется как
OPD=nρ1ή
21R 786432S10
,
где ή — глубина зоны градиента.
Произведение nρ1ή составляет перепад значений показателя преломления, который по аналогии с радиальным РПП стекла можно принять равным 0,05.
Тогда, ограничивая волновую аберрацию величиной λ/10, т.е. выполняя требование
OPD = 0, 05
21R 786432S10
≤λ
/10
,
можно получить условие ограничения относительного отверстия поверхности через величину R. При λ=0,0005 мм граничное условие имеет вид
R≤3,745⋅S10.
Например, при R=100 мм имеем S≥1,389 или Dсв≤ R/1,389 ≤ 71,99 мм. Таким образом, на величину светового диаметра поверхности должно накладываться
ограничение, критерием которого является допустимая волновая аберрация OPD.
В общем случае выражение для волновой аберрации преобразования сферической сис-
темы координат в прямоугольную имеет следующую запись:
OPDе=2,67⋅10–5∆n
R S 10
,
где OPDе — ошибка, возникающая при смене системы координат. С целью уменьшения ошибки уравнение (1) было расширено до 9-го порядка, т.е. для
ξk zm сумма степеней (2k+m) не превышает 9.
Разложение зависимости (3) в ряд до 9-го порядка проведено с помощью программы
FORMAC [3]. Результаты приведены в табл. 1—5: в табл. 1 — коэффициенты уравнения (1) в
прямоугольной системе координат; в табл. 2—5 представление коэффициентов соответствен-
но при nρ1, nρ2 , nρ3 и nρ4 в прямоугольной системе координат.
Таблица 1
ξk zm
ξ0
ξ1
ξ2
ξ3
ξ4
z0 n00 n10 n20 n30 n40 z1 n01 n11 n21 n31 n41 z2 n02 n12 n22 n32 z3 n03 n13 n23 n33 z4 n04 n14 n24 z5 n05 n15 n25 z6 n06 n16 z7 n07 z8 n08 z9 n09
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 12
Параметры сфероконцентрического распределения показателя преломления
ξk zm
z0 z1 z2 z3 z4 z5 z6 z7
ξ0 1
ξk zm
z0 z1 z2 z3 z4 z5 z6 z7
ξ0 1
ξ1 1 − 2R 1 − 2R2 1 − 2R3 1 − 2R4 1 − 2R5 1 − 2R6 1 − 2R7 1 − 2R8
ξ1
1 −
R 1 − R2 1 − R3 1 − R4 1 − R5 1 − R6 1 − R7
Таблица 2 ξ2 ξ3 ξ4
1 15
−
8R3
16R5
128R7
3 5 35
−
8R4
16R6
128R8
3 15 −
4R5 16R7
5 35 −
4R6 16R8
15
8R7
21
8R8
Таблица 3
ξ2 ξ3 ξ4
1 15 −
4R2 8R4 64R6 3 5 35 −
4R3 8R5 64R7 3 15 −
2R4 8R6 5 35 −
2R5 8R7 15 4R6 21 4R7
57
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 12
58 А. Л. Сушков
ξk zm
z0 z1 z2 z3 z4 z5 z6 z7
ξ0 1
ξk zm
z0 z1 z2 z3 z4 z5 z6 z7
ξ0 1
ξ1
3 −
2R 3
− 2R2 3
− 2R3 3
− 2R4 3
− 2R5 3
− 2R6
ξ1
2 −
R 2 − R2 2 − R3 2 − R4 2 − R5
Таблица 4 ξ2 ξ3 ξ4
1 −
8R3
3 32R5
3 3 45 −
4R2 4R4 64R6
15 39 −
8R3 16R5
27 95 −
8R4 16R6
21
4R5
15
2R6
Таблица 5 ξ2 ξ3 ξ4
1
16R4
1 −
2R3
5 8R5
39 −
2R2 4R4
7 25 −
2R3 4R5
6
R4
9
R5
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 12
Параметры сфероконцентрического распределения показателя преломления Сферический градиент описан распределением показателя преломления
59
n1 (ρ) = nρ0 +nρ1(R−ρ) .
