ДИНАМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ УПЛОТНИТЕЛЬНОГО ЭЛЕМЕНТА СКВАЖИННОГО ПРИБОРА
16 В. М. Мусалимов, М. А. Ноздрин, Н. В. Родин
УДК 531.746:531.3:534.833
В. М. МУСАЛИМОВ, М. А. НОЗДРИН, Н. В. РОДИН
ДИНАМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ УПЛОТНИТЕЛЬНОГО ЭЛЕМЕНТА СКВАЖИННОГО ПРИБОРА
Исследована зависимость давлений, действующих на фторопластовую уплотнительную прокладку скважинного прибора. С использованием кривой Штрибека, гидродинамического уравнения Рейнольдса и задачи Буссинеска получено выражение для предельной осевой нагрузки на уплотнитель.
Ключевые слова: скважинный прибор, фторопластовый уплотнитель, упругость, трение, кривая Штрибека, задача Буссинеска, задача Рейнольдса.
Конструкция геотехнического зонда имеет подвижную часть (блок измерителей), кото-
рая закреплена на выходном валу блока кинематики. В связи с особенностями условий экс-
плуатации (наличие высокого внешнего давления и химически активной среды) необходимо
защитить блок кинематики от проникновения внутрь него жидкой активной среды. Поэтому
на выходной вал блока кинематики ставят уплотнительную прокладку. Материал проклад-
ки — фторопласт с графитовыми нитями. На прокладку действует внешнее давление жидкой
активной среды и внутреннее давление масла, создаваемое компенсатором (компенсатор не-
обходим для выравнивания внешнего давления).
Для расчета предельной осевой нагрузки на уплотнительную прокладку необходимо, в
зависимости от различных исходных данных, решить следующие задачи:
— нахождение эпюр граничных давлений по осевому и радиальному направлениям;
— определение гидроупругости прокладки;
— вычисление минимального значения момента, с которым необходимо затягивать гай-
ку, прижимающую прокладку;
— определение момента трения, возникающего вследствие избыточного внешнего дав-
ления.
С точки зрения механики, уплотнители не являются чисто упругими элементами, так
как, во-первых, находятся в среде со смазкой, а, во-вторых, подвергаются продольному дав-
лению относительно вала двигателя. Исходя из этого возникает задача, при решении которой
необходимо учесть взаимодействие при работе уплотнителя и вращающегося вала, торцевое
давление на уплотнитель со стороны гайки, гидродинамические и реологические свойства
(так как волокна находятся в жидкости).
f
Первоначально разобраться в этом вопросе помогает кривая Штрибека [1], график которой пред-
Зона 1
Зона 2
Зона 3
ставлен на рис. 1, где η — коэффициент вязкости, V — линейная скорость движения вала, f — коэф-
фициент трения, FN — нормальное давление. На кривой условно выделяются три зоны: 1 — зона гид-
ηV/FN
родинамической смазки, так как рассматривается взаимодействие тел на относительно большом рас-
Рис. 1
стоянии, когда мера шероховатости не играет роли, т.е. плоскости тел разделены смазкой и не со-
прикасаются; 2 — зона упругогидродинамической смазки, т.е. мера шероховатости важна, но
смазка находится между взаимодействующими телами; 3 — зона граничной смазки, где на-
блюдаются контактные явления.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 2
Динамический анализ уплотнительного элемента скважинного прибора
17
Будем рассматривать уплотнитель во второй зоне кривой Штрибека. Схема влияния на
уплотнитель продольного и радиального давлений представлена на рис. 2, где q — продоль-
ное давление со стороны гайки, Р — радиальное давление со стороны вращающегося вала. Характерная особенность данной задачи — возникновение „плывущей“ зоны давления
при вращении вала относительно уплотнителя. Поэтому необходимо найти соотношение ме-
жду величинами Р и q , учитывая возникающую вязкость,
модуль упругости, коэффициент Пуассона и угловую скорость вала (ω). Проблема решается с помощью гидродинами-
q
P
ческого уравнения Рейнольдса
dP dx
= 6ηV
1 h2
,
(1)
где h = h(P) — радиальное перемещение уплотнителя,
η= η(P) , и уравнения теории упругости, которое в локаль-
ном приближении имеет следующий вид:
h
=
x2 2r
+
hупр
,
Рис. 2
где r — радиус кривизны; х — координата локального приближения; hупр — упругая состав-
ляющая, определяемая с помощью решения задачи Буссинеска [2]:
σr
=
−3+µ 4π
P
cos θ r
;
σθ
=
−1−µ 3+µ
σr
,
здесь σr , σθ — нормальные напряжения, имеющие направления параллельно цилиндрическим координатным осям r , θ и действующие по перпендикулярным площадкам, для кото-
рых внешние нормали соответственно параллельны осям r , θ ; µ — коэффициент Пуассона. Определим локальные перемещения для каждой точки уплотнителя по внутреннему ра-
диусу rвн его кольца с использованием закона Гука в полярных координатах:
εr
=
1 E
(σr
−µσθ
)
=
1 E
⎛ ⎝⎜
−3+µ 4π
−µ
1+µ 4π
⎞ ⎟⎠
P
cos r
θ
,
где
εr
=
∂ur ∂r
— радиальная деформация уплотнителя; Е — модуль упругости; ur
— радиаль-
ное перемещение:
∫ ∫ur =
εr dr = A
dr r
=
A ln
r
|rrвнн
,
(2)
здесь А — константа интегрирования, rн — наружный радиус кольца.