Согласно данным табл. 2 равноценный градиент в прямоугольной системе координат будет иметь следующую запись:
n1(z, ξ) = nρ0 + nρ1z
−
nρ1ξ
⎛ ⎝⎜⎜
1 2R
+
z 2R2
+
z2 2R3
+
z3 2R4
+
z4 2R5
+
z5 2R6
+
z6 2R7
+
z7 2R8
⎞ ⎟⎟⎠+
+nρ1ξ2
⎛ ⎝⎜⎜
1 8R3
+
3z 8R4
+
3z2 4R5
+
5z3 4R6
+
15z4 8R7
+
21z5 8R8
⎞ ⎟⎟⎠−
nρ1ξ3
⎛1 ⎜⎝⎜ 16R5
+
5z 16R6
+
15z2 16R7
+
35z3 16R8
⎞ ⎟⎠⎟ +
( )+nρ1ξ4
⎛ ⎝⎜
5 128R7
35z + 128R8
⎞ ⎠⎟
+
nρ1 0
ξk z10−2k
,
k = 0, 1, 2, 3, 4, 5.
Для сферического градиента n2 (ρ) = nρ0 +nρ4 (R−ρ)4 равноценный градиент в прямо-
угольной системе координат равен (по данным табл. 5)
n2
(
z,
ξ)
=
nρ0
+
nρ4
z
4
−
2nρ4
ξ
⎛ ⎝⎜
1 R
z3
+
1 R2
z
4
+
1 R3
z
5
+
1 R4
z6
+
1 R5
z7 ⎞⎟⎠+
+ nρ4 ξ2
⎛ ⎜⎝
3 2R2
z
2
+
7 2R3
z
3
+
6 R4
z4 +
9 R5
z
5
⎞ ⎟⎠
+ nρ4 ξ3
⎛ ⎜⎝
−
1 2R3
z
−
9 4R4
z
2
−
25 4R5
z3
⎞ ⎟⎠
+
( )+nρ4ξ4
⎛ ⎝⎜
1 16R4
+
5 8R5
z
⎞ ⎠⎟
+
0
ξk z10−2k
,
k = 0, 1, 2, 3, 4, 5.
Для градиента n3 (ρ) = nρ0 +nρ1(R−ρ)+ nρ4 (R−ρ)4 равноценный градиент в прямоугольной системе координат равен сумме двух градиентов минус nρ0:
n3 (z, ξ) = n1(z, ξ)+n2 (z, ξ)−nρ0 , т.е.
n3
( z, ξ) = nρ0 +nρ1z + nρ4 z4
−
ξ
⎛ ⎜⎜⎝
nρ1 2R
+
nρ1 2R2
z
+
nρ1 2R3
z
2
⎛ +⎜
⎝
nρ1 2R4
+
2nρ R
4
⎞ ⎟ ⎠
z
3
+...
⎞ ⎟⎠⎟
+
+
ξ
2
⎜⎜⎝⎛
nρ1 8R3
+
3n ρ 1 8R 4
z
+
⎜⎜⎝⎛
3nρ1 4R5
+
3nρ 4 2R2
⎠⎞⎟⎟z 2
+ ...⎟⎟⎞⎠
+ξ3 (...)+ξ4 (...).
В области аберраций третьего порядка запись РПП ограничивается степенями для ξ и z, не превышающими 2.
Например, исходное сферическое РПП
n(R−ρ) = nρ0 + nρ1(R−ρ) при переходе к прямоугольной системе координат можно записать как
n1(z, ξ) = nρ0 +nρ1z
−
nρ1ξ
⎛ ⎜⎝
1 2R
+
z 2R2
⎞ ⎟⎠
+nρ1ξ2
⎛ ⎝⎜
1 8R3
+
3z 8R4
⎞ ⎟⎠
.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 12
60 А. Л. Сушков В меридиональной плоскости имеем
n1(z, y2 ) = nρ0 + nρ1z
−nρ1 y2
⎛ ⎝⎜
1 2R
+
z 2R2
⎞ ⎠⎟
+nρ1 y4
⎛ ⎜⎝
1 8R3
3z + 8R4
⎞ ⎟⎠
.