Равенство (2) выполняется для каждой точки ur = h .
Далее определяется значение угла θ* из следующих формул:
rвнθ* = x, cos θ* = cos ( x rвн ) .
Перейдем теперь к рассмотрению решения задачи. Для этого перепишем формулу Рейнольдса (1).
Известна формула зависимости вязкости от давления:
η(P) = η0eψP ,
где η0 — вязкость при отсутствии давления; ψ — пьезокоэффициент вязкости; эта формула является решением дифференциального уравнения
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 2
18 В. М. Мусалимов, М. А. Ноздрин, Н. В. Родин
dη dP
=
ψη0
.
(3)
Перемножив выражения (1) и (3), получим
dη dx
=
ψωη2
1 h2
.
(4)
Далее, из выражения (4) необходимо получить зависимость вязкости и продольного дав-
ления со стороны гайки.
Представим радиальное давление в экспоненциальном виде:
P = P0e−βq ,
где P0 — начальное давление, β — коэффициент релаксации уплотнителя.
После преобразований получим
∫ ∫η
η0
dη η2
=
x x0
ψ
ωrвн
dx h2
,
где радиальное перемещение уплотнителя определяется как
h=
x2 2rвн
−
1 E
cos θ⋅P0e−βq rвн
⎛ ⎜⎝
−3+µ 4π
+
µ
µ +1 4π
⎞ ⎠⎟
ln
rн rвн
cos
x2 rвн
.
Для удобства вычислений обозначим
B
=
1 E
cos θ⋅P0e−βq rвн
⎛ ⎝⎜
−3+µ 4π
+µ
µ +1 4π
⎞ ⎠⎟
ln
rн rвн
.
Разложив в ряд получим тогда
Обозначим
∑cos
x2 rвн
= ∞ (−1)k
k =0
x2k 2k !
=1−
x4 2rв2н
,
h=
x2 2rвн
−
B
⎝⎛⎜⎜1−
x4 2rв2н
⎞ ⎠⎟⎟
,
∫ ∫x
2ωrвн
x1
dx h2
=
ψω rвн
x2 x1
x4
dx ⎛ rвн −2B−rвн B ⎝⎜ 4rвн
⎞ ⎟
−
B2
−
B2
х2
⎠
.
C
=
rвн
− 2 B − rвн 4rвн
B
,
тогда решение данного интеграла будет иметь следующий вид:
∫K
dx a + bx + cx 4
=
⎛
1 4cq3 sin
l
⎜ ⎜ ⎜⎝⎜
sin
l 2
ln
x2
+
2qx
cos
l 2
+
q
2
x2
−
2qx
cos
l 2
+
q2
+
2
cos
l 2
arctg
x2 −q2
2qx
sin
l 2
⎞
⎟ ⎟
,
⎟⎠⎟
где
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 2
Динамический анализ уплотнительного элемента скважинного прибора
19
q
=
4
a c
,
l = 2a(n−1)(b2 −4ac),
cos l = − b . 2 ac
Данные расчета коэффициентов βq и η приведены ниже.