Рассмотренный математический аппарат позволяет осуществить математическое моделирование оптических элементов со сферическим градиентом показателя преломления в области аберраций третьего порядка, а также компьютерное моделирование оптических систем с градиентными элементами с помощью программных комплексов (например, “OPAL-PC”), в которых неоднородный показатель преломления описывается в декартовой системе координат.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Howard J. W., Ryan-Howard D. P. Optical design of thermal imaging systems utilizing gradient-index optical materials // Opt. Eng. 1985. Vol. 24, N. 2. P. 263—266.
2. Marchand E. W. Ray tracing in gradient – index media// J. Opt. Soc. Amer. 1970. Vol. 60, N. 1. P.1—6.
3. Fantone S. D. Optical design with spherical index gradients // Appl. Opt. 1983. Vol. 22, N. 12.
4. Двайт Г. Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы. М.: Наука, 1983.
Александр Леонидович Сушков
Сведения об авторе — канд. техн. наук, доцент; Московский государственный технический
университет им. Н. Э. Баумана, кафедра оптико-электронных приборов научных исследований; E-mail: ale-sushkov@yandex.ru
Рекомендована кафедрой оптико-электронных приборов научных исследований
Поступила в редакцию 25.03.08 г.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 12
УДК 535.317
А. Л. СУШКОВ
ПАРАМЕТРЫ СФЕРОКОНЦЕНТРИЧЕСКОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПОКАЗАТЕЛЯ ПРЕЛОМЛЕНИЯ
В СФЕРИЧЕСКОЙ И ПРЯМОУГОЛЬНОЙ СИСТЕМАХ КООРДИНАТ
Приведено описание сфероконцентрического распределения показателя преломления в сферической и прямоугольной системах координат. Показана возможность преобразования полинома распределения показателя преломления из сферической системы координат в прямоугольную, что позволяет производить расчет коэффициентов аберраций, а также проводить компьютерное моделирование оптических элементов со сфероконцентрическим градиентом показателя преломления.
Ключевые слова: сферическая система координат, прямоугольная система координат, показатель преломления, сфероконцентрический градиент показателя преломления, коэффициенты аберраций.
Сфероконцентрическое распределение показателя преломления (РПП) (определяемое терминами „сферический градиент показателя преломления“, „сферический градиент“) соответствует изменению показателя преломления вдоль радиуса сферы с центром на оптической оси градиентного оптического элемента. Такое распределение можно получить, например, методами ионной диффузии исходной заготовки оптического элемента (ОЭ) со сферической поверхностью или химического послойного осаждения на сферическую поверхность; пример такой градиентной линзы на кристалле Ge / Si приведен в работе [1].
Аберрационный анализ линзы со сфероконцентрическим РПП в области первичных аберраций возможен при переходе из сферической системы координат в прямоугольную.
Впервые сфероконцентрическое РПП было изучено Мэрчандом (Marchand) [2], а основные принципы расчета первичных аберраций при наличии ОЭ со сферическим градиентом показателя преломления сформулированы в работе [3]. Однако некоторые вопросы требуют пояснения, и, кроме того, в расчетах присутствуют неточности, которые необходимо исправить.
До настоящего времени работа по определению эффективности применения неоднородного показателя преломления концентрировалась вокруг двух видов РПП — радиального и осевого, которые являются частными случаями более общего полинома, описывающего показатель преломления для осесимметричных систем:
n(z, ξ) = n00 + n01z + n02 z2 +...+ n10ξ+ n11ξz + n12ξz2 +...+ n20ξ2 + n21ξ2 z + n22ξ2 z2 +... , (1) где ξ=x2+y2; nij — коэффициенты; i, j — индексы по ξ и z.
Сфероконцентрическое РПП обычно задается полиномами показателя преломления в сферической системе координат.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 12
Параметры сфероконцентрического распределения показателя преломления
55
Геометрическое представление сферического градиента показано на рисунке. Поверх-
ности с одинаковым показателем преломления — сферы с текущим радиусом ρ с центром в точке Сg с координатами (0, 0, Rg) в прямоугольной системе координат XOYZ. Плоскость YOX является полярной касательной плоскостью к этой поверхности, ось OZ — оптическая ось.
Y
Rg ρ
Cg O
Z
Полином показателя преломления в сферической системе координат с центром в точке
Сg имеет вид
n(Rg −ρ) = nρ0 + nρ1(Rg −ρ)+ nρ2 (Rg −ρ)2 + nρ3 (Rg −ρ)3 + nρ4 (Rg −ρ)4 +...,
(2)
где Rg — радиус технологической сферы градиентной поверхности линзы; ρ — текущее значение Rg; при n(ρ) образуется эквирефракционная сферическая поверхность; для упрощения записи обозначим Rg = R .
При переходе в прямоугольную систему координат уравнение (2) преобразуется к виду
(R
−ρ)
=
R
−
⎣⎡(R
−
z
)2
+
y
2
+
x2
⎤1/ ⎦
2
,
(R−ρ) = R−(R2 −2Rz + z2 +ξ)1/ 2 .
(3)
Если зависимость (3) записать как
R
−ρ
=
R
⎡ ⎢1− ⎢ ⎣
⎜⎛⎝⎜1+
z
2
+ξ− R2
2Rz
⎞1/ ⎟⎟⎠
2
⎤ ⎥ ⎥ ⎦
,
то ее можно представить в виде ряда [4]
( )R
−ρ
=
−
z
2
+ξ− 2R
2Rz
+
z2 +ξ−2Rz 8R3
2
+...
(4)
Полученное разложение в ряд является бесконечно длинным и для практического ис-
пользования должно быть ограничено.
В качестве критерия точности при переходе от сферической системы координат к пря-
моугольной принята волновая аберрация, возникающая из-за смены системы координат. Она
обозначается как OPD и носит название волновой аберрации преобразования:
OPD = Rn(R – ρ) – Rn(z, ξ)=R∆n,
где ∆n — разность значений показателя преломления, обусловленная сменой системы координат .
Для уточнения параметров поверхности линзы в работе [3] введено понятие относительного отверстия поверхности S=R/2yсв (где 2yсв = Dсв — световой диаметр поверхности).
С учетом того, что обозначение ξ= x2 + y2 в меридиональной плоскости преобразуется в ξ = y2, получаем выражение для S через R и ξ:
S= R , 2ξ
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 12
56 А. Л. Сушков
откуда
ξ
=
R2
(2S )2
.
(5)
При подстановке выражения (5) в член пятого порядка ряда (4) получим
−
7 256
ξ5 R9
=−
7R 262144S10
.
Величина волновой аберрации преобразования луча, идущего в направлении градиента,
определяется как
OPD=nρ1ή
21R 786432S10
,
где ή — глубина зоны градиента.
Произведение nρ1ή составляет перепад значений показателя преломления, который по аналогии с радиальным РПП стекла можно принять равным 0,05.
Тогда, ограничивая волновую аберрацию величиной λ/10, т.е. выполняя требование
OPD = 0, 05
21R 786432S10
≤λ
/10
,
можно получить условие ограничения относительного отверстия поверхности через величину R. При λ=0,0005 мм граничное условие имеет вид
R≤3,745⋅S10.
Например, при R=100 мм имеем S≥1,389 или Dсв≤ R/1,389 ≤ 71,99 мм. Таким образом, на величину светового диаметра поверхности должно накладываться
ограничение, критерием которого является допустимая волновая аберрация OPD.
В общем случае выражение для волновой аберрации преобразования сферической сис-
темы координат в прямоугольную имеет следующую запись:
OPDе=2,67⋅10–5∆n
R S 10
,
где OPDе — ошибка, возникающая при смене системы координат. С целью уменьшения ошибки уравнение (1) было расширено до 9-го порядка, т.е. для
ξk zm сумма степеней (2k+m) не превышает 9.