βq 0,1
0,2 0,3 0,4 0,5 0,6
0,7
0,8
0,9
η 0,078 0,091 0,094 0,096 0,097 0,0976 0,0979 0,0982 0,099
На рис. 3 представлен график зависимости коэффициента вязкости η от приведенного коэффициента релаксации βq . Характер зависимости явно нелинейный, но эта нелинейность
приходится на интервал неустановившегося режима. Начиная от значения βq = 0, 4 зависи-
мость явно линейная. Эта линейная зависимость определяется тангенсом угла наклона α , где
α = α(E,µ, ω, r) — функция модуля упругости, ко- η
эффициента Пуассона, угловой скорости вала и геометрических параметров уплотнителя. Поэтому
α
целесообразно принять линейную зависимость
qαβ = η ,
откуда получаем выражение для определения пре-
дельной осевой нагрузки:
q= η . αβ
0,4 βq
Из этого выражения следует, что давление на
Рис. 3
уплотнитель должно обеспечивать равномерность распределения смазки, компенсацию внешнего
осевого и радиального давлений. Причем давление q является функцией характеристики смазки,
физико-механических характеристик материала уплотнителя и кинематических характеристик
относительного движения вала.
Итак, сформулированы задачи, связанные с динамическим анализом уплотнительного
элемента скважинного прибора; использование кривой Штрибека способствовало ограниче-
нию круга решаемых упругодинамических задач; использование достижений в области тео-
рии упругости (задача Буссинеска) и механики жидкости (задача Рейнольдса) позволило рас-
считать предельную осевую нагрузку на уплотнительный элемент.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Справочник по триботехнике / Под общ. ред. М. Хебды, А. В. Чичинадзе. Варшава, 1989. Т. 1; М.: Машиностроение, 1990. Т. 2; 1992. Т. 3.
2. Безухов Н. И. Примеры и задачи по теории упругости, пластичности и ползучести. М.: Высш. школа, 1965. 320 с.
Сведения об авторах
Виктор Михайлович Мусалимов — д-р техн. наук, профессор; Санкт-Петербургский государственный
университет информационных технологий, механики и оптики, ка-
федра мехатроники; E-mail: musalimov@mail.ifmo.ru
Михаил Александрович Ноздрин — канд. техн. наук, доцент; Санкт-Петербургский государственный уни-
верситет информационных технологий, механики и оптики, кафедра
мехатроники; E-mail: m_nozdrin@mail.ru
Николай Владимирович Родин
— студент; Санкт-Петербургский государственный университет инфор-
мационных технологий, механики и оптики, кафедра мехатроники;
E-mail: rus-orthodox@bk.ru
Рекомендована кафедрой мехатроники
Поступила в редакцию 15.06.09 г.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 2
УДК 531.746:531.3:534.833
В. М. МУСАЛИМОВ, М. А. НОЗДРИН, Н. В. РОДИН
ДИНАМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ УПЛОТНИТЕЛЬНОГО ЭЛЕМЕНТА СКВАЖИННОГО ПРИБОРА
Исследована зависимость давлений, действующих на фторопластовую уплотнительную прокладку скважинного прибора. С использованием кривой Штрибека, гидродинамического уравнения Рейнольдса и задачи Буссинеска получено выражение для предельной осевой нагрузки на уплотнитель.
Ключевые слова: скважинный прибор, фторопластовый уплотнитель, упругость, трение, кривая Штрибека, задача Буссинеска, задача Рейнольдса.
Конструкция геотехнического зонда имеет подвижную часть (блок измерителей), кото-
рая закреплена на выходном валу блока кинематики. В связи с особенностями условий экс-
плуатации (наличие высокого внешнего давления и химически активной среды) необходимо
защитить блок кинематики от проникновения внутрь него жидкой активной среды. Поэтому
на выходной вал блока кинематики ставят уплотнительную прокладку. Материал проклад-
ки — фторопласт с графитовыми нитями. На прокладку действует внешнее давление жидкой
активной среды и внутреннее давление масла, создаваемое компенсатором (компенсатор не-
обходим для выравнивания внешнего давления).
Для расчета предельной осевой нагрузки на уплотнительную прокладку необходимо, в
зависимости от различных исходных данных, решить следующие задачи:
— нахождение эпюр граничных давлений по осевому и радиальному направлениям;
— определение гидроупругости прокладки;
— вычисление минимального значения момента, с которым необходимо затягивать гай-
ку, прижимающую прокладку;
— определение момента трения, возникающего вследствие избыточного внешнего дав-
ления.
С точки зрения механики, уплотнители не являются чисто упругими элементами, так
как, во-первых, находятся в среде со смазкой, а, во-вторых, подвергаются продольному дав-
лению относительно вала двигателя. Исходя из этого возникает задача, при решении которой
необходимо учесть взаимодействие при работе уплотнителя и вращающегося вала, торцевое
давление на уплотнитель со стороны гайки, гидродинамические и реологические свойства
(так как волокна находятся в жидкости).
f
Первоначально разобраться в этом вопросе помогает кривая Штрибека [1], график которой пред-
Зона 1
Зона 2
Зона 3
ставлен на рис. 1, где η — коэффициент вязкости, V — линейная скорость движения вала, f — коэф-
фициент трения, FN — нормальное давление. На кривой условно выделяются три зоны: 1 — зона гид-
ηV/FN
родинамической смазки, так как рассматривается взаимодействие тел на относительно большом рас-
Рис. 1
стоянии, когда мера шероховатости не играет роли, т.е. плоскости тел разделены смазкой и не со-
прикасаются; 2 — зона упругогидродинамической смазки, т.е. мера шероховатости важна, но
смазка находится между взаимодействующими телами; 3 — зона граничной смазки, где на-
блюдаются контактные явления.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 2
Динамический анализ уплотнительного элемента скважинного прибора
17
Будем рассматривать уплотнитель во второй зоне кривой Штрибека. Схема влияния на
уплотнитель продольного и радиального давлений представлена на рис. 2, где q — продоль-
ное давление со стороны гайки, Р — радиальное давление со стороны вращающегося вала. Характерная особенность данной задачи — возникновение „плывущей“ зоны давления
при вращении вала относительно уплотнителя. Поэтому необходимо найти соотношение ме-
жду величинами Р и q , учитывая возникающую вязкость,
модуль упругости, коэффициент Пуассона и угловую скорость вала (ω). Проблема решается с помощью гидродинами-
q
P
ческого уравнения Рейнольдса
dP dx
= 6ηV
1 h2
,
(1)
где h = h(P) — радиальное перемещение уплотнителя,
η= η(P) , и уравнения теории упругости, которое в локаль-
ном приближении имеет следующий вид:
h
=
x2 2r
+
hупр
,
Рис. 2
где r — радиус кривизны; х — координата локального приближения; hупр — упругая состав-
ляющая, определяемая с помощью решения задачи Буссинеска [2]:
σr
=
−3+µ 4π
P
cos θ r
;
σθ
=
−1−µ 3+µ
σr
,
здесь σr , σθ — нормальные напряжения, имеющие направления параллельно цилиндрическим координатным осям r , θ и действующие по перпендикулярным площадкам, для кото-
рых внешние нормали соответственно параллельны осям r , θ ; µ — коэффициент Пуассона. Определим локальные перемещения для каждой точки уплотнителя по внутреннему ра-
диусу rвн его кольца с использованием закона Гука в полярных координатах:
εr
=
1 E
(σr
−µσθ
)
=
1 E
⎛ ⎝⎜
−3+µ 4π
−µ
1+µ 4π
⎞ ⎟⎠
P
cos r
θ
,
где
εr
=
∂ur ∂r
— радиальная деформация уплотнителя; Е — модуль упругости; ur
— радиаль-
ное перемещение:
∫ ∫ur =
εr dr = A
dr r
=
A ln
r
|rrвнн
,
(2)
здесь А — константа интегрирования, rн — наружный радиус кольца.
Равенство (2) выполняется для каждой точки ur = h .
Далее определяется значение угла θ* из следующих формул:
rвнθ* = x, cos θ* = cos ( x rвн ) .
Перейдем теперь к рассмотрению решения задачи. Для этого перепишем формулу Рейнольдса (1).
Известна формула зависимости вязкости от давления:
η(P) = η0eψP ,
где η0 — вязкость при отсутствии давления; ψ — пьезокоэффициент вязкости; эта формула является решением дифференциального уравнения
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 2
18 В. М. Мусалимов, М. А. Ноздрин, Н. В. Родин
dη dP
=
ψη0
.
(3)
Перемножив выражения (1) и (3), получим
dη dx
=
ψωη2
1 h2
.
(4)
Далее, из выражения (4) необходимо получить зависимость вязкости и продольного дав-
ления со стороны гайки.
Представим радиальное давление в экспоненциальном виде:
P = P0e−βq ,
где P0 — начальное давление, β — коэффициент релаксации уплотнителя.
После преобразований получим
∫ ∫η
η0
dη η2
=
x x0
ψ
ωrвн
dx h2
,
где радиальное перемещение уплотнителя определяется как
h=
x2 2rвн
−
1 E
cos θ⋅P0e−βq rвн
⎛ ⎜⎝
−3+µ 4π
+
µ
µ +1 4π
⎞ ⎠⎟
ln
rн rвн
cos
x2 rвн
.