Разложение зависимости (3) в ряд до 9-го порядка проведено с помощью программы
FORMAC [3]. Результаты приведены в табл. 1—5: в табл. 1 — коэффициенты уравнения (1) в
прямоугольной системе координат; в табл. 2—5 представление коэффициентов соответствен-
но при nρ1, nρ2 , nρ3 и nρ4 в прямоугольной системе координат.
Таблица 1
ξk zm
ξ0
ξ1
ξ2
ξ3
ξ4
z0 n00 n10 n20 n30 n40 z1 n01 n11 n21 n31 n41 z2 n02 n12 n22 n32 z3 n03 n13 n23 n33 z4 n04 n14 n24 z5 n05 n15 n25 z6 n06 n16 z7 n07 z8 n08 z9 n09
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 12
Параметры сфероконцентрического распределения показателя преломления
ξk zm
z0 z1 z2 z3 z4 z5 z6 z7
ξ0 1
ξk zm
z0 z1 z2 z3 z4 z5 z6 z7
ξ0 1
ξ1 1 − 2R 1 − 2R2 1 − 2R3 1 − 2R4 1 − 2R5 1 − 2R6 1 − 2R7 1 − 2R8
ξ1
1 −
R 1 − R2 1 − R3 1 − R4 1 − R5 1 − R6 1 − R7
Таблица 2 ξ2 ξ3 ξ4
1 15
−
8R3
16R5
128R7
3 5 35
−
8R4
16R6
128R8
3 15 −
4R5 16R7
5 35 −
4R6 16R8
15
8R7
21
8R8
Таблица 3
ξ2 ξ3 ξ4
1 15 −
4R2 8R4 64R6 3 5 35 −
4R3 8R5 64R7 3 15 −
2R4 8R6 5 35 −
2R5 8R7 15 4R6 21 4R7
57
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 12
58 А. Л. Сушков
ξk zm
z0 z1 z2 z3 z4 z5 z6 z7
ξ0 1
ξk zm
z0 z1 z2 z3 z4 z5 z6 z7
ξ0 1
ξ1
3 −
2R 3
− 2R2 3
− 2R3 3
− 2R4 3
− 2R5 3
− 2R6
ξ1
2 −
R 2 − R2 2 − R3 2 − R4 2 − R5
Таблица 4 ξ2 ξ3 ξ4
1 −
8R3
3 32R5
3 3 45 −
4R2 4R4 64R6
15 39 −
8R3 16R5
27 95 −
8R4 16R6
21
4R5
15
2R6
Таблица 5 ξ2 ξ3 ξ4
1
16R4
1 −
2R3
5 8R5
39 −
2R2 4R4
7 25 −
2R3 4R5
6
R4
9
R5
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 12
Параметры сфероконцентрического распределения показателя преломления Сферический градиент описан распределением показателя преломления
59
n1 (ρ) = nρ0 +nρ1(R−ρ) .
Согласно данным табл. 2 равноценный градиент в прямоугольной системе координат будет иметь следующую запись:
n1(z, ξ) = nρ0 + nρ1z
−
nρ1ξ
⎛ ⎝⎜⎜
1 2R
+
z 2R2
+
z2 2R3
+
z3 2R4
+
z4 2R5
+
z5 2R6
+
z6 2R7
+
z7 2R8
⎞ ⎟⎟⎠+
+nρ1ξ2
⎛ ⎝⎜⎜
1 8R3
+
3z 8R4
+
3z2 4R5
+
5z3 4R6
+
15z4 8R7
+
21z5 8R8
⎞ ⎟⎟⎠−
nρ1ξ3
⎛1 ⎜⎝⎜ 16R5
+
5z 16R6
+
15z2 16R7
+
35z3 16R8
⎞ ⎟⎠⎟ +
( )+nρ1ξ4
⎛ ⎝⎜
5 128R7
35z + 128R8
⎞ ⎠⎟
+
nρ1 0
ξk z10−2k
,
k = 0, 1, 2, 3, 4, 5.