Для удобства вычислений обозначим
B
=
1 E
cos θ⋅P0e−βq rвн
⎛ ⎝⎜
−3+µ 4π
+µ
µ +1 4π
⎞ ⎠⎟
ln
rн rвн
.
Разложив в ряд получим тогда
Обозначим
∑cos
x2 rвн
= ∞ (−1)k
k =0
x2k 2k !
=1−
x4 2rв2н
,
h=
x2 2rвн
−
B
⎝⎛⎜⎜1−
x4 2rв2н
⎞ ⎠⎟⎟
,
∫ ∫x
2ωrвн
x1
dx h2
=
ψω rвн
x2 x1
x4
dx ⎛ rвн −2B−rвн B ⎝⎜ 4rвн
⎞ ⎟
−
B2
−
B2
х2
⎠
.
C
=
rвн
− 2 B − rвн 4rвн
B
,
тогда решение данного интеграла будет иметь следующий вид:
∫K
dx a + bx + cx 4
=
⎛
1 4cq3 sin
l
⎜ ⎜ ⎜⎝⎜
sin
l 2
ln
x2
+
2qx
cos
l 2
+
q
2
x2
−
2qx
cos
l 2
+
q2
+
2
cos
l 2
arctg
x2 −q2
2qx
sin
l 2
⎞
⎟ ⎟
,
⎟⎠⎟
где
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 2
Динамический анализ уплотнительного элемента скважинного прибора
19
q
=
4
a c
,
l = 2a(n−1)(b2 −4ac),
cos l = − b . 2 ac
Данные расчета коэффициентов βq и η приведены ниже.
βq 0,1
0,2 0,3 0,4 0,5 0,6
0,7
0,8
0,9
η 0,078 0,091 0,094 0,096 0,097 0,0976 0,0979 0,0982 0,099
На рис. 3 представлен график зависимости коэффициента вязкости η от приведенного коэффициента релаксации βq . Характер зависимости явно нелинейный, но эта нелинейность
приходится на интервал неустановившегося режима. Начиная от значения βq = 0, 4 зависи-
мость явно линейная. Эта линейная зависимость определяется тангенсом угла наклона α , где
α = α(E,µ, ω, r) — функция модуля упругости, ко- η
эффициента Пуассона, угловой скорости вала и геометрических параметров уплотнителя. Поэтому
α
целесообразно принять линейную зависимость
qαβ = η ,
откуда получаем выражение для определения пре-
дельной осевой нагрузки:
q= η . αβ
0,4 βq
Из этого выражения следует, что давление на
Рис. 3
уплотнитель должно обеспечивать равномерность распределения смазки, компенсацию внешнего
осевого и радиального давлений. Причем давление q является функцией характеристики смазки,
физико-механических характеристик материала уплотнителя и кинематических характеристик
относительного движения вала.
Итак, сформулированы задачи, связанные с динамическим анализом уплотнительного
элемента скважинного прибора; использование кривой Штрибека способствовало ограниче-
нию круга решаемых упругодинамических задач; использование достижений в области тео-
рии упругости (задача Буссинеска) и механики жидкости (задача Рейнольдса) позволило рас-
считать предельную осевую нагрузку на уплотнительный элемент.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Справочник по триботехнике / Под общ. ред. М. Хебды, А. В. Чичинадзе. Варшава, 1989. Т. 1; М.: Машиностроение, 1990. Т. 2; 1992. Т. 3.
2. Безухов Н. И. Примеры и задачи по теории упругости, пластичности и ползучести. М.: Высш. школа, 1965. 320 с.
Сведения об авторах
Виктор Михайлович Мусалимов — д-р техн. наук, профессор; Санкт-Петербургский государственный
университет информационных технологий, механики и оптики, ка-
федра мехатроники; E-mail: musalimov@mail.ifmo.ru
Михаил Александрович Ноздрин — канд. техн. наук, доцент; Санкт-Петербургский государственный уни-
верситет информационных технологий, механики и оптики, кафедра
мехатроники; E-mail: m_nozdrin@mail.ru
Николай Владимирович Родин
— студент; Санкт-Петербургский государственный университет инфор-
мационных технологий, механики и оптики, кафедра мехатроники;
E-mail: rus-orthodox@bk.ru
Рекомендована кафедрой мехатроники
Поступила в редакцию 15.06.09 г.
ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2010. Т. 53, № 2