Для сферического градиента n2 (ρ) = nρ0 +nρ4 (R−ρ)4 равноценный градиент в прямо-
угольной системе координат равен (по данным табл. 5)
n2
(
z,
ξ)
=
nρ0
+
nρ4
z
4
−
2nρ4
ξ
⎛ ⎝⎜
1 R
z3
+
1 R2
z
4
+
1 R3
z
5
+
1 R4
z6
+
1 R5
z7 ⎞⎟⎠+
+ nρ4 ξ2
⎛ ⎜⎝
3 2R2
z
2
+
7 2R3
z
3
+
6 R4
z4 +
9 R5
z
5
⎞ ⎟⎠
+ nρ4 ξ3
⎛ ⎜⎝
−
1 2R3
z
−
9 4R4
z
2
−
25 4R5
z3
⎞ ⎟⎠
+
( )+nρ4ξ4
⎛ ⎝⎜
1 16R4
+
5 8R5
z
⎞ ⎠⎟
+
0
ξk z10−2k
,
k = 0, 1, 2, 3, 4, 5.
Для градиента n3 (ρ) = nρ0 +nρ1(R−ρ)+ nρ4 (R−ρ)4 равноценный градиент в прямоугольной системе координат равен сумме двух градиентов минус nρ0:
n3 (z, ξ) = n1(z, ξ)+n2 (z, ξ)−nρ0 , т.е.
n3
( z, ξ) = nρ0 +nρ1z + nρ4 z4
−
ξ
⎛ ⎜⎜⎝
nρ1 2R
+
nρ1 2R2
z
+
nρ1 2R3
z
2
⎛ +⎜
⎝
nρ1 2R4
+
2nρ R
4
⎞ ⎟ ⎠
z
3
+...
⎞ ⎟⎠⎟
+
+
ξ
2
⎜⎜⎝⎛
nρ1 8R3
+
3n ρ 1 8R 4
z
+
⎜⎜⎝⎛
3nρ1 4R5
+
3nρ 4 2R2
⎠⎞⎟⎟z 2
+ ...⎟⎟⎞⎠
+ξ3 (...)+ξ4 (...).
В области аберраций третьего порядка запись РПП ограничивается степенями для ξ и z, не превышающими 2.
Например, исходное сферическое РПП
n(R−ρ) = nρ0 + nρ1(R−ρ) при переходе к прямоугольной системе координат можно записать как
n1(z, ξ) = nρ0 +nρ1z
−
nρ1ξ
⎛ ⎜⎝
1 2R
+
z 2R2
⎞ ⎟⎠
+nρ1ξ2
⎛ ⎝⎜
1 8R3
+
3z 8R4
⎞ ⎟⎠
.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 12
60 А. Л. Сушков В меридиональной плоскости имеем
n1(z, y2 ) = nρ0 + nρ1z
−nρ1 y2
⎛ ⎝⎜
1 2R
+
z 2R2
⎞ ⎠⎟
+nρ1 y4
⎛ ⎜⎝
1 8R3
3z + 8R4
⎞ ⎟⎠
.
Рассмотренный математический аппарат позволяет осуществить математическое моделирование оптических элементов со сферическим градиентом показателя преломления в области аберраций третьего порядка, а также компьютерное моделирование оптических систем с градиентными элементами с помощью программных комплексов (например, “OPAL-PC”), в которых неоднородный показатель преломления описывается в декартовой системе координат.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Howard J. W., Ryan-Howard D. P. Optical design of thermal imaging systems utilizing gradient-index optical materials // Opt. Eng. 1985. Vol. 24, N. 2. P. 263—266.
2. Marchand E. W. Ray tracing in gradient – index media// J. Opt. Soc. Amer. 1970. Vol. 60, N. 1. P.1—6.
3. Fantone S. D. Optical design with spherical index gradients // Appl. Opt. 1983. Vol. 22, N. 12.
4. Двайт Г. Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы. М.: Наука, 1983.
Александр Леонидович Сушков
Сведения об авторе — канд. техн. наук, доцент; Московский государственный технический
университет им. Н. Э. Баумана, кафедра оптико-электронных приборов научных исследований; E-mail: ale-sushkov@yandex.ru
Рекомендована кафедрой оптико-электронных приборов научных исследований
Поступила в редакцию 25.03.08 г.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2009. Т. 52, № 